El documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Explica conceptos básicos como el orden de una ecuación diferencial y cómo encontrar la solución. También clasifica las ecuaciones diferenciales y describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales exactas y por separación de variables. Presenta ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales.
2. Ecuaciones Diferenciales
Conceptos Básicos:
Es una expresión que involucra a una función
desconocida y sus derivadas por ejemplo:
Y + y´ = 0
Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:
Ecuación Diferencial Ordinaria.
Ecuación Diferencial Parcial.
Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de la derivada máximo que aparece en la
ecuación:
Y´ significa derivada de Y.
Y¨ significa segunda derivada.
3. Solución de una ecuación diferencial:
La solución de una ecuación diferencial en una
función desconocida “y” y la variable independiente
“x” definida en un intervalo y es una función y que
satisface la ecuación diferencial para todos los
valores de x en el intervalo dado.
Y¨+ 4y = 0
13. Ecuaciones diferenciales exactas
푥2 + 2푥푦 + 푥 푑푥 + 푦2dy = 0
푀 = 푋2 + 2푥푦 + 푥 푁 = 푦2
∂ 푀
∂ 푁
=2푥
=0
∂ 푦
∂ 푥
5푥 + 4푦 푑푥 + 4푥 − 8푦3 푑푦 = 0
5푥푑푥 + 4푦푑푥 + 4푥푑푦 − 8푦3푑푦 = 0
푥 5푑푥 + 4푑푦 + 4푦 푑푦 − 2푦2푑푦 = 0
No es posible separar las variables, por lo que es
necesario buscar otro método.
Formula :
∂ 푀
∂ 푦
=
∂ 푁
∂ 푥
14. 푀 = 5푥 + 4푦 푁 = 4푥 − 8푦3
∂ 푀
∂ 푁
= 4
=4
∂ 푦
∂ 푥
Si es una ecuación
diferencial exacta por que :
∂ 푀
∂ 푦
= 4 es igual a
∂ 푁
∂ 푥
=4
15. 1.- 푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0
푀 = 푥2 + 푦2 + 푥 푁 = 푥푦
∂ 푀
∂ 푁
= 2푦
=푦
∂ 푦
∂ 푥
No es exacta porque:
∂ 푀
∂ 푦
= 2푦 no es igual
∂ 푁
∂ 푥
=푦
Sin embargo, a veces es posible encontrar un factor (
que llamamos factor integrante), el cual al
multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte
en exacta. Para encontrar este factor integrante
podemos utilizar la siguiente formula:
휕푀
휕푦
−
휕푁
휕푥
푁
=
2푦−푦
푥푦
=
푦
푥푦
=
1
푥
Encontrar factor integrante
16. Ahora utilizaremos este resultado para obtener el
factor integrante por medio de la expresión:
휇 푥 = 푒 푔 푥 푑푥 =
1
푒
푑푥 푥
푒
푑푥
푥 푒푙푛푥 = 푥
Ahora multiplicaremos la ecuación diferencial original
por este factor integrante, y el resultado de la
multiplicación será una ecuación diferencial exactas.
푥2 + 푦2 + 푥 푑푥 + 푥푦푑푦 = 0 푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 + 푥2푦푑푦 = 0
푀 = 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푁 = 푥2푦
∂ 푀
∂ 푁
=2푥푦
∂ 푦
∂ 푥
= 2푥푦
17. A continuación aplicamos el método de solución de
ecuaciones diferenciales exactas:
Integramos: 푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥
푥3 + 푥푦2 + 푥2 푑푥 = 푥3푑푥 + 푦2 푥푑푥 + 푥2푑푥
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 푔 푦
Solo falta determinar el valor g(y).
Para determinar el valor g(y) derivamos la función f
encontrada respecto a y.
휕푓
휕푦
= 2푦
푥2
2
+ 푔´ 푦 ∴
휕푓
휕푦
= 푥2푦 + 푔 푦
Este resultado se iguala con N
18. 푥2푦 + 푔 푦 = 푥2푦
Simplificando:
+푔´ 푦 = 푥2푦- 푥2푦 푔´ 푦 =0
Si 푔´ 푦 =0 entonces 푔 푦 = C1
Por lo tanto la función buscada es :
푓 =
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1
Y la solución se obtiene igualando esta función a una
constante C2:
푥4
4
+ 푦2 푥2
2
+
푥3
3
+ 퐶1 = 퐶2
푆푖푚푝푙푖푓푖푐푎푛푑표
푥4
4
+
푥2푦2
2
+
푥3
3
+ 퐶
Multiplicando por 12 3푥4 + 4푥3 + 6푥2푦2 + 퐶