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Lectura de Cónicas
Sabés cuáles son las cónicas y por qué se 
llaman así? 
Las cónicas son curvas que se obtienen como 
intersección de un cono y un plano: 
circunferencia elipse parábola hipérbola 
Las cónicas son entonces curvas planas. 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 2
Seguramente muchas veces dibujaste 
una circunferencia. Con qué elementos? 
Sí, claro fijando un punto que será su centro y una medida 
positiva que será su radio (ya sea que la hayas dibujado con un 
compás o con otros objetos más “caseros”) 
r = radio ( es la medida 
de este segmento) 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 3 
centro 
Los puntos de la circunferencia son los que están a distancia r 
de un punto fijo llamado centro.
El punto (4,6) está en la circunferencia 
de centro (3,5) y radio 1,4? 
Qué te parece?, cómo harías para poder responder a esta 
pregunta? ¿alcanza con que dibujes con un compás la 
circunferencia?, si no lo hiciste, hacelo…el punto (4,6) está en la 
circunferencia?, que respondiste?, que sí?............ 
¿te quedan dudas?, ¿cómo podrías hacer para resolver esta 
situación y que no queden dudas? 
¡¡Este es un gran momento!!: 
graficar una situación no siempre resuelve las situaciones 
que se nos plantean, por ello, como en este caso, es 
necesario trabajar con la definición de circunferencia para 
obtener una herramienta que permita resolver esta 
situación 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 4
Cómo se establece una condición que satisfacen 
todos los puntos de esa circunferencia y sólo 
ellos? 
La circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4 es el conjunto de todos los 
puntos del plano que están a distancia 1,4 del punto (3,5). Así que 
podemos decir, sin lugar a dudas que: 
El punto (x,y) es un punto de la circunferencia mencionada si y sólo si: 
Distancia((x,y), (3,5)) = 1,4 
Y por la definición de distancia entre dos puntos, esta ecuación es 
equivalente a las siguientes: 
(x - 3)2 + ( y - 5)2 =1,4 
(x - 3)2 + ( y - 5)2 = (1,4)2 
(x -3)2 +( y -5)2 =1,96 
Esta es la ecuación de 
la circunferencia de 
centro (3,5) y radio 1,4 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 5
Así, ahora es fácil resolver nuestro problema (el 
punto (4,6) está en la circunferencia de centro 
(3,5) y radio 1,4?) 
Cómo?, verificando si las coordenadas del punto (4,6) satisfacen la 
ecuación que obtuvimos: 
(4 - 3)2 + (6 - 5)2 =1,96 
Pero está claro que esta ecuación no se satisface, ya que el miembro 
de la izquierda es 2. 
Podemos ahora responder sin dudas que el punto (4,6) no es un punto 
de la circunferencia dada. 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 6
Así, la ecuación de la circunferencia con centro 
en el punto (a,b) y de radio r es: 
(x - a)2 + (y - b)2 = r2 
Esta es la ecuación 
estándar de la 
circunferencia con 
centro (a,b) y radio r 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 7
Si te doy las siguientes ecuaciones cuadráticas 
en x e y, podrías decirme en cada caso si se 
trata de la ecuación de una circunferencia? 
a) x2 + y2 - 2x + 3y = 0 
b) x2 + y2 - 2x + 3y = -4 
c) x2 + 1 y2 - x + y = 
2 3 0 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 8 
2
Voy a hacer los dos primeros casos y el último 
te lo dejo a vos (podés consultar con tu tutor) 
a) x2 + y2 - 2x + 3y = 0 
Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuación dada es 
equivalente a las siguientes: 
2 
÷ø 
2 ( 1) 3 3 3 
÷ø 
= 0 + ( - 1) + æ x - x + - + y + y + æ 
1 9 
( x - 1) + æ y + 
3 
ö çè 
13 
( x - 1) + æ y + 
3 
ö çè 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
2 
2 
de Ingeniería - UNLP 9 
2 2 2 
2 
2 
ö çè 
ö çè 
4 
2 
2 
2 + = ÷ø 
4 
2 
2 
2 = ÷ø 
Y esta es claramente la ecuación estándar de la circunferencia con centro 
(1, -3/2) y radio 
13 
2
b) x2 + y2 - 2x + 3y = -4 
Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuación dada es 
equivalente a las siguientes: 
2 
÷ø 
2 ( 1) 3 3 3 
÷ø 
= - 4 + ( - 1) + æ x - x + - + y + y + æ 
4 1 9 
( x - 1) + æ y + 
3 
ö çè 
3 
( x - 1) + æ y + 
3 
ö çè 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
2 
2 
de Ingeniería - UNLP 10 
2 2 2 
2 
2 
ö çè 
ö çè 
4 
2 
2 
2 + + - = ÷ø 
4 
2 
2 
2 - = ÷ø 
Y es claro que esta ecuación NO CORRESPONDE a una circunferencia!! 
¿¿podés expresar con claridad por qué???
Hasta aquí, tenés que tener en claro 
que la circunferencia: 
 Es una curva plana que se obtienen al cortar un cono circular recto con 
un plano (perpendicular al eje del cono) y tiene propiedades 
geométricas que la definen y permiten su trazado con elementos 
comunes (Un clavo un piolín y un lápiz, un compás, etc..) 
 Todos y sólo los puntos de una circunferencia, pueden caracterizarse a 
través de ecuaciones cuadráticas en x e y. La ecuación estándar de 
una circunferencia muestra con claridad cuál es el centro y el radio de 
la misma. 
 Las ecuaciones de las cónicas son útiles para reconocerlas, resolver 
situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc. 
 La completación de cuadrados y el reconocimiento de la ecuación 
estándar de una circunferencias son fundamentales a la hora de decidir 
si una ecuación cuadrática en x e y es la ecuación de una 
circunferencia. 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 11
Parábola es el conjunto de todos los puntos que están a igual distancia 
de un punto fijo, llamado FOCO y a una recta llamada DIRECTRIZ. 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 12 
La Parábola 
Elementos distintivos de una parábola: 
 La recta que pasa por el foco y es 
perpendicular a la directriz se llama 
eje de la parábola. El punto medio 
entre el foco y la directriz se denomina 
vértice. El vértice es el único punto de 
la parábola que pertenece a ese eje. 
 Por ejemplo, si tomamos como foco el 
punto F(0,p) (donde p es un número 
positivo) y como directriz, la recta 
y = -p, la parábola es la que aparece 
a la derecha.
No es tan conocido cómo graficar una 
parábola, por eso ahí va la receta: 
Para trazar una parábola necesitás: 
 una regla, 
 una escuadra, 
 un lápiz, 
 un piolín que tenga la medida exacta 
de un cateto de la escuadra. El piolín 
se sujeta al extremo del cateto que 
corresponde al ángulo agudo y 
 Un clavo o tachuela, que se clavará 
en el “foco” de la parábola y que 
sujetará el otro extremo del piolín. 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 13 
Mirá la figura e intentálo!!!!
La ecuación que corresponde a una parábola 
con directriz paralela al eje x y vértice en el 
origen (leé los detalles en el apéndice) es: 
y = x 
4 
2 
p 
y la parábola se ve como sigue 
según p sea positivo o negativo 
Si p > 0 Si p < 0 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 14
También podés ver en detalles que: 
La ecuación que corresponde a una parábola con directriz 
paralela al eje x y vértice en el punto (a,b) es: 
( ) 
4 
2 
p 
y - b = x - a 
La ecuación que corresponde a una parábola con directriz 
paralela al eje y y vértice en el punto (a,b) es: 
( ) 
4 
2 
p 
x - a = y -b 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 15
Ejercicio: Trazar la gráfica y hallar la ecuación 
canónica de la parábola con vértice en (– 2, 4) y 
foco en el punto (– 2, 3). 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 16 
Gráficamente: 
Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola 
es vertical y tiene ecuación x = – 2 , además abre hacia abajo ya que p 
= – 1 , entonces se sabe que la directriz tiene ecuación y = 5. La 
ecuación normal o canónica de la curva dada es y – 4 = – 1/4 (x + 2)2.
La elipse, cómo puedo trazar una? 
 Una elipse es el conjunto de los puntos del plano tales que la suma 
de sus distancias a dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es 
constante. 
 El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro. 
 Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches 
clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir 
moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una 
elipse, como se muestra en la siguiente figura: 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 17
La ecuación de la elipse con centro en el 
origen: 
La ecuación estándar de una elipse con centro en el origen y focos F 
y F´ en el eje x como se muestra en la figura, es: 
2 
2 
+ = = 
Notá que a y b son las longitudes de los semiejes mayor y menor 
respectivamente 
2 
+ = 
x 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
2 
y 
de Ingeniería - UNLP 18 
x 
Gráficamente: 
1, donde b2 a2 - c2 
2 
2 
y 
b 
a 
Si los focos están sobre el eje y, la ecuación es 1 y es claro 
que el eje mayor estará sobre el eje y 2 
2 
a 
b
La ecuación de la elipse con centro en el punto 
(x0, y0): 
 Si los focos están sobre una recta paralela al eje X 
(x - x ) + ( - ) =1 , > 
a b 
y y 
b 
 Si los focos están sobre una recta paralela al eje y 
(x - x ) + ( y - y 
) = 1 , > 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 19 
a 
2 
2 
0 
2 
2 
0 
a b 
a 
b 
2 
2 
0 
2 
2 
0
Ejercicio: hallar una ecuación de la elipse de la 
figura y determinar si el punto (- 5/2,2) está en 
dicha elipse? 
Está claro en el dibujo que: 
 El centro de la elipse es el punto (-2,4) 
 Los semiejes mayor y menor miden 3 y 1 
( 4) 
( 2) 
2 2 2 2 
- + + - = - + ( - 2) 
= + ¹ 
9 
( 1/ 2) 
1 
(2 4) 
9 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
1 
4 
9 
1 
4 
de Ingeniería - UNLP 20 
respectivamente 
 El eje mayor es paralelo al eje y 
Entonces, la ecuación es: 
1 
( 4) 
3 
( ( 2)) 
1 
2 
2 
2 
2 
x - - + y - = ó 
1 
9 
1 
2 2 
x + + y - = 
Ahora queda sólo verificar si el punto (-5/2,2) satisface la ecuación: 
(( 5 / 2) 2) 
1 
Por lo que se concluye que (- 5/2,2) no es un punto de la elipse.
2 
- = 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 21 
La Hipérbola 
 Hipérbola es el conjunto de puntos del 
plano para los que que el valor 
absoluto de la diferencia de sus 
distancias a dos puntos fijos F’ y F, 
llamados focos, es constante. El punto 
medio del segmento que une los focos 
se denomina centro. 
 La Ecuación de la hipérbola de la 
figura (con centro en el origen y focos 
sobre el eje x), es: 
2 
1 2 
2 
y 
b 
x 
a 
Notar que a y –a son las absisas de los puntos de la hipérbola sobre el eje x, 
que c es la distancia de los focos al centro y que b2 = c2 - a2.
La ecuación de la hipérbola con centro en el 
punto (x0, y0) es: 
La ecuación de una hipérbola con centro en (x0, y0) y focos en el eje y = y0 
2 
y y 
x x 
( ) ( ) 1 
2 
0 
x x 
y y 
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 22 
2 
2 
- 0 - - = 
b 
a 
Notar que x0+a y x0–a son las absisas de los puntos de la hipérbola sobre 
el eje y = y0 , c es la distancia de los focos al centro y b2 = c2 - a2. 
La ecuación de una hipérbola con centro en (x0, y0) y focos en el eje x = x0 
( ) ( ) 1 
2 
2 
0 
2 
2 
- 0 - - = 
b 
a 
Notar que y0+a e y0–a son las ordenadas de los puntos de la hipérbola 
sobre el eje x = x0 , c es la distancia de los focos al centro y b2 = c2 - a2.
Ejercicio: hallar una ecuación de la hipérbola de 
la figura y determinar si el punto (2,2) está en 
dicha hipérbola? 
Está claro en el dibujo que: 
 El centro de la hipérbola es el punto (4,0) 
 Los focos están en el eje X = 4 
 a = 1, c = 2, b2 = 22-12 = 3 
Entonces, la ecuación es: 
1 
( 0) ( 4) 
2 
1 
- - - = - ¹ 
4 4 
3 
(2 0) (2 4) 
2 
3 
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de Ingeniería - UNLP 23 
3 
2 
1 
2 
y - - x - = 
Ahora queda sólo verificar si el punto (2,2) satisface la ecuación: 
2 
1 
2 
Por lo que se concluye que (2,2) no es un punto de la hipérbola dada.
Lic. Angela Maldonado - Facultad 
de Ingeniería - UNLP 24 
Conclusiones: 
 Las cónicas son curvas planas que se obtienen al cortar un cono 
circular recto con planos. 
 Tienen propiedades geométricas que las definen y permiten su 
trazado con elementos comunes (clavos, piolines,…) 
 Todos y sólo los puntos de cada una de estas curvas, pueden 
caracterizarse a través de ecuaciones. 
 Las ecuaciones de las cónicas son útiles para reconocerlas, resolver 
situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc.

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  • 1. 1 Lectura de Cónicas
  • 2. Sabés cuáles son las cónicas y por qué se llaman así? Las cónicas son curvas que se obtienen como intersección de un cono y un plano: circunferencia elipse parábola hipérbola Las cónicas son entonces curvas planas. Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 2
  • 3. Seguramente muchas veces dibujaste una circunferencia. Con qué elementos? Sí, claro fijando un punto que será su centro y una medida positiva que será su radio (ya sea que la hayas dibujado con un compás o con otros objetos más “caseros”) r = radio ( es la medida de este segmento) Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 3 centro Los puntos de la circunferencia son los que están a distancia r de un punto fijo llamado centro.
  • 4. El punto (4,6) está en la circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4? Qué te parece?, cómo harías para poder responder a esta pregunta? ¿alcanza con que dibujes con un compás la circunferencia?, si no lo hiciste, hacelo…el punto (4,6) está en la circunferencia?, que respondiste?, que sí?............ ¿te quedan dudas?, ¿cómo podrías hacer para resolver esta situación y que no queden dudas? ¡¡Este es un gran momento!!: graficar una situación no siempre resuelve las situaciones que se nos plantean, por ello, como en este caso, es necesario trabajar con la definición de circunferencia para obtener una herramienta que permita resolver esta situación Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 4
  • 5. Cómo se establece una condición que satisfacen todos los puntos de esa circunferencia y sólo ellos? La circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4 es el conjunto de todos los puntos del plano que están a distancia 1,4 del punto (3,5). Así que podemos decir, sin lugar a dudas que: El punto (x,y) es un punto de la circunferencia mencionada si y sólo si: Distancia((x,y), (3,5)) = 1,4 Y por la definición de distancia entre dos puntos, esta ecuación es equivalente a las siguientes: (x - 3)2 + ( y - 5)2 =1,4 (x - 3)2 + ( y - 5)2 = (1,4)2 (x -3)2 +( y -5)2 =1,96 Esta es la ecuación de la circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4 Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 5
  • 6. Así, ahora es fácil resolver nuestro problema (el punto (4,6) está en la circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4?) Cómo?, verificando si las coordenadas del punto (4,6) satisfacen la ecuación que obtuvimos: (4 - 3)2 + (6 - 5)2 =1,96 Pero está claro que esta ecuación no se satisface, ya que el miembro de la izquierda es 2. Podemos ahora responder sin dudas que el punto (4,6) no es un punto de la circunferencia dada. Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 6
  • 7. Así, la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (a,b) y de radio r es: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Esta es la ecuación estándar de la circunferencia con centro (a,b) y radio r Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 7
  • 8. Si te doy las siguientes ecuaciones cuadráticas en x e y, podrías decirme en cada caso si se trata de la ecuación de una circunferencia? a) x2 + y2 - 2x + 3y = 0 b) x2 + y2 - 2x + 3y = -4 c) x2 + 1 y2 - x + y = 2 3 0 Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 8 2
  • 9. Voy a hacer los dos primeros casos y el último te lo dejo a vos (podés consultar con tu tutor) a) x2 + y2 - 2x + 3y = 0 Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuación dada es equivalente a las siguientes: 2 ÷ø 2 ( 1) 3 3 3 ÷ø = 0 + ( - 1) + æ x - x + - + y + y + æ 1 9 ( x - 1) + æ y + 3 ö çè 13 ( x - 1) + æ y + 3 ö çè Lic. Angela Maldonado - Facultad 2 2 de Ingeniería - UNLP 9 2 2 2 2 2 ö çè ö çè 4 2 2 2 + = ÷ø 4 2 2 2 = ÷ø Y esta es claramente la ecuación estándar de la circunferencia con centro (1, -3/2) y radio 13 2
  • 10. b) x2 + y2 - 2x + 3y = -4 Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuación dada es equivalente a las siguientes: 2 ÷ø 2 ( 1) 3 3 3 ÷ø = - 4 + ( - 1) + æ x - x + - + y + y + æ 4 1 9 ( x - 1) + æ y + 3 ö çè 3 ( x - 1) + æ y + 3 ö çè Lic. Angela Maldonado - Facultad 2 2 de Ingeniería - UNLP 10 2 2 2 2 2 ö çè ö çè 4 2 2 2 + + - = ÷ø 4 2 2 2 - = ÷ø Y es claro que esta ecuación NO CORRESPONDE a una circunferencia!! ¿¿podés expresar con claridad por qué???
  • 11. Hasta aquí, tenés que tener en claro que la circunferencia:  Es una curva plana que se obtienen al cortar un cono circular recto con un plano (perpendicular al eje del cono) y tiene propiedades geométricas que la definen y permiten su trazado con elementos comunes (Un clavo un piolín y un lápiz, un compás, etc..)  Todos y sólo los puntos de una circunferencia, pueden caracterizarse a través de ecuaciones cuadráticas en x e y. La ecuación estándar de una circunferencia muestra con claridad cuál es el centro y el radio de la misma.  Las ecuaciones de las cónicas son útiles para reconocerlas, resolver situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc.  La completación de cuadrados y el reconocimiento de la ecuación estándar de una circunferencias son fundamentales a la hora de decidir si una ecuación cuadrática en x e y es la ecuación de una circunferencia. Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 11
  • 12. Parábola es el conjunto de todos los puntos que están a igual distancia de un punto fijo, llamado FOCO y a una recta llamada DIRECTRIZ. Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 12 La Parábola Elementos distintivos de una parábola:  La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El punto medio entre el foco y la directriz se denomina vértice. El vértice es el único punto de la parábola que pertenece a ese eje.  Por ejemplo, si tomamos como foco el punto F(0,p) (donde p es un número positivo) y como directriz, la recta y = -p, la parábola es la que aparece a la derecha.
  • 13. No es tan conocido cómo graficar una parábola, por eso ahí va la receta: Para trazar una parábola necesitás:  una regla,  una escuadra,  un lápiz,  un piolín que tenga la medida exacta de un cateto de la escuadra. El piolín se sujeta al extremo del cateto que corresponde al ángulo agudo y  Un clavo o tachuela, que se clavará en el “foco” de la parábola y que sujetará el otro extremo del piolín. Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 13 Mirá la figura e intentálo!!!!
  • 14. La ecuación que corresponde a una parábola con directriz paralela al eje x y vértice en el origen (leé los detalles en el apéndice) es: y = x 4 2 p y la parábola se ve como sigue según p sea positivo o negativo Si p > 0 Si p < 0 Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 14
  • 15. También podés ver en detalles que: La ecuación que corresponde a una parábola con directriz paralela al eje x y vértice en el punto (a,b) es: ( ) 4 2 p y - b = x - a La ecuación que corresponde a una parábola con directriz paralela al eje y y vértice en el punto (a,b) es: ( ) 4 2 p x - a = y -b Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 15
  • 16. Ejercicio: Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en (– 2, 4) y foco en el punto (– 2, 3). Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 16 Gráficamente: Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical y tiene ecuación x = – 2 , además abre hacia abajo ya que p = – 1 , entonces se sabe que la directriz tiene ecuación y = 5. La ecuación normal o canónica de la curva dada es y – 4 = – 1/4 (x + 2)2.
  • 17. La elipse, cómo puedo trazar una?  Una elipse es el conjunto de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante.  El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro.  Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una elipse, como se muestra en la siguiente figura: Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 17
  • 18. La ecuación de la elipse con centro en el origen: La ecuación estándar de una elipse con centro en el origen y focos F y F´ en el eje x como se muestra en la figura, es: 2 2 + = = Notá que a y b son las longitudes de los semiejes mayor y menor respectivamente 2 + = x Lic. Angela Maldonado - Facultad 2 y de Ingeniería - UNLP 18 x Gráficamente: 1, donde b2 a2 - c2 2 2 y b a Si los focos están sobre el eje y, la ecuación es 1 y es claro que el eje mayor estará sobre el eje y 2 2 a b
  • 19. La ecuación de la elipse con centro en el punto (x0, y0):  Si los focos están sobre una recta paralela al eje X (x - x ) + ( - ) =1 , > a b y y b  Si los focos están sobre una recta paralela al eje y (x - x ) + ( y - y ) = 1 , > Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 19 a 2 2 0 2 2 0 a b a b 2 2 0 2 2 0
  • 20. Ejercicio: hallar una ecuación de la elipse de la figura y determinar si el punto (- 5/2,2) está en dicha elipse? Está claro en el dibujo que:  El centro de la elipse es el punto (-2,4)  Los semiejes mayor y menor miden 3 y 1 ( 4) ( 2) 2 2 2 2 - + + - = - + ( - 2) = + ¹ 9 ( 1/ 2) 1 (2 4) 9 Lic. Angela Maldonado - Facultad 1 4 9 1 4 de Ingeniería - UNLP 20 respectivamente  El eje mayor es paralelo al eje y Entonces, la ecuación es: 1 ( 4) 3 ( ( 2)) 1 2 2 2 2 x - - + y - = ó 1 9 1 2 2 x + + y - = Ahora queda sólo verificar si el punto (-5/2,2) satisface la ecuación: (( 5 / 2) 2) 1 Por lo que se concluye que (- 5/2,2) no es un punto de la elipse.
  • 21. 2 - = Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 21 La Hipérbola  Hipérbola es el conjunto de puntos del plano para los que que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es constante. El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro.  La Ecuación de la hipérbola de la figura (con centro en el origen y focos sobre el eje x), es: 2 1 2 2 y b x a Notar que a y –a son las absisas de los puntos de la hipérbola sobre el eje x, que c es la distancia de los focos al centro y que b2 = c2 - a2.
  • 22. La ecuación de la hipérbola con centro en el punto (x0, y0) es: La ecuación de una hipérbola con centro en (x0, y0) y focos en el eje y = y0 2 y y x x ( ) ( ) 1 2 0 x x y y Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 22 2 2 - 0 - - = b a Notar que x0+a y x0–a son las absisas de los puntos de la hipérbola sobre el eje y = y0 , c es la distancia de los focos al centro y b2 = c2 - a2. La ecuación de una hipérbola con centro en (x0, y0) y focos en el eje x = x0 ( ) ( ) 1 2 2 0 2 2 - 0 - - = b a Notar que y0+a e y0–a son las ordenadas de los puntos de la hipérbola sobre el eje x = x0 , c es la distancia de los focos al centro y b2 = c2 - a2.
  • 23. Ejercicio: hallar una ecuación de la hipérbola de la figura y determinar si el punto (2,2) está en dicha hipérbola? Está claro en el dibujo que:  El centro de la hipérbola es el punto (4,0)  Los focos están en el eje X = 4  a = 1, c = 2, b2 = 22-12 = 3 Entonces, la ecuación es: 1 ( 0) ( 4) 2 1 - - - = - ¹ 4 4 3 (2 0) (2 4) 2 3 Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 23 3 2 1 2 y - - x - = Ahora queda sólo verificar si el punto (2,2) satisface la ecuación: 2 1 2 Por lo que se concluye que (2,2) no es un punto de la hipérbola dada.
  • 24. Lic. Angela Maldonado - Facultad de Ingeniería - UNLP 24 Conclusiones:  Las cónicas son curvas planas que se obtienen al cortar un cono circular recto con planos.  Tienen propiedades geométricas que las definen y permiten su trazado con elementos comunes (clavos, piolines,…)  Todos y sólo los puntos de cada una de estas curvas, pueden caracterizarse a través de ecuaciones.  Las ecuaciones de las cónicas son útiles para reconocerlas, resolver situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc.