1) El documento trata sobre las cónicas, curvas planas obtenidas al cortar un cono circular recto con un plano. Describe cómo trazar circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas.
2) Explica cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dados su centro y radio, y cómo determinar si un punto pertenece a una circunferencia.
3) Detalla los elementos que definen una parábola (foco, directriz, vértice) y cómo graficar una, así como también cómo encontrar su ecu
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos básicos de elipses como ecuaciones de elipses, longitud de ejes, centros, focos y vértices. Las preguntas requieren calcular estas propiedades o determinar la ecuación de una elipse dada cierta información sobre sus características geométricas.
El documento describe las parábolas, incluyendo su definición como el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una directriz. Explica cómo encontrar las ecuaciones de parábolas con diferentes orientaciones y vértice en el origen. También cubre parábolas con vértice en cualquier punto (h,k) y resuelve ejemplos.
1) La elipse tiene un foco en (0, 3) y semieje mayor igual a 5. Su ecuación es x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
2) Se determinan los elementos de la elipse como el centro (0, 0), vértices (0, ±5), focos (0, ±3) y ecuación x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
3) Para encontrar la ecuación de una elipse dada sus vértices y excentricidad, se calculan primero los elementos a, b y c.
El documento presenta objetivos relacionados con la circunferencia y la parábola. Explica conceptos como el centro, radio y ecuación de la circunferencia, así como el vértice, foco, directriz y lado recto de la parábola. Incluye ejercicios resueltos que muestran cómo encontrar la ecuación de diferentes circunferencias y parábolas dados ciertos puntos u otros elementos.
1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
Este documento presenta la resolución de varios problemas y ejercicios relacionados con cónicas. En el primer problema, se hallan los elementos principales y se determina que la ecuación dado representa una elipse vertical. En el segundo problema, se resuelve otra ecuación y se determina que representa una elipse horizontal. En el tercer problema, se calculan varios elementos como los semiejes mayor y menor, coordenadas de vértices y focos, y excentricidad para una elipse dada.
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos básicos de elipses como ecuaciones de elipses, longitud de ejes, centros, focos y vértices. Las preguntas requieren calcular estas propiedades o determinar la ecuación de una elipse dada cierta información sobre sus características geométricas.
El documento describe las parábolas, incluyendo su definición como el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una directriz. Explica cómo encontrar las ecuaciones de parábolas con diferentes orientaciones y vértice en el origen. También cubre parábolas con vértice en cualquier punto (h,k) y resuelve ejemplos.
1) La elipse tiene un foco en (0, 3) y semieje mayor igual a 5. Su ecuación es x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
2) Se determinan los elementos de la elipse como el centro (0, 0), vértices (0, ±5), focos (0, ±3) y ecuación x^2/25 + y^2/4 - 1 = 0.
3) Para encontrar la ecuación de una elipse dada sus vértices y excentricidad, se calculan primero los elementos a, b y c.
El documento presenta objetivos relacionados con la circunferencia y la parábola. Explica conceptos como el centro, radio y ecuación de la circunferencia, así como el vértice, foco, directriz y lado recto de la parábola. Incluye ejercicios resueltos que muestran cómo encontrar la ecuación de diferentes circunferencias y parábolas dados ciertos puntos u otros elementos.
1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
Este documento presenta la resolución de varios problemas y ejercicios relacionados con cónicas. En el primer problema, se hallan los elementos principales y se determina que la ecuación dado representa una elipse vertical. En el segundo problema, se resuelve otra ecuación y se determina que representa una elipse horizontal. En el tercer problema, se calculan varios elementos como los semiejes mayor y menor, coordenadas de vértices y focos, y excentricidad para una elipse dada.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Se piden determinar ecuaciones, elementos como centro y radio, y representaciones gráficas de diferentes cónicas definidas por sus ecuaciones o puntos particulares.
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia dependiendo de la ubicación de su centro en los ejes cartesianos. Presenta las ecuaciones generales de la circunferencia y cómo se simplifican cuando el centro está en el eje X positivo, eje Y positivo, eje X negativo, eje Y negativo o en el origen. También incluye un ejemplo de cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dados dos puntos que definen su diámetro.
Este documento presenta tres ejercicios de geometría analítica sobre parábolas en el plano cartesiano. En el primer ejercicio, se encuentra la ecuación de una parábola dadas sus coordenadas de vértice y foco. En el segundo, se calculan las coordenadas de vértice y foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de una parábola dada su ecuación. En el tercer ejercicio, se reducen los términos de la ecuación dada a su forma canónica y se
El documento describe las propiedades geométricas y algebraicas de la parábola. Define una parábola como el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Presenta las ecuaciones de parábolas con diferentes posiciones del vértice y foco, y resuelve ejemplos para encontrar ecuaciones de parábolas dadas sus características.
El documento describe los conceptos básicos de la geometría analítica, incluyendo los sistemas de coordenadas cartesianos unidimensionales y bidimensionales, la distancia entre puntos en el plano, la división de segmentos en una razón conocida, la pendiente y ángulo de inclinación de una recta, y la ecuación general de una recta.
El documento describe los conceptos clave de las secciones cónicas, en particular la parábola. Explica que una parábola es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una línea fija llamada directriz. También describe los elementos de una parábola como el vértice, eje de simetría, foco y las diferentes expresiones algebraicas que representan una parábola.
Este documento describe las propiedades geométricas y algebraicas de las parábolas. Explica que la ecuación normal de una parábola contiene información sobre su vértice, foco y directriz. También muestra cómo graficar parábolas a partir de sus ecuaciones en forma normal y cómo deducir la ecuación de una parábola dados sus elementos geométricos. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de las parábolas en diseños ópticos.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. El documento describe los elementos de la parábola, como el foco, directriz, vértice y eje, y explica cómo calcularlos a partir de la ecuación de la parábola. También cubre cómo construir parábolas mediante traslaciones y escribe la ecuación de parábolas con diferentes configuraciones.
Aplicación de powerpoint a problemas resueltos de parábolas t4 parábola egv1 ...Pascual Sardella
Este documento presenta 4 problemas relacionados con parábolas. El primero pide hallar la ecuación de una parábola con vértice (3,2) y foco (5,2). El segundo pide hallar la ecuación de una parábola con foco (6,-2) y directriz x=2. El tercero pide hallar la ecuación de una parábola con eje paralelo a x que pase por 3 puntos dados. El cuarto pide determinar los elementos de una parábola dada por su ecuación.
El documento presenta información sobre las secciones cónicas y la circunferencia. Explica los elementos de la circunferencia como el centro, radio, diámetro, etc. y presenta las ecuaciones de la circunferencia ordinaria, general y canonica. También cubre temas como la distancia de un punto a la circunferencia y la ecuación de una recta tangente. Incluye ejemplos resueltos.
El documento explica que la gráfica de una función lineal f(x)=ax+b es una recta. Define la pendiente de una recta como el número a. Explica cómo encontrar la ecuación de una recta que pase por un punto, dos puntos, o que sea paralela o perpendicular a otra recta dada.
Este documento trata sobre geometría analítica y curvas cónicas. Explica los elementos y ecuaciones de parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejemplos de cómo encontrar la ecuación de una parábola dados sus elementos, y cómo resolver problemas aplicando ecuaciones de parábolas.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos medios, simétricos y de intersección; determinar si puntos están alineados; y obtener ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas o ejes.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre las secciones cónicas (circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas). Los ejercicios incluyen determinar los elementos de estas curvas (centro, radio, vértice, foco, directriz, etc.) a partir de sus ecuaciones, así como graficarlas y resolver problemas geométricos relacionados con puntos de intersección entre ellas. El documento concluye presentando la ecuación general de cada una de las secciones cónicas.
El documento presenta cuatro ejemplos de parábolas con centro en el origen. En cada ejemplo se da la posición del foco y se calcula la ecuación de la parábola correspondiente. Se determinan las ecuaciones al sustituir los valores de la distancia entre el vértice y el foco en la fórmula general de la parábola.
Este documento explica las características geométricas y algebraicas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola). Define cada curva, describe cómo trazarlas y establece sus ecuaciones canónicas. Además, muestra ejemplos de cómo resolver problemas geométricos usando las ecuaciones de las cónicas.
1. El documento describe las propiedades geométricas y ecuaciones de la elipse. Explica que una elipse es la curva formada por la intersección de un cono circular recto con un plano inclinado. 2. Presenta las ecuaciones de la elipse horizontal y vertical con el centro en el origen y deriva las propiedades como los focos, ejes, y vértices. 3. Discute conceptos como el lado recto y la excentricidad de una elipse.
El documento presenta información sobre las cónicas en geometría analítica. Explica los elementos y ecuaciones de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Incluye ejemplos de cómo calcular la distancia entre puntos, el punto medio y la ecuación de una circunferencia. Finalmente, muestra las representaciones gráficas de las ecuaciones de las cónicas.
1) Las cónicas son curvas planas definidas como el lugar geométrico de puntos cuya razón de distancias a un foco y una directriz es constante. Estas incluyen elipses, parábolas e hipérbolas.
2) Las elipses tienen excentricidad menor que 1 y sus puntos suman una distancia constante a los focos.
3) Las ecuaciones canónicas de las cónicas permiten identificar el tipo de curva y sus propiedades geométricas como focos, vértices y ejes.
1 Presentacion sobre el plano numerico/cartesiano, circunferencias, elipses, ...danieladuran272005
Este documento explica conceptos básicos de geometría analítica como el plano cartesiano, coordenadas cartesianas, distancia entre puntos, punto medio, ecuaciones y trazado de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye fórmulas, ejemplos y ejercicios para calcular distancias, puntos medios, ecuaciones de figuras geométricas y representarlas gráficamente.
Este documento presenta información sobre geometría analítica, en particular sobre curvas cónicas como la parábola, elipse e hipérbola. Explica cómo construir y encontrar la ecuación de una parábola dados sus elementos como el vértice, foco y directriz. También incluye ejemplos resueltos sobre cómo aplicar estas ideas para resolver problemas relacionados con parábolas.
El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Se piden determinar ecuaciones, elementos como centro y radio, y representaciones gráficas de diferentes cónicas definidas por sus ecuaciones o puntos particulares.
El documento describe las ecuaciones de la circunferencia dependiendo de la ubicación de su centro en los ejes cartesianos. Presenta las ecuaciones generales de la circunferencia y cómo se simplifican cuando el centro está en el eje X positivo, eje Y positivo, eje X negativo, eje Y negativo o en el origen. También incluye un ejemplo de cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dados dos puntos que definen su diámetro.
Este documento presenta tres ejercicios de geometría analítica sobre parábolas en el plano cartesiano. En el primer ejercicio, se encuentra la ecuación de una parábola dadas sus coordenadas de vértice y foco. En el segundo, se calculan las coordenadas de vértice y foco, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de una parábola dada su ecuación. En el tercer ejercicio, se reducen los términos de la ecuación dada a su forma canónica y se
El documento describe las propiedades geométricas y algebraicas de la parábola. Define una parábola como el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. Presenta las ecuaciones de parábolas con diferentes posiciones del vértice y foco, y resuelve ejemplos para encontrar ecuaciones de parábolas dadas sus características.
El documento describe los conceptos básicos de la geometría analítica, incluyendo los sistemas de coordenadas cartesianos unidimensionales y bidimensionales, la distancia entre puntos en el plano, la división de segmentos en una razón conocida, la pendiente y ángulo de inclinación de una recta, y la ecuación general de una recta.
El documento describe los conceptos clave de las secciones cónicas, en particular la parábola. Explica que una parábola es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una línea fija llamada directriz. También describe los elementos de una parábola como el vértice, eje de simetría, foco y las diferentes expresiones algebraicas que representan una parábola.
Este documento describe las propiedades geométricas y algebraicas de las parábolas. Explica que la ecuación normal de una parábola contiene información sobre su vértice, foco y directriz. También muestra cómo graficar parábolas a partir de sus ecuaciones en forma normal y cómo deducir la ecuación de una parábola dados sus elementos geométricos. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de las parábolas en diseños ópticos.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz. El documento describe los elementos de la parábola, como el foco, directriz, vértice y eje, y explica cómo calcularlos a partir de la ecuación de la parábola. También cubre cómo construir parábolas mediante traslaciones y escribe la ecuación de parábolas con diferentes configuraciones.
Aplicación de powerpoint a problemas resueltos de parábolas t4 parábola egv1 ...Pascual Sardella
Este documento presenta 4 problemas relacionados con parábolas. El primero pide hallar la ecuación de una parábola con vértice (3,2) y foco (5,2). El segundo pide hallar la ecuación de una parábola con foco (6,-2) y directriz x=2. El tercero pide hallar la ecuación de una parábola con eje paralelo a x que pase por 3 puntos dados. El cuarto pide determinar los elementos de una parábola dada por su ecuación.
El documento presenta información sobre las secciones cónicas y la circunferencia. Explica los elementos de la circunferencia como el centro, radio, diámetro, etc. y presenta las ecuaciones de la circunferencia ordinaria, general y canonica. También cubre temas como la distancia de un punto a la circunferencia y la ecuación de una recta tangente. Incluye ejemplos resueltos.
El documento explica que la gráfica de una función lineal f(x)=ax+b es una recta. Define la pendiente de una recta como el número a. Explica cómo encontrar la ecuación de una recta que pase por un punto, dos puntos, o que sea paralela o perpendicular a otra recta dada.
Este documento trata sobre geometría analítica y curvas cónicas. Explica los elementos y ecuaciones de parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejemplos de cómo encontrar la ecuación de una parábola dados sus elementos, y cómo resolver problemas aplicando ecuaciones de parábolas.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos medios, simétricos y de intersección; determinar si puntos están alineados; y obtener ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas o ejes.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre las secciones cónicas (circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas). Los ejercicios incluyen determinar los elementos de estas curvas (centro, radio, vértice, foco, directriz, etc.) a partir de sus ecuaciones, así como graficarlas y resolver problemas geométricos relacionados con puntos de intersección entre ellas. El documento concluye presentando la ecuación general de cada una de las secciones cónicas.
El documento presenta cuatro ejemplos de parábolas con centro en el origen. En cada ejemplo se da la posición del foco y se calcula la ecuación de la parábola correspondiente. Se determinan las ecuaciones al sustituir los valores de la distancia entre el vértice y el foco en la fórmula general de la parábola.
Este documento explica las características geométricas y algebraicas de las cónicas (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola). Define cada curva, describe cómo trazarlas y establece sus ecuaciones canónicas. Además, muestra ejemplos de cómo resolver problemas geométricos usando las ecuaciones de las cónicas.
1. El documento describe las propiedades geométricas y ecuaciones de la elipse. Explica que una elipse es la curva formada por la intersección de un cono circular recto con un plano inclinado. 2. Presenta las ecuaciones de la elipse horizontal y vertical con el centro en el origen y deriva las propiedades como los focos, ejes, y vértices. 3. Discute conceptos como el lado recto y la excentricidad de una elipse.
El documento presenta información sobre las cónicas en geometría analítica. Explica los elementos y ecuaciones de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Incluye ejemplos de cómo calcular la distancia entre puntos, el punto medio y la ecuación de una circunferencia. Finalmente, muestra las representaciones gráficas de las ecuaciones de las cónicas.
1) Las cónicas son curvas planas definidas como el lugar geométrico de puntos cuya razón de distancias a un foco y una directriz es constante. Estas incluyen elipses, parábolas e hipérbolas.
2) Las elipses tienen excentricidad menor que 1 y sus puntos suman una distancia constante a los focos.
3) Las ecuaciones canónicas de las cónicas permiten identificar el tipo de curva y sus propiedades geométricas como focos, vértices y ejes.
1 Presentacion sobre el plano numerico/cartesiano, circunferencias, elipses, ...danieladuran272005
Este documento explica conceptos básicos de geometría analítica como el plano cartesiano, coordenadas cartesianas, distancia entre puntos, punto medio, ecuaciones y trazado de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye fórmulas, ejemplos y ejercicios para calcular distancias, puntos medios, ecuaciones de figuras geométricas y representarlas gráficamente.
Este documento presenta información sobre geometría analítica, en particular sobre curvas cónicas como la parábola, elipse e hipérbola. Explica cómo construir y encontrar la ecuación de una parábola dados sus elementos como el vértice, foco y directriz. También incluye ejemplos resueltos sobre cómo aplicar estas ideas para resolver problemas relacionados con parábolas.
El documento describe las características geométricas y las ecuaciones analíticas de las principales curvas cónicas: elipse, hipérbola, parábola y circunferencia. Explica cómo representar estas curvas en un plano cartesiano y obtener sus ecuaciones a partir de las coordenadas de sus elementos característicos como focos, vértices y centros.
El documento presenta los conceptos fundamentales del plano cartesiano y las ecuaciones analíticas de las principales figuras geométricas que se estudian en geometría analítica, como la circunferencia, elipse, hipérbola, parábola y línea recta. Explica los elementos geométricos de cada figura y cómo obtener su ecuación a partir de la aplicación de las leyes de Pitágoras y el Teorema de Tales.
Este documento contiene información sobre varios conceptos geométricos y sus ecuaciones analíticas, incluyendo: el plano cartesiano y cómo localizar puntos en él; cómo calcular la distancia entre dos puntos; la definición y ecuación del punto medio de un segmento; las ecuaciones y características de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola; y ejemplos de cómo derivar las ecuaciones de estas curvas a partir de sus definiciones geométricas. También incluye ejercicios de aplicación y
Este documento presenta información sobre ecuaciones de parábolas. Explica las formas canónica, ordinaria y general de la ecuación de una parábola, así como cómo encontrar el vértice, foco, directriz y parámetro. También muestra ejemplos de cómo resolver problemas que involucran parábolas y aplicaciones como el Puente Golden Gate.
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con rectas y secciones cónicas en el plano. Incluye problemas para determinar ecuaciones de rectas a partir de puntos y pendientes dados, calcular distancias, y encontrar ecuaciones de circunferencias, parábolas y elipses.
2. Se piden determinar ecuaciones de rectas y secciones cónicas dadas diferentes condiciones como puntos, pendientes, tangencias, y focales.
3. También incluye verificar propiedades geométricas y relaciones entre
*Definición la Elipse
*Elementos de una Elipse
*Ecuación canónica de la elipse con vértice (0,0) y eje focal sobre el eje "X"
*Ecuación canónica de la elipse con vértice (0,0) y eje focal sobre el eje "Y"
*Ecuación canónica de la elipse con vértice (h,k) y eje focal paralelo al eje "X"
*Ecuación canónica de la elipse con vértice (h,k) y eje focal paralelo al eje "Y"
*Ecuación general de la Elipse
*Ejercicios
1. El documento habla sobre las secciones cónicas, que son curvas que resultan de la intersección de un plano y un cono. Describe las cuatro curvas básicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
2. Explica que las órbitas planetarias y trayectorias de cuerpos pesados son secciones cónicas. Además, nuestra visión depende de la forma cónica del ojo, por lo que el mundo se puede describir como "mundo de secciones cónicas".
El documento describe las principales curvas cónicas como la circunferencia, parábola y elipse. Explica que la circunferencia fue descubierta por los matemáticos griegos Menecmo y Apolonio de Perga al estudiar intersecciones entre un cono y un plano. La parábola fue descrita por Apolonio como el lugar geométrico de puntos cuya distancia a una recta fija y un punto fijo es la misma. El documento también menciona brevemente la elipse.
15.2 elipse ejemplos resueltos y propuestosnelson acevedo
1. La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La ecuación general de una elipse es (x-h)2/(a)2 + (y-k)2/(b)2 = 1, donde (h,k) son las coordenadas del centro y a y b son los semiejes mayor y menor.
2. Los vértices de una elipse son los puntos en los que la curva corta al eje mayor, y los focos son los puntos fijos a los que se ref
Unidad 8 resolvamos con geometria analitica.matedivliss
Este documento trata sobre la geometría analítica de las circunferencias y parábolas. Explica la definición, elementos y ecuaciones de las circunferencias y parábolas, incluyendo cómo calcular el centro, radio, vértice, foco y directriz. También incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de estas curvas.
Este documento describe un curso de 40 horas sobre el uso de software matemático para comprender conceptos de geometría analítica. El curso cubrirá temas como geometría euclidiana, geometría cartesiana, coordenadas cartesianas y polares, ecuaciones de rectas, y cálculo de pendientes y puntos medios. El objetivo es utilizar el software para verificar cálculos y hacer los temas más comprensibles.
Calculo y geometría analítica (ecuación de la recta)completaUNAPEC
Este documento presenta los contenidos y aprendizajes esperados de la unidad 1 sobre el plano cartesiano y la ecuación de la recta. Los aprendizajes incluyen calcular distancias y puntos medios, identificar pendientes y coeficientes de posición, y representar y determinar ecuaciones de rectas. También cubre conceptos como rectas paralelas, coincidentes y perpendiculares.
Este documento presenta información sobre sistemas de coordenadas cartesianas, fórmulas para calcular distancias entre puntos y puntos medios, ecuaciones de rectas en diferentes formas (punto-pendiente, general, explicita), conceptos de pendiente, rectas paralelas y perpendiculares, y ejercicios para practicar el cálculo de distancias, ecuaciones y clasificación de rectas. Explica de manera concisa pero completa los principales temas relacionados con rectas en el plano cartesiano.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
Business Plan -rAIces - Agro Business Techjohnyamg20
Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
2. Sabés cuáles son las cónicas y por qué se
llaman así?
Las cónicas son curvas que se obtienen como
intersección de un cono y un plano:
circunferencia elipse parábola hipérbola
Las cónicas son entonces curvas planas.
Lic. Angela Maldonado - Facultad
de Ingeniería - UNLP 2
3. Seguramente muchas veces dibujaste
una circunferencia. Con qué elementos?
Sí, claro fijando un punto que será su centro y una medida
positiva que será su radio (ya sea que la hayas dibujado con un
compás o con otros objetos más “caseros”)
r = radio ( es la medida
de este segmento)
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de Ingeniería - UNLP 3
centro
Los puntos de la circunferencia son los que están a distancia r
de un punto fijo llamado centro.
4. El punto (4,6) está en la circunferencia
de centro (3,5) y radio 1,4?
Qué te parece?, cómo harías para poder responder a esta
pregunta? ¿alcanza con que dibujes con un compás la
circunferencia?, si no lo hiciste, hacelo…el punto (4,6) está en la
circunferencia?, que respondiste?, que sí?............
¿te quedan dudas?, ¿cómo podrías hacer para resolver esta
situación y que no queden dudas?
¡¡Este es un gran momento!!:
graficar una situación no siempre resuelve las situaciones
que se nos plantean, por ello, como en este caso, es
necesario trabajar con la definición de circunferencia para
obtener una herramienta que permita resolver esta
situación
Lic. Angela Maldonado - Facultad
de Ingeniería - UNLP 4
5. Cómo se establece una condición que satisfacen
todos los puntos de esa circunferencia y sólo
ellos?
La circunferencia de centro (3,5) y radio 1,4 es el conjunto de todos los
puntos del plano que están a distancia 1,4 del punto (3,5). Así que
podemos decir, sin lugar a dudas que:
El punto (x,y) es un punto de la circunferencia mencionada si y sólo si:
Distancia((x,y), (3,5)) = 1,4
Y por la definición de distancia entre dos puntos, esta ecuación es
equivalente a las siguientes:
(x - 3)2 + ( y - 5)2 =1,4
(x - 3)2 + ( y - 5)2 = (1,4)2
(x -3)2 +( y -5)2 =1,96
Esta es la ecuación de
la circunferencia de
centro (3,5) y radio 1,4
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de Ingeniería - UNLP 5
6. Así, ahora es fácil resolver nuestro problema (el
punto (4,6) está en la circunferencia de centro
(3,5) y radio 1,4?)
Cómo?, verificando si las coordenadas del punto (4,6) satisfacen la
ecuación que obtuvimos:
(4 - 3)2 + (6 - 5)2 =1,96
Pero está claro que esta ecuación no se satisface, ya que el miembro
de la izquierda es 2.
Podemos ahora responder sin dudas que el punto (4,6) no es un punto
de la circunferencia dada.
Lic. Angela Maldonado - Facultad
de Ingeniería - UNLP 6
7. Así, la ecuación de la circunferencia con centro
en el punto (a,b) y de radio r es:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Esta es la ecuación
estándar de la
circunferencia con
centro (a,b) y radio r
Lic. Angela Maldonado - Facultad
de Ingeniería - UNLP 7
8. Si te doy las siguientes ecuaciones cuadráticas
en x e y, podrías decirme en cada caso si se
trata de la ecuación de una circunferencia?
a) x2 + y2 - 2x + 3y = 0
b) x2 + y2 - 2x + 3y = -4
c) x2 + 1 y2 - x + y =
2 3 0
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de Ingeniería - UNLP 8
2
9. Voy a hacer los dos primeros casos y el último
te lo dejo a vos (podés consultar con tu tutor)
a) x2 + y2 - 2x + 3y = 0
Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuación dada es
equivalente a las siguientes:
2
÷ø
2 ( 1) 3 3 3
÷ø
= 0 + ( - 1) + æ x - x + - + y + y + æ
1 9
( x - 1) + æ y +
3
ö çè
13
( x - 1) + æ y +
3
ö çè
Lic. Angela Maldonado - Facultad
2
2
de Ingeniería - UNLP 9
2 2 2
2
2
ö çè
ö çè
4
2
2
2 + = ÷ø
4
2
2
2 = ÷ø
Y esta es claramente la ecuación estándar de la circunferencia con centro
(1, -3/2) y radio
13
2
10. b) x2 + y2 - 2x + 3y = -4
Completando cuadrados, se ve con claridad que la ecuación dada es
equivalente a las siguientes:
2
÷ø
2 ( 1) 3 3 3
÷ø
= - 4 + ( - 1) + æ x - x + - + y + y + æ
4 1 9
( x - 1) + æ y +
3
ö çè
3
( x - 1) + æ y +
3
ö çè
Lic. Angela Maldonado - Facultad
2
2
de Ingeniería - UNLP 10
2 2 2
2
2
ö çè
ö çè
4
2
2
2 + + - = ÷ø
4
2
2
2 - = ÷ø
Y es claro que esta ecuación NO CORRESPONDE a una circunferencia!!
¿¿podés expresar con claridad por qué???
11. Hasta aquí, tenés que tener en claro
que la circunferencia:
Es una curva plana que se obtienen al cortar un cono circular recto con
un plano (perpendicular al eje del cono) y tiene propiedades
geométricas que la definen y permiten su trazado con elementos
comunes (Un clavo un piolín y un lápiz, un compás, etc..)
Todos y sólo los puntos de una circunferencia, pueden caracterizarse a
través de ecuaciones cuadráticas en x e y. La ecuación estándar de
una circunferencia muestra con claridad cuál es el centro y el radio de
la misma.
Las ecuaciones de las cónicas son útiles para reconocerlas, resolver
situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc.
La completación de cuadrados y el reconocimiento de la ecuación
estándar de una circunferencias son fundamentales a la hora de decidir
si una ecuación cuadrática en x e y es la ecuación de una
circunferencia.
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de Ingeniería - UNLP 11
12. Parábola es el conjunto de todos los puntos que están a igual distancia
de un punto fijo, llamado FOCO y a una recta llamada DIRECTRIZ.
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de Ingeniería - UNLP 12
La Parábola
Elementos distintivos de una parábola:
La recta que pasa por el foco y es
perpendicular a la directriz se llama
eje de la parábola. El punto medio
entre el foco y la directriz se denomina
vértice. El vértice es el único punto de
la parábola que pertenece a ese eje.
Por ejemplo, si tomamos como foco el
punto F(0,p) (donde p es un número
positivo) y como directriz, la recta
y = -p, la parábola es la que aparece
a la derecha.
13. No es tan conocido cómo graficar una
parábola, por eso ahí va la receta:
Para trazar una parábola necesitás:
una regla,
una escuadra,
un lápiz,
un piolín que tenga la medida exacta
de un cateto de la escuadra. El piolín
se sujeta al extremo del cateto que
corresponde al ángulo agudo y
Un clavo o tachuela, que se clavará
en el “foco” de la parábola y que
sujetará el otro extremo del piolín.
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de Ingeniería - UNLP 13
Mirá la figura e intentálo!!!!
14. La ecuación que corresponde a una parábola
con directriz paralela al eje x y vértice en el
origen (leé los detalles en el apéndice) es:
y = x
4
2
p
y la parábola se ve como sigue
según p sea positivo o negativo
Si p > 0 Si p < 0
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de Ingeniería - UNLP 14
15. También podés ver en detalles que:
La ecuación que corresponde a una parábola con directriz
paralela al eje x y vértice en el punto (a,b) es:
( )
4
2
p
y - b = x - a
La ecuación que corresponde a una parábola con directriz
paralela al eje y y vértice en el punto (a,b) es:
( )
4
2
p
x - a = y -b
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de Ingeniería - UNLP 15
16. Ejercicio: Trazar la gráfica y hallar la ecuación
canónica de la parábola con vértice en (– 2, 4) y
foco en el punto (– 2, 3).
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de Ingeniería - UNLP 16
Gráficamente:
Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola
es vertical y tiene ecuación x = – 2 , además abre hacia abajo ya que p
= – 1 , entonces se sabe que la directriz tiene ecuación y = 5. La
ecuación normal o canónica de la curva dada es y – 4 = – 1/4 (x + 2)2.
17. La elipse, cómo puedo trazar una?
Una elipse es el conjunto de los puntos del plano tales que la suma
de sus distancias a dos puntos fijos F’ y F, llamados focos, es
constante.
El punto medio del segmento que une los focos se denomina centro.
Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches
clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir
moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una
elipse, como se muestra en la siguiente figura:
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de Ingeniería - UNLP 17
18. La ecuación de la elipse con centro en el
origen:
La ecuación estándar de una elipse con centro en el origen y focos F
y F´ en el eje x como se muestra en la figura, es:
2
2
+ = =
Notá que a y b son las longitudes de los semiejes mayor y menor
respectivamente
2
+ =
x
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2
y
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x
Gráficamente:
1, donde b2 a2 - c2
2
2
y
b
a
Si los focos están sobre el eje y, la ecuación es 1 y es claro
que el eje mayor estará sobre el eje y 2
2
a
b
19. La ecuación de la elipse con centro en el punto
(x0, y0):
Si los focos están sobre una recta paralela al eje X
(x - x ) + ( - ) =1 , >
a b
y y
b
Si los focos están sobre una recta paralela al eje y
(x - x ) + ( y - y
) = 1 , >
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de Ingeniería - UNLP 19
a
2
2
0
2
2
0
a b
a
b
2
2
0
2
2
0
20. Ejercicio: hallar una ecuación de la elipse de la
figura y determinar si el punto (- 5/2,2) está en
dicha elipse?
Está claro en el dibujo que:
El centro de la elipse es el punto (-2,4)
Los semiejes mayor y menor miden 3 y 1
( 4)
( 2)
2 2 2 2
- + + - = - + ( - 2)
= + ¹
9
( 1/ 2)
1
(2 4)
9
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1
4
9
1
4
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respectivamente
El eje mayor es paralelo al eje y
Entonces, la ecuación es:
1
( 4)
3
( ( 2))
1
2
2
2
2
x - - + y - = ó
1
9
1
2 2
x + + y - =
Ahora queda sólo verificar si el punto (-5/2,2) satisface la ecuación:
(( 5 / 2) 2)
1
Por lo que se concluye que (- 5/2,2) no es un punto de la elipse.
21. 2
- =
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de Ingeniería - UNLP 21
La Hipérbola
Hipérbola es el conjunto de puntos del
plano para los que que el valor
absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos F’ y F,
llamados focos, es constante. El punto
medio del segmento que une los focos
se denomina centro.
La Ecuación de la hipérbola de la
figura (con centro en el origen y focos
sobre el eje x), es:
2
1 2
2
y
b
x
a
Notar que a y –a son las absisas de los puntos de la hipérbola sobre el eje x,
que c es la distancia de los focos al centro y que b2 = c2 - a2.
22. La ecuación de la hipérbola con centro en el
punto (x0, y0) es:
La ecuación de una hipérbola con centro en (x0, y0) y focos en el eje y = y0
2
y y
x x
( ) ( ) 1
2
0
x x
y y
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de Ingeniería - UNLP 22
2
2
- 0 - - =
b
a
Notar que x0+a y x0–a son las absisas de los puntos de la hipérbola sobre
el eje y = y0 , c es la distancia de los focos al centro y b2 = c2 - a2.
La ecuación de una hipérbola con centro en (x0, y0) y focos en el eje x = x0
( ) ( ) 1
2
2
0
2
2
- 0 - - =
b
a
Notar que y0+a e y0–a son las ordenadas de los puntos de la hipérbola
sobre el eje x = x0 , c es la distancia de los focos al centro y b2 = c2 - a2.
23. Ejercicio: hallar una ecuación de la hipérbola de
la figura y determinar si el punto (2,2) está en
dicha hipérbola?
Está claro en el dibujo que:
El centro de la hipérbola es el punto (4,0)
Los focos están en el eje X = 4
a = 1, c = 2, b2 = 22-12 = 3
Entonces, la ecuación es:
1
( 0) ( 4)
2
1
- - - = - ¹
4 4
3
(2 0) (2 4)
2
3
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de Ingeniería - UNLP 23
3
2
1
2
y - - x - =
Ahora queda sólo verificar si el punto (2,2) satisface la ecuación:
2
1
2
Por lo que se concluye que (2,2) no es un punto de la hipérbola dada.
24. Lic. Angela Maldonado - Facultad
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Conclusiones:
Las cónicas son curvas planas que se obtienen al cortar un cono
circular recto con planos.
Tienen propiedades geométricas que las definen y permiten su
trazado con elementos comunes (clavos, piolines,…)
Todos y sólo los puntos de cada una de estas curvas, pueden
caracterizarse a través de ecuaciones.
Las ecuaciones de las cónicas son útiles para reconocerlas, resolver
situaciones de pertenencia, intersecciones con otras curvas, etc.