Interpolación de Newton, teoría y ejemplo; además se agregan las fórmulas para la extrapolación de Richardson

1. Ing. Edward Ropero
Magister en Gestión,
Aplicación y Desarrollo de
Software

2. Se basa en la obtención de un polinomio a partir de un conjunto de
puntos dado, aproximándose lo más posible a la curva buscada.
La ecuación general para la obtención de la función por este método
es:
Donde las “𝑏𝑖” se obtienen mediante la aplicación de una serie de
funciones incluidas en una tabla de diferencias.
fn (x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1) + … + bn (x – x0) (x – x1) … (x – xn−1)

3. Ejemplo:
Suponiendo que tenemos 4 puntos, la tabla de diferencias tiene la
siguiente forma:
x f(x) Primera Diferencia Segunda Diferencia Tercera Diferencia
x0 f(x0) = b0 f[x1, x0] = b1=
f(x1)−f(x0)
x1 − x0
f[x2,x1, x0] = b2 =
𝒇 x2, x1 − 𝒇[x1, x0]
x2 − x0
f[x3,x2,x1, x0] = b3
b3 =
f[x3,x2, x1]−f[x2,x1, x0]
x3 − x0
x1 f(x1) f[x2,x1] =
f(x2)−f(x1)
x2 − x1
f[x3,x2, x1] =
𝒇 x3, x2 − 𝒇[x2, x1]
x3 − x1
x2 f(x2) f[x3,x2] =
f(x3)−f(x2)
x3 − x2
x3 f(x3)

4. Con esto, la ecuación quedaría de la siguiente forma:
Teniendo los siguientes puntos:
x f(x)
0,1 2,31
0,4 3,36
0,7 4,59
1 6
f3 (x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0)(x – x1) + b3 (x – x0)(x – x1)(x – x2)

5. Calculamos su tabla:
Obteniendo el siguiente polinomio:
x f(x) Primera Segunda Tercera
0,1 2,31 3,5 1 0
0,4 3,36 4,1 1
0,7 4,59 4,7
1 6
f3 (x) = 2,31 + 3,5(x – 0,1) + 1(x – 0,1)(x – 0,4) + 0(x – 0,1)(x – 0,4)(x – 0,7)
f3 (x) = x2 + 3x + 2

6. Sirve para generar resultados de gran exactitud cuando se usan
fórmulas de bajo orden.
Puede aplicarse siempre que sepamos que el método de
aproximación tiene un término de error de una forma previsible.
Encuentra un modo de combinar las aproximaciones imprecisas para
producir formulas con un error de truncamiento de orden superior
h1=
f(x + h)−f(x)
h h2=
f(x + h/2)−f(x)
h/2
D= h1+
h1−h2
1/2-1