FORMULARIO
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Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con vectores, geometría analítica en el espacio, funciones de varias variables, integrales múltiples y series numéricas. Incluye definiciones de vectores, producto escalar, producto vectorial, proyecciones, ángulos entre vectores, norma, paralelogramo y bisectriz de vectores. También cubre ecuaciones de planos, rectas, distancias entre puntos y figuras geométricas, así como cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables.
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- 1. bladimirariasmejia.jimdo.com FORMULARIO DE CÁLCULO II GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO VECTOR ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Punto final ⃗⃗⃗ Punto inicial Norma (magnitud, módulo) ⃗⃗⃗ √ Vectores paralelos ⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Vectores ortogonales ⃗⃗⃗ y ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Producto escalar ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Producto vectorial ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ | (| | | | | |) Proyección ortogonal ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗ | ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Ángulo entre dos vectores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗ ‖ Vector unitario de ⃗⃗⃗ ⃗ ‖⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ La ley del paralelogramo ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Área = ‖⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ‖ Vector bisectriz entre ⃗⃗⃗ y ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗ ‖⃗⃗ ‖ ⃗⃗ = ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗⃗ ‖ Volumen paralelepípedo |⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )| Volumen tetraedro |⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )| FAMILIA DE PLANOS ( HAZ DE PLANOS) LA RECTA Punto ; Vector dirección ⃗⃗⃗ ⃗ EL PLANO Punto del plano Vector normal ⃗⃗⃗ ⃗ DISTANCIA PUNTO – RECTA Punto Recta ⃗ ‖⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗ ‖ ‖ ( ⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗ || ) ⃗⃗⃗⃗ ‖ DISTANCIA PUNTO – PLANO Punto Plano ⃗ ⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗ ‖ √ DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS (Alabeadas) NO PARALELAS QUE NO SE CORTAN Rectas ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ‖⃗⃗⃗ ⃗⃗ ‖ SUPERFICIES ESFERA Centro Radio R COMPLETAR CUADRADOS ( ) ( ) SUPERFICIES CUADRÁTICAS Elipsóide Hiperboloide de dos hojas Cono recto Paraboloide elíptico Hiperboloide de una hoja Paraboloide hiperbólico FUNCIONES CURVILÍNEAS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Longitud de curva ∫ Tangente ⃗ ⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗ ‖ Binormal ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ Curvatura ‖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖⃗⃗⃗ ‖ Radio de curvatura Normal ⃗⃗ (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ‖(⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ‖ Torsión (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES LIMITES ITERADOS ( ) Si los límites iterados son entonces no existe el límite en el punto PRIMERA DERIVADA DE ⃗⃗⃗⃗⃗ SEGUNDA DERIVADA ( MATRIZ HESSIANA) DE Y DE ( ) ; ( ) DIFERENCIAL DE 2da DIFERENCIAL DE ( ) DERIVADA IMPLÍCITA , | | | | ; | | | | ; | | | | ; | | | | ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗
- 2. REGLA DE LA CADENA Desarrollando tenemos DERIVADAS PARCIALES DE DERIVADA DIRECCIONAL ( ⃗ debe ser vector unitario) Por definición ⃗⃗ ( ⃗⃗ ) Por cálculo directo ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ SIGNIFICADO DE LA DERIVADA ( donde , ) ( ) ( ⃗ ) ⃗⃗ ( usando derivada direccional ) CRITERIO PARA HALLAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE 2 VARIABLES ; ( ) CRITERIO PARA HALLAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE 3 VARIABLES ; ( ) ; ( ) MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS (MULTIPLICADORES DE LAGRANGE) Función: Condición: ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ INTEGRALES MÚLTIPLES ÁREA ∬ ∬ MASA: ∬ DENSIDAD MEDIA: ̅ TEOREMA DE PAPPUS: ̅ CENTRO DE MASAS ( CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD) ̅ ∬ ∬ , ̅ ∬ ∬ INERCIAS ∬ , ∬ , VOLUMEN DE REVOLUCIÓN ∬ ∬ Alrededor de la recta ∬ Alrededor de la recta ∬ VOLUMEN ∬ ∭ MASA ∭ CENTRO DE MASAS (CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD) ̅ ∭ ∭ ̅ ∭ ∭ ̅ ∭ ∭ INERCIAS CON LOS PLANOS COORDENADOS ∭ ∭ ∭ INERCIA POLAR ∭ INERCIAS CON LOS EJES COORDENADOS ∭ , ∭ , ∭ , AREAS DE SUPERFICIES ∬ √ COORDENADAS POLARES ( ) ; ( ) COORDENADAS CILÍNDRICAS ( ) ; ( ) COORDENADAS ESFÉRICAS ( √ ) ; ( ) INTEGRALES DE LINEA Y SUPERFICIES ∫ √ ( ) ∫ √ ( ) ∫ √( ) ( ) ∫ ∫ ∫ TEOREMA DE GREEN ∮ ∬ ( ) AREAS POR INTEGRALES DE LINEA ∮ TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) ∯ ⃗ ∭ ⃗⃗ TEOREMA DE STOKES ∮ ⃗⃗ ∬(⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ SERIE P ∑ Si: SERIE GEOMÉTRICA ∑ Si: Si es la suma se halla con: ∑ ∑ , ∑ CRITERIOS DE CONVERGENCIA Criterio de comparación Si: Criterio de límite de comparación Criterio del cociente Criterio de la raíz √ Criterio de Raabe Criterio de la integral ∫ SERIE DE TÉRMINOS ALTERNOS La serie alterna ∑ es Cv si: Si: ∑ es y ∑ es ; ∑ Si: ∑ es y ∑ es ; ∑ SERIE DE POTENCIAS Para determinar el intervalo de convergencia | | Serie de Taylor ( ) … Serie de Mc-Laurin …