Este documento presenta el modelado matemático de un motor de corriente continua con excitación independiente. Se derivan las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema y se obtienen las funciones de transferencia entre la velocidad angular y la tensión de entrada y el par de carga. Se calculan los polos y ceros de las funciones de transferencia y se grafican las respuestas en frecuencia y al escalón. El análisis muestra que el sistema tiene una respuesta de segundo orden con polos complejos conjugados.
Análisis de la respuesta transitoria. sistemas de segundo ordenjeickson sulbaran
Básicamente, el primer ejercicio se trata de la demostración para determinar los parámetros para un sistema de lazo cerrado de segundo orden. Mientras que, los otros dos ejercicios se basa en la resolución por el caso de sistema subamortiguado, es decir, un sistema que oscila en el transcurso del tiempo.
Método de flexibilidades para armaduras planasJlm Udal
Se proporciona un ejemplo de armadura hiperestática de grado 2, una vez comprendido el ejercicio se puede aplicar para cualquier armadura de cualquier grado de indeterminación estática. Se presenta el Método de Superposición, Energía de Deformación y de Maxwell-Mohr. Todo esto con la finalidad de obtener reacciones internas y sitva posteriormente para dimensionamiento y cálculo de esfuerzos.
Mediante estos problemas, el lector podrá darse una idea clara y precisa acerca de como resolver estos problemas cuando se le presenten, el método de flexibilidad es una llave rápida para el calculo de acciones redundantes en una estructura (viga,pórtico y armadura).
La función de onda no se puede representar gráficamente porque depende de tres variables, lo que supone que se necesitarían cuatro dimensiones para dibujarla. No obstante, se puede adquirir una idea de su forma estudiando por separado los factores radial (que depende de una sola variable) y angular (que depende de dos). Se considera esto a continuación.
Le netlinking en 2014 : faut-il réinventer la roue ? (Petit déjeuner SEO)One Clic Conseil
Support de la présentation des petits déjeuner SEO One Clic du 16 et du 23 octobre 2013.
Au programme : le netlinking pour 2014.
A l'heure de Google Penguin, que peut-on encore envisager sereinement pour son netlinking ? Comment faire pour transformer une prestation d'acquisition de lien en véritable stratégie d'influence ?
En savoir plus : http://www.pureside.fr/lagence/petit-dejeuner-seo-netlinking-2014/
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Mediante estos problemas, el lector podrá darse una idea clara y precisa acerca de como resolver estos problemas cuando se le presenten, el método de flexibilidad es una llave rápida para el calculo de acciones redundantes en una estructura (viga,pórtico y armadura).
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EMDay 2015 - Comment utiliser le big data pour améliorer la performance de vo...Clic et Site
Présenté par Tinyclues
Les méthodes traditionnelles de ciblage s'appuient souvent sur des logiques de retargeting : si j'ai acheté un jeu vidéo, ou si j'ai consulté la fiche produit d'un jeu vidéo, alors j'appartiendrai au segment « appétents jeu vidéo » et je recevrai les offres associées.
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Retour d'expérience et cas client d'usage du big data prédictif
Funcion de transferencia y diagrama de bloques grupo 4VctorRamrez34
Acontinuacion se describe como se aplican los sistemas de transferencia , como esta formado un diagrama de bloques , sus reglas basicas y porcentaje de efectividad a la hora de realizar un proceso.
SISTEMAS DE CONTROL I: CII OBTENCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE LAPLACE...AVINADAD MENDEZ
SISTEMAS DE CONTROL I: OBTENCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE LAPLACE DE SISTEMAS FISICOS , FUNCION DE TRANSFERENCIA,
RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTADO ESTACIONARIO , RESPUESTA EN TIEMPO ANTE
ENTRADAS DEL TIPO : IMPULSO, ESCALON Y FUNCION RAMPA
El escurrimiento de agua por debajo de una compuerta radial se estudia en un modelo a escala 1:20.
Determinar:
a.) La carga Hm que debe tener el modelo, si el prototipo Hp=4 m.
b.) El gasto Qp y velocidad Vp de la sección contraída en la compuerta del prototipo, si durante la prueba se obtuvo Qm=155 L⁄s y Vm=1,3 m⁄s.
c.) La fuerza dinámica Fp que produce el flujo sobre el prototipo, si en el modelo se midió Fm=55N.
Aplicar solamente parámetros adimensionales.
THIS DOCUMENT IS MAINLY PREPARED ON THE TIME RESPONSE OF A SECOND ORDER SYSTEM AND IN THIS DOCUMENT WE ALSO DONE THE SIMULATION BY USING MATLAB AND HERE WE ALSO DONE THE THEORETICAL MATHEMATICAL CALCULATIONS TO SHOW HOW THE SYSTEM IS BEHAVING IN DIFFERENT CONDITIONS AND HERE WE ALSO DONE THE MATLAB CODING AND THE RESULTS ARE ALSO PLOTTED IN THE DOCUMENT
1º Caso Practico Lubricacion Rodamiento Motor 10CVCarlosAroeira1
Caso pratico análise analise de vibrações em rolamento de HVAC para resolver problema de lubrificação apresentado durante a 1ª reuniao do Vibration Institute em Lisboa em 24 de maio de 2024
libro conabilidad financiera, 5ta edicion.pdfMiriamAquino27
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Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
Modelacion de procesos-Motor CC con excitacion independiente
1. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 1 -
MODELACIÓN DE PROCESOS
Ejercicio N° 2:
A. Modelación matemática
1. Un motor de corriente continua con excitación independiente, cuyo circuito eléctrico está
representado en la Figura 1, es controlado por la corriente de armadura, manteniéndose la
corriente de campo 𝑖 𝑓(𝑡) = 𝐼𝑓 = 𝑐𝑡𝑡𝑒. Este motor acciona una carga de momento de inercia J. En
este esquema se tiene:
Tm: par o torque mecánico producido por el motor.
Tc: par antagónico de carga.
b: coeficiente de rozamiento.
vb: fuerza contraelectromotriz.
Ra: resistencia de la armadura.
La: inductancia de la armadura.
Kt: constante de proporcionalidad entre el par motor y la corriente de armadura.
Kb: constante de proporcionalidad entre la velocidad angular y la tensión inducida.
ia: corriente en la armadura.
va: tensión aplicada a la armadura (acción de control).
θ: desplazamiento angular del eje del motor.
ω: velocidad angular del eje del motor.
a. Escriba las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de este sistema
electromecánico.
2. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 2 -
b. Halle la relación en el domnio de Laplace, de la velocidad angular del eje del motor, Ω(s) respecto
de la tensión de entrada Va(s) y del par de carga Tc(s).
c. Siendo Ra=0,3Ω; La=5mH; Kt=1N·m/A; Kb=1V·s/rad; J=0,02N·m·s2
/rad y b=0,01N·m·s/rad,
obtenga las funciones transferencia 𝐺𝑣(𝑠) =
Ω(𝑠)
𝑉𝑎(𝑠)
y 𝐺 𝑑(𝑠) =
Ω(𝑠)
𝑇𝑐(𝑠)
. Calcular los polos y ceros de
ambas funciones de transferencia y trace las respuestas en frecuencia de magnitud y de fase
respectivas. Grafique también las respuestas al escalón de 𝐺𝑣(𝑠) y de 𝐺 𝑑(𝑠). Analice y obtenga
las conclusiones sobre las mismas.
d. Considerando que la constante de tiempo eléctrica del motor es mucho menor que la que la
constante de tiempo mecánica, obtenga la función transferencia 𝐺 𝑝(𝑠) =
Θ(𝑠)
𝑉𝑎(𝑠)
, donde Θ(s) es la
transformada de Laplace de la posición angular del eje del motor. Calcule la ganancia Km y
la constante de tiempo del motor τm. En este punto considere que el par de carga Tc(s)=0.
e. Trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y de fase y la respuesta al escalón de este
sistema. Analice y concluya sobre la misma.
B. Modelación experimental
2. Dados los gráficos de magnitud y de fase de la respuesta en frecuencia de un proceso, indicados
en las Figuras 2 y 3, identificar la función de transferencia del mismo. Trazar la respuesta al
escalón de esta función de transferencia y analizar que correspondencias encuentra entre esta
última y la respuesta de magnitud de la Figura 2.
3. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 3 -
RESOLVIENDO
A. Modelación matemática
a. Las ecuaciones matemáticas que modelan la dinámica del motor CC con excitación independiente
se presentan a continuación:
El par electromagnético generado está dado por la siguiente relación:
Considerando que la corriente de campo es constante:
Y haciendo la siguiente igualdad:
Sustituyendo estos resultados en la ecuación (1), resulta:
Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones al circuito de la armadura del motor y obtenemos la
siguiente expresión:
𝑇𝑒(𝑡) = 𝐾𝑖 𝑓(𝑡)𝑖 𝑎(𝑡) (1)
𝑖 𝑓(𝑡) = 𝐼𝑓 = 𝑐𝑡𝑡𝑒 (2)
𝐾𝐼𝑓 = 𝐾𝑡 (3)
𝑇𝑒(𝑡) = 𝐾𝑡 𝑖 𝑎(𝑡) (4)
𝑣 𝑎(𝑡) = 𝑖 𝑎(𝑡)𝑅 𝑎 + 𝐿 𝑎
𝑑𝑖 𝑎(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑣 𝑏(𝑡) (5)
4. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 4 -
La tensión contraelectromotriz está dada por:
Sustituyendo esta última en (5), tenemos:
Partiendo de la segunda ley de Newton, obtenemos la siguiente relación de equilibrio:
Reemplazando la (4) en la (8) y despejando 𝐾𝑡 𝑖 𝑎(𝑡):
b. Pasamos las ecuaciones (7) y (9) al dominio de Laplace, obteniendo las siguientes expresiones:
Despejando 𝐼 𝑎(𝑠) de la (10):
Y luego sustituyendo en la ecuación (11), tenemos:
Operando algebraicamente:
𝑣 𝑏(𝑡) = 𝐾𝑏 𝜔(𝑡) (6)
𝑣 𝑎(𝑡) = 𝑖 𝑎(𝑡)𝑅 𝑎 + 𝐿 𝑎
𝑑𝑖 𝑎(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑏 𝜔(𝑡) (7)
𝑇𝑒(𝑡) − 𝑇𝑐(𝑡) − 𝑏𝜔(𝑡) = 𝐽
𝑑𝜔(𝑡)
𝑑𝑡
(8)
𝐾𝑡 𝑖 𝑎(𝑡) = 𝐽
𝑑𝜔(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑏𝜔(𝑡) + 𝑇𝑐(𝑡) (9)
𝑉𝑎(𝑠) = 𝑠𝐿 𝑎 𝐼 𝑎(𝑠) + 𝑅 𝑎 𝐼 𝑎(𝑠) + 𝐾𝑏 𝛺(𝑠) (10)
𝐾𝑡 𝐼 𝑎(𝑠) = 𝑠𝐽𝛺(𝑠) + 𝑇𝑐(𝑠) + 𝑏𝛺(𝑠) (11)
𝐼 𝑎(𝑠) =
𝑉𝑎(𝑠) − 𝐾𝑏 𝛺(𝑠)
𝐿 𝑎 𝑠 + 𝑅 𝑎
(12)
𝐾𝑡 (
𝑉𝑎(𝑠) − 𝐾𝑏 𝛺(𝑠)
𝑠𝐿 𝑎 + 𝑅 𝑎
) = (𝑠𝐽 + 𝑏)𝛺(𝑠) + 𝑇𝑐(𝑠) (13)
𝐾𝑡 𝑉𝑎(𝑠)
𝑠𝐿 𝑎 + 𝑅 𝑎
−
𝐾𝑡 𝐾𝑏 𝛺(𝑠)
𝑠𝐿 𝑎 + 𝑅 𝑎
− (𝑠𝐽 + 𝑏)𝛺(𝑠) = 𝑇𝑐(𝑠) (14)
𝛺(𝑠) [
𝐾𝑡 𝐾𝑏
𝑠𝐿 𝑎 + 𝑅 𝑎
+ (𝑠𝐽 + 𝑏)] =
𝐾𝑡 𝑉𝑎(𝑠)
𝑠𝐿 𝑎 + 𝑅 𝑎
− 𝑇𝑐(𝑠) (15)
6. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 6 -
Entonces, observando las escuaciones (12) y (22) podemos realizar el siguiente diagrama de
bloques:
Figura 4. Diagrama de bloques equivalente – Motor CC con excitación independiente
c. Reemplazando los valores de los parámetros en las ecuaciones (18) y (19) obtenemos las
expresiones para las FT:
Como podemos observar esta funcion no tiene ceros ya que el numerador es un parámetro
constante, por otro lado los polos serán:
Y para 𝐺 𝑑(𝑠):
Los polos y ceros de esta FT serán:
𝐺𝑣(𝑠) =
𝛺(𝑠)
𝑉𝑎(𝑠)
=
1
𝑠20,1 + 𝑠0,056 + 1,003
=
10
𝑠2 + 𝑠0,56 + 10,03
(23)
𝑠2
+ 𝑠0,56 + 10,03 = 0 (24)
⇒ 𝑃 = −0,28 ± 3,15462𝑗 (25)
𝐺 𝑑(𝑠) =
𝛺(𝑠)
𝑇𝑐(𝑠)
=
(0,3 + 𝑠5)
𝑠20,1 + 𝑠0,056 + 1,003
=
50(𝑠 + 0,06)
𝑠2 + 𝑠0,56 + 10,03
(26)
𝑠2
+ 𝑠0,56 + 10,03 = 0 (27)
⇒ 𝑃 = −0,28 ± 3,15462𝑗 (28)
50(𝑠 + 0,06) = 0 (29)
⇒ 𝑍 = −0,06 (30)
𝑉𝑎(𝑠)
7. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 7 -
Una vez obtenidas las FT respectivas podemos trazar las curvas de respuesta en frecuencia de
magnitud y fase para ambas funciones, del mismo modo, podemos graficar también las respuestas
al escalón. Esto realizamos con la ayuda de un script escrito en el software MATLAB. Los
resultados obtenidos se presentan en las Figuras 6 y 7.
Figura 6. Curvas de las respuestas en frecuencia de magnitud y fase de 𝐺𝑣(𝑠) y 𝐺 𝑑(𝑠)
clear all;
clc;
s=tf('s');
% Establecemos las dos FT
G1=10/(s^2+(0.56)*s+10.03)
G2=(50*(s+0.06))/(s^2+(0.56)*s+10.03)
% Trazamos la respuesta en frecuencia magnitud y fase (Bode)
figure(1);
bode(G1,'b', G2, 'g--');
legend('Gv(s)','Gd(s)');
grid on;
% Trazamos la respuesta al escalon
figure(2);
step(G1,'b', G2,'g--');
legend('Gv(s)','Gd(s)');
grid on;
Figura 5. Script en MATLAB para graficar las respuestas en frecuencia y las respuestas
al escalón
8. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 8 -
Figura 7. Curvas de las respuestas al escalón de 𝐺𝑣(𝑠) y 𝐺 𝑑(𝑠)
En la Figura 6 se presentan las curvas de la respuesta en frecuencia de magbitud y fase para ambas
funciones de transferencias de las ecuaciones (23) y (26), como podemos ver cuando conectamos la carga
al motor tenemos una ganancia negativa de -10dB lo cual manifiesta el esfuerzo contrario que ejerce la
carga sobre el motor. Las dos funciones presentan un pico de resonancia a una frecuencia de
arpoximadamente 3,19 rad/s. Podemos observar ademas que se trata de un sistema amortiguado con un
par de polos complejos conjugados con parte real negativa.
En la Figura 7, la cual representa la respuesta al escalón para las dos FT, Podemos apreciar
nuevamente que se trata de dos sitemas amortiguados con un tiempo de asentamiento bastante elevado,
el cual aumenta aún más cuando se conecta la carga. También podemos ver que al conectar dicha carga,
los valores de amplitudes de las oscilaciones para la respuesta son mucho más elevados que en el caso
en que está sin carga.
9. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 9 -
d. Considerando que la constante de tiempo eléctrica del motor es mucho menor que la que la
constante de tiempo mecánica:
Y Sabiendo que:
Pasando esta última al dominio de Laplace, considerando 𝜃(0) = 0:
Remplazando el resultado de la (33) en 𝐺 𝑝(𝑠):
Y con 𝐿 𝑎 ≈ 0, la 3cuación (34) nos queda:
Luego, Factorizando el denominador, obtenemos:
De la ecuación (36) obtenemos que la contante de tiempo del motor es:
Y la ganancia estática es:
𝜏 𝑒 ≪ 𝜏 𝑚 ⇒ 𝐿 𝑎 ≈ 0 (31)
𝜃(𝑡) = ∫ 𝜔(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
+ 𝜃(0) (32)
Θ(𝑠) =
1
𝑠
Ω(𝑠) ⇒ Ω(𝑠) = 𝑠Θ(𝑠) (33)
𝐺 𝑝(𝑠) =
Θ(𝑠)
𝑉𝑎(𝑠)
=
Ω(𝑠)
𝑠𝑉𝑎(𝑠)
=
𝐾𝑡
𝐽𝐿 𝑎 𝑠3 + 𝑠2(𝐽𝑅 𝑎 + 𝑏𝐿 𝑎) + 𝑠(𝑏𝑅 𝑎 + 𝐾𝑡 𝐾𝑏)
(34)
𝐺 𝑝(𝑠) =
𝐾𝑡
𝑠2 𝐽𝑅 𝑎 + 𝑠(𝑏𝑅 𝑎 + 𝐾𝑡 𝐾𝑏)
(35)
𝐺 𝑝(𝑠) =
𝐾𝑡
[
𝑠𝐽𝑅 𝑎
(𝑏𝑅 𝑎 + 𝐾𝑡 𝐾𝑏)
+ 1] 𝑠(𝑏𝑅 𝑎 + 𝐾𝑡 𝐾𝑏)
(36)
𝜏 𝑀 =
𝐽𝑅 𝑎
(𝑏𝑅 𝑎 + 𝐾𝑡 𝐾𝑏)
(37)
𝐾 𝑚 =
𝐾𝑡
(𝑏𝑅 𝑎 + 𝐾𝑡 𝐾𝑏)
(38)
10. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 10 -
Reemplazando los valores de los parámetros en las ecuaciones (37) y (38), llegamos a los
siguientes resultados:
Y
De forma similar, reemplazando los valores e los parámetros en la ecuación (35), llegamos a:
Como podemos ver, esta FT no posee ceros, pero si posee dos polos:
e. A partir de estos resultados podemos trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y fase, como
también la respuesta al escalón de 𝐺 𝑝(𝑠). Mediante un script en MATLAB obtuvimos las gráficas,
las cuales se ilustran en las Figuras 8 y 9.
𝜏 𝑀 =
0,02 ∙ 0,3
(0,01 ∙ 0,3 + 1)
= 5,98 𝑚𝑠 (39)
𝐾 𝑚 =
1
(0,01 ∙ 0,3 + 1)
= 0,997
𝑟𝑎𝑑
𝑉 ∙ 𝑠
(40)
𝐺 𝑝(𝑠) =
1/0,006
𝑠20,02 ∙ 0,3 + 𝑠(0,01 ∙ 0,3 + 1)
=
500/3
𝑠(𝑠 + 1003/6)
(41)
𝑠(𝑠 + 1003/6) = 0 (42)
⇒ 𝑃1 = 0
(43)
⇒ 𝑃2 = −
1003
6
= −167.166 (44)
11. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 11 -
Figura 8. Curva de la respuesta en frecuencia de magnitud y fase de 𝐺 𝑝(𝑠)
Figura 9. Curva de la respuesta al escalón de 𝐺 𝑝(𝑠)
12. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 12 -
En la Figura 8, la cual representa la respuesta en frecuencia de la FT 𝐺 𝑝(𝑠), vemos que al principio
la curva de magnitud presenta una inclinación de -20dB por década lo cual es debido al polo que está
ubicado en el origen, luego para la parte de frecuencias un poco más altas la curva toma una inclinación
de -40dB por década lo cual se debe, además del polo ubicado en el origen, a otro polo real negativo
ubicado sobre el eje.
B. Modelación experimental
Figura 10. Curva de la respuesta en frecuencia de magnitud y fase
ωc
-45°
ωc
7 -3dB
13. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 13 -
Analizando el gráfico de magnitud podemos observar que la curva está desplazada
aproximadamente 7𝑑𝐵 hacia arriba, con lo cual obtenemos:
En el gráfico de fase tenemos que la fase para la constante es cero, entonces:
Trazando una recta horizontal a partir de valor de 45° hasta cortar la curva en el gráfico de fase,
en ese punto obtenemos la frecuencia de corte de la función de transferencia. El valor obtenido es:
Pasamos a rad/s:
Volviendo sobre la curva de magnitud, vemos que a partir de este valor de frecuencia la curva
comienza a descender. Tomando dos puntos sobre la parte lineal de la curva con una separación de una
década obtenemos un valor de pendiente de -20dB por década, esto nos indica que tenemos un polo
simple real negativo en nuestra función de transferencia.
La función de transferencia para este caso está determinada por siguiente ecuación:
Reemplazando los datos obtenidos de los gráficos, nos queda:
Que es la expresión final de la función de transferencia.
7𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔|𝐾| ⇒ |𝐾| = 107/20
= 2.238
(45)
𝜃 𝐾 = 0° ⇒ K es un valor positivo
𝑓𝑐 = 0.9 𝐻𝑧
(46)
𝜔𝑐 = 2𝜋𝑓𝑐 = 2𝜋0.9 𝐻𝑧 =
9
5
𝜋
𝑟𝑎𝑑
𝑠
= 5,651
𝑟𝑎𝑑
𝑠 (47)
𝐺(𝑠) =
𝐾
1 + 𝑠1/𝜔0
(48)
𝐺(𝑠) =
2.238
1 + 𝑠
1
5,651
(49)
14. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 14 -
Utilizando el software MATLAB, realizamos el trazado de los gráficos de la respuesta en frecuencia de
magnitud y fase y la comparamos con los gráficos de la guía, también graficamos la correspondiente
respuesta al escalón para la FT.
Figura 11. Curva de la respuesta en frecuencia de magnitud de 𝐺(𝑠)
Superposición de las curvas original y la obtenida con los cálculos.
clear all; clc;
num=[ 0 0 2.238];
den= [0 5/(9*pi) 1];
G=tf(num,den)
figure(1); % Graficamos la respuesta en frecuencia de la FT
bode (G); grid on;
figure(2); % Graficamos la respuesta al escalon de la FT
step (G); grid on;
15. TP N°1 – Control Clásico y Moderno
Bajura, Carlos - 15 -
Figura 12. Curva de la respuesta al escalón de 𝐺(𝑠)
Como podemos apreciar en la Figura 11, la gráfica de la curva obtenida por el método
experimental no presenta diferencias considerables con respecto a la curva original, por lo que podemos
concluir que el resultado de la función de tranferencia allada es bastante acertado.
En la Figura 12, que es la respuesta al escalón de este sistema, podemos apreciar que se trata de
un sistema sobreamortiguado con untiempo de asentamiento relativamente bajo.