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PRIMER Y SEGUNDO TEOREMA
DE
CASTIGLIANO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CANCÚN.
CARRERA EN CURSO: INGENIERÍA CIVIL.
TURNO VESPERTINO.
ASIGNATURA: ANÁLISIS ESTRUCTURAL.
DOCENTE: LEOPOLDO ALBERTO JUSTINIANO.
TEMA:
PRIMER TEOREMA Y SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO.
NOMBRES DE LOS INTEGRANTES DEL EQUIPO:
• ARGUELLO LORIA NELLY SARAHÍ.
• CARMONA PÉREZ ALICIA ITZEL.
• CORONEL LANDERO YAEL ROGELIO.
• GARCIA PÉREZ AURIA GABRIELA.
• VELÁZQUEZ SÁNCHEZ JOSÉ LUIS.
Carlos Alberto Castigliano (1847-1884), un ingeniero italiano, conocido
por sus aportaciones en el estudio de las estructuras estáticamente
indeterminadas, publicó alrededor de 1879, dos teoremas relacionados
con tales estructuras que en la actualidad se conocencomo el Primero y
Segundo Teoremas de Castigliano.
El primer Teorema trata de las relaciones entre cargas y desplazamientos
con la energía interna de deformación en estructuras elásticas lineales.
El segundo teorema, conocido también como Método del Trabajo Mínimo,
se aplica en el análisis de estructuras indeterminadas, particularmente
armaduras, vigas continuas y marcos rígidos.
Introducción
PRIMER TEOREMA DE
CASTIGLIANO
DEFINICIONES DEL PRIMER TEOREMA DE
CASTIGLIANO
El teorema de Castigliano proporciona
una técnica para determinar pendientes y
deflexiones en vigas y marcos utilizando
derivadas parciales de la energía interna
de la deformación, así como un método
poderoso para resolver problemas que
involucran estructuras estáticamente
indeterminadas; particularmente
estructuras articuladas con un número
grande de indeterminación.
Este teorema cómo los otros incorporan los principios de la energía de la
deformación y son notablemente semejantes al método de la carga virtual o de
la carga unitaria.
El primer teorema de Castigliano define que en un sistema elástico lineal, la
derivada parcial de la energía de deformación respecto de una de las cargas es
igual al desplazamiento correspondiente a dicha carga.
El teorema se escribe:
"La primera derivada parcial de la energía de deformación total de la
estructura, con respecto a una de las cargas aplicadas, es igual al
desplazamiento en el sentido de la carga."
Para estructuras sometidas a flexión, (vigas y marcos) el teorema se
expresa de la siguiente manera:
Desplazamiento lineal en el punto de aplicación de la carga.
Giro o rotación del punto donde se aplica un momento M.
Ecuación de momentos a lo largo de la estructura.
Rígidos a la flexión. Módulo elástico por
momento de inercia de la seción.
Significa derivada parcial.
Dónde:
Dónde:
r= Radio del arco.
Ecuación de momentos a una abertura θ.
Cuando se busca un desplazamiento lineal en un
punto de la estructura debe colocarse una carga
puntual "P" en ese punto y en la dirección deseada.
Cuando se busca un giro o rotación, se coloca
unmomento de intensidad "M". Cuando P y M
existen en el punto debe sustituirse su valor
después de haber derivado e integrado.
Si P y M no existen en ese punto, entonces su
valor es cero, pero debe sustituirse después de
haber derivado e integrado.
Dónde:
S= Fuerza interna en las barras de la armadura para
la carga aplicada y para la carga P.
L= Longitud de cada barra de la armadura.
AE= Rigidez axial de las barras; Área por Módulo
elástico.
P= Carga puntual, real o imaginaria.
En algunos casos es conveniente que primero se obtengan las ecuaciones de momento para
las cargas reales y después para la carga P, o el momento M y luego se suman por
superposición.
Lo mismo para las armaduras, primero se obtienen las fuerzas internas para la carga real y
luego para la carga P. La aplicación de este teorema requiere que la estructura sea estable y
estáticamente determinada.
Vamos a demostrar el Primer
Teorema de Castigliano
considerando la viga de la
siguiente figura, las fuerzas P1
y P2 se han aplicado a la viga
gradual y simultáneamente.
FORMULA
Supóngase ahora que P1 se incrementa en dP, mientras que P, se mantiene
constante cómo se indica en la Fig. b. la deflexión en el punto de aplicación de
P1 se incrementa en d△1 con respecto a P. es:
Por analogía si queremos el cambio de deflexion en el punto de
aplicación de dP2 que se produjo por el cambio dP1, encontramos:
Por el principio del trabajo real
TRABAJO EXTERNO = ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION
El término (dA, dP1/2) se desprecia debido a que es un termino de orden superior
la ecuación d) puede entonces simplificarse usando las ecuaciones b) y c).
La variacion de la energía en la ecuacion a) por la adición de es:
Restando la ecuación f) de la ecuacion e) obtenemos:
Tomando la derivada parcial respecto a P. se obtiene:
Pero según la ecuación a):
“La deflexion de una estructura en el punto de
aplicación de la misma dirección de una fuerza
aplicada se obtiene calculando la primera
derivada parcial de la energia de deformacion
total interna con respecto a la carga aplicada”.
Esta ecuación es la expresion matematica del primer teorema
de castigliano que puede enunciarse de la siguiente manera:
El teorema de Castigliano nos permite resolver estructuras isostáticas e
hiperestáticas; para las armaduras, vigas o pórticos se tienen a continuación las
siguientes formulas del calculo de los desplazamientos (di) en la dirección de la
carga (Pi) requerida
SEGUNDO TEOREMA DE
CASTIGLIANO
“La componente de deflexión del punto de aplicación de una acción sobre una
estructura, en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera
derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la
acción aplicada”
El teorema es aplicable tanto a
fuerzas como a momentos
obteniéndose en el primer caso la
componente de deflexión en la
dirección de la fuerza y en el
segundo la rotación en el plano del
momento
El teorema dice:
Para la siguiente viga se tiene
que es inderterminada de grado
1 ( tiene una redundante) y se
desea obtener las posibles
estructuras primarias.
Del 7.36 al 7.37 Use el metodo del trabajo victual para establecer la deflexion
vertical en el nodo C del marco mostrado
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  • 1. PRIMER Y SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
  • 2. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CANCÚN. CARRERA EN CURSO: INGENIERÍA CIVIL. TURNO VESPERTINO. ASIGNATURA: ANÁLISIS ESTRUCTURAL. DOCENTE: LEOPOLDO ALBERTO JUSTINIANO. TEMA: PRIMER TEOREMA Y SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO. NOMBRES DE LOS INTEGRANTES DEL EQUIPO: • ARGUELLO LORIA NELLY SARAHÍ. • CARMONA PÉREZ ALICIA ITZEL. • CORONEL LANDERO YAEL ROGELIO. • GARCIA PÉREZ AURIA GABRIELA. • VELÁZQUEZ SÁNCHEZ JOSÉ LUIS.
  • 3. Carlos Alberto Castigliano (1847-1884), un ingeniero italiano, conocido por sus aportaciones en el estudio de las estructuras estáticamente indeterminadas, publicó alrededor de 1879, dos teoremas relacionados con tales estructuras que en la actualidad se conocencomo el Primero y Segundo Teoremas de Castigliano. El primer Teorema trata de las relaciones entre cargas y desplazamientos con la energía interna de deformación en estructuras elásticas lineales. El segundo teorema, conocido también como Método del Trabajo Mínimo, se aplica en el análisis de estructuras indeterminadas, particularmente armaduras, vigas continuas y marcos rígidos. Introducción
  • 5. DEFINICIONES DEL PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO El teorema de Castigliano proporciona una técnica para determinar pendientes y deflexiones en vigas y marcos utilizando derivadas parciales de la energía interna de la deformación, así como un método poderoso para resolver problemas que involucran estructuras estáticamente indeterminadas; particularmente estructuras articuladas con un número grande de indeterminación.
  • 6. Este teorema cómo los otros incorporan los principios de la energía de la deformación y son notablemente semejantes al método de la carga virtual o de la carga unitaria. El primer teorema de Castigliano define que en un sistema elástico lineal, la derivada parcial de la energía de deformación respecto de una de las cargas es igual al desplazamiento correspondiente a dicha carga. El teorema se escribe: "La primera derivada parcial de la energía de deformación total de la estructura, con respecto a una de las cargas aplicadas, es igual al desplazamiento en el sentido de la carga."
  • 7. Para estructuras sometidas a flexión, (vigas y marcos) el teorema se expresa de la siguiente manera: Desplazamiento lineal en el punto de aplicación de la carga. Giro o rotación del punto donde se aplica un momento M. Ecuación de momentos a lo largo de la estructura. Rígidos a la flexión. Módulo elástico por momento de inercia de la seción. Significa derivada parcial. Dónde:
  • 8. Dónde: r= Radio del arco. Ecuación de momentos a una abertura θ.
  • 9. Cuando se busca un desplazamiento lineal en un punto de la estructura debe colocarse una carga puntual "P" en ese punto y en la dirección deseada. Cuando se busca un giro o rotación, se coloca unmomento de intensidad "M". Cuando P y M existen en el punto debe sustituirse su valor después de haber derivado e integrado. Si P y M no existen en ese punto, entonces su valor es cero, pero debe sustituirse después de haber derivado e integrado.
  • 10. Dónde: S= Fuerza interna en las barras de la armadura para la carga aplicada y para la carga P. L= Longitud de cada barra de la armadura. AE= Rigidez axial de las barras; Área por Módulo elástico. P= Carga puntual, real o imaginaria. En algunos casos es conveniente que primero se obtengan las ecuaciones de momento para las cargas reales y después para la carga P, o el momento M y luego se suman por superposición. Lo mismo para las armaduras, primero se obtienen las fuerzas internas para la carga real y luego para la carga P. La aplicación de este teorema requiere que la estructura sea estable y estáticamente determinada.
  • 11. Vamos a demostrar el Primer Teorema de Castigliano considerando la viga de la siguiente figura, las fuerzas P1 y P2 se han aplicado a la viga gradual y simultáneamente. FORMULA
  • 12. Supóngase ahora que P1 se incrementa en dP, mientras que P, se mantiene constante cómo se indica en la Fig. b. la deflexión en el punto de aplicación de P1 se incrementa en d△1 con respecto a P. es: Por analogía si queremos el cambio de deflexion en el punto de aplicación de dP2 que se produjo por el cambio dP1, encontramos: Por el principio del trabajo real TRABAJO EXTERNO = ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION
  • 13. El término (dA, dP1/2) se desprecia debido a que es un termino de orden superior la ecuación d) puede entonces simplificarse usando las ecuaciones b) y c). La variacion de la energía en la ecuacion a) por la adición de es:
  • 14. Restando la ecuación f) de la ecuacion e) obtenemos: Tomando la derivada parcial respecto a P. se obtiene: Pero según la ecuación a):
  • 15. “La deflexion de una estructura en el punto de aplicación de la misma dirección de una fuerza aplicada se obtiene calculando la primera derivada parcial de la energia de deformacion total interna con respecto a la carga aplicada”. Esta ecuación es la expresion matematica del primer teorema de castigliano que puede enunciarse de la siguiente manera:
  • 16. El teorema de Castigliano nos permite resolver estructuras isostáticas e hiperestáticas; para las armaduras, vigas o pórticos se tienen a continuación las siguientes formulas del calculo de los desplazamientos (di) en la dirección de la carga (Pi) requerida
  • 17.
  • 18.
  • 19.
  • 20.
  • 21.
  • 23. “La componente de deflexión del punto de aplicación de una acción sobre una estructura, en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada” El teorema es aplicable tanto a fuerzas como a momentos obteniéndose en el primer caso la componente de deflexión en la dirección de la fuerza y en el segundo la rotación en el plano del momento
  • 24.
  • 25.
  • 26. El teorema dice: Para la siguiente viga se tiene que es inderterminada de grado 1 ( tiene una redundante) y se desea obtener las posibles estructuras primarias.
  • 27.
  • 28.
  • 29.
  • 30.
  • 31.
  • 32.
  • 33.
  • 34.
  • 35. Del 7.36 al 7.37 Use el metodo del trabajo victual para establecer la deflexion vertical en el nodo C del marco mostrado EI= Constante E= 10.000ksi I = 8.160 in4