Ecuación de-difusividad

1. Flujo de fluidos en medios porosos.
63 Ing. Gabriel J. Colmont
Masa del fluido que entra
al VE en una unidad de
tiempo, a la distancia r+dr
desde el pozo, (q) r+dr
Masa del fluido que sale
del VE en una unidad de
tiempo, a la distancia r
desde el pozo, (q) r
CAPITULO III
LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA LÍQUIDO LIGERAMENTE
COMPRESIBLE
3.1. DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL RADIAL BÁSICA DE
FLUJO EN MEDIOS POROSOS EN UNIDADES DE CAMPO, USADA PARA
MODELAR SISTEMAS DE FLUJO DEPENDIENTES DE TIEMPO.
Fig. 3.1. Modelo de celda radial
1. VE = volumen elemental poroso de la roca lleno con fluidos (zona sombreada)
Las condiciones generales del proceso de flujo en medios porosos son que tanto la roca
como los fluidos no son del todo incompresibles: q,  y  son f(p).
2. VE = 2rdrh
dr
h
3. 






tiempo
masa
t
M
q
L
M
t
L
q  3
3
4. Aplicando un balance de masa a la celda radial (volumen elemental), asumiendo que
solo un fluido se mueve en el yacimiento, por ejemplo: petróleo. El agua y/o gas
pueden estar presentes pero inmóviles.
5.
- =
Cambio de masa del fluido
dentro del VE en una unidad
de tiempo,
t

(VE)
2r 

2. Flujo de fluidos en medios porosos.
64 Ing. Gabriel J. Colmont
POZO
6.  Erdrr V
t
qq 


 )()(
    rdrh
t
qdrq
r
q rr 2.)()(






Ec. de balance:    
t
rdrhdrq
r 




2 Ec. 3.1
Si q viene dado en rb/d,  en lbm/pie3
, r & h en pies, t = horas, entonces, en unidades
consistentes de campo la ecuación de balance es:
 
t
rdrhdrq
r 









2
24
615.5
.
Simplificando dr
Ec. de continuidad  
t
rhq
r 









2
24
615.5
. Ec. 3.2
Aquí q,  y  son variables que dependen de presión y esta última varía con tiempo y
espacio.
A efectos de encontrar una ecuación diferencial que pueda resolverse analíticamente en
términos de presión cuya solución sea:
p = f(r,t)
es necesario hacer unas sustituciones y asunciones de modo de dejar la ecuación
diferencial expresada en términos de presión.
Darcy puede aplicarse para sustituir q en la ecuación de continuidad:
r
pkA
q


 

3
10127.1 Flujo radial horizontal
rw r dr
Sale q r Entra q r+dr
Derivadas parciales por cuanto q, ,  varían
con presión y esta, con distancia r y tiempo t.

3. Flujo de fluidos en medios porosos.
65 Ing. Gabriel J. Colmont
 
r
prhk
q


 

2
10127.1 3
unidades:
q = rb/d r = pies
k = md  = cp
h = pies p = psi
reemplazando en la ecuación de continuidad,
   


t
rh
r
prhk
r 












 
2
24
615.52
10127.1 3
 


t
rh
r
p
r
k
r
h












 20002637.02
Simplificando y arreglando se tiene
 

.
0002637.0
1
.
1
tr
p
r
k
rr 











Asumiendo k,  constantes
 


tkr
p
r
rr 











0002637.0
11
Ampliando el término del lado izquierdo











r
p
r
rr
1
Derivando por partes:  &
r
p
r


y aplicando la regla de la cadena:
r
p
pr
p
r
p
r
rr
rr
p
r
r
r
p
r
rr
































El miembro del lado derecho de la ecuación de continuidad también se puede expandir:
 
 
  





































t
p
pt
p
pt
t
p
pt
p
pt
ttt













11
.
.
.
Por otro lado se puede usar una ecuación de estado; del inglés: EOS (equation of state),
que relacione  con presión:

4. Flujo de fluidos en medios porosos.
66 Ing. Gabriel J. Colmont
3.2. COMPRESIBILIDAD
TT
pp
V
V
c 


















11
, a temperatura constante Ec. 3.3




dcdppc
11
 ,
V
p
V


P
Para un fluido de compresibilidad pequeña y asumiendo b como la densidad a una
presión baja, podemos integrar y obtener,
 



bb
ddpc
p
p
1
, asume c = constante
  






b
bppc


ln
 
  bb
ppc
b ppce b
 
exp
Esta es una EOS, que asume c pequeña y constante.
Derivando  con respecto a presión
  




c
p
ppcc
p
bb






exp
Definimos compresibilidad del volumen poroso, cf:
Vp
Tratando la derivada parcial como una
derivada total, en consideración a que el
sistema es isotérmico
Ligeramente compresible
Muy compresible
Medianamente compresible
p

5. Flujo de fluidos en medios porosos.
67 Ing. Gabriel J. Colmont
 
pp
V
Vp
V
V
c b
b
p
p
f













111
Ec. 3.4
y la compresibilidad total como: ft ccc 
donde c es la compresibilidad de los fluidos presentes en el espacio poroso.
Para un medio poroso saturado genéricamente con petróleo, gas y agua, la
“compresibilidad del fluido” es:
wwggoo ScScScc  Ec. 3.5
es decir la compresibilidad de cada fluido presente ponderada por su respectiva
saturación.
Volviendo a la ecuación de continuidad
 

 .
0002637.0
.
1
tkr
p
r
rr 











expandiendo el lado izquierdo y derecho, e introduciendo la EOS
t
p
c
kr
p
c
r
p
r
rr
t
p
pt
p
pkr
p
pr
p
r
p
r
rr
t






























































0002637.0
11
0002637.0
2
Asumiendo que, para flujo radial de un fluido de compresibilidad pequeña y constante,
2








r
p
c es insignificante comparado con los otros términos, obtenemos
t
p
r
p
r
rr 












11
, Ec. 3.6
donde:
hr
pie
c
k
t
2
,0002637.0

 
eta
Ecuación de difusividad para
flujo de líquidos
Constante de difusividad
hidráulica