Este documento presenta métodos para resolver integrales mediante la integración por partes y las identidades trigonométricas. Explica que la integración por partes permite resolver integrales no inmediatas identificando una parte de la integral y dv con el resto. También describe cómo resolver integrales trigonométricas usando identidades como sen2x = 1 - cos(2x)/2 y cambios de variable. Proporciona ejemplos resueltos aplicando estos métodos.

1. Integrantes:
Macías Martínez Jessica Ivonne
Rubalcaba Sotelo Isela
Domínguez Chavarría Monserrat
Pérez Castañeda José Antonio
Gómez Francisco Eva Alin
Martínez Gil Deyanira

2. INTEGRACIÓN POR PARTES Y POR IDENTIDADES
TRIGONOMETRICAS
INTEGRACIÓN POR PARTES:
Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.
1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x),
v = g(x).
2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a
f(x) · g(x), permite escribir, d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x) dx
3. Integrando los dos miembros,

3. Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que
u = f(x), du = f'(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos
resultados a la igualdad anterior,

4. cómo se resuelve una integral por partes???
 Con este método se debe identificar una parte de la integral y dv con el
resto, con la pretensión de que, al aplicar la fórmula obtenida, la integral
del segundo miembro, sea más sencilla de obtener que la primera.
 No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si m
es positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx.
También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc senx, arc tg x y
con dv, exdx, sen x dx, cos x dx, etc.
 Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al
hacer la identificación de dv, ésta debe contener siempre a dx.

5. Ejemplos:
1. Calcular :
Tenemos que y por tanto obtenemos que:
Integrando:
Integrando tenemos:
Solución obtenida atraves de la factorización
2. Calcular: :∫ xex dx
Tenemos que:
u=x v = ex
du = dx dv = ex dx

6. Integrando tenemos:
Solución final
3. Calcular: ∫x2 ex dx
Para este ejercicio sacando las literales tenemos: u = x2 v = ex
du = 2xdx dv = ex dx
La integral como solución final:
Observación: La elección u = ex dv = x2 dx nos lleva a una integral con un
mayor grado de dificultad.
4. Calcular :
Tenemos que:
v=x, du=dx
Integrando tenemos:
Solución final

7. MÉTODO DE INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de
la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes.
Para ello se utiliza una base teórica de reciprocidad de identidades:
´(senu)’=cosu u’
 (cosu)’= –senu u’
(tanu)’= sec2u u’
 (ctgu)’= –csc2u u’
 (secu)’= secu tanu u’
(cscu)’= -cscu ctgu u’
¿CÓMO SE RESUELVE UNA INTEGRAL CON IDENTIDAD
TRIGONOMÉTRICA?
Para resolver una integral con identidad trigonométrica se debe tomar en cuenta
los siguientes pasos:
1. Usar una identidad trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan
funciones trigonométricas.

8. 2. Eliminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente después de
completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.
3. Reducir una fracción impropia.
4. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el
denominador de la fracción.
5. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el
integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).
6. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).
Para resolver la integral mas rápido es necesario tomar en cuenta la
tabla de identidades trigonométricas siguiente:

9. Tabla CI3-300: Identidades trigonométricas útiles
Identidades fundamentales Del teorema de Pitágoras Translaciones
1. cscx=1/senx 7. sen2x+cos2x=1 10. sen(-x)=–senx
2 . secx=1/cosx 8. 1+tan2x=sec2x 11. cos(-x)=cosx
3. tanx=senx/cosx 9 . 1+ctg2x=csc2x 12. tan(-x)=-tan(x)
4. ctgx=cosx/senx Sumas y restas de ángulos 13. sen (π/2 –x)=cosx
5. tanx=1/ctgx 18. sen(x+y)=senxcosy+cosxseny 14. cos(π/2 –x)=senx
15. tan(π/2 –x)=ctgx
6. ctgx=1/tanx 19.sen(x–y)=senxcosy–cosxseny Múltiplos de ángulos
Ley de senos 20.cos(x+y)=cosxcosy–senxseny 24. sen2x=2senxcosx
16. senA/a=senB/b=senC/c 21.cos(x–y)=cosxcosy+senxseny 25. cos2x=cos2x-sen2x
26. cos2x=2cos2x-1
27. cos2x=1-2sen2x
Ley del coseno 22. tan(x+y)=(tanx+tany)/(1–tanxtany) 28. tan2x=stanx/(1-tan2x)
17. c2=a2+b2-2abcosC 23. tan(x–y)=(tanx–tany)/(1+tanxtany) 29. sen2x=(1-cos2x)/2
30. cos2x=(1+cos2x)/2

10. Para resolver este tipo de integrales existen ciertas reglas para integrar este
tipo de funciones que posteriormente serán utilizadas en el método de
sustitución trigonométrica.
1. Potencias de senos y cosenos: ∫ sen x dx ∫ cos x dx
Para resolver este tipo de integrales vamos a tomar
en cuenta dos casos:
a) Si n es impar, es decir n = 2k +1, factorizamos el integrando, por ejemplo:
senn x dx = sen2k+1 x dx = (sen2 x)k senx dx .
Utilizamos la identidad sen2x + cos2x =1 y tomamos el cambio de variable u =cosx.
De manera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de
variable u= senx.
b)Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo: senn x = sen2k
x = (sen2 x)k ó en el caso del coseno:cosn x = cos2k x = (cos2 x)k
y utilizamos las identidades trigonométricas:
sen2 x = 1- cos(2x)/2 o cos2x= 1+ cos(2 )/2

11. 2.Productos de potencias y senos y cosenos: ∫ senm xcosn xdx
a) Si m y n son pares, utilizaremos las identidades: sen2 x = 1- cos(2x)/2 y cos2x= 1+
cos(2 )/2
b) Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad sen2x + cos2x = 1
3. Productos de potencia de tangentes y secantes: ∫ tanm xsecn xdx
a)Si n es par, utilizamos la identidad: sec2x = 1 + tan2x.
b) Si m es impar, utilizamos la identidad: tan2x = sec2x- 1.
c) Si n es impar y m par usamos algún otro método como por ejemplo:
integración por partes.

12. Ejemplos:
1. Calcular:
Por tanto comenzaremos a buscar identidades trigonométricas y sustituimos:
Solución final
2. Calcular:
Se sustituye por identidades trigonométricas:
Solución final

13. 3. Calcular:
Sustituimos su identidad trigonométrica en base ala tabla y obtenemos:
Solución final
4. Calcular:
Sustituimos en la formula y derivamos para integrar:
Solución final
5. Calcular:
Al sustituir:
Solución final