Ejemplo paso a paso de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden por reducción a variables separables

1. reducidas a variables separables
por Manuel Alejandro Vivas Riverol
Resumen
Despúes de terminar de leer éste artículo podrás tener una idea clara
de cómo abordar problemas de ecuaciones diferenciales cuando pueden ser
reducidas a variables separables, además de contar con una metodología
que te ayude a resolverlas.
EcuacionesDiferenciales
Resueltas por
sustitución

2. INTUICIÓN
La intiución es una parte muy importante en las matemáticas y la resolu-
ción de problemas. Según Sebastian Thrun, vice presidente de Google y el
inventor de los Google glasses, dice que la intuición en la resolución
de problemas es muy importante para llegar al entendimiento profundo de
los mismos.
«La intuición nos perimte realizar una evaluacvión de un pro-
blema cuando hay numeros involucrados...»
dice Sebastian.
Al final, ver el mundo desde un punto de vista intuitivo (no necesarimente
racional, si no con un sentido de entendimiento sutil), nos ayudará a
tomar los caminos necesarios para la resolución del problema; ésto en
última instancia es pensar como un matemático, segun dice Thrun.
Por experiencia personal, y seguramente de uds como lectores, sabemos que
es mucho más fácil saber cómo abordar un problema si tenemos una visión
intuitiva de cómo se comporta y cómo podemos modelarlo y/o manipular su
modelo para resolverlo.
El ejercicio de éste «don» nos permitirá desarrollar ese pensamiento
matemático, que nos hgace falta para la comprensiuón profunda de los
conceptos o fenómenos físicos.

3. La mente intuitiva es un don sagrado, y la mente racional es
un fiel sirviente. Hemos creado una sociedad que honra al
sirviente y ha olvidado el don. Albert Einstein
Figura 1. El área debajo la curva
1
x
es facilmente aproximable si nos damos
cuenta de que podemos calcular el área de los rectángulos cuyas alturas
coinciden con ella.

4. Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones
diferenciales reducidas a variables separables
1. Buscamos una sustitución que nos permita transformar a lineal o
separable la ED.
Generalmente cuando tenemos:
d y
d x
= f(Ax + By + C) (1)
− utilizaremos la sustitucion:
u = A x + By + C
Despejamos de la nueva función u, la variable y:
y =
u + Ax + C
B
y =
u
B
+
C
B
+
Ax
B
(2)
Y derivamos para obtener
dy
dx
=
du
B dx
+
A
B
(3)
Alejandro Vivas Riverol
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5. 2. Sustituimos (2) y (3) en (1):
d y
d x
= f(A x + B y + C)
d u
B dx
+
A
B
= f(u)
du
Bd x
= f(u) −
A
B
du
Bd x
=
f(u) ∗B − A
B
3. Separamos variables e integramos:
d u
Bd x
=
f(u) ∗B − A
B
d u
f(u) ∗B − A
= dx
∫
d u
f(u) ∗B − A
= ∫dx + C1
4. Regresamos a las variables originales.
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Dynamic Systems Intelligence
Alejandro Vivas Riverol
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6. Ejemplos resueltos de Ecuaciones Diferenciales
reducidas a variables separables
En los problemas siguientes resolver las ecuaciones diferenciales reali-
zando una sustitución que las reduzca a variables separables.
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Ejemplo 1. Ejercicios 2.5 Libro Dennis G. Zill (Problema 23)
d y
d x
= (x + y + 1)2
(4)
Paso 1. Buscamos una sustitición para transformar en separable la ED.
Si u = x + y + 1,
Entonces, despejando y, tenemos:
y = u − x − 1 (5)
Esto implica:
dy
dx
=
d u
d x
− 1 (6)

7. Dale click al siguiente título para
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Ecuaciones Diferenciales
Resueltas por Sustitución