Civil

1. CALCULO DE REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO EN
VIGAS HORIZONTALES CON CARGAS TRIANGULARES Y
TRAPEZOIDALES CON CEINCI-LAB
Verónica A. Calderón.
Estudiante Ingeniería Civil, Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE, Ecuador.
vacalderon@espe.edu.ec.
Roberto R. Aguiar.
Profesor Ingeniería Civil, Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE, Ecuador.
rraguiar@espe.edu.ec
Abstract — Soliciting load beam toward the slab, may
be trapezoidal, triangular, considering that this is a
rectangular slab, calculating perfectly embedded reactions
can be carried out such that the load (Triangular or
trapezoidal) or the equivalent rectangular load. Use of
Ceinci-Lab Program helps us optimize results.
Keywords —Equivalent loads, trapezoidal load,
triangular load, shape functions, two-way slab.
Resumen — La solicitación de cargas de la losa hacia la
viga puede ser de forma trapezoidal y triangular tomando en
cuenta que esta losa sea de forma rectangular, el cálculo de las
reacciones de empotramiento perfecto se puede llevar a cabo con
la carga tal cual (Triangular o trapezoidal) o con la carga
equivalente rectangular. El uso del Programa Ceinci -Lab nos
ayuda a optimizar resultados.
Palabras Claves — Cargas equivalentes, carga
trapezoidal, carga triangular, funciones de forma, losa
bidireccional.
1. Introducción
n las estructuras de hormigón armado, salvo en
casos especiales, las losas con las vigas forman
un todo monolítico, lo cual contribuye a la resistencia
a la flexión.
Tenemos varios tipos de vías, como son las
rectangulares vigas tipo T y tipo L.
Para el cálculo de vigas es necesario seguir los
siguientes pasos:
 Calculo de cargas Actuantes
 Determinación de luces.
 Determinación de condiciones de apoyo y
continuidad
Con estos tres precedentes podemos proceder al
cálculo o pre dimensionamiento de vigas.
2. Cargas Actuantes en Vigas
Las cargas que se ejercen en una viga pueden ser de
dos tipos:
 Cargas Distribuidas
 Cargas Puntuales
Las cargas distribuidas incluyen el peso propio de la
viga y la carga transmitida de la losa hacia la viga.
También el peso de muros o mampostería que se
apoya directamente en la viga.
La transmisión de la carga de la losa a la viga se puede
dar de dos formas.
La primera será teniendo en cuenta cuando la losa en
unidireccional, en este caso la transición de cargas
será de forma distribuida y dividiéndose en mitad para
cada viga. Este caso es en losas continuas, es de una
forma casi exacta pero ayuda a no complicar el
cálculo.
La segunda forma es cuando se tiene una losa
bidireccional la solicitación de cargas de la losa hacia
la viga es de forma diferente.
Para este caso tenemos una losa apoyada en sus cuatro
lados, en forma gradualmente creciente hasta su
rotura, las primeras fisuras aparecen en la zona central,
donde son mayores los momentos elásticos.
Al avanzar el proceso de carga las nuevas fisuras se
van orientando a lo largo de ciertas líneas que se
E

2. 2
dirigen a las esquinas, que en el caso de losas
simplemente apoyadas en sus cuatro bordes tienen una
inclinación de 45º respecto de los bordes de la losa.
Como consecuencia de esta fisuración la losa queda
dividida en cuatro partes. Como se muestra a
continuación.
Imagen 1: Distribución de cargas
Si se desprecian las deformaciones elásticas, frente a
las deformaciones plásticas, se puede admitir de forma
simple, que las partes de la losa entre líneas de rotura
quedan planas y, por consiguiente, sus intersecciones,
es decir, las líneas de rotura, son rectas.
Las deformaciones de las losas consisten pues,
únicamente en rotaciones de unas partes, en relación
con otras rotaciones que tienen lugar a lo largo de las
líneas de rotura y de las líneas de apoyo (bordes de la
losa).
Es bueno destacar que en el instante último (colapso),
el momento flector máximo está repartido a lo largo
de estas líneas de rotura de una manera constante y es
precisamente, igual al momento de rotura interno.
3. Cargas Triangulares y Trapezoidales
Las cargas triangulares para vigas siempre serán en la
luz más corta y las cargas trapezoidales serán en la luz
larga.
Teniendo como resultado los estados de cargas
definidos en la Imagen 2 e Imagen 3.
La solución se llevara a cabo de dos maneras, con el
uso de las funciones de forma (Aguiar) y usando
cargas equivalentes.
3.1. Ecuaciones
Calculo de cortante y momento de empotramiento de
la carga triangular.
 Calculo del Cortante
Usando las funciones de forma tenemos:
푉 = ∫ 푃(푦) ∙ 휙2 푑푥
푉′ = ∫ 푃(푦) ∙ 휙5 푑푥
Para este cálculo tendremos dos tramos de la carga.
 Primer tramo: 표 < 푥 < 퐿/2
푃(푦) =
2푃표 푋
퐿
 Segundo Tramo:
푙
2
< 푥 < 퐿
푃2(푦) = 2푃표 −
2푃표
퐿
푋
El cortante se calcula:
퐿
2
푉 = ∫ 푃(푦)
0
퐿
휙2 + ∫ 푃2(푦)
퐿
2
휙2
퐿
2
푉′ = ∫ 푃(푦)
0
퐿
휙5 + ∫ 푃2(푦)
퐿
2
휙5
Teniendo como resultado
푉 =
1
4
푃표 퐿
푉´ =
1
4
푃표 퐿
Calculo del momento:
퐿
2
푀 = ∫ 푃(푦)
0
퐿
휙3 + ∫ 푃2(푦)
퐿
2
휙3
퐿
2
푀′ = ∫ 푃(푦)
0
퐿
휙6 + ∫ 푃2(푦)
퐿
2
휙6
Obteniendo:
푀 =
5
96
푃표 퐿2

3. Ingeniería Civil
3
푀´ =
5
96
푃표퐿2
Calculo de cortante y momento de empotramiento de
la carga trapezoidal.
 Calculo del Cortante
Usando las funciones de forma tenemos:
푉 = ∫ 푃(푦) ∙ 휙2 푑푥
푉′ = ∫ 푃(푦) ∙ 휙5 푑푥
Para este cálculo tendremos dos tramos de la carga.
 Primer tramo: 표 < 푥 < 푎
푃(푦) =
푃표 푋
푎
 Segundo Tramo: 푎 < 푥 < 퐿 − 푎
푃2(푦) = 푃표
 Tercer Tramo: 퐿 − 푎 < 푥 < 퐿
푃3(푦) =
푃표 퐿
푎
−
푃표
푎
푋
El cortante se calcula:
푎
푉 = ∫ 푃(푦)
0
퐿−푎
휙2 + ∫ 푃2(푦)
푎
퐿
휙2 + ∫ 푃3(푦)
퐿 −푎
휙2
푎
푉′ = ∫ 푃(푦)
0
퐿−푎
휙5 + ∫ 푃2(푦)
푎
퐿
휙5 + ∫ 푃3(푦)
퐿−푎
휙5
Teniendo como resultado
푉 =
1
2
푃표 퐿 ∗ (1 −
푎
퐿
)
푉´ =
1
2
푃표 퐿 ∗ (1 −
푎
퐿
)
Calculo del momento:
푎
푀 = ∫ 푃(푦)
0
퐿−푎
휙3 + ∫ 푃2(푦)
푎
퐿
휙3 + ∫ 푃3(푦)
퐿−푎
휙3
푎
푀′ = ∫ 푃(푦)
0
퐿−푎
휙6 + ∫ 푃2(푦)
푎
퐿
휙6 + ∫ 푃3(푦)
퐿−푎
휙6
Obteniendo:
푀 =
푃표퐿2
12
푎
퐿
[1 − 2 (
2
+ (
)
푎
퐿
3
]
)
푀´ =
푃표 퐿2
12
푎
퐿
[1 − 2 (
2
+ (
)
푎
퐿
3
]
)
Modelo aproximado de carga
Las cargas tanto trapezoidal y triangular pueden ser
transformadas a una carga equivalente rectangular.
Carga Triangular
푊 =
푃표푆
3
Siendo;
W La carga rectangular equivalente.
푃표 La carga inicial en [
푇
푚2]
S Luz curta [m]
Carga Trapezoidal
푊 =
푃표푆
3
3 − (
(
푠
퐿
2
)
2
)
Siendo;
W La carga rectangular equivalente.
푃표 La carga inicial en [
푇
푚2]
S Luz curta [m]
L Luz larga [m]
Con esto podemos calcular el cortante y el momento.
푉 = ∫ 푊 ∙ 휙2 푑푥
푉′ = ∫ 푊 ∙ 휙5 푑푥
푀 = ∫ 푊 ∙ 휙3 푑푥
푀′ = ∫ 푊 ∙ 휙6 푑푥
3.2. Fórmulas de Funciones de Forma
휙2 = 1 − 3
푥2
퐿2 + 2
푥3
퐿3
휙3 = 푋 (1 −
푥
퐿
2
)
휙5 =
푋2
퐿2 (3 −
2푋
퐿
)
휙6 = −
푋2
퐿
(1 −
푋
퐿
)

4. 4
3.3. Figuras
Imagen 2: Carga Triangular
Imagen 3: Carga Trapezoidal
Imagen 4: Carga Equivalente rectangular
4. Programación en Matlab
La modificación del programa cargas que se encuentra
incluido en el programa general Ceinci-Lab.
Código modificado Programa cargas
if icod==2 & seno(i)==0 %CARGA
TRIANGULAR EN ELEMENTO HORIZONTAL
Q2(i,2)=P*L(i)/4;Q2(i,5)=Q2(i,2);%Posici
ón de los cortantes V y V'
Q2(i,3)=5*P*L(i)^2/96;Q2(i,6)=-Q2(i,3);
%posición de los momentos M y M
end
if icod==3 & seno(i)==0
%CARGA TRAPEZOIDAL EN ELEMENTOHORIZONTAL
a=input('Ingrese el valor de la longitud
a: ')
Q2(i,2)=P*L(i)/2*(1-a/L);%Posicion de
los cortantes V y V'
Q2(i,3)=P*L(i)^2/12*(1-2*(a/L(i))^2
+(a/L(i))^3);Q2(i,6)=-Q2(i,3); %posición
de los momentos M y M'
end
5. Conclusiones
El cálculo de momentos de empotramiento perfecto
nos ayuda a determinar la geometría de la estructura
necesaria para dicha solicitación de carga.
Las funciones de forma es una forma fácil y confiable
del cálculo de reacciones.
El uso del Programa Ceinci-Lab nos optimiza el
tiempo de cálculo, siendo de gran utilidad.
6. Referencias Bibliográficas
[1] Aguiar, R. (2004). Análisis Matricial de
Estructuras. Quito: Universidad de las Fuerzas
Armadas-Espe.
[2] Paulay T. & Park R. (1986). Estructuras de
concreto reforzado. México: Limusa.
[3] Gonzales O. (1979). Aspectos Fundamentales
Concreto Reforzado. México: Limusa.