Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica conceptos básicos como el orden de una ecuación diferencial y cómo se clasifican. También describe cómo encontrar la solución de una ecuación diferencial, la cual es una función que satisface la ecuación. Presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y métodos para resolverlas como separación de variables y ecuaciones diferenciales exactas.

1. Ecuaciones Diferenciales
Matemáticas Avanzadas I
Lic.: Edgar Gerardo Mata Ortiz
Gilberto Alejandro Domínguez
7°”A” T.M

2. Ecuaciones Diferenciales
• Conceptos Básicos:
Es una expresión que involucra a una función
desconocida y sus derivadas por ejemplo:
Y + y´ = 0
• Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:
Ecuación Diferencial Ordinaria.
Ecuación Diferencial Parcial.
• Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de la derivada máximo que aparece en la
ecuación:
Y´ significa derivada de Y.
Y¨ significa segunda derivada.

3. • Solución de una ecuación diferencial:
La solución de una ecuación diferencial en
una función desconocida “y” y la variable
independiente “x” definida en un
intervalo y es una función y que satisface
la ecuación diferencial para todos los
valores de x en el intervalo dado.
Y¨+ 4y = 0

4. Solución:
Y= sen2x + cos2x
Y´ = 2cos2x – 2sen2x
Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)
Y¨= - 4sen2x – 4cos2x
Comprobación y¨+4y = 0
-4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0
--4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0

5. • Y¨ + 4y = 0
Y= 5sen2x + 3cos2x
Y´= 5(cos2x)(2) + 3(-sen2x) (2)
Y´= 10(cos2x) – 6sen2x
Y¨= - 20sen2x – 12cos2x
Comprobación: Y¨ + 4y = 0
y= - 20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x)
Y= -20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x = 0
Estas dos soluciones se llaman soluciones particulares,
pero lo que generalmente se obtiene es la solución
general:
Y = C1 sen2x + C2 cos2x

7. • Y = e2x
Solución : y¨ + y´- 6y = 0
Y´= 2 e2x
Y¨ = 4 e2x
Comprobación :
4 e2x + 2 e2x - 6(e2x) = 0
6 – 6 = 0

8. • Y = e-2x + e3x
Solución: y¨ - y´ - 6y = 0
Y´= -2 e-2x + 3e3x
Y¨ = 4 e-2x + 9 e3x
Comprobación:
-4 e-2x + 9 e3x – (- 2 e-2x + 3 e3x )- 6(e-2x + e3x )
6 e-2x + 6 e3x - 6 e-2x - 6 e3x = 0

9. • Y = x2 + ex + e-2x
Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )
Y´= 2x + ex + (-2e-2x )
Y¨ = 2 + ex + 4e-2x
Comprobación:
2 + ex + 4e-2x + 2x + ex + (-2e-2x ) – 2 (x2 + ex +
e-2x )
2(1+ x - x2 ) = 2(1+ x - x2 ) 2 x2 -
2 ex - 2 e-2x

10. • Y = C1 e2x + C2 (xe2x)
Solución : y¨ - 4y´ + 4y = 0
Y´= 2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x
Y¨= 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x
Comprobación :
4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x - 4(2 C1 e2x + 2
C2 xe2x + C2e2x ) + 4 (C1 e2x + C2 (xe2x)) = 0
4 C1 e2x - 8 C1 e2x + 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 4 C2 xe2x
- 8 C2 xe2x - 4 C2e2x - 4 C2e2x = 0

11. Ecuaciones diferenciales por
separación de variables

13. Ecuaciones diferenciales exactas