Ejercicios relacionados con Ecuaciones Diferenciales

1. ECUACIONES
DIFERENCIALES
MATEMÁT ICAS AVANZADAS I
L IC. : EDGAR GERARDO MATA ORT IZ
ELENA L IZETH GUERRERO IBARRA
7° ” A ” T . M

2. ECUACIONES DIFERENCIALES
• Conceptos Básicos:
Es una expresión que involucra a una función
desconocida y sus derivadas por ejemplo:
Y + y´ = 0
• Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:
Ecuación Diferencial Ordinaria.
Ecuación Diferencial Parcial.
• Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de la derivada máximo que aparece en la
ecuación:
Y´ significa derivada de Y.
Y¨ significa segunda derivada.

3. • Solución de una ecuación diferencial:
La solución de una ecuación diferencial en una
función desconocida “y” y la variable
independiente “x” definida en un intervalo y es una
función y que satisface la ecuación diferencial para
todos los valores de x en el intervalo dado.
Y¨+ 4y = 0

4. Solución:
Y= sen2x + cos2x
Y´ = 2cos2x – 2sen2x
Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)
Y¨= - 4sen2x – 4cos2x
Comprobación y¨+4y = 0
- 4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0
- -4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0

5. • Y¨ + 4y = 0
Y= 5sen2x + 3cos2x
Y´= 5(cos2x)(2) + 3(-sen2x) (2)
Y´= 10(cos2x) – 6sen2x
Y¨= - 20sen2x – 12cos2x
Comprobación: Y¨ + 4y = 0
y= - 20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x)
Y= -20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x = 0
Estas dos soluciones se llaman soluciones particulares, pero
lo que generalmente se obtiene es la solución general:
Y = C1 sen2x + C2 cos2x

6. • Comprobar si es la solución que:
Y= x2 – 1 es solución de (y´)4 + y2 = - 1
Y´= 2x
No es la solución : (2x)4 + ( x2 – 1 )2 = - 1
Y´+ y2 = 0 -
1
푥2 + (
1
푥
)2 = 0
Y =
1
푥
= x -1 -
1
푥2
+ 1
푥2
= 0
y´= - 1x-2
Y=
−1
푥2

7. • Y = e2x
Solución : y¨ + y´- 6y = 0
Y´= 2 e2x
Y¨ = 4 e2x
Comprobación :
4 e2x + 2 e2x - 6(e2x) = 0
6 – 6 = 0

8. • Y = e-2x + e3x
Solución: y¨ - y´ - 6y = 0
Y´= -2 e-2x + 3e3x
Y¨ = 4 e-2x + 9 e3x
Comprobación:
-4 e-2x + 9 e3x – (- 2 e-2x + 3 e3x )- 6(e-2x + e3x )
6 e-2x + 6 e3x - 6 e-2x - 6 e3x = 0

9. • Y = x2 + ex + e-2x
Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )
Y´= 2x + ex + (-2e-2x )
Y¨ = 2 + ex + 4e-2x
Comprobación:
2 + ex + 4e-2x + 2x + ex + (-2e-2x ) – 2 (x2 + ex + e-2x )
2(1+ x - x2 ) = 2(1+ x - x2 ) 2 x2 - 2 ex - 2 e-2x

10. • Y = C1 e2x + C2 (xe2x)
Solución : y¨ - 4y´ + 4y = 0
Y´= 2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x
Y¨= 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x
Comprobación :
4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x - 4(2 C1 e2x
+ 2 C2 xe2x + C2e2x ) + 4 (C1 e2x + C2 (xe2x)) = 0
4 C1 e2x - 8 C1 e2x + 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 4 C2 xe2x
- 8 C2 xe2x - 4 C2e2x - 4 C2e2x = 0

11. ECUACIONES DIFERENCIALES POR
SEPARACIÓN DE VARIABLES
• Ecuaciones diferenciales con variables separables:
푑푦
푑푥
=
푦
푥
푑푦
푦
=
푑푥
푥
ln 푦 = ln 푥 + ln 퐶푖
ln 푦 = ln 퐶푖 x
Aplicando anti-logaritmo
푦 = 퐶푖푥

12. • Comprobación:
푦 = 퐶푖푥
푑푦
푑푥
= 퐶푖
Sustituyendo:
푑푦
푑푥
=
푦
푥
퐶푖 =
퐶푖푥
푥
퐶푖 = 퐶푖
푑푦
푑푥
=
푥
푦
푦푑푦 = 푥푑푥
푦2
2
=
푥2
2
+
퐶1
2
2
푦2 = 푥2 + 퐶1

13. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
• 푥2 + 2푥푦 + 푥 푑푥 + 푦2dy = 0
푀 = 푋2 + 2푥푦 + 푥 푁 = 푦2
∂ 푀
∂ 푁
=2푥
=0
∂ 푦
∂ 푥
5푥 + 4푦 푑푥 + 4푥 − 8푦3 푑푦 = 0
5푥푑푥 + 4푦푑푥 + 4푥푑푦 − 8푦3푑푦 = 0
푥 5푑푥 + 4푑푦 + 4푦 푑푦 − 2푦2푑푦 = 0
No es posible separar las variables, por lo que es
necesario buscar otro método.
Formula :
∂ 푀
∂ 푦
=
∂ 푁
∂ 푥

14. • 푀 = 5푥 + 4푦 푁 = 4푥 − 8푦3
∂ 푀
∂ 푁
= 4
=4
∂ 푦
∂ 푥
Si es una ecuación
diferencial exacta
por que :
∂ 푀
∂ 푦
= 4 es igual a
∂ 푁
∂ 푥
=4

15. 1.- 푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0
푀 = 푥2 + 푦2 + 푥 푁 = 푥푦
∂ 푀
∂ 푁
= 2푦
=푦
∂ 푦
∂ 푥
No es exacta porque:
∂ 푀
∂ 푦
= 2푦 no es igual
∂ 푁
∂ 푥
=푦
• Sin embargo, a veces es posible encontrar un factor
( que llamamos factor integrante), el cual al
multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte
en exacta. Para encontrar este factor integrante
podemos utilizar la siguiente formula:
•
휕푀
휕푦
−
휕푁
휕푥
푁
2푦−푦
푥푦
=
=
푦
푥푦
=
1
푥
Encontrar factor integrante

16. • Ahora utilizaremos este resultado para obtener el
factor integrante por medio de la expresión:
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥 =
푒
1
푥
푑푥 푒
푑푥
푥 푒푙푛푥 = 푥
Ahora multiplicaremos la ecuación diferencial original
por este factor integrante, y el resultado de la
multiplicación será una ecuación diferencial exactas.
푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0 푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 + 푥2푦푑푦 = 0
푀 = 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푁 = 푥2푦
∂ 푀
∂ 푁
=2푥푦
∂ 푦
∂ 푥
= 2푥푦

17. • A continuación aplicamos el método de solución
de ecuaciones diferenciales exactas:
Integramos: 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 = 푥3푑푥 + 푦2 푥푑푥 + 푥2푑푥
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
• Solo falta determinar el valor g(y).
• Para determinar el valor g(y) derivamos la función f
encontrada respecto a y.
휕푓
휕푦
= 2푦
푥2
2
+ 푔´ 푦 ∴
휕푓
휕푦
= 푥2푦 + 푔 푦
Este resultado se iguala con N

18. • 푥2푦 + 푔 푦 = 푥2푦
Simplificando:
• +푔´ 푦 = 푥2푦- 푥2푦 푔´ 푦 =0
• Si 푔´ 푦 =0 entonces 푔 푦 = C1
• Por lo tanto la función buscada es :
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1
• Y la solución se obtiene igualando esta función a una
constante C2:
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1 = 퐶2
• 푆푖푚푝푙푖푓푖푐푎푛푑표
푥4
4
+
푥2푦2
2
+
푥3
3
+ 퐶
Multiplicando por 12 3푥4 + 4푥3 + 6푥2푦2 + 퐶

19. • 2.- 3푥2 + 푦2 푑푥 − 2푥푦푑푦 = 0
푀 = 3푥2 + 푦2 푁 = −2푥푦푑푦
휕푀
휕푁
= 2y
= −2y
휕푦
휕푋
No son exactas por lo cual se aplica la formula para
encontrar el factor integrante:
휕푀
휕푁
−
휕푦
휕푥
푁
=
2푦−(−2푦)
−2푥푦
=
2푦+2푦
−2푥푦
=
4푦
−2푦
=
−2
푥
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥 =
−2
푑푥
푒
푑푥 −2
푥
푒푥 푒푙푛푥
−
2
= 푥−2 =
1
푥2
3푥2 + 푦2 푑푥 − 2푥푦푑푦 = 0
1
푥2
3 +
푦2
푥2 푑푥 −
2푦
푥
푑푦 = 0

20. • 푀 = 3 +
푦2
푁 = −2푦
푥2 푥
•
휕푀
휕푦
=
2푦
푥2 푢 = −2푦 푣 = 푥
푣
푑푢
푑푥
−푢
푑푣
푑푥
푣2
푑푢
푑푥
= 0
푑푣
푑푥
= 1
휕푁
휕푥
=
푥 0 − 2 −2푦 (1)
(푥)2
휕푁
휕푥
= 2푦
푥2

21. • Integramos : 3 +
푦2
푥2 dx
3 +
푦2
푥2 dx =3 푑푥 + 푦2
푑푥
푥2 = 3푥 + 푦2 푥−2
푓 = 3푥 + 푦2 푥−1
−1
+ 푔 푦
푓 = 3푥 −
푦2
푥
+ 푔 푦
Determinar : 푔 푦
휕푓
휕푦
= −
2푦
푥
+ 푔´ 푦
−
2푦
푥
+ 푔´ 푦 =−
2푦
푥
푔´ 푦 =−
2푦
푥
+
2푦
푥
= 푔´ 푦 =0

22. 푓 = 3푥 −
푦2
푥
+ 퐶1 푠표푙푢푐푖표푛: 3푥 −
푦2
푥
+ C1 = C2
3푥 −
푦2
푥
= C 푥
3푥2 − 푦2 = 퐶푥
Gracias
Saludos (: