v

1. ¿Cómo hacerlo?
Ecuación vectorial de la recta en el plano
y su ecuación cartesiana
Aprenderé a: identificar y describir rectas en plano, deducir la ecuación vectorial de la recta y su relación con la
Entonces,podemosdecirque,paradeterminarunarectaquepasaporelorigen,basta
un vector, que tenga la misma dirección de la recta. Observa.
En un plano cartesiano podemos representar una recta L, que pasa por el origen
O(0, 0) y con vector director d = 〈d1
, d2
〉 paralelo a la recta L.
Si P es un punto que pertenece a la recta L, por ejemplo P(x, y), entonces siempre
existe un número real λ, tal que OP = λ · d.
Luego la ecuación vectorial de la recta L es 〈x, y〉 = λ〈d1
, d2
〉.
Dado el punto A(4, 7), determina la ecuación vectorial de la recta que pasa
por el origen y el punto A.
Se utiliza el vector a como vector director d, que corresponde al vector OA :
d = a = 〈4, 7〉
De esta manera, se puede escribir la ecuación vectorial de la recta como:
〈x, y〉 = λ〈4, 7〉. O bien, como: 〈x, y〉 = 〈4λ, 7λ〉 con λ ∈ R.
O d1
d2
P
L
Y
X
d
Veamos ahora qué sucede si λ = 3. Al remplazar en la ecuación:
〈x, y〉 = 〈4 · λ, 7 · λ〉 = 〈4 · 3, 7 · 3〉 = 〈12, 21〉
Es decir, el punto (12, 21) pertenece a la recta 〈x, y〉 = λ〈4, 7〉.
ecuación cartesiana.
Sabemosquebastaconocerdospuntosquepertenezcanaunarecta,paradeterminar
correctamentelaecuacióndeunarectaenelplano.Consideremosprimeroelcasode
una recta que pasa por el origen del plano cartesiano. Es decir, uno de los puntos de
la recta es (0, 0) y otro es, digamos (a, b). Si ahora trazamos el vector 〈a, b〉, podremos
observar que este vector tiene, naturalmente, la misma dirección que la recta que
pasa por (0, 0) y (a, b).
Docente:
Cristian Casas.
Departamento de Matemática
Curso: 4° Medio ___
Fecha :
NOMBRE: _____________________________________________________
Puntos :_______
Liceo Técnico Adolfo
Matthei
“Liderando la Educación
Técnico Profesional”
GUIA MATEMATICA
Nota :______

2. Ahora, cuando la recta no pasa por el origen, además del vector director 〈d1
, d2
〉 es
necesario determinar un vector que indique la ubicación de la recta en el plano.
En este caso, si la recta L tiene vector director d, pero que además pasa por el punto
P0
(x0
, y0
), para representarla consideramos un punto cualquiera P de la recta L, cuyas
coordenadas son P(x, y), entonces existe un número real λ, tal que P0
P = λ · d, y por
lo tanto: OP = OP 0
+ λ · d.
Utilizandoelvectorposición p0
deP0
yconsiderandoelvector p deP,
resulta: p = p0
+ λ · d.
Además, si d1
y d2
son las componentes del vector d, la ecuación
vectorial de la recta, expresada en coordenadas es:
〈x, y〉 = 〈x0
, y0
〉 + λ 〈d1
, d2
〉.
¿Cómo hacerlo?
Dados los puntos A(2, 3) y B(5, 2), determina la ecuación vectorial de la recta
que pasa por ellos. ¿Qué sucede si λ = 1
2
?
Utilizamos el vector b como vector posición de la recta (también podríamos
haber usado a como vector posición).
Luego, calculamos su vector director d , que corresponde al vector AB:
d = b – a = 〈5, 2〉 – 〈2, 3〉 = 〈3, –1〉.
De esta manera, podemos escribir la ecuación vectorial de la recta como:
〈x, y〉 = 〈5, 2〉 + λ〈3, –1〉. O bien, como: 〈x, y〉 = 〈5 + 3λ, 2 – λ〉 con λ ∈ R.
Veamos ahora qué sucede si λ = 1
2
. Al remplazar en la ecuación:
〈x, y〉 = 〈5 – 3λ, 2 + λ〉 = 〈5 – 3
2
, 2 + 1
2〉= 〈10 – 3
2
, 4 + 1
2 〉= 〈7
2
, 5
2 〉.
Observa que, por otra parte, el punto medio del segmento AB está dado por:
b2 + 5
2
, 3 + 2
2
l = b7
2
, 5
2
l, lo que coincide con el punto correspondiente a
remplazar λ = 1
2
en la ecuación vectorial de la recta.
Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta es que permite
obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una
restricción del parámetro λ. Así, por ejemplo, en la ecuación 〈x, y〉 = 〈2, –1〉 + λ〈1, 2〉,
si restringimos el parámetro a 1 G λ G 3, estamos describiendo el segmento de
recta que une los puntos (3, 1) y (5, 5), que son los puntos obtenidos al remplazar
por el mínimo y el máximo valor asignado al parámetro λ.
Y
X
O
P0
P
p0
d
p
L

3. Tomo nota
• Las expresiones p = λ d y también p = p0
+ λ d reciben el nombre de ecuación vectorial de la recta.
- d es el vector director, paralelo a la recta,
- λ es un parámetro. Al remplazar valores de λ, obtenemos los puntos que pertenecen a la recta,
- p0
es el vector posición de la recta (que no es un vector ponderado de d), se utiliza cuando la recta
no pasa por el origen del plano cartesiano.
Actividades
1. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B(4, –2).
2. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos C(1, 1) y D(4, 4)? En caso
afirmativo, ¿cuál es su ecuación vectorial?
3. Dada la ecuación vectorial 〈x, y〉 = 〈1, 2〉 + λ〈4, 8〉, determina tres puntos que pertenezcan a la recta.
4. Determina la ecuación vectorial de una recta paralela a 〈x, y〉 = 〈2, –5〉 + λ〈1, –4〉; luego, grafica
ambas rectas.
¿Cómo hacerlo?
Si la recta L tiene vector director es d = 〈6, 4〉 y el punto A(5, 7) pertenece a
ella, ¿cuál es la ecuación vectorial de L?, ¿cuál es su ecuación cartesiana?
Para determinar la ecuación vectorial de la recta, observamos que la recta L pasa
por el punto A, luego, podemos usar a como el vector posición:
〈x, y〉 = 〈5, 7〉 + λ〈6, 4〉 con λ, número real.
Si remplazamos valores en la ecuación vectorial, podemos ubicar en el plano
cartesiano dos puntos pertenecientes a la recta y, luego, determinar su ecuación
cartesiana.
Entonces,paradeterminarunpuntoBdelarectaL,asignamos
un valor cualquiera a λ y lo remplazamos en la ecuación
vectorial. Por ejemplo, si λ = 2:
b = 〈5, 7〉 + 2 · 〈6, 4〉 = 〈5, 7〉 + 〈12, 8〉 = 〈17, 15〉
Luego, el punto B resultante es (17, 15).
Finalmente, calculamos la ecuación cartesiana de la recta, ya
sea a partir de los puntos A y B, o bien, dados un punto de
ella y su pendiente.
Podemos obtener el valor de la pendiente m a partir de las
coordenadas del vector director 〈d1
, d2
〉 como m =
d2
d1
.
Entonces, remplazando en la ecuación punto-pendiente,
obtenemos que la recta es y – 7 = 4
6
· (x – 5). Y, ordenando, la
recta es: 2x – 3y + 11 = 0.
2 4 6 8 10 12 14 16 18
–2
16
14
12
10
8
6
4
2
–2
Y
0
X
L
B
A
d

4. ¿Cómo hacerlo?
Dada la ecuación vectorial de la recta: 〈x, y〉 = 〈5, 2〉 + λ〈3, 1〉, determina la
correspondiente ecuación cartesiana.
Otra forma de obtener la ecuación cartesiana correspondiente a una ecuación
vectorial dada es igualar componente a componente y obtener una ecuación que
relacione los valores de x e y, sin el parámetro λ. Para esto, despejamos λ en cada
una de las ecuaciones.
x = 5 + 3λ → λ = x – 5
3
y = 2 + λ → λ = y – 2
Luego, igualamos las ecuaciones y ordenamos la ecuación:
x – 5
3
= y – 2
x – 5 = 3y – 6
x – 3y + 1 = 0
¿Cómo hacerlo?
Dada la ecuación cartesiana de la recta: 4x + 3y + 7 = 0, determina la corres-
pondiente ecuación vectorial.
Primer paso: para obtener el vector posición se requiere determinar un punto que
pertenezca a la recta; por ejemplo, podemos calcular el valor de y remplazando
en la ecuación de la recta un valor para x.
Si x = –1, entonces 4 · (–1) + 3y + 7 = 0
3y + 3 = 0
y = –1
Luego, el vector posición es 〈–1, –1〉.
Segundo paso: para obtener el vector director podemos calcular la pendiente de
la recta m =
d2
d1
y, luego, escribir el vector director.
4x + 3y + 7 = 0
3y = –4x – 7
y = – 4
3
x – 7
3
, es decir, m = – 4
3
.
Luego, un vector director es 〈3, –4〉.
Por lo tanto, una ecuación vectorial de la recta es: 〈x, y〉 = 〈–1, –1〉 + λ〈3, –4〉.
• La ecuación de la recta en el plano se puede representar mediante:
- la ecuación cartesiana de la recta: ax + by + c = 0;
- la ecuación vectorial de la recta: 〈x, y〉 = p0
+ λd = 〈x0
, y0
〉 + λ〈d1
, d2
〉, donde d es el vector director
de la recta, p0
〈x0
, y0
〉 es el vector posición y λ es su parámetro.
Si d es un vector director cuyas coordenadas son 〈d1
, d2
〉, la pendiente m de la recta
correspondiente está dada por m =
d2
d1
.

5. Actividades
1. Para cada ecuación vectorial de la recta, determina la ecuación cartesiana correspondiente.
a. 〈x, y〉 = 〈1, 2〉 + λ 〈4, 8〉
b. 〈x, y〉 = 〈0, 4〉 + λ 〈3, 5〉
c. 〈x, y〉 = 〈3, –2〉 + λ 〈1, –6〉
d. 〈x, y〉 = 〈5, 1〉 + λ 〈0, 3〉
2. Determina la ecuación cartesiana correspondiente a la recta que pasa por el punto (5, –2) y es paralela al
vector d= 〈–2, 3〉.
3. La recta L pasa por el punto (–3, 2) y es paralela a la recta y = 3x – 2.
a. Encuentra la ecuación vectorial de la recta L.
b. Decide si los puntos (0, 0), (0, 11) y (–3, 0) pertenecen a la recta L. Justifica tu decisión.
4. Determina la ecuación vectorial para cada recta.
a. 4x + 2 = 3y – 3
b. 2x – 5y + 1 = 0
c. –7x + y – 18 = 0
d. 8x – 3y = –6
5. Indica cuál es la posición relativa (paralelas, perpendiculares o secantes) entre las rectas dadas, en cada
caso. Explica.
a. L1
: x – y – 2 = 0, L2
: 〈x, y〉 = 〈1, 2〉 + λ〈2, 2〉
b. L1
: 4x + y – 3 = 0, L2
: 〈x, y〉 = 〈3, 0〉 + λ〈1, 4〉
c. L1
: 2x – y + 2 = 0, L2
: 〈x, y〉 = 〈1, –1〉 + λ〈3, –1〉
d. L1
: x + y – 9 = 0, L2
: 〈x, y〉 = 〈5, 4〉 + λ〈–1, 1〉
6. Dada la recta L: 〈x, y〉 = 〈2, –3〉 + λ 〈1, 2〉 y el punto P(2, 1), calcula la ecuación de la recta:
a. paralela a L que pasa por P.
b. perpendicular a L que pasa por P.
7. Determina la recta que pasa por el punto A(2, –1) y tiene la misma pendiente que:
a. 〈x, y〉 = 〈0, 3〉 + λ〈1, 1〉
b. 2x – 3y = 6