Este documento introduce las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, definidas como ecuaciones que pueden escribirse en la forma y + p(x)y = q(x), donde p(x) y q(x) son funciones continuas de x. Explica el método de solución, que involucra calcular el factor integrante μ(x) y multiplicar la ecuación por este factor para poder integrar ambos lados. También presenta ejemplos resueltos para ilustrar el método.

2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER
ORDEN
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN DEFINICI ´ON
EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN
DEFINICI ´ON
Son aquellas que se pueden escribir de la forma:
y + p(x)y = q(x)
Los terminos p(x) y q(x) deben ser funciones continuas de variable x.
Algunas formas alternativass de este tipo de ecuaciones son:
dy
dx + p(x)y = q(x)
a(x)y + b(x)y + c(x) = 0 ⇐= En este caso se divide toda la
ecuaci´on por a(x) y se redefinen:
p(x) = b(x)
a(x) , q(x) = −c(x)
a(x)

4. EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN DEFINICI ´ON
EJEMPLOS
EJEMPLOS DE EDO LINEAL
1
dy
dx
= xy + x
2 y +
1
x2
y =
1
x2
3
ds
dt
+ ts = t
4 y + 2y = 1 + e−2x
5
dx
dt
= x − t

5. EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN M´ETODO DE SOLUCI ´ON
M´ETODO DE SOLUCI ´ON
Si ya tenemos la ecuaci´on escrita de la forma y + p(x)y = q(x), primero se
calcula la integral:
p(x)dx
para formar el factor integrante:
µ(x) = e p(x)dx
a continuaci´on se multiplica toda la ecuaci´on por el factor integrante µ(x):
µ(x)y + µ(x)p(x)y = µ(x)q(x)
y por la regla del producto para derivadas podemos reescribir la ecuaci´on
como:
d
dx
{µ(x)y} = µ(x)q(x)

6. EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN M´ETODO DE SOLUCI ´ON
M´ETODO DE SOLUCI ´ON
Integramos a ambos lados
d
dx
{µ(x)y}dx = µ(x)q(x)dx
Utilizando el teorema fundamental del c´alculo, reescribimos el lado izquierdo
como:
µ(x)y = µ(x)q(x)dx + C
Por ´ultimo despejamos y de la ecuaci´on:
y =
µ(x)q(x)dx + C
µ(x)
Y se ha solucionado la ecuaci´on diferencial.

7. EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
Solucionar la EDO: dy
dx + 3x2y = x2
Identificamos las partes de la ecuaci´on: p(x) = 3x2, q(x) = x2
calculamos el factor integrante µ(x) = e 3x2dx = ex3
y multiplicamos toda la ecuaci´on por este factor integrante
dy
dx
ex3
+ 3x2
yex3
= x2
ex3
reescribimos usando derivada de un producto d
dx{ex3
y} = x2ex3
e integramos
a ambos lados
ex3
y =
1
3
ex3
+ C
por ultimo despejamos y
y =
1
3
+ Ce−x3

8. EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLOS
EJEMPLOS
OTRO EJEMPLO
Solucionar la EDO: (x2 + 16)y − xy = x
identificamos las partes de la ecuaci´on:
p(x) =
−x
(x2 + 16)
, q(x) =
x
(x2 + 16)
calculamos el factor integrante
µ(x) = e
−x
(x2+16)
dx
=
1
√
x2 + 16
multiplicamos toda la ecuaci´on por el factor integrante
dy
dx
1
√
x2 + 16
+
−x
(x2 + 16)
1
√
x2 + 16
=
x
(x2 + 16)
1
√
x2 + 16

9. EDO LINEALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLOS
EJEMPLOS
reescribimos usando derivada de un producto
d
dx
1
√
x2 + 16
y =
x
(x2 + 16)
1
√
x2 + 16
integramos a ambos lados
1
√
x2 + 16
y = −
1
√
x2 + 16
+ C
por ultimo despejamos y
y = −1 + C x2 + 16

10. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.