El documento describe las diferentes curvas cónicas que pueden resultar de cortar un cono circular recto con un plano, incluyendo elipses, parábolas, hipérbolas y casos degenerados. Explica cómo usar la ecuación general de segundo grado y el discriminante para identificar el tipo de curva cónica representada por una ecuación, y proporciona ejemplos resueltos.

1. SECCIONES CÓNICAS
Cuando un plano corta a un cono circular recto de dos mantos, la sección que resulta de
dicho corte determina ciertas curvas llamadas cónicas.
Si el plano que corta no pasa por el vértice del cono, la sección que resulta es una
elipse (o circunferencia), una parábola o una hipérbola y reciben el nombre de
cónicas regulares.
Si el plano que corta pasa por el vértice del cono, la sección resultante puede
consistir en un punto, dos rectas que se cortan, dos rectas coincidentes o una curva
imaginaria y reciben el nombre de cónicas degeneradas.

2. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
Para determinar el tipo de cónica, se utiliza la ecuación general de segundo grado, de la
forma:
Si en la ecuación general de segundo grado, el coeficiente B=0, la ecuación resultante es:
Si A y C son iguales a cero, será una línea recta.
Ecuación que queda:
Ejemplos:
6x - 2 = 0
4x + 5y + 3 = 0
Si A=0 ó C=0 será una parábola.
Ecuación que queda:
ó
Ejemplos:
X2 - 4y = 0
Y2- 4x + 8 = 0
X2 + 12y - 24 = 0
Si A y C tienen el mismo signo y son mayores a cero será una elipse.
Ecuación que queda:
Ejemplos:
5x2 + 3y2 + 15 = 0
3x2 + 2y2 - 24x + 6y = - 60
Si A=C y son diferentes de cero será una circunferencia.
Ecuación que queda:
Ejemplos:
6x2 + 6y2 = 36
5x2 + 5y2 - 10x + 15y - 24 = 0

3. Si A y C son de signos contrarios y su producto es menor a cero será una hipérbola.
Ecuación que queda:
Ejemplos:
X2 – y2 = 8
5x2 - 4y2 + 2x - 1 = 0
D y E indican que el centro de la cónica (si existe), está fuera de las coordenadas, si
D=0, el centro está a la derecha del eje “y”, si E=0 está sobre el eje “X”.
F (término independiente) indica que la cónica no pasa por el origen, si F=0 si pasa
por el origen.
Los ejes de estas cónicas serán paralelos a los ejes coordenados “X,Y”
Sin embargo, también podemos identificar el tipo de cónica en base a los coeficientes de la
ecuación general de segundo grado, utilizando el discriminante o invariante, así:
Si , se trata de una parábola (o como en caso degenerado un par de
rectas paralelas o coincidentes)
Si , se trata de un elipse (o como en caso degenerado un punto)
Si , se trata de una hipérbola (o como en caso degenerado un par de
rectas que se cortan)
D y E indican que el centro de la curva (si existe) está fuera del origen, si D=0 el
centro está a la derecha del eje “Y”, si E=0, estará sobre el eje “X”
El término independiente F indica que la curva no pasa por el origen, si F=0, la
curva si pasa por el origen.
Los ejes de estas cónicas son oblicuos respecto a los ejes “X,Y”

4. EJERCICIOS
Determinar qué tipo de curva representa la ecuación 3x2 + 4y2 + 36x − 24y + 36 = 0
Según la forma general de la ecuación de segundo grado los coeficientes son: }
A =3, B = 0 y C = 4; sustituyendo estos valores, el discriminante queda:
B2 - 4AC = 0 - 4 (3) 4 = - 12 (4) = - 48 < 0
Es decir que: D < 0
De acuerdo con el resultado la ecuación dada representa una elipse.
Identificar la curva correspondiente a la ecuación 7x2 − 14xy + 7y2 + 5x − 23y + 34 = 0
Los coeficientes son:
A = 7, B = - 14 y C = 7
Calculamos el discriminante:
B2 - 4AC = (-14)2 - 4 (7) 7 = 196 - 198 = 112 = 0
Como: D = 0
La ecuación dada corresponde a una parábola.
Determinar a qué tipo de curva corresponde la ecuación x2 − xy − 3x + 2y + 4 = 0
Los coeficientes en este caso son:
A = 1; B = - 1 y C = 0
Calculando el discriminante:
B2 - 4AC = (- 1)2 - 4 (1) (0) = 1 - 0 = 1 > 0
Como: D > 0
La ecuación representa a una hipérbola.

5. Hallar la naturaleza de la curva representada por 4x2− 4xy + y2− 6x+ 3y+ 2 = 0
De la ecuación tenemos que:
A = 4, B = -4 y C = 1
Sustituyendo según el discriminante:
D = B2 - 4AC = (4)2 - 4 (4) (1) = 16 - 16 = 0
D=0
Por el resultado puede ser una parábola.
Pero agrupando los términos, la ecuación dada se puede descomponer en factores, como
veremos enseguida:
(4x2 - 4xy + y2) - 3 (2x - y) + 2 = 0
(2x - y)2 - 3 (2x - y)+ 2 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado por el método de factorización:
(2x - y) (2x - y) - (2x - y) - 2 (2x - y) + 2 = 0
Factorizando por agrupación:
(2x - y) [(2x - y) - 1] - 2[(2x - y) - 1]=0
(2x - y -1) (2x - y - 2) = 0
El resultado nos demuestra que son dos rectas paralelas:
2x - y - 1 = 0 y 2x - y - 1 = 0
Bibliografía:
LEHMANN Charles, “Geometría Analítica”, Editorial Limusa S.A, Decimotercera
edición, México, 1989, pp. 212- 236.
CALVACHE, “Geometría”, Editorial …., México, 2010
Web grafía:
http://www.prepa5.unam.mx/profesor/publicacionMate/11VII.pdf
http://www.esnips.com/displayimage.php?album=&cat=0&pid=7994647
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/Ecuaciones_2grado.html
http://geometriatotal.blogspot.com/2011/11/ecuacion-general-de-segundo-grado.html