1. 2014
“ECUACIONES
DIFERENCIALES.”
DONALDO SANCHEZ ZAMARRON
MATEMATICAS AVANZADAS I
28/11/2014

2. ECUACIONES DIFERENCIALES.
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• Conceptos Básicos:
Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus derivadas por
ejemplo:
Y + y´ = 0
• Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:
Ecuación Diferencial Ordinaria.
Ecuación Diferencial Parcial.
• Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de la derivada máximo que aparece en la ecuación:
Y´ significa derivada de Y.
Y¨ significa segunda derivada.

3. • Solución de una ecuación diferencial:
La solución de una ecuación diferencial en una función desconocida “y” y la
variable independiente “x” definida en un intervalo y es una función y que
satisface la ecuación diferencial para todos los valores de x en el intervalo dado.
Y¨+ 4y = 0
Enseguida se muestra un ejemplo de una solución de una ecuación diferencial
junto con su comprobación.
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Solución:
Y= sen2x + cos2x
Y´ = 2cos2x – 2sen2x
Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)
Y¨= - 4sen2x – 4cos2x
Comprobación y¨+4y = 0
- 4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0
- -4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0
• Y¨ + 4y = 0
Y= 5sen2x + 3cos2x
Y´= 5(cos2x)(2) + 3(-sen2x) (2)
Y´= 10(cos2x) – 6sen2x
Y¨= - 20sen2x – 12cos2x
Comprobación: Y¨ + 4y = 0
y= - 20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x)
Y= -20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x = 0
Estas dos soluciones se llaman soluciones particulares, pero lo que generalmente
se obtiene es la solución general:
Y = C1 sen2x + C2 cos2x

4. Ahora se muestran algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales.
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• Y = e2x
Solución: y¨ + y´- 6y = 0
Y´= 2 e2x
Y¨ = 4 e2x
Comprobación:
4 e2x + 2 e2x - 6(e2x) = 0
6 – 6 = 0
• Y = e-2x + e3x

5. 5
• Solución: y¨ - y´ - 6y = 0
Y´= -2 e-2x + 3e3x
Y¨ = 4 e-2x + 9 e3x
Comprobación:
-4 e-2x + 9 e3x – (- 2 e-2x + 3 e3x )- 6(e-2x + e3x )
6 e-2x + 6 e3x - 6 e-2x - 6 e3x = 0
• Y = x2 + ex + e-2x
Solución: y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )
Y´= 2x + ex + (-2e-2x )
Y¨ = 2 + ex + 4e-2x
Comprobación:
2 + ex + 4e-2x + 2x + ex + (-2e-2x ) – 2 (x2 + ex + e-2x )
2(1+ x - x2 ) = 2(1+ x - x2 ) 2 x2 - 2 ex - 2 e-2x
• Y = C1 e2x + C2 (xe2x)
Solución: y¨ - 4y´ + 4y = 0
Y´= 2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x
Y¨= 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x
Comprobación :
4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x - 4(2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x ) +
4 (C1 e2x + C2 (xe2x)) = 0
4 C1 e2x - 8 C1 e2x + 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 4 C2 xe2x
- 8 C2 xe2x - 4 C2e2x - 4 C2e2x = 0

6. “ECUACIONES DIFERENCIALES POR VARIABLES
SEPARADAS.”
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7. “ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.”
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Si es una ecuación diferencial
exacta porque:
=

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