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GEOMETRÍA ANALÍTICA



            ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

CONTENIDO

1.    Definición de cónica y cono de revolución

2.    Determinación de las cónicas por medio de sus coeficientes

      2.1   Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes A y C
      2.2   Determinación del tipo de curva, considerando el término Bxy
      2.3   Discriminante de la ecuación

3.      Ejercicios



1.      Definición de cónica y cono de revolución

        CÓNICA

        Se llama cónica al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un
        cono de revolución de dos mantos.


        CONO DE REVOLUCIÓN DE DOS MANTOS

        Cono de revolución de
        dos     mantos    es  la
        superficie formada por
        todas las rectas que
        pasan por un punto Q de
        una línea recta L1 L2 y
        forman un ángulo con
        dicha recta, como se ve
        en la figura adjunta.

        La recta L1 y L2 es el eje
        del cono.

        El punto Q es su vértice.

        Las rectas que pasan por
        Q son las que generan o
        forman el cono.


2.      Determinación de las cónicas por medio de sus coeficientes

        La ecuación representativa de las cónicas en una de sus formas es:

        Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 .......................................................................................(1)
                                 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO                                                      8-1
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA




       En donde los coeficientes A, C, D, E, y F, son números reales que determinan el tipo de
curva correspondiente que, en caso de existir, tendremos la línea recta, la circunferencia, la
parábola, la elipse o una hipérbola.

       En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par de rectas,
también puede ser un punto o el conjunto vacío.


2.1.     Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes, A y C

         Tomando en consideración la forma de la ecuación (1), se nos presentan los siguientes
casos.

PRIMERO

         Si los coeficientes A y C son iguales a cero, es decir:

         A=C=0

         La gráfica es una recta. De acuerdo a la ecuación (1) nos queda reducida a la forma:

         Dx + Ey + F = 0

         Que nos representa a la ecuación general de la línea recta , vista anteriormente.

         Ejemplos

         6x - 2 = 0
         4x + 5y + 3 = 0

SEGUNDO

         Si los coeficientes A y C son diferentes a cero; es decir A ≠ 0 y C ≠ 0

         Y se cumple que:

         A=C≠0

         La gráfica será una circunferencia, un punto o el conjunto vacío.

         Ejemplos

         6x2 + 6y2 = 36
         5x2 + 5y2 - 10x + 15y - 24 = 0

TERCERO

         También puede presentarse que uno de los coeficientes de las variables al cuadrado
         sea igual a cero, por lo que la gráfica de la curva será una parábola, una línea recta,
         dos líneas rectas o un conjunto vacío.



                                 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO                       8-2
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA


        Ejemplos

        x2 - 4y = 0
        y2 - 4x + 8 = 0
        x2 + 12y - 24 = 0

CUARTO

        Si se cumple que el producto de los coeficientes A y C es un resultado mayor que cero,
        la gráfica representara a una elipse, un punto o un conjunto vacío.

        Es decir que:

        (A) (C) > 0

        Ejemplos

        5x2 + 3y2 + 15 = 0
        3x2 + 2y2 - 24x + 6y = - 60

QUINTO

        Cuando el producto de los coeficientes A y C es un resultado menor que cero, la
gráfica es una hipérbola o dos líneas rectas que se intersectan.

        Ejemplos

        x2 - y2 = 8
        5x2 - 4y2 + 2x - 1 = 0


2.2.    Determinación del tipo de curva, considerando el termino Bxy

        En los temas correspondientes a la posición general de la parábola, elipse e hipérbola,
se vio la ecuación general de segundo grado cuya forma general es:

         Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ............................................................................(2)

       Se estudió en dichos temas y hemos dicho, que los coeficientes de los términos de
segundo grado son los que definen a la curva correspondiente dada una ecuación y que el
término Bxy aparece solamente cuando la curva tienen sus ejes inclinados con respecto a los
ejes cartesianos.


        La elipse, la parábola y la hipérbola reciben el nombre general de curvas de segundo
grado, porque, como ya vimos, cada una de ellas está representada por una ecuación de
segundo grado. También es muy común llamarlas cónicas, porque resultan de un cono de
revolución al ser cortado por un plano, ya sea oblicuamente a la base, perpendicularmente a
ella o paralelamente a la generatriz.




                                 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO                                                  8-3
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA


2.3.    Discriminante de la ecuación.

        A partir de la ecuación general: A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , podemos saber de
qué cónica se trata recurriendo al binomio B 2 - 4 A C , llamado discriminante de la ecuación, el
cual se representa con la letra D de donde:

        D = B 2 − 4AC

        Por lo cual tenemos los casos siguientes:

        Si D = B 2 − 4AC < 0, se trata de una ELIPSE
        Si D = B 2 − 4AC = 0, se trata de una PARÁBOLA
        Si D = B 2 − 4AC > 0, se trata de una HIPÉRBOLA

       Es decir: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo
nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola
respectivamente.


3.      Ejercicios

1.      Determinar qué tipo de curva representa la ecuación 3x 2 + 4y 2 + 36x − 24y + 36 = 0 .



                                             SOLUCIÓN

        Según la forma general de la ecuación (2) de segundo grado los coeficientes son: A =
        3, B = 0 y C = 4; sustituyendo estos valores, el discriminante queda:

        B2 - 4AC = 0 - 4 ( 3 ) 4 = - 12 ( 4) = - 48 < 0

        Es decir que

        D<0

        De acuerdo con el resultado la ecuación dada representa una elipse.

2.      Identificar la curva correspondiente a la ecuación 7x 2 − 14xy + 7y 2 + 5x − 23y + 34 = 0 .

                                             SOLUCIÓN

        Los coeficientes son:

        A = 7, B = - 14 y C = 7

        Calculamos el discriminante:

        B2 - 4AC = ( - 14 )2 - 4 (7 ) 7 = 196 - 198 = 112 = 0


                                 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO                            8-4
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA


        Como: D = 0

        La ecuación dada corresponde a una parábola.

3.      Determinar a que tipo de curva corresponde la ecuación x 2 − xy − 3x + 2y + 4 = 0 .

                                             SOLUCIÓN

        Los coeficientes en este caso son:

        A = 1; B = - 1 y C = 0

        Calculando el discriminante:

        B2 - 4AC = ( - 1 )2 - 4 ( 1 ) (0 ) = 1 - 0 = 1 > 0

        Como: D > 0

        La ecuación representa a una hipérbola.

4.      Hallar     la       naturaleza
                                    de          la    curva    representada   por   la   ecuación
           2            2
        4x − 4xy + y − 6x + 3y + 2 = 0 .

                                             SOLUCIÓN

        De la ecuación tenemos que:

        A = 4, B = -4 y C = 1

        Sustituyendo según el discriminante:

        D = B2 - 4AC = (4)2 - 4 (4) (1) = 16 - 16 = 0

        D=0

        Por el resultado puede ser una parábola.

        Pero agrupando los términos, la ecuación dada se puede descomponer en factores,
        como veremos enseguida:

        (4x2 - 4xy + y2) - 3 (2x - y) + 2 = 0

        (2x - y)2 - 3 (2x - y)+ 2 = 0

        Resolviendo la ecuación de segundo grado por el método de factorizacion:

        (2x - y) (2x - y) - (2x - y) - 2 (2x - y) + 2 = 0

        Factorizando por agrupación:

        (2x - y) [(2x - y) - 1] - 2[(2x - y) - 1]=0

        (2x - y -1) (2x - y - 2) = 0
                                 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO                         8-5
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA


        El resultado nos demuestra que son dos rectas paralelas:

        2x - y - 1 = 0 y 2x - y - 1 = 0




                                 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO   8-6
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

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  • 1. GEOMETRÍA ANALÍTICA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CONTENIDO 1. Definición de cónica y cono de revolución 2. Determinación de las cónicas por medio de sus coeficientes 2.1 Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes A y C 2.2 Determinación del tipo de curva, considerando el término Bxy 2.3 Discriminante de la ecuación 3. Ejercicios 1. Definición de cónica y cono de revolución CÓNICA Se llama cónica al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos mantos. CONO DE REVOLUCIÓN DE DOS MANTOS Cono de revolución de dos mantos es la superficie formada por todas las rectas que pasan por un punto Q de una línea recta L1 L2 y forman un ángulo con dicha recta, como se ve en la figura adjunta. La recta L1 y L2 es el eje del cono. El punto Q es su vértice. Las rectas que pasan por Q son las que generan o forman el cono. 2. Determinación de las cónicas por medio de sus coeficientes La ecuación representativa de las cónicas en una de sus formas es: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 .......................................................................................(1) 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO 8-1 AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • 2. GEOMETRÍA ANALÍTICA En donde los coeficientes A, C, D, E, y F, son números reales que determinan el tipo de curva correspondiente que, en caso de existir, tendremos la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse o una hipérbola. En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par de rectas, también puede ser un punto o el conjunto vacío. 2.1. Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes, A y C Tomando en consideración la forma de la ecuación (1), se nos presentan los siguientes casos. PRIMERO Si los coeficientes A y C son iguales a cero, es decir: A=C=0 La gráfica es una recta. De acuerdo a la ecuación (1) nos queda reducida a la forma: Dx + Ey + F = 0 Que nos representa a la ecuación general de la línea recta , vista anteriormente. Ejemplos 6x - 2 = 0 4x + 5y + 3 = 0 SEGUNDO Si los coeficientes A y C son diferentes a cero; es decir A ≠ 0 y C ≠ 0 Y se cumple que: A=C≠0 La gráfica será una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. Ejemplos 6x2 + 6y2 = 36 5x2 + 5y2 - 10x + 15y - 24 = 0 TERCERO También puede presentarse que uno de los coeficientes de las variables al cuadrado sea igual a cero, por lo que la gráfica de la curva será una parábola, una línea recta, dos líneas rectas o un conjunto vacío. 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO 8-2 AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • 3. GEOMETRÍA ANALÍTICA Ejemplos x2 - 4y = 0 y2 - 4x + 8 = 0 x2 + 12y - 24 = 0 CUARTO Si se cumple que el producto de los coeficientes A y C es un resultado mayor que cero, la gráfica representara a una elipse, un punto o un conjunto vacío. Es decir que: (A) (C) > 0 Ejemplos 5x2 + 3y2 + 15 = 0 3x2 + 2y2 - 24x + 6y = - 60 QUINTO Cuando el producto de los coeficientes A y C es un resultado menor que cero, la gráfica es una hipérbola o dos líneas rectas que se intersectan. Ejemplos x2 - y2 = 8 5x2 - 4y2 + 2x - 1 = 0 2.2. Determinación del tipo de curva, considerando el termino Bxy En los temas correspondientes a la posición general de la parábola, elipse e hipérbola, se vio la ecuación general de segundo grado cuya forma general es: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ............................................................................(2) Se estudió en dichos temas y hemos dicho, que los coeficientes de los términos de segundo grado son los que definen a la curva correspondiente dada una ecuación y que el término Bxy aparece solamente cuando la curva tienen sus ejes inclinados con respecto a los ejes cartesianos. La elipse, la parábola y la hipérbola reciben el nombre general de curvas de segundo grado, porque, como ya vimos, cada una de ellas está representada por una ecuación de segundo grado. También es muy común llamarlas cónicas, porque resultan de un cono de revolución al ser cortado por un plano, ya sea oblicuamente a la base, perpendicularmente a ella o paralelamente a la generatriz. 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO 8-3 AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • 4. GEOMETRÍA ANALÍTICA 2.3. Discriminante de la ecuación. A partir de la ecuación general: A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , podemos saber de qué cónica se trata recurriendo al binomio B 2 - 4 A C , llamado discriminante de la ecuación, el cual se representa con la letra D de donde: D = B 2 − 4AC Por lo cual tenemos los casos siguientes: Si D = B 2 − 4AC < 0, se trata de una ELIPSE Si D = B 2 − 4AC = 0, se trata de una PARÁBOLA Si D = B 2 − 4AC > 0, se trata de una HIPÉRBOLA Es decir: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola respectivamente. 3. Ejercicios 1. Determinar qué tipo de curva representa la ecuación 3x 2 + 4y 2 + 36x − 24y + 36 = 0 . SOLUCIÓN Según la forma general de la ecuación (2) de segundo grado los coeficientes son: A = 3, B = 0 y C = 4; sustituyendo estos valores, el discriminante queda: B2 - 4AC = 0 - 4 ( 3 ) 4 = - 12 ( 4) = - 48 < 0 Es decir que D<0 De acuerdo con el resultado la ecuación dada representa una elipse. 2. Identificar la curva correspondiente a la ecuación 7x 2 − 14xy + 7y 2 + 5x − 23y + 34 = 0 . SOLUCIÓN Los coeficientes son: A = 7, B = - 14 y C = 7 Calculamos el discriminante: B2 - 4AC = ( - 14 )2 - 4 (7 ) 7 = 196 - 198 = 112 = 0 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO 8-4 AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA Como: D = 0 La ecuación dada corresponde a una parábola. 3. Determinar a que tipo de curva corresponde la ecuación x 2 − xy − 3x + 2y + 4 = 0 . SOLUCIÓN Los coeficientes en este caso son: A = 1; B = - 1 y C = 0 Calculando el discriminante: B2 - 4AC = ( - 1 )2 - 4 ( 1 ) (0 ) = 1 - 0 = 1 > 0 Como: D > 0 La ecuación representa a una hipérbola. 4. Hallar la naturaleza de la curva representada por la ecuación 2 2 4x − 4xy + y − 6x + 3y + 2 = 0 . SOLUCIÓN De la ecuación tenemos que: A = 4, B = -4 y C = 1 Sustituyendo según el discriminante: D = B2 - 4AC = (4)2 - 4 (4) (1) = 16 - 16 = 0 D=0 Por el resultado puede ser una parábola. Pero agrupando los términos, la ecuación dada se puede descomponer en factores, como veremos enseguida: (4x2 - 4xy + y2) - 3 (2x - y) + 2 = 0 (2x - y)2 - 3 (2x - y)+ 2 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado por el método de factorizacion: (2x - y) (2x - y) - (2x - y) - 2 (2x - y) + 2 = 0 Factorizando por agrupación: (2x - y) [(2x - y) - 1] - 2[(2x - y) - 1]=0 (2x - y -1) (2x - y - 2) = 0 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO 8-5 AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
  • 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA El resultado nos demuestra que son dos rectas paralelas: 2x - y - 1 = 0 y 2x - y - 1 = 0 8. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO 8-6 AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS