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Integraci´on por partes
Recordemos la f´ormula de la deriva del producto de funciones
d
dx
[u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x),
que expresada bajo forma de diferencial da lugar a
d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)].
De donde se obtiene,
u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)].
Integrando ahora ambos miembros tendremos
u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) − v(x)d[u(x)],
que se escribe tambi´en en forma abreviada,
udv = uv − vdu. (1)
Esta expresi´on es conocida como la f´ormula de la integraci´on por partes y es de gran utilidad
para la resoluci´on de integrales. Se aplica a la resoluci´on de las integrales udv a partir de
la integral vdu que se supone m´as sencilla. La aplicaci´on de (1) exige primero identificar
adecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo
Ejemplo 1 Si queremos calcular la integral
x3
ln xdx,
observemos que la integral de x3
es inmediata y que la derivada de ln x es tambi´en muy sencilla.
As´ı, si asignamos
u = ln x y dv = x3
dx,
tendremos
du =
dx
x
y v =
x4
4
+ C1,
si integramos ahora
x3
ln xdx = ln x d
x4
4
+ C1
=
x4
4
+ C1 ln x −
x4
4
+ C1
dx
x
=
x4
4
+ C1 ln x −
x3
4
+
C1
x
dx
=
x4
4
ln x −
x4
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+ C.
Observemos que la primera constante de integraci´on C1 se cancela de la respuesta final (C1 ln x−
C1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca
incluimos una constante de integraci´on en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier
primitiva de dv(x).](https://image.slidesharecdn.com/integrales-150209073942-conversion-gate02/85/Integrales-7-320.jpg)
Subido porJavier Dancausa Vicent
Integrales
El documento presenta una tabla de integrales inmediatas que incluye funciones como xn, f(x)n, 1/x, sen(x), cos(x), etc. Luego muestra ejemplos de cálculo de integrales indefinidas usando la tabla. Finalmente, introduce la fórmula de integración por partes y ejercicios de su aplicación.
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- 1. Integrales Tabla de integralesinmediatas xn dx = xn+1 n + 1 + C (n = −1) f(x)n f (x)dx = f(x)n+1 n + 1 + C (n = −1) 1 x dx = ln |x| + C f (x) f(x) dx = ln |f(x)| + C sin xdx = − cos x + C f (x) sin f(x)dx = − cos f(x) + C cos xdx = sin x + C f (x) cos f(x)dx = sin f(x) + C 1 cos2 x dx = tan x + C f (x) cos2 f(x) dx = tan f(x) + C 1 sin2 x dx = − cot x + C f (x) sin2 f(x) dx = − cot f(x) + C 1 1 + x2 dx = arctan x + C f (x) 1 + f(x)2 dx = arctan f(x) + C 1 √ 1 − x2 dx = arcsin x + C f (x) 1 − f(x)2 dx = arcsin f(x) + C
- 2. 10 Tabla de integralesinmediatas (continuaci´on) −1 √ 1 − x2 dx = arc cos x + C −f (x) 1 − f(x)2 dx = arc cos f(x) + C ex dx = ex + C f (x)ef(x) dx = ef(x) + C ax dx = ax ln a + C f (x)af(x) dx = af(x) ln a + C Ejercicios de integrales indefinidas 1. Calcular la integral x5 dx. Soluci´on.- x6 6 + C. 2. Calcular la integral (x + √ x)dx. Soluci´on.- x2 2 + 2x √ x 3 + C. 3. Calcular la integral 3 √ x − x √ x 4 dx. Soluci´on.- 6 √ x − 1 10 x2 √ x + C. 4. Calcular la integral x2 √ x dx. Soluci´on.- 2 5 x2 √ x + C. 5. Calcular la integral 1 x2 + 4 x √ x + 2 dx. Soluci´on.- − 1 x − 8 √ x + 2x + C. 6. Calcular la integral 1 4 √ x dx. Soluci´on.- 4 3 4 √ x3 + C.
- 3. 11 7. Calcular laintegral e5x dx. Soluci´on.- 1 5 e5x + C. 8. Calcular la integral cos 5xdx. Soluci´on.- sin 5x 5 + C. 9. Calcular la integral sin axdx. Soluci´on.- − cos ax a + C. 10. Calcular la integral ln x x dx. Soluci´on.- 1 2 ln2 x + C. 11. Calcular la integral 1 sin2 3x dx. Soluci´on.- − cot 3x 3 + C. 12. Calcular la integral 1 cos2 7x dx. Soluci´on.- tan 7x 7 + C. 13. Calcular la integral 1 3x − 7 dx. Soluci´on.- 1 3 ln |3x − 7| + C. 14. Calcular la integral 1 1 − x dx. Soluci´on.- − ln |1 − x| + C. 15. Calcular la integral 1 5 − 2x dx. Soluci´on.- − 1 2 ln |5 − 2x| + C. 16. Calcular la integral tan 2xdx. Soluci´on.- − 1 2 ln | cos 2x| + C. 17. Calcular la integral sin2 x cos xdx. Soluci´on.- sin3 x 3 + C. 18. Calcular la integral cos3 x sin xdx. Soluci´on.- − cos4 x 4 + C.
- 4. 12 19. Calcular laintegral x √ x2 + 1dx. Soluci´on.- 1 3 (x2 + 1)3 + C. 20. Calcular la integral x √ 2x2 + 3 dx. Soluci´on.- 1 2 2x2 + 3 + C. 21. Calcular la integral cos x sin2 x dx. Soluci´on.- − 1 sin x + C. 22. Calcular la integral sin x cos3 x dx. Soluci´on.- 1 2 cos2 x + C. 23. Calcular la integral tan x cos2 x dx. Soluci´on.- tan2 x 2 + C. 24. Calcular la integral cot x sin2 x dx. Soluci´on.- − cot2 x 2 + C. 25. Calcular la integral ln(x + 1) x + 1 dx. Soluci´on.- ln2 (x + 1) 2 + C. 26. Calcular la integral cos x √ 2 sin x + 1 dx. Soluci´on.- √ 2 sin x + 1 + C. 27. Calcular la integral sin 2x (1 + cos 2x)2 dx. Soluci´on.- 1 2(1 + cos 2x) + C. 28. Calcular la integral sin 2x 1 + sin2 x dx. Soluci´on.- 2 1 + sin2 x + C. 29. Calcular la integral √ tan x + 1 cos2 x dx. Soluci´on.- 2 3 (tan x + 1)3 + C.
- 5. 13 30. Calcular laintegral ln2 x x dx. Soluci´on.- ln3 x 3 + C. 31. Calcular la integral arcsin x √ 1 − x2 dx. Soluci´on.- arcsin2 x 2 + C. 32. Calcular la integral x x2 + 1 dx. Soluci´on.- 1 2 ln(x2 + 1) + C. 33. Calcular la integral x + 1 x2 + 2x + 3 dx. Soluci´on.- 1 2 ln(x2 + 2x + 3) + C. 34. Calcular la integral e2x dx. Soluci´on.- 1 2 e2x + C. 35. Calcular la integral e x 2 dx. Soluci´on.- 2e x 2 + C. 36. Calcular la integral esin x cos xdx. Soluci´on.- esin x + C. 37. Calcular la integral 3x ex dx. Soluci´on.- 3x ex ln 3 + 1 + C. 38. Calcular la integral e−3x dx. Soluci´on.- − 1 3 e−3x + C. 39. Calcular la integral ex2 +4x+3 (x + 2)dx. Soluci´on.- 1 2 ex2 +4x+3 + C. 40. Calcular la integral 1 1 + 2x2 dx. Soluci´on.- 1 √ 2 arctan( √ 2x) + C. 41. Calcular la integral 1 √ 1 − 3x2 dx. Soluci´on.- 1 √ 3 arcsin( √ 3x) + C.
- 6. 14 42. Calcular laintegral 1 √ 9 − x2 dx. Soluci´on.- arcsin x 3 + C. 43. Calcular la integral 1 4 + x2 dx. Soluci´on.- 1 2 arctan x 2 + C.
- 7. 15 Integraci´on por partes Recordemosla f´ormula de la deriva del producto de funciones d dx [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x), que expresada bajo forma de diferencial da lugar a d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)]. De donde se obtiene, u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)]. Integrando ahora ambos miembros tendremos u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) − v(x)d[u(x)], que se escribe tambi´en en forma abreviada, udv = uv − vdu. (1) Esta expresi´on es conocida como la f´ormula de la integraci´on por partes y es de gran utilidad para la resoluci´on de integrales. Se aplica a la resoluci´on de las integrales udv a partir de la integral vdu que se supone m´as sencilla. La aplicaci´on de (1) exige primero identificar adecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo Ejemplo 1 Si queremos calcular la integral x3 ln xdx, observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambi´en muy sencilla. As´ı, si asignamos u = ln x y dv = x3 dx, tendremos du = dx x y v = x4 4 + C1, si integramos ahora x3 ln xdx = ln x d x4 4 + C1 = x4 4 + C1 ln x − x4 4 + C1 dx x = x4 4 + C1 ln x − x3 4 + C1 x dx = x4 4 ln x − x4 16 + C. Observemos que la primera constante de integraci´on C1 se cancela de la respuesta final (C1 ln x− C1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca incluimos una constante de integraci´on en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier primitiva de dv(x).
- 8. 16 Algunos tipos deintegrales que se resuelven por partes xn ex dx u = xn dv = ex dx xn sin xdx u = xn dv = sin xdx xn cos xdx u = xn dv = cos xdx xn ln xdx u = ln x dv = xn dx arctan xdx u = arctan x dv = dx arcsin xdx u = arcsin x dv = dx ln xdx u = ln x dv = dx Ejercicios de integraci´on por partes 1. Calcular la integral xex dx. Soluci´on.- xex − ex + C. 2. Calcular la integral ln xdx. Soluci´on.- x ln x − x + C. 3. Calcular la integral x2 e3x dx. Soluci´on.- e3x x2 3 − 2x 9 + 2 27 + C. 4. Calcular la integral x3 e−x dx. Soluci´on.- −e−x x3 + 3x2 + 6x + 6 + C. 5. Calcular la integral x sin xdx. Soluci´on.- −x cos x + sin x + C. 6. Calcular la integral x2 cos 2xdx. Soluci´on.- x2 sin 2x 2 + x cos 2x 2 − 1 4 sin 2x + C. 7. Calcular la integral ex sin xdx. Soluci´on.- −ex cos x + ex sin x 2 + C. 8. Calcular la integral x5 ex3 dx. Soluci´on.- ex3 3 (x3 − 1) + C.
- 9. 17 Ejercicios de integralesdefinidas y c´alculo de ´areas 1. Calcular la integral definida 1 0 x4 dx. Soluci´on.- 1 5 . 2. Calcular la integral definida 1 0 ex dx. Soluci´on.- e − 1. 3. Calcular la integral definida π 2 0 sin xdx. Soluci´on.- 1. 4. Calcular la integral definida 1 0 1 1 + x2 dx. Soluci´on.- π 4 . 5. Hallar el ´area de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x2 y el eje X. Soluci´on.- 10 2 3 . 6. Hallar el ´area de la figura comprendida entre las curvas y2 = 9x e y = 3x. Soluci´on.- 1 2 . 7. Hallar el ´area de la figura limitada por la hip´erbola equil´atera xy = a2 , el eje X y las rectas x = a y x = 2a. Soluci´on.- a2 ln 2.