1) El documento trata sobre álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, funciones periódicas, la función Delta de Dirac y series de Fourier. 2) Explica conceptos como funciones periódicas, transformada de Laplace de funciones periódicas, función Delta de Dirac y serie de Fourier. 3) Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.

1. ÁLGEBRA LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Funciones periódicas,
función Delta de Dirac,
series de Fourier.

2. Objetivos
 Calcular la transformada de Laplace de funciones
periódicas.
 Definir la función delta de Dirac y resolver
ecuaciones diferenciales.
 Definir e interpretar una función par e impar.
 Calcular la serie de Fourier de una función 𝒇 𝒙 .
 Analizar la convergencia puntual de una serie de
Fourier.
 Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas aplicativos del contexto real.

4. Función periódica
Una función 𝒇 es periódica con periodo 𝑻 si:
𝒇 𝒕 + 𝑻 = 𝒇 𝒕
∀ 𝒕 en el dominio de 𝒇

5. Ejemplo 1
La función cuya gráfica se muestra en la figura
adjunta, tiene periodo 2.
y se puede escribir :
𝑓 t =
1; 0 < 𝑡 < 1
−1; 1 < 𝑡 < 2
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎

6. Transformada de una función periódica
Teorema:
Sea 𝒇 continua por partes para 𝒕 ≥ 𝟎 y de orden
exponencial. Si 𝒇 es periódica con periodo 𝑻 ,
entonces:
𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 =
𝟏
𝟏 − 𝒆−𝒔𝑻
𝒆−𝒔𝒕
𝑻
𝟎
𝒇 𝒕 𝒅𝒕

7. Ejemplo 1
Halle la transformada de Laplace de la función
periódica, cuya gráfica se muestra en la figura
adjunta:
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎

8. Ejemplo 1
Solución :
𝑻 = 𝟐, la función 𝒇 la podemos escribir así:
𝒇 𝐭 =
𝟏; 𝟎 < 𝒕 < 𝟏
−𝟏; 𝟏 < 𝒕 < 𝟐
entonces 𝒇 𝒕 = 𝟏 − 𝟐𝒖 𝒕 − 𝟏 , aplicamos
trasformada de Laplace
𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝓛 𝟏 (𝒔) − 𝟐𝓛 𝒖 𝒕 − 𝟏 (𝒔)
𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 =
𝟏
𝒔
− 𝟐
𝒆−𝒔
𝒔

9. Ejercicios
1) Halle la transformada de Laplace de la siguiente
función periódica:
Solución
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎

10. Ejercicios
2) Halle la transformada de Laplace de la siguiente
función periódica:
Solución
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎

11. Ejercicios
3) Halle la transformada de Laplace de la siguiente
función periódica:
Solución
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟

12. Ejercicios
4) Halle la transformada de Laplace de la siguiente
función periódica:
Solución
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎

14. Introducción
En muchos sistemas mecánicos, circuitos
eléctricos, doblamiento de vigas y otras
aplicaciones; aparecen fuerzas externas muy
grandes que actúan en intervalos de tiempo muy
pequeños, por ejemplo:
 El golpe de un martillo.
 Un relámpago.
 Un gran peso concentrado en un punto de
viga suspendida.
La forma de representar esta fuerza exterior, los
físicos y los ingenieros usan la función delta de
Dirac, introducido por Paul A.M. Dirac.

15. Definición
Sea la función impulso unitario:
donde 𝒂 y 𝒕 𝟎 son constantes positivas y 𝒕 𝟎 ≥ 𝒂.
𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0 =
1
2𝑎
; 𝑠𝑖 𝑡0 − 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 + 𝑎
0; 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑡0 − 𝑎 ∨ 𝑡 > 𝑡0 + 𝑎
𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏:
𝜹 𝒂 𝒕 − 𝒕 𝟎 𝒅𝒕 = 𝟏
+∞
−∞

16. Definición función delta de Dirac
La función delta de Dirac es
la “función” definida por:
δ 𝑡 − 𝑡0 = lim
𝑎→0
𝛿 𝑎 𝑡 − 𝑡0
Equivalentemente
:
δ 𝑡 − 𝑡0 =
0 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 𝑡0
+∞ 𝑠𝑖 𝑡 = 𝑡0
𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏:
𝜹 𝒕 − 𝒕 𝟎 𝒅𝒕 = 𝟏
+∞
−∞

17. Transformada de Laplace de la función delta
de Dirac
ℒ 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑠 = 𝑒−𝑡0 𝑠
Para 𝒕 𝟎 ≥ 𝟎, se tiene:
Observación:
1) Si 𝒕 𝟎 = 𝟎, se tiene 𝓛 𝜹 𝒕 𝒔 = 𝟏
2) La transformada inversa de Laplace de 1, es:
𝓛−𝟏 𝟏 𝒕 = 𝜹(𝒕)

18. Ejercicios
1) Resuelva las siguientes ecuaciones
diferenciales, siendo 𝜹 la función delta de
Dirac.
a) 𝒚′
− 𝟑𝒚 = 𝜹 𝒕 − 𝟐 , 𝒚 𝟎 = 𝟎
𝐛)
𝒚′′ − 𝟕𝒚′ + 𝟔𝒚 = 𝒆 𝒕 + 𝜹 𝒕 − 𝟐 + 𝜹 𝒕 − 𝟒
𝒚 𝟎 = 𝒚′ 𝟎 = 𝟎
Solución

19. Ejercicios
Una viga uniforme de longitud 𝑳 soporta una
carga concentrada 𝒘 𝟎 en 𝒙 =
𝑳
𝟐
. La viga está
empotrada en su extremo izquierdo y libre en su
extremo derecho. Use la transformada de Laplace
para determinar la deflexión 𝒚(𝒙) de:
𝑬𝑰
𝒅 𝟒 𝒚
𝒅𝒙 𝟒 = 𝒘 𝟎 𝜹(𝒙 −
𝑳
𝟐
)
donde: 𝑦 0 = 𝑦′ 0 = 𝑦′′ 𝐿 = 𝑦′′′ 𝐿 = 0
Solución

21. Introducción
Al analizar el flujo de calor y las cuerdas
vibrantes, tenemos que expresar una
función en una serie trigonométrica, es por
ello que el análisis de Fourier es una
herramienta matemática que se utiliza para
analizar funciones periódicas a través de
descomponer una función en la suma de
funciones senoidales mucho más simple.

22. Definiciones básicas
Función periódica
Una función 𝐟 es periódica con período 𝐓 si:
𝑓 𝑡 + 𝑇 = 𝑓 𝑡
∀ 𝑡 en el dominio de 𝑓

23. Función par e impar
𝒇 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 𝒔𝒊: 𝒇 −𝒙 = 𝒇 𝒙 ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒇
(𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒀)
𝒇 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 𝒔𝒊: 𝒇 −𝒙 = 𝒇 𝒙 ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒇
(𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒀)

24. Teorema para funciones simétricas
1. Si 𝒇 es una función par y continua por partes en
−𝒂; 𝒂 , entonces:
𝑓(𝑥)
𝑎
−𝑎
𝑑𝑥 = 2 𝑓(𝑥)
𝑎
0
𝑑𝑥
2. Si 𝒇 es una función impar y continua por partes en
−𝒂; 𝒂 , entonces:
𝑓(𝑥)
𝑎
−𝑎
𝑑𝑥 = 0
3) El producto de dos funciones pares es par.

25. Teorema para funciones simétricas
4) El producto de dos funciones impares es par.
5) El producto de una función par y una función
impar es
impar.

26. Ejercicios
1) Grafique la siguientes funciones indicando el
período:
𝒂) 𝒇 𝒙 =
−
𝝅
𝟒
, −𝝅 < 𝒙 < 𝟎
𝝅
𝟒
, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅
y 𝒇 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝒇(𝒙)
𝒃) 𝒇 𝒙 =
𝟎, −𝝅 < 𝒙 < 𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅
y 𝒇 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝒇(𝒙)
𝒄) 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐
cuando −𝝅 < 𝒙 < 𝝅 y 𝒇 𝒙 + 𝟐𝝅 = 𝒇(𝒙)
Solución

27. Funciones periódicas Seno y Coseno
En su forma más general la función seno y coseno se
expresa como
𝒇 𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏 𝝎 𝒙 − 𝝋
𝒇 𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔 𝝎 𝒙 − 𝝋
donde A, 𝝎 y 𝝋 son números reales.
𝐏𝐞𝐫í𝐨𝐝𝐨: 𝐓 =
𝟐𝛑
𝛚

28. Ejercicios
Determine el menor período 𝑻 de las siguientes
funciones:
a) 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)
b) 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙)
c) 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝝅𝒙)
Solución

30. Definición
Sea 𝒇 una función continua por partes en el intervalo
−𝑻; 𝑻 . La serie de Fourier de 𝒇 es la serie
trigonométrica:
𝒇 𝒙 ~
𝒂 𝟎
𝟐
+ 𝒂 𝒏 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝑻
+ 𝒃 𝒏 𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝑻
∞
𝒏=𝟏
donde 𝒂 𝒏 y 𝒃 𝒏 están dadas por las fórmulas:
𝒂 𝒏 =
𝟏
𝑻
𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝑻
𝑻
−𝑻
𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; …
𝒃 𝒏 =
𝟏
𝑻
𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝑻
𝑻
−𝑻
𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟏; 𝟐; …

31. Ejercicios
1) Determine la serie de Fourier de la siguiente
función:
𝒇 𝒙 =
𝟎, −𝝅 < 𝒙 < 𝟎
𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅Solución

32. Ejercicios
2) Determine la serie de Fourier de la función 𝒇 𝒙
suponiendo que tiene período 𝟐𝝅.
Solución

33. Ejercicios
3) Determine la serie de Fourier de la función 𝒇
suponiendo que tiene período 𝟐𝝅 y construir gráficas,
lo más exactas posibles, de 𝒇 y dé las tres primeras
sumas parciales.
𝒇 𝒙 =
−𝟏, −𝝅 < 𝒙 < −
𝝅
𝟐
𝟎, −
𝝅
𝟐
< 𝒙 < 𝟎
𝟏, 𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟐
𝟐,
𝝅
𝟐
< 𝒙 < 𝝅
Solución

34. Convergencia puntual de una serie de Fourier
Si 𝒇 y 𝒇′ son continuas por partes en −𝑻; 𝑻 ,
entonces para cualquier 𝒙 en −𝑻; 𝑻 ,
𝒂 𝟎
𝟐
+ 𝒂 𝒏 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝑻
+ 𝒃 𝒏 𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝑻
∞
𝒏=𝟏
=
𝟏
𝟐
𝒇 𝒙+
+ 𝒇(𝒙−
)
donde 𝒂 𝒏 y 𝒃 𝒏 están dadas por las fórmulas:
𝒂 𝒏 =
𝟏
𝑻
𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝑻
𝑻
−𝑻
𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; … 𝒃 𝒏 =
𝟏
𝑻
𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝑻
𝑻
−𝑻
𝒅𝒙, 𝒏 = 𝟏; 𝟐; …
Para 𝑥 = ±𝑇, la serie converge a:
𝟏
𝟐
𝒇 −𝑻+ + 𝒇(𝑻−)

35. Ejercicios
1) Dada la función: 𝒇 𝒙 = 𝒙 en −𝟏 < 𝒙 < 𝟏
a) Encuentre la serie de Fourier de 𝒇.
b) Use el resultado del ítem (b) y muestre:
(−𝟏) 𝒏+𝟏+𝟏
𝒏 𝟐
∞
𝒏=𝟏
=
𝝅 𝟐
𝟒
Solución

36. Bibliografía
2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau
Xie
3. Fundamentals of Differential Equations –
Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur
1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado- Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime
Escobar A.