Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden y de segundo orden, incluyendo ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, lineales, de Bernoulli, exactas y de Riccati. También describe aplicaciones geométricas como pendientes y áreas bajo curvas, así como aplicaciones a modelos de crecimiento, mezclas, circuitos eléctricos, caída libre, sistemas masa-resorte y transformadas de Laplace.

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FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
Ecuación diferencial separable
( ) ( )
Ecuación diferencial homogénea
( ) cambio
Ecuaciones diferenciales casi homogéneas
( )
Si: , se cortan el cambio es:
, donde ( ) es el punto de corte
Si son paralelas: , el
cambio es:
Ecuación diferencial lineal:
( ) ( )
∫ ( )
∫ ( ) ∫ ( )
Ecuación diferencial tipo Bernoulli:
( ) ( )
Ecuación diferencial exacta:
( ) ( )
Es exacta si se cumple:
Factores de integración:
. / ( ) ∫ ( )
. / ( ) ∫ ( )
Ecuación diferencial de Riccati
( ) ( ) ( )
Cambio: ( ) ⁄
Donde ( ) es un solución de la ecuación diferencial
Manipulaciones diferenciales
( ) ( ) ( ) . /
( ) . / ( ) ( ( ))
APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
APLICACIONES GEOMETRICAS
La pendiente y la pendiente normal
,
La ecuación de una recta tangente en ( ) es:
( )
La ecuación de una recta normal en ( ) es:
( )
Longitudes de la subtangente y la
subnormal ,
Los segmentos interceptados por la recta tangente
en los ejes “ ” y “ ” ,
Los segmentos interceptados por la recta normal
en los ejes “ ” y “ ” ,
Longitud de curva
√ ( ) √ ( )
Área
Las longitudes de la recta tangente entre el punto
( ), con los segmentos interceptados por la recta
tangente en los ejes “ ” y “ ”
√ ( ) , √ ( )
Las longitudes de la recta normal entre el punto
( ), con los segmentos interceptados por la
recta normal en los ejes “ ” y “ ”
√ ( ) , √ ( )
MODELOS DE CRECIMIENTO
, Cantidad presente
, Constante de proporción
PROBLEMAS DE MEZCLAS
( )
( )
Cantidad de un sustancia
EL tiempo
Volumen inicial
, Velocidad de flujo entrante
, Velocidad de flujo saliente
( ) , Concentración entrante
APLICACIÓN A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS
( ) , ( )
, La corriente (amperios)
, La carga (culombios)
EL tiempo
, La inductancia (henrios)
, Capacidad del condensador (faradios)
, La resistencia (ohmios)
, Fuerza electromotriz (voltios)
LEY DE ENFRIAMIENTO 0 CALENTAMIENTO
DE NEWTON
( )
Temperatura EL tiempo ,proporción
Temperatura del ambiente
ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
Ecuación diferencial a coeficientes
constantes homogénea
Con
1) Si: son reales distintos
2) Si: son reales iguales
3) Si: son complejos
cos sen
Otra solución L.I. a de: ( ) ( )
∫
∫ ( )
( )
Fórmulas para reducir el orden
Ecuación diferencial Cauchy - Euler
Cambio: , (Para trasformar a coeficientes constantes)
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
. . .

2. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL NO HOMOGÉNEA
MÉTODOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN PARTICULAR DE ( ) ( ) ( )
Variación de parámetros (Variación de constantes)
. / ( ) (
( )
)
O
P
E
R
A
D
O
R
E
S
Teoremas (Métodos Abreviados)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) , ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) , ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, ( )-
( )
( )
( )
Coeficientes indeterminados (tanteo)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
CIRCUITOS ELÉCTRICOS SENCILLOS
( ) ( )
, La corriente (amperios)
, La carga (culombios)
EL tiempo
, La inductancia (henrios)
, Capacidad del condensador (faradios)
, La resistencia (ohmios)
, Fuerza electromotriz (voltios)
CAIDA LIBRE
CAIDA RETARDADA
Resistencia proporcional a
, altura , masa
tiempo , gravedad
, constante de proporción
EL SISTEMA MASA
RESORTE
, ecu. de movimiento
, La masa
EL tiempo
, rigidez
, constante de
amortiguamiento
LEY DE HOOKE
, masa , alargamiento
, constante de proporción
FRECUENCIA DE OSCILACION
√ ⁄
PERIODO DE OSCILACION
⁄
TRANSFORMADA DE LAPLACE * ( )+ ∫ ( ) ( ) → Definición
* + , * + , * ( )+ ( ) ( )
* + , * + , * ( )+ ( ) ( ) ( )
* + , * ( )+ ( ) { ( )
( )} ( ) ( ) ( ) ( )
( )
* + , * ( )+ ( ) Traslación {∫ ( ) ( ) }= ( ) ( ) convolución
* + , * ( )+ ( )
( )
( ) *
( )
+ ( ) ( ) * ( )+ ( )
* + , {
( )
} ∫ ( ) * ( )+
* + , {∫ ( ) }
( )
* ( ) ( )+ * ( )+ ( )
* + , * ( )+ ∫ ( ) * ( ) ( )+ * ( )+
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE (ANTITRANSFORMADA)
{ } { } { ( )( )} ( ) ( ) * ( )+ * ( )+ ( ) Traslación
{ } { } {∫ ( )}
( )
* ( ) ( )+ ∫ ( ) ( ) convolución
{ }
( )
, { } {
( )
} ∫ ( ) * ( ) + *
( )
( ) ( )
{ } { } { . /} ( ) * + ( )
MÉTODO DE SERIES
Si de : ( ) ( ) ( ) y ( ) son analíticas en (Punto regular) ∑ ( )
Si de : ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) son analíticas en (Punto singular regular)
∑ ( ) ∑ ( )
Ecuación indicial ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Segunda solución y términos logarítmicos para ( )
Caso 1 Si no es un entero
∑
∑
Caso 2 Si
∑
( ) ∑
Caso 3 Si
∑
( ) ∑