Este documento presenta métodos para calcular la deflexión en vigas, incluyendo la ecuación diferencial de la elástica y el método de doble integración. El método de doble integración permite determinar las ecuaciones para la pendiente y deflexión de una viga en toda su longitud mediante la integración del diagrama de momento flector. Las constantes de integración se establecen según las condiciones de apoyo en los extremos de la viga.

1. INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
UNIDAD ZACATENCO
RESISTENCIA DE MATERIALES
DEFLEXION EN VIGAS
5CM5
ALUMNOS:
TORAYA CORONA IZHAR YARED
VERDEJA GARCIA DUSTIN ROSENDO
PROFESORA: MARIA ANGELICA CAMARENA AMARO
CIUDAD DE MÉXICO MAYO, 2021

2. Ecuación diferencial de la elástica
1

M (x)
 E I
Donde ‘’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del
material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección
transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la
misma. Observemos que este último término se ha designado como
dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).

3. Método de Doble Integración
Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para
resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en
vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.
Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los
diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente
las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo
integral.
El método de doble integración produce ecuaciones para la
pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del
punto de máxima deflexión.

4. Recordando la ecuación diferencial de la elástica:
El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de
que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección
transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la
ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso
considerado, la rigidez a la flexión es constante.
Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por
el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:
d2
y

M (x)
dx2
E I
0
dy x
E I   M (x)dx C1
dx
(5.1.3)
(5.2.1)

5. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es
satisfactoria la aproximación:
dx
dy
 tg() 
0
Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las
condiciones de frontera, como se explicará más adelante.
dy x
E I   M (x)dx C1
dx
De modo que con la expresión
anterior se puede determinar la
inclinación de la recta tangente a la
curva de la elástica para cualquier
longitud ‘x’ de la viga.
(5.2.1)
(5.2.2)

6. Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior,
tenemos:
El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que
‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus
valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en
algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde
podemos recoger esta información.

x
 x
0  0 
Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para
cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.
E I  y(x)  M(x)dx C1
dx C2 (5.2.3)

7. En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en
un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:
Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:
x = LA →y = 0
Y
, debido al apoyo en ‘B’ :
x = LB → y = 0
Debido al empotramiento ‘A’ :
x = LA →y = 0
x = LA →  = 0