El documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica que existen ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, dependiendo del número de variables independientes. También describe los orígenes de las ecuaciones diferenciales y diferentes tipos como lineales, no lineales, semilineales, cuasilineales, de variables separables y exactas. Finalmente, define la solución general de una ecuación diferencial.

1. INSTITUTO UNIVER SITA R IO POLITECNICO
SANTIAGO MARIÑO
INTEGRANTES:
Enrique Montoya 20.149.528
Jorman Nava 25.473.412

2. ECUACION DIFERENCIAL
 Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas
de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables
independientes respecto de las que se deriva, las cuales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales
ordinarias: aquellas que
contienen derivadas respecto a
una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas
parciales: aquellas que
contienen derivadas respecto
a dos o más variables.

3. ORIGEN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
El nacimiento de la ciencia de ecuaciones diferenciales se fijaría en el 11 de de
noviembre de 1675, cuando Leibnitz asentó en un papel la ecuación
Integral de y diferencial de y igual a la mitad del cuadrado de y.
Newton formuló la ley de la gravitación, resolviendo después el sistema de ecuaciones
diferenciales correspondiente para probar que la Tierra se mueve alrededor del Sol,
describiendo aproximadamente una elipse, uno de cuyos focos es el Sol.
Maxwell concibió una relación entre corriente eléctrica y el campo magnético
correspondiente.
Las ecuaciones diferenciales han cumplido un rol destacado en el desarrollo de las
teorías de radio, radar, televisión y electricidad general

4. GRADO DE LA ECUACION
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece
en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma
polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

5. SEMILINEALES Y
CUASILINEALES
No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales.
Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son
de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la
derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la
función y(x) puede escribirse en la forma:
F(y(n),y(n-1),…,y”,y,,x)=0
F1(z): =F(z,αn-1,…,α2 ,α1,α0, β0)

6. DIFERENCIAL LINEAL
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma: an(x)y(n)+an-1(x)y(n-
1)+…+a1(x)y'+a0(x)y=g(x) es decir:
Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia
distinta de uno o cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la
variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la
ecuación.

7. VARIABLES SEPARABLES:
Si mediante operaciones algebraicas es
posible expresar la ecuación diferencial en
la siguiente forma:
M(x)dx=N(y)dy
se dirá que es una ecuación diferencial de
variables separables. De este modo, en
cada miembro de la ecuación se tendrá
una única variable. Para resolver este tipo
de ecuaciones basta con integrar en cada
miembro.
SEPARACION DE VARIABLES
REDUCIBLES A SEPARABLES:
Supongamos la sustitución de las
variables y=ux o bien x=vx donde u y v son
dos nuevas variables, cualquiera de las
dos elecciones nos conducira a la
solución de la ecuación diferencial.
Supongamos la sustitución y=ux y en
consecuencia la ecuación diferencial
dy=udx+xdu la ecuación diferencial
homogénea, por lo que sustituyendo
tenemos:
M(x,y)dx +N(x,y)dy=0
M(x,xu)dx +N(x,xu)(udx+xdu)=0

8. DIFERENCIAL HOMOGENEA DE
PRIMER ORDEN
Una función f(x,y) es homogénea de grado `m' si se verifica la siguiente
igualdad:
F(x,y) = f(x,y) R
A partir de ahora nos interesaran únicamente las funciones homogéneas
de grado cero.
Estas funciones poseen una característica especial: siempre es posible
expresarlas como una función del cociente y/x o x/y.

9. E CUACIONE S DIFE RE NCIAL E S
REDUCIBLES A HOMOGENEAS
Son de la forma y´=(a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2) con
a1,a2,b1,b2,c1,c2 R , c1"0 o c2"0 (pues si c1=0 y c2=0 seria
homogénea)
Se presentan tres casos:

10. PRIMER CASO
a1/a2 = b1/b2 = k (k=cte; k"0); c1/c2"k (rectas paralelas no
coincidentes)
Por lo tanto: a1=a2.k ; b1=b2.k
Reemplazamos en la ecuación:
Y'=f(k.a2x+k.b2y+c1 / a2x+b2y+c2)
Y'=f[k(a2x+b2y)+c1 / a2x+b2y+c2]
Sustitución:
a2x+b2y = z
Despejamos y:
y=(z-a2x)/b2
Hallamos y':
y'=(z'-a2)/b2
Reemplazamos en la ecuación:
(z'-a2)/b2 = f(kz+c1/z+c2)
Separo las variables e integro:
Z'= b2.f(kz+c1/z+c2)+a2
Dz/dx = b2.f(kz+c1/z+c2)+a2
"Dz/[b2.f(kz+c1/z+c2)+a2] = "dx
G(z) = x+C
Vuelvo a las variables x e y:
G (a2x+b2y) = x+C

11. SEGUNDO CASO
a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = k (k=cte;k"0)(rectas paralelas coincidentes o superpuestas)
Por lo tanto: a1=a2.k ; b1=b2.k ; c1=c2.k
Reemplazamos en la ecuación:
y'=f(k.a2x+k.b2y+k.c2/a2x+b2y+c2) y'=f[k.(a2x+b2y+c2)/(a2x+b2y+c2)]
y'=f(k)
Tengo una ecuación diferencial a variables separables:
dy/dx = f(k)
Separo las variables e integro:
dy = "f(k)dx
Y=f(k).x + C Solución general (familia de rectas paralelas sin puntos coincidentes)

12. TERCER CASO
a1/a2 " b1/b2 (las rectas se cortan en un punto de coordenadas
X = + u dx = du
Y = + v dy = dv
Estas ecuaciones son la sustitución adecuada para convertir la ecuación diferencial dada en
homogénea. Además debemos sustituir: y'= dy/dx = dv/du
Reemplazamos en la ecuación diferencial dada:
Y'= f(a1x + b1y +c1 / a2x + b2y +c2)
dv/du = f[(a1+a1u+b1+b1v+c1)/(a2+a2u+b2+b2v+c2)]
Como (,) es el punto donde se cortan las dos rectas, entonces verifica el sistema, es decir:
a1+b1+c1=0 y a2+b2+c2=0
por lo tanto estos términos se cancelan y nos queda:
dv/du = f(a1u+b1v/a2u+b2v) (ecuación diferencial homogénea)
Con la sustitución v(u)/u=z(u) ; v(u)=u.z(u), reducimos a una ecuación diferencial a variables separables
v(u)=u.z(u) dv/du=z(u)+u.dz/du

13. ECUACIONES DIFERENCIALES
EXACTAS
La ecuación de la forma:
tiene la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0
y por consiguiente la solución es: u(x,y) = c
si cumple la condición de Euler:
En tal caso
y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x:
 y se puede determinar c(y) derivando
0dy)y,x(Ndx)y,x(M 
x
)y,x(N
y
)y,x(M





y
)y,x(u
)y,x(N,
x
)y,x(u
)y,x(M






  )y(cdx)y,x(M)y,x(u

14. SOLUCION
La solución general, también llamada integral general de
la ecuación diferencial de la forma F(x,y ,x’,y’’,...,y(n))=0, es
la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación.
La solución general es en realidad una familias de
funciones parametrizadas por la constante desconocida c.
Para cada valor particular de la constante c se obtiene una
Solución Particular de la ecuación diferencial.