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1. Universidad Nacional Experimental de Guayana
Coordinación de Pregrado
Facultad de Ingeniería En Informática
Programación Dinámica Lineal y Entera
Ejercicios Resueltos de M Grande
PASOS: 1. Pasar a la forma estándar el Modelo Matemático 2. Agregar variable artificial donde no hay variable de holgura 3.Penalizar las variables artificiales en la función objetivo asignando coeficiente positivo muy grande "M" (minimizar = +M, maximizar= -M) 4.Quitar las "m" de la columna artificial, ya teniendo solución inicial 5.Se aplica el Método Simplex
1. EJERCICIOS:
Maximizar z= 3x1 + 5x2 x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1+2x2=18 x1, x2 ≥ 0 *La función objetivo se debe penalizar con -M, por ser maximización y para hacer z=0 por lo tanto: z= 3x1 + 5x2 -M, entonces: z-3x1-5x2+M= 0 x1 + H1 = 4 2x2 +H2 = 12 3x1 + 2x2 + A1 = 18

2. (-MR4+R1) -3R2+R4; (3M+3)R2+R1 R4(-2)+R3 ; R4 (2M+5)+R1 R3(-1)+R2 ; R3 (9/2)+R1 ; R3(3/2)+R4 Solucion: x= 2 x2=6 H1=2
x1 + H1 = 4 2x2 + H2 = 12 3x1+2x2 +A1 = 18
Entonces: 2+2 = 4

3. 2(6) + 0 = 12 3(2) + 2(6) +0 =18
2. EJERCICIO:
Minimice Z= 4X1 + X2
La forma estándar se obtiene restando un superávit X3 en la segunda restricción y añadiendo una holgura X en la tercera restricción. Por tanto obtenemos
Minimice Z= 4X1 +X2
La primera y segunda ecuación no tiene variables que desempeñen el papel de holguras. Por consiguiente, utilizamos las variables R1 y R2 en estas dos ecuaciones y las penalizamos en la función objetivo con MR1 + MR2. La PL resultante se da como
Minimice Z=4X1 +X2 + MR1 + MR2

4. En el modelo modificado, ahora podemos utilizar R1, R2 y X4 como la solución básica factible inicial como lo demuestra la siguiente tabla simplex
Antes de proceder con los cálculos del método simplex, necesitamos hacer que el renglón -Z sea consistente con el resto de la tabla simplex. De manera específica, el valor de z asociado con la solución básica inicial R1 = 5, R2 6, y X4 = 4 debe ser 3M + 6M + O = 9M en vez de O, como se muestra en el lado derecho del renglón -Z. Esta inconsistencia se debe al hecho de que R, y R2 tienen coeficientes no cero (-M, -M) en e! renglón -Z Estas inconsistencias se eliminan sustituyendo R1 y R2 en el renglón -Z, utilizando las ecuaciones apropiadas de restricción.
En particular, observe los elementos “1” realzados en el renglón -R1 y en el renglón -R2. Multiplicando cada uno de los renglones –R1 y de los renglones -R2 por M y añadiendo la suma al renglón -Z, efectivamente se sustituirá a R1 y R2 en el renglón objetivo. Podemos resumir este paso como

5. Nuevo renglón Z= Antiguo renglón Z + M x (Renglón R1) + M x (Renglón R2) Esto se aplica como
3. EJERCICIO:
Maximizar: Z3x1+5x2 X1≤4 *con signos mayor que o menor que agrego holgura 2x2≤12 3x1+2x2=18 *con signo = agrego artificial X1 X2 ≥0 La función objetivo se debe panalizar con -MA1, por ser maximización y para hacer a z=0 por lo tanto, Z-3X1-5X2+MA1=0 Entonces las restricciones quedarían: X1+H1=4 2X2+H2=12 3X1+2X2+A1=18

6. 4. EJERCICIO:

7. Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:

8. V.B.
Z
X1
X2
X3
S1
S2
R1
Solución
Z
1
-3
-2
-4
0
0
-M
0
R1
0
2
2
3
-1
0
1
15
S2
0
2
3
1
0
1
0
12
V.B.
Z
X1
X2
X3
S1
S2
R1
Solución
Z
1
-3+2M
-2+2M
-4+3M
-M
0
0
15M
R1
0
2
2
3
-1
0
1
15
S2
0
2
3
1
0
1
0
12
Criterio para seleccionar la variable entrante:
Maximización : El valor mayor negativo del renglón Z.
Minimización : El valor mayor positivo del renglón Z.
V.B.
Z
X1
X2
X3
S1
S2
R1
Solución
Z
1
-1/3
2/3
0
-4/3
0
4/3-M
20
X3
0
2/3
2/3
1
-1/3
0
1/3
5
S2
0
4/3
7/3
0
1/3
1
-1/3
7
V.B.
Z
X1
X2
X3
S1
S2
R1
Solución
Z
1
-5/7
0
0
-10/7
-2/7
10/7-M
18
X3
0
2/7
0
1
-3/7
-2/7
3/7
3

9. X2
0
4/7
1
0
1/7
3/7
-1/7
3
5. EJERCICIOS:
Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:

10. Maximizar
Sujeto a:
Maximizar
Sujeto a:
V.B.
Z
X1
X2
S1
S2
R1
R2
Solución
Z
1
-4
-1
0
0
M
M
0
R1
0
3
1
0
0
0
0
3
R2
0
4
3
-1
0
1
1
6
S2
0
1
2
0
1
0
0
3
V.B.
Z
X1
X2
S1
S2
R1
R2
Solución
Z
1
-4-7M
-1-4M
M
0
0
0
-9M
R1
0
3
1
0
0
0
0
3

11. R2
0
4
3
-1
0
1
1
6
S2
0
1
2
0
1
0
0
3
V.B.
Z
X1
X2
S1
S2
R1
R2
Solución
Z
1
0
1/3- 5/3M
M
0
4/3+7/3M
0
4-2M
X1
0
1
1/3
0
0
1/3
0
1
R2
0
0
5/3
-1
0
-4/3
0
2
S2
0
0
5/3
0
1
-1/3
1
2
V.B.
Z
X1
X2
S1
S2
R1
R2
Solución
Z
1
0
0
1/5
0
8/5+M
-1/5+M
18/5
X1
0
1
0
1/5
0
3/5
3/5
R2
0
0
1
-3/5
0
-4/5
3/5
6/5
S2
0
0
0
1
1
1
-1
1

12. 6. EJERCICIO

13. 7. EJERCICIO
Resuelva el siguiente modelo de programación lineal aplicando la Técnica de la Gran M. Max. Z= 2X1 + X2 s.a. X1 + X2 = 4 -X1 + 2 X2 = 2 X1, X2  0 Penalización. Max. Z= 2X1 + X2 –MW1 – MW2 s.a. X1 + X2 + W1 = 4 -X1 + 2 X2 + W2 = 2 X1, X2, W1, W2  0 Igualamos a 0 la función objetivo. Z = 2X1 + X2 –MW1 – MW2

14. Z -2X1 - X2 +MW1 + MW2 = 0