Este documento presenta un resumen de los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas, factores de integración, ecuaciones lineales y no lineales de primer orden, series, transformada de Laplace y sistemas lineales de primer orden. El documento contiene aplicaciones de estas ecuaciones a problemas geométricos, de crecimiento, dilución, física y estabilidad.
Este documento presenta la metodología para resolver configuraciones de diodos en paralelo y serie-paralelo. Explica cómo determinar los voltajes, corrientes e identificar qué diodos están encendidos o apagados en diferentes configuraciones. Luego, proporciona ejemplos resueltos de cómo calcular los parámetros eléctricos para redes de diodos específicas.
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesKike Prieto
El documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal y sus propiedades, como que la suma y el producto de operadores diferenciales son también operadores diferenciales lineales. Explica los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales, como el teorema de Picard.
Resumen de propiedades de matrices y determinantesa99carlitos
Este documento resume las propiedades fundamentales de las matrices y los determinantes. Describe las propiedades de la suma y multiplicación de matrices, la multiplicación de matrices, las propiedades de las matrices diagonales, simétricas, ortogonales y las propiedades de la inversa, transpuesta, conjugada, conjugada-transpuesta y los determinantes. Entre las propiedades descritas se incluyen que la multiplicación de matrices no es conmutativa, que la traza es invariante bajo transpuesta, y que el valor de un determinante no cambia al intercambiar filas por columnas
Reporte Transformador Hecho Por Nosotrosguestdb8ea2b
Este documento presenta un reporte sobre una práctica realizada para observar el funcionamiento de un transformador casero fabricado por estudiantes. El objetivo era construir un transformador y observar su respuesta a señales de entrada. Los estudiantes cortaron láminas de una carcasa de computadora para formar el núcleo, enrollaron alambre de cobre para formar los devanados, y probaron el transformador inyectando señales con un generador de funciones y midiendo la salida. Los resultados mostraron fotografías del transformador terminado y cómo
Ecuaciones diferenciales.[dennis g. zill].[7 ed].solucionarioGabriel Limon Lopez
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la carretera y los posibles impactos ambientales. También incluye un cronograma tentativo de la construcción y el presupuesto estimado para completar el proyecto.
Una ecuación diferencial lineal ordinaria tiene la forma general y' + p(x)y = Q(x). Puede ser homogénea o no homogénea. Las ecuaciones homogéneas se resuelven por variables separadas, mientras que las no homogéneas se resuelven por el método del factor integrante o variación de parámetros. El ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea.
El diagrama de esfuerzos en la estructura consta de:
1) Un esfuerzo normal de tracción de 100 N en la barra AB.
2) Un esfuerzo normal de tracción de 100 N en la barra BC.
3) Un momento flector de 800 Nm en la barra CD.
Este documento presenta la metodología para resolver configuraciones de diodos en paralelo y serie-paralelo. Explica cómo determinar los voltajes, corrientes e identificar qué diodos están encendidos o apagados en diferentes configuraciones. Luego, proporciona ejemplos resueltos de cómo calcular los parámetros eléctricos para redes de diodos específicas.
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesKike Prieto
El documento introduce la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes constantes. Define conceptos como el operador diferencial lineal y sus propiedades, como que la suma y el producto de operadores diferenciales son también operadores diferenciales lineales. Explica los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales, como el teorema de Picard.
Resumen de propiedades de matrices y determinantesa99carlitos
Este documento resume las propiedades fundamentales de las matrices y los determinantes. Describe las propiedades de la suma y multiplicación de matrices, la multiplicación de matrices, las propiedades de las matrices diagonales, simétricas, ortogonales y las propiedades de la inversa, transpuesta, conjugada, conjugada-transpuesta y los determinantes. Entre las propiedades descritas se incluyen que la multiplicación de matrices no es conmutativa, que la traza es invariante bajo transpuesta, y que el valor de un determinante no cambia al intercambiar filas por columnas
Reporte Transformador Hecho Por Nosotrosguestdb8ea2b
Este documento presenta un reporte sobre una práctica realizada para observar el funcionamiento de un transformador casero fabricado por estudiantes. El objetivo era construir un transformador y observar su respuesta a señales de entrada. Los estudiantes cortaron láminas de una carcasa de computadora para formar el núcleo, enrollaron alambre de cobre para formar los devanados, y probaron el transformador inyectando señales con un generador de funciones y midiendo la salida. Los resultados mostraron fotografías del transformador terminado y cómo
Ecuaciones diferenciales.[dennis g. zill].[7 ed].solucionarioGabriel Limon Lopez
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la carretera y los posibles impactos ambientales. También incluye un cronograma tentativo de la construcción y el presupuesto estimado para completar el proyecto.
Una ecuación diferencial lineal ordinaria tiene la forma general y' + p(x)y = Q(x). Puede ser homogénea o no homogénea. Las ecuaciones homogéneas se resuelven por variables separadas, mientras que las no homogéneas se resuelven por el método del factor integrante o variación de parámetros. El ejemplo muestra los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea.
El diagrama de esfuerzos en la estructura consta de:
1) Un esfuerzo normal de tracción de 100 N en la barra AB.
2) Un esfuerzo normal de tracción de 100 N en la barra BC.
3) Un momento flector de 800 Nm en la barra CD.
Modelado de ecuaciones diferenciales (ejemplos)Perla Berrones
Este documento presenta tres casos de modelado de ecuaciones diferenciales: 1) Un luxómetro que mide la intensidad de luz a distintas distancias, formulado como una ecuación diferencial de primer orden. 2) Un marcapasos modelado como un circuito RC, representado por una ecuación diferencial de primer orden. 3) Una viga sujeta a una carga uniforme, cuya deformación se describe mediante una ecuación diferencial de cuarto orden. En cada caso se presenta la formulación, solución y en el último caso una simulación.
Este documento trata sobre magnetismo y contiene 10 preguntas de opción múltiple y 2 problemas resueltos sobre fuerzas magnéticas. Algunas preguntas cubren conceptos como la dirección de la fuerza magnética en función de la orientación de la carga eléctrica, el campo magnético y la velocidad. Otras preguntas tratan sobre cómo se distribuyen las limaduras de hierro alrededor de un conductor con corriente eléctrica. Los problemas resueltos calculan la fuerza magnética sobre una carga eléctrica en
El documento describe cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias en MATLAB. Explica que MATLAB tiene comandos como ode45, ode23 y dsolve que permiten resolver ecuaciones diferenciales de forma directa sin programar el algoritmo numérico. También cubre cómo obtener soluciones generales y particulares, y da ejemplos de código MATLAB para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
El documento presenta 17 problemas de mecánica de materiales que involucran el cálculo de fuerzas, tensiones, ángulos y distancias usando el principio de equilibrio de fuerzas y trigonometría. Los problemas cubren temas como descomposición de fuerzas, polipastos, sistemas de cables y resortes, y fuerzas en estructuras.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
El documento describe los diferentes tipos de fuentes ideales de tensión y corriente, incluyendo fuentes independientes e independientes. Explica que una fuente ideal de tensión mantiene una tensión constante independientemente de la corriente, mientras que una fuente de corriente ideal mantiene una corriente constante independientemente de la tensión. También define los símbolos de circuito para cada tipo de fuente y discute las restricciones en la interconexión de fuentes ideales.
Este documento define la ecuación de Cauchy-Euler como una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de derivación. Explica tres métodos para resolverla dependiendo si las raíces son reales distintas, reales iguales o complejas. Incluye ejemplos ilustrativos de cada caso.
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones pueden convertirse en ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variable apropiado. Luego, detalla los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea y presenta un ejemplo resuelto. Finalmente, introduce cómo reducir ecuaciones diferenciales no homogéneas a formas homogéneas mediante traslaciones u otros cambios de variable.
Este documento presenta un proyecto de física computacional sobre choques elásticos unidimensionales. Incluye la teoría sobre choques elásticos frontales, la resolución de un problema de ejemplo usando ecuaciones de conservación en MATLAB, y la presentación de resultados numéricos y gráficos. El proyecto simula colisiones elásticas entre dos partículas y analiza cambios en su momento lineal y energía cinética antes y después del choque.
1) El documento explica cómo aplicar la ley de Ohm al cálculo de circuitos eléctricos de corriente directa y resuelve varios ejemplos.
2) Describe las características de los circuitos en serie y paralelo, como que en serie la tensión total es la suma de las caídas y la corriente es la misma, mientras que en paralelo la tensión es la misma y la corriente total es la suma de las intensidades.
3) Incluye más ejemplos y ejercicios resueltos sobre resistencias en serie y paral
Campo electrico y superficies equipotencialesOscar Arellano
Este documento describe un experimento para analizar las características del campo eléctrico generado
por diferentes configuraciones de electrodos. El objetivo principal es graficar las líneas de campo
eléctrico y las superficies equipotenciales obtenidas al variar la forma y disposición de los electrodos,
así como medir la intensidad del campo entre ellos. El procedimiento experimental involucra el uso de
papel milimetrado, electrodos, una fuente de voltaje y un multímetro para registrar puntos de igual
potencial y
Este documento describe los métodos de análisis nodal y de malla para analizar circuitos eléctricos. Explica cómo aplicar el análisis nodal a diferentes tipos de circuitos que contienen fuentes independientes o controladas de corriente o voltaje. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo escribir las ecuaciones nodales y resolver circuitos usando este método.
La pendiente de una recta se calcula dividiendo la variación en y entre la variación en x. El error relativo en la pendiente depende del error relativo en x e y.
Clase 07 ecuaciones diferenciales de segundo ordenJimena Rodriguez
El documento presenta los conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones para obtener sus soluciones generales y cómo resolver problemas de valor inicial asociados a estas ecuaciones. Además, proporciona ejemplos para ilustrar los métodos de resolución.
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...Ing. Electrónica xD
El documento presenta soluciones a problemas de funciones, límites y continuidad complejos. Incluye gráficas de funciones complejas y cálculos para hallar valores y representaciones gráficas.
DIELÉCTRICOS Y CAPACITANCIA
NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS
CONDICIONES DE FRONTERA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS
CAPACITANCIA
EJEMPLOS DE CAPACITANCIA
CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS HILOS
Este documento contiene 10 capítulos que cubren diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos elementales, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de datos iniciales y parámetros, y aplicaciones a problemas físicos. Cada capítulo contiene ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos presentados.
Resolucion de ecuaciones diferenciales por medio de seriesMateoLeonidez
Este documento introduce las series de potencias y su uso para representar funciones y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que una serie de potencias define una función en su intervalo de convergencia y cómo calcular dicho intervalo. También describe cómo derivar, integrar y sumar series de potencias término a término, y provee ejemplos de series de Taylor y Maclaurin comunes. Finalmente, explica cómo usar series de potencias para encontrar soluciones en puntos ordinarios de una ecuación diferencial ordinaria.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
El documento presenta varios ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales utilizando el método de separación de variables. Inicia explicando que las soluciones a muchas de las integrales involucradas se encuentran en otra sección. Luego presenta una serie de problemas numerados para resolver mediante separación de variables, sujetos a condiciones iniciales en algunos casos.
Modelado de ecuaciones diferenciales (ejemplos)Perla Berrones
Este documento presenta tres casos de modelado de ecuaciones diferenciales: 1) Un luxómetro que mide la intensidad de luz a distintas distancias, formulado como una ecuación diferencial de primer orden. 2) Un marcapasos modelado como un circuito RC, representado por una ecuación diferencial de primer orden. 3) Una viga sujeta a una carga uniforme, cuya deformación se describe mediante una ecuación diferencial de cuarto orden. En cada caso se presenta la formulación, solución y en el último caso una simulación.
Este documento trata sobre magnetismo y contiene 10 preguntas de opción múltiple y 2 problemas resueltos sobre fuerzas magnéticas. Algunas preguntas cubren conceptos como la dirección de la fuerza magnética en función de la orientación de la carga eléctrica, el campo magnético y la velocidad. Otras preguntas tratan sobre cómo se distribuyen las limaduras de hierro alrededor de un conductor con corriente eléctrica. Los problemas resueltos calculan la fuerza magnética sobre una carga eléctrica en
El documento describe cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias en MATLAB. Explica que MATLAB tiene comandos como ode45, ode23 y dsolve que permiten resolver ecuaciones diferenciales de forma directa sin programar el algoritmo numérico. También cubre cómo obtener soluciones generales y particulares, y da ejemplos de código MATLAB para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
El documento presenta 17 problemas de mecánica de materiales que involucran el cálculo de fuerzas, tensiones, ángulos y distancias usando el principio de equilibrio de fuerzas y trigonometría. Los problemas cubren temas como descomposición de fuerzas, polipastos, sistemas de cables y resortes, y fuerzas en estructuras.
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
El documento describe los diferentes tipos de fuentes ideales de tensión y corriente, incluyendo fuentes independientes e independientes. Explica que una fuente ideal de tensión mantiene una tensión constante independientemente de la corriente, mientras que una fuente de corriente ideal mantiene una corriente constante independientemente de la tensión. También define los símbolos de circuito para cada tipo de fuente y discute las restricciones en la interconexión de fuentes ideales.
Este documento define la ecuación de Cauchy-Euler como una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de derivación. Explica tres métodos para resolverla dependiendo si las raíces son reales distintas, reales iguales o complejas. Incluye ejemplos ilustrativos de cada caso.
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Explica que este tipo de ecuaciones pueden convertirse en ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variable apropiado. Luego, detalla los pasos para resolver una ecuación diferencial homogénea y presenta un ejemplo resuelto. Finalmente, introduce cómo reducir ecuaciones diferenciales no homogéneas a formas homogéneas mediante traslaciones u otros cambios de variable.
Este documento presenta un proyecto de física computacional sobre choques elásticos unidimensionales. Incluye la teoría sobre choques elásticos frontales, la resolución de un problema de ejemplo usando ecuaciones de conservación en MATLAB, y la presentación de resultados numéricos y gráficos. El proyecto simula colisiones elásticas entre dos partículas y analiza cambios en su momento lineal y energía cinética antes y después del choque.
1) El documento explica cómo aplicar la ley de Ohm al cálculo de circuitos eléctricos de corriente directa y resuelve varios ejemplos.
2) Describe las características de los circuitos en serie y paralelo, como que en serie la tensión total es la suma de las caídas y la corriente es la misma, mientras que en paralelo la tensión es la misma y la corriente total es la suma de las intensidades.
3) Incluye más ejemplos y ejercicios resueltos sobre resistencias en serie y paral
Campo electrico y superficies equipotencialesOscar Arellano
Este documento describe un experimento para analizar las características del campo eléctrico generado
por diferentes configuraciones de electrodos. El objetivo principal es graficar las líneas de campo
eléctrico y las superficies equipotenciales obtenidas al variar la forma y disposición de los electrodos,
así como medir la intensidad del campo entre ellos. El procedimiento experimental involucra el uso de
papel milimetrado, electrodos, una fuente de voltaje y un multímetro para registrar puntos de igual
potencial y
Este documento describe los métodos de análisis nodal y de malla para analizar circuitos eléctricos. Explica cómo aplicar el análisis nodal a diferentes tipos de circuitos que contienen fuentes independientes o controladas de corriente o voltaje. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo escribir las ecuaciones nodales y resolver circuitos usando este método.
La pendiente de una recta se calcula dividiendo la variación en y entre la variación en x. El error relativo en la pendiente depende del error relativo en x e y.
Clase 07 ecuaciones diferenciales de segundo ordenJimena Rodriguez
El documento presenta los conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones para obtener sus soluciones generales y cómo resolver problemas de valor inicial asociados a estas ecuaciones. Además, proporciona ejemplos para ilustrar los métodos de resolución.
2do Trabajo de Matemática Aplicada II - Limites y continuidad en complejos - ...Ing. Electrónica xD
El documento presenta soluciones a problemas de funciones, límites y continuidad complejos. Incluye gráficas de funciones complejas y cálculos para hallar valores y representaciones gráficas.
DIELÉCTRICOS Y CAPACITANCIA
NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS
CONDICIONES DE FRONTERA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS
CAPACITANCIA
EJEMPLOS DE CAPACITANCIA
CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS HILOS
Este documento contiene 10 capítulos que cubren diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo métodos elementales, ecuaciones lineales, teoría de comparación, ecuaciones periódicas, dependencia de datos iniciales y parámetros, y aplicaciones a problemas físicos. Cada capítulo contiene ejercicios resueltos ilustrativos de los conceptos teóricos presentados.
Resolucion de ecuaciones diferenciales por medio de seriesMateoLeonidez
Este documento introduce las series de potencias y su uso para representar funciones y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que una serie de potencias define una función en su intervalo de convergencia y cómo calcular dicho intervalo. También describe cómo derivar, integrar y sumar series de potencias término a término, y provee ejemplos de series de Taylor y Maclaurin comunes. Finalmente, explica cómo usar series de potencias para encontrar soluciones en puntos ordinarios de una ecuación diferencial ordinaria.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
El documento presenta varios ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales utilizando el método de separación de variables. Inicia explicando que las soluciones a muchas de las integrales involucradas se encuentran en otra sección. Luego presenta una serie de problemas numerados para resolver mediante separación de variables, sujetos a condiciones iniciales en algunos casos.
Las ecuaciones diferenciales homogéneas son aquellas donde todos los términos tienen el mismo grado. Para determinar si una ecuación es homogénea, se suma los exponentes de sus términos o se inspecciona directamente. Una vez identificado el grado, se realiza un cambio de variable para convertirla en una ecuación de variables separables. Esto permite resolverla mediante integración.
Este documento presenta un módulo sobre programación lineal dirigido a estudiantes de ingeniería de sistemas de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia de Colombia. El módulo contiene dos unidades: la primera introduce conceptos básicos de programación lineal, y la segunda describe métodos para solucionar problemas de programación lineal como el método gráfico, el algebraico, el simplex y el análisis de dualidad.
Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantesseralb
Este documento describe ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Explica que una ecuación diferencial es lineal cuando no contiene términos de grado superior al primero, y es homogénea si el término independiente es cero. Las soluciones de ecuaciones homogéneas lineales dependen de dos constantes arbitrarias según los teoremas presentados. Para ecuaciones no homogéneas, la solución general es la suma de la solución de la ecuación homogénea asociada y una solución particular de la ecu
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y resuelve varios ejercicios relacionados. Explica conceptos básicos como ecuaciones diferenciales de primer orden, lineales y no lineales. Luego, resuelve ejercicios aplicando métodos como variables separables y determinando si una ecuación es exacta. Finalmente, modela una situación de contaminación de un lago usando una ecuación diferencial.
Este documento presenta varios problemas de ecuaciones diferenciales. Resume cada una indicando si es lineal o no lineal, y su orden. Luego, pide resolver algunas usando métodos como separación de variables, hallar el factor integrante, y determinar si son exactas. Finalmente, modela la concentración de contaminantes en un lago a través del tiempo considerando tasas de entrada y salida.
O documento apresenta resoluções de equações do segundo grau de diferentes formas. Resolve equações como am2 + bm + c = 0 encontrando as raízes m1 e m2, e em seguida expressa a função y(x) resultante em função das raízes e constantes c1 e c2.
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...Oscar Lopez
Buen listado.mercadolibre.com.co/eleccion-y-critica-de-los-metodos-de-explotaci...
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Este documento presenta varios temas relacionados con la resolución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Explica métodos como el de los coeficientes indeterminados y la variación de parámetros para resolver ecuaciones homogéneas y no homogéneas. También cubre temas como ecuaciones diferenciales separables, lineales y alrededor de puntos ordinarios.
Solucionario de dennis g zill ecuaciones diferencialesjhonpablo8830
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde determinar si una ecuación diferencial es lineal o no lineal, hasta resolver ecuaciones diferenciales mediante diferentes métodos como separación de variables, sustituciones homogéneas y condiciones iniciales. El documento proporciona instrucciones sobre cómo resolver los ejercicios y dónde encontrar soluciones de referencia.
El documento habla sobre ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Explica dos métodos para resolver estas ecuaciones: sustituyendo y=xv o x=yu y resolviendo la ecuación diferencial resultante, que es separable. También presenta ejemplos resueltos y ejercicios propuestos relacionados con ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.
Este documento presenta un resumen de ecuaciones diferenciales con aplicaciones en Maple. Incluye introducciones a métodos de solución como variables separables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas, factores de integración, ecuaciones lineales y no lineales de primer orden, transformada de Laplace, series, sistemas lineales de primer orden y teoría de estabilidad. También contiene anexos con fórmulas y teoremas útiles y ejemplos resueltos en Maple.
Libro ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple - 383pÁLVARO REYES
Este documento presenta un resumen de varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) métodos de separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones lineales de primer orden, ecuaciones exactas y factores de integración; 2) aplicaciones geométricas, de crecimiento y descomposición, dilución y vaciado de tanques; y 3) teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, soluciones por series y transformada de Laplace. El documento también incluye anexos con el paquete Maple
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como soluciones generales, soluciones particulares, ecuaciones de primer orden y de orden superior. También cubre métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones lineales, homogéneas, de variables separables, y sistemas de ecuaciones diferenciales. Finalmente, incluye aplicaciones de ecuaciones diferenciales y métodos avanzados como series y la transformada de Laplace.
Se ha caracterizado magnéticamente cintas nanoperm de
distintas composiciones, con el objetivo de estudiar cómo varía la impedancia con el campo magnético, efecto
conocido como Magneto-Impedancia, tanto en el estado as-quenched como tras recocerlas durante una hora a 600ºC.
Se ha elegido este tipo de materiales porque presenta un comportamiento magnético muy prometedor, sobre todo tras la nanocristalización, para obtener un fuerte efecto de la Magneto-Impedancia, así como muy buena sensibilidad al
campo magnético, lo cual es deseable para diversas aplicaciones relacionadas con sensores magnéticos.
Este documento introduce conceptos fundamentales de acústica. Explica la propagación de ondas sonoras, incluyendo definiciones de ondas, la ecuación de ondas y soluciones como ondas armónicas planas y esféricas. También cubre temas como la reflexión, transmisión y absorción de ondas acústicas, el análisis en frecuencia mediante la transformada de Fourier, y modelos de fuentes sonoras como esferas pulsantes y pistones pulsantes. Finalmente, resume términos importantes de acústica como veloc
Este documento presenta un resumen de temas relacionados con la propagación de ondas, incluyendo ondas elásticas, electromagnéticas y sísmicas. Se divide en 12 capítulos que cubren conceptos básicos de ondas, ecuaciones de ondas, propagación de ondas en medios elásticos isotrópicos y anisotrópicos, y métodos numéricos para resolver ecuaciones de ondas. El objetivo es proveer una introducción a estos temas para estudiantes y profesionales interesados en aplicaciones geofísicas y de
Este documento presenta una introducción a la termodinámica. Explica que el objetivo es realizar una revisión de la termodinámica del equilibrio de manera general, huyendo de los sistemas simples como los gases perfectos. También indica que se basará en textos prestigiosos pero que buscará un nivel adecuado para la materia tratada de forma rigurosa pero accesible. Finalmente, introduce algunas definiciones básicas como la de sistema termodinámico.
Este documento presenta un curso de mecánica cuántica impartido por cuatro profesores de la Universidad de Chile. El curso consta de tres secciones principales: 1) una introducción histórica a la mecánica cuántica y sus principios fundamentales, 2) una introducción matemática a conceptos como espacios vectoriales y operadores lineales, y 3) las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica como los postulados y las relaciones de incertidumbre.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos numéricos para la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas numéricas, integrales numéricas y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como precisión, error y convergencia, así como métodos iterativos, de interpolación y de diferenciación/integración numérica. El documento provee una introducción general a estos temas y métodos a través de ejemplos expresados en lenguaje Scheme.
Este documento presenta un cuaderno de estudio para el programa preliminar de ingeniería de la Universidad Técnica Federico Santa María. Incluye 10 secciones que cubren temas matemáticos fundamentales como lógica simbólica, teoría de conjuntos, funciones, geometría analítica, números naturales y reales, trigonometría, números complejos, límites y continuidad. El cuaderno proporciona los conceptos y herramientas matemáticas básicas necesarias para los estudiantes de ingeniería.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de una función. Explica que el problema de trazar una recta tangente a una curva fue un problema importante en los inicios del cálculo. La solución a este problema condujo al desarrollo de las técnicas del cálculo diferencial, las cuales son fundamentales en ciencias y tecnología modernas. Define una recta secante como una recta que pasa por dos puntos de una curva, y explica que el problema de la tangente involucra determinar la pendiente de la recta tangente a partir de
INDICE DE SEGURIDAD ALIMENTARIA POR MACRONUTRIENTESmilenagost
El Indice de Seguridad Alimentaria por Macronutrientes permite evaluar probabílisticamente la capacidad alimentaria y económica que tienen los países para garantizarle a sus habitantes la seguridad alimentaria.
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Incluye secciones sobre la estructura diferenciable de un espacio vectorial, campos tangentes, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, métodos para resolver ecuaciones diferenciales como el método de Lie, estabilidad de sistemas dinámicos, y aplicaciones a problemas físicos.
Este documento presenta un análisis de dos algoritmos para medir la similitud entre secuencias mitocondriales: el algoritmo de Needleman-Wunsch y el algoritmo de Weiner. El autor implementa estos algoritmos en MATLAB y los evalúa en términos de eficiencia espacial y de tiempo, usando una base de datos de ADN mitocondrial. El objetivo es determinar cuál algoritmo es más adecuado para este tipo de análisis genético.
Este documento presenta una introducción a los materiales cerámicos. Explica conceptos clave como los tipos de enlace químico, estructuras cristalinas comunes, defectos en la red, difusión, fenómenos de superficie y soluciones. El autor describe estos temas fundamentales para comprender las propiedades y aplicaciones de los materiales cerámicos.
Este documento trata sobre la espectroscopía óptica en plasmas. La primera parte introduce conceptos sobre la estructura electrónica de átomos y moléculas, incluyendo modelos como el campo central y los diferentes tipos de acoplamiento entre momentos angulares. Luego, explica las condiciones para que ocurran transiciones entre niveles electrónicos, y cómo clasificar dichas transiciones. La segunda parte se enfoca en la espectroscopía de plasmas, describiendo conceptos como el ensanchamiento de líneas espectrales y cómo usar
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de álgebra, geometría y trigonometría para cursos preuniversitarios. El documento está dividido en tres capítulos que cubren números reales, exponentes y radicales, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, ángulos, triángulos, paralelogramos, volúmenes y funciones trigonométricas. El objetivo es proveer material de apoyo para cursos posteriores en el área de ingeniería.
Este documento proporciona una introducción a la espectroscopía de superficies. Cubre temas como la dispersión de iones, la pérdida de energía de iones, el sputtering, la canalización, las interacciones electrón-electrón, la estructura superficial, la absorción de rayos X y la espectroscopía fotoelectrónica de rayos X. El documento describe los principios fundamentales de varias técnicas espectroscópicas utilizadas para caracterizar superficies a nivel atómico y molecular.
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En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
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INDICE GENERAL
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1. INTRODUCCION 1
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1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . 5
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1.2. ECUACION DE CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . 6
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2. METODOS DE SOLUCION ´ 7
qui
2.1. VARIABLES SEPARABLES . . . . . . . . . . . . . . . . 7
´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS . . . . . . . . . . . . . . 10
tio
2.3. E.D. CON COEFICIENTES LINEALES . . . . . . . . . 14
An
2.4. ECUACIONES EXACTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION . . . . . . . . . . . . . 20
de
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . 26
dad
2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI . . . . 31
2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN . . . . . . 33
ersi
2.9. OTRAS SUSTITUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 45
iv
Un
3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN 49
´
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1. Trayectorias Isogonales y Ortogonales . . . . . . . 49
3.1.2. Problemas de Persecuci´n: . . . . . . . .
o . . . . . . 51
3.1.3. Aplicaciones a la geometr´ anal´
ıa ıtica . . . . . . . 54
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION . . ´ . . . . . . 55
3.2.1. Desintegraci´n radioactiva . . . . . . . .
o . . . . . . 56
iii
4. iv ´
INDICE GENERAL
3.2.2. Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . 57
3.2.3. Ley de absorci´n de Lambert . .
o . . . . . . . . . . 57
3.2.4. Crecimientos poblacionales . . . . . . . . . . . . . 58
´
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. VACIADO DE TANQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5. APLICACIONES A LA FISICA . . . . . . . . . . . . . . 73
4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES 81
as
4.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
atic
´
4.2. DIMENSION DEL ESP. VECT. SOL. DE UNA E.D.O. 90
´ ´
4.3. METODO DE REDUCCION DE ORDEN . . . . . . . 97
atem
4.4. E.D. LINEALES CON COEFICIENTES CONST. . . . 101
4.4.1. E.D. LINEALES DE ORDEN DOS . . . . . . . . 101
eM
4.4.2. E.D. LINEALES DE ORDEN MAYOR QUE
DOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
o. d
4.5. OPERADOR ANULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.6. COEFICIENTES INDETERMINADOS . . . . . . . . . 109
ept
´ ´
4.7. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . 112
´ ´
a, D
4.7.1. GENERALIZACION DEL METODO DE
´ ´
VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . 120
qui
4.8. OPERADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.9. OPERADORES INVERSOS . . . . . . . . . . . . . . . . 125
tio
4.10. E.D.O. DE EULER - CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . 137
An
4.11. APLICAC. DE LA E.D. DE SEGUNDO ORDEN . . . 141
´
4.11.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE . . . . . 141
de
4.11.2. MOVIMIENTO AMORTIGUADO . . . . . . . . 143
4.11.3. MOVIMIENTO FORZADO. . . . . . . . . . . . . 146
dad
4.12. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 160
ersi
5. SOLUCIONES POR SERIES 165
iv
5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Un
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS . . . . . . . . 167
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 178
5.3.1. CASO II: r1 − r2 = entero positivo . . . . . . . . . 184
´
5.3.2. FUNCION GAMMA: Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.3. CASO III: r1 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
´
5.3.4. ECUACION DE BESSEL DE ORDEN p : . . . . 194
5.3.5. PUNTO EN EL INFINITO . . . . . . . . . . . . . 202
5.4. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 208
5. ´
INDICE GENERAL v
6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 211
6.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE . . . . . 215
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE . . 218
6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA A LAS E.D. 234
6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC . . . . . 239
6.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 242
as
7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 247
atic
7.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
´
7.2. CONJUNTOS FUND. Y SIST. HOMOGENEOS . . . 250
atem
´
7.3. METODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS . 251
´ ´
7.4. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . 271
eM
7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS276
7.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 279 o. d
8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. 281
ept
´
8.1. SISTEMAS AUTONOMOS, EL PLANO DE FASE . . 281
8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. . . 286
a, D
8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS. . . . . . . . . . 287
8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTAB. . . 296
qui
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV . 309
tio
8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES . . 318
´
8.6. CICLOS LIMITES: TEOREMA DE POINCARE-BENDIXSON 339
An
8.7. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 349
de
A. F´rmulas
o 355
dad
A.1. F´rmulas Aritm´ticas .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
A.2. F´rmulas Geom´tricas
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
ersi
A.3. Trigonometr´ . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
A.4. Tabla de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
iv
Un
B. TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 363
B.1. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
B.2. TEOREMA LOCAL DE EXIST. Y UNICID., CASO UNIDIMENSIONAL 365
B.3. TEOREMAS LOCAL Y GLOBAL PARA SISTEMAS DE E. D. LINEALES 372
C. EXPONENCIAL DE OPERADORES 377
´
D. TEOREMA DE LIENARD 381
6. vi ´
INDICE GENERAL
E. FRACCIONES PARCIALES 387
E.1. Factores lineales no repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . 387
E.2. Factores Lineales Repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
E.3. Factores Cuadr´ticos. . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . 390
E.4. Factores Cuadr´ticos Repetidos.
a . . . . . . . . . . . . . . 391
as
atic
atem
eM
o. d
ept
a, D
qui
tio
An
de
dad
ersi
iv
Un
7. CAP´
ITULO 1
as
atic
INTRODUCCION
atem
eM
o. d
Definici´n 1.1. Si una ecuaci´n contiene las derivadas o las diferenciales
o o
ept
de una o m´s variables dependientes con respecto a una o m´s variables
a a
independientes, se dice que es una ecuaci´n diferencial (E.D.).
o
a, D
Si la ecuaci´n contiene derivadas ordinarias de una o m´s variables depen-
o a
qui
dientes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuaci´n o
se dice que es una ecuaci´n diferencial ordinaria (E.D.O.).
o
tio
An
dy
Ejemplo 1. 3 dx + 4y = 5
de
Ejemplo 2. (x2 − y)dx + 5 sen y dy = 0
dad
Ejemplo 3. u du + v dx = x
dx
dv
ersi
Si la ecuaci´n contiene derivadas parciales de una o m´s variables depen-
o a
iv
dientes con respecto a una o m´s variables independientes, se dice que es una
a
Un
ecuaci´n en derivadas parciales.
o
∂u ∂v
Ejemplo 4. ∂y
= − ∂x
∂2u
Ejemplo 5. ∂x∂y
=y−x
Definici´n 1.2. (Orden). La derivada o la diferencial de m´s alto orden
o a
determina el orden de la E.D.
1
8. 2 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
d3 y 2
Ejemplo 6. dx3
+ x2 dxy + x dx = ln x, es de orden 3.
d
2
dy
dy y
Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒ dx
= x , la cual es de orden 1.
Definici´n 1.3 (E.D.O. lineal). Una E.D. es lineal si tiene la forma:
o
as
d yn d y n−1 dy
atic
an (x) dxn + an−1 (x) dxn−1 + . . . + a1 (x) dx + a0 (x)y = g(x)
atem
Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente
uno y cada coeficiente a0 (x), a1 (x), . . . , an (x), g(x), depende solo de x. Si no
se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal.
eM
3 2
o. d
Ejemplo 8. x2 dxy + cos x dxy + sen x dx + x2 y = ex es lineal de orden 3.
d
3
d
2
dy
ept
3
Ejemplo 9. sen x dxy + xy 2 = 0 no es lineal.
d
3
a, D
2
Ejemplo 10. y 2 dxy + y dx + xy = x no es lineal.
d
2
dy
qui
Definici´n 1.4. . Se dice que una funci´n f con dominio en un intervalo I
o o
tio
es soluci´n a una E.D. en el intervalo I, si la funci´n satisface la E.D. en el
o o
An
intervalo I.
de
Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluci´n de y (x + y) = y
o
dad
dy 1 dy
En efecto, derivando impl´
ıcitamente: 1 = ln(cy) + y cy c dx
ersi
dx
dy dy 1
iv
1= dx
(ln(cy) + 1), luego dx
= ln(cy)+1
Un
Sustituyendo en la ecuaci´n diferencial:
o
y ln(cy) + y y(ln (cy) + 1)
= = y,
ln (cy) + 1 ln (cy) + 1
luego y = y
por tanto x = y ln (cy) es soluci´n.
o
9. 3
Una E.D. acompa˜ada de unas condiciones iniciales se le llama un pro-
n
blema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un pro-
blema de valor inicial tiene soluci´n y tambi´n deseamos saber si esta soluci´n
o e o
es unica, aunque no podamos conseguir expl´
´ ıcitamente la soluci´n. El si-
o
guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este
teorema lo enunciamos y demostramos con m´s profundidad en el Ap´ndice
a e
al final del texto.
as
Teorema 1.1. (Picard)
atic
Sea R una regi´n rectangular en el plano XY definida por
o
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior.
atem
Si f (x, y) y ∂f son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cen-
∂y
tro en x0 y una unica funci´n y(x) definida en I que satisface el problema
´ o
eM
de valor inicial y = f (x, y), y(x0 ) = y0 .
o. d
Ejemplo 12. Para la E.D. y = x2 + y 2 , se tiene que f (x, y) = x2 + y 2
y ∂f = 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier
ept
∂y
punto (x0 , y0 ) del plano XY pasa una y solo una soluci´n de la E.D. anteri-
o
a, D
or. Es importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluci´n
o
expl´ıcita; s´lo con m´todos num´ricos se puede hallar la soluci´n.
o e e o
qui
Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es soluci´n de y + 25y = 0.
o
tio
2 x t2 2
An
Ejercicio 2. Demostrar que y = e−x 0
e dt + c1 e−x es soluci´n de
o
y + 2xy = 1.
de
x sen t
Ejercicio 3. Demostrar que y = x dt es soluci´n de
o
dad
0 t
xy = y + x sen x.
ersi
x
Ejercicio 4. Demostrar que y = e− 2 es soluci´n de 2y + y = 0, tambi´n
o e
iv
y = 0 es soluci´n.
o
Un
Nota: si todas las soluciones de la E.D. F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 en un in-
tervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1 , . . . , Cn ) mediante valores apropia-
dos de Ci , entonces a G se le llama la soluci´n general; una soluci´n que no
o o
contenga los par´metros Ci se le llama la soluci´n particular; una soluci´n
a o o
que no pueda obtenerse a partir de la soluci´n general se le llama soluci´n
o o
singular.
Veremos m´s adelante que la soluci´n general a una E.D. lineal de orden n
a o
10. 4 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
tiene n par´metros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener
a
expl´
ıcitamente una soluci´n general.
o
Ejemplo 13. y = Cx4 es soluci´n general de xy − 4y = 0.
o
Con C = 1 entonces la soluci´n particular es y = x4 .
o
Tambi´n
e
x4 x≥0
as
f (x) =
−x4 x<0
atic
atem
es una soluci´n singular, porque no se puede obtener a partir de la soluci´n
o o
general.
eM
1
Ejercicio 5. Si y − xy 2 = 0, demostrar o. d
2
a). y = ( x + C)2 es soluci´n general.
o
ept
4
x4
a, D
b). Si C = 0 mostrar que y = 16
es soluci´n particular.
o
c). Explicar porqu´ y = 0 es soluci´n singular.
e o
qui
Ejercicio 6. Si y = y 2 − 1, demostrar
tio
An
1+Ce2x
a). y = 1−Ce2x
es soluci´n general.
o
de
b). Explicar porqu´ y = −1 es soluci´n singular.
e o
dad
Ejercicio 7. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´n
o
general.
ersi
Ejercicio 8. Si 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0, comprobar que x2 y + y 2 = C1
iv
Un
es soluci´n general.
o
Ejercicio 9. Si (x2 + y 2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0, comprobar que
y
C1 (x + y)2 = xe x , es soluci´n general.
o
Ejercicio 10. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´n
o
general.
11. 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES 5
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
Dada la E.D. y = f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa
una direcci´n en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto
o
(x, y) una direcci´n. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de
o
direcciones o campo pendiente de la E.D. y = f (x, y). Este campo de di-
recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como
por ejemplo si son asint´ticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc..
o
as
Con el paquete Maple haremos un ejemplo.
atic
Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y = −2x2 + y 2 y
atem
cuatro curvas soluci´n de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1),
o
(0, −1) respectivamente.
eM
> with(DEtools):
DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black,
o. d
{[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black);
ept
a, D
2
qui
tio
An
1
de
dad
y(x)0
-2 -1 0 1 2
ersi
x
iv
-1
Un
-2
Figura 1.1
12. 6 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
1.2. ´
ECUACION DE CONTINUIDAD
Para finalizar este Cap´ ıtulo, es importante hacer un corto comentario so-
bre la ecuaci´n de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´menos
o o
en diferentes areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como
´
resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaci´n de continuidad
o
nos dice que la tasa de acumulaci´n de una variable x en un recipiente (el
o
as
cual puede ser un tanque, un organo humano, una persona, una ciudad, un
´
atic
banco, una universidad, un sistema ecol´gico, etc.) es igual a su tasa de en-
o
trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida
atem
pueden ser constantes o variables.
Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t)
eM
entonces la tasa de acumulaci´n es
o
o. d
dx
= E(t) − S(t).
dt
ept
Ejemplo 15. La concentraci´n de glucosa en la sangre aumenta por ingesta
o
a, D
de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa a una raz´n constante
o
R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina
qui
a una tasa proporcional a la concentraci´n presente de glucosa. Si C(t) re-
o
presenta la concentraci´n de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y
o
tio
S(t) = kC(t), entonces por la ecuaci´n de continuidad, la Ecuaci´n Diferen-
o o
An
cial que rige este fen´meno es
o
de
dC(t)
= E(t) − S(t) = R − kC(t).
dt
dad
ersi
iv
Un
13. CAP´
ITULO 2
as
atic
´ ´
atem
METODOS DE SOLUCION
eM
o. d
2.1. VARIABLES SEPARABLES
ept
a, D
dy g(x)
Definici´n 2.1. Se dice que una E.D. de la forma:
o = es separable
dx h(y)
qui
o de variables separables.
tio
La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran-
o
An
do:
h(y) dy = g(x) dx + C,
de
dad
obteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones.
e ı e
ersi
Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de
a
iv
otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes
u
Un
o exponenciales de constantes o si aparece la suma de varias constantes re-
unirlas en una sola constante.
dy
Ejemplo 1. dx
= e3x+2y
Soluci´n:
o
dy
= e3x+2y = e3x e2y
dx
7
14. 8 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
separando variables
dy
2y
= e3x dx
e
e integrando
1 e3x
− e−2y + C =
as
2 3
atic
la soluci´n general es
o
atem
e3x e−2y
+ =C
3 2
eM
dy 1
Ejemplo 2. dx
= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1 o. d
Soluci´n: separando variables
o
ept
2x
a, D
y −3 dy = √ dx
2 1 + x2
qui
1 d(1 + x2 ) u = 1 + x2
tio
= √ haciendo
2 1 + x2 du = 2xdx
An
obtenemos
de
1 du
= √
dad
2 u
1
y −2 1 (1 + x2 ) 2
ersi
e integrando = 1 +C
−2 2 2
iv
Un
soluci´n general
o
1 √
− = 1 + x2 + C.
2y 2
Cuando x = 0, y = 1
1 √
− = 1 + 02 + C
2×1
15. 2.1. VARIABLES SEPARABLES 9
luego C = −32
La soluci´n particular es
o
−1 √ 3
2
= 1 + x2 −
2y 2
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables:
e o
Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0
as
(Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))
atic
Ejercicio 2. y + y 2 sen x = 0
atem
(Rta. y = − cos 1 )
x+c
eM
Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0
(Rta. (2 − ex )3 = C tan y) o. d
π
Ejercicio 4. y sen x = y ln y, si y =e
ept
2
(Rta. ln y = csc x − cot x)
a, D
dy xy + 3x − y − 3
Ejercicio 5. =
dx xy − 2x + 4y − 8
qui
y+3
(Rta. ( x+4 )5 = Cey−x )
tio
Ejercicio 6. x2 y = y − xy, si y(−1) = −1
An
1
(Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)
de
dy
Ejercicio 7. Hallar la soluci´n general de la E.D. dx − y 2 = −9 y luego
o
dad
hallar en cada caso una soluci´n particular que pase por:
o
1
a) (0, 0), b) (0, 3), c) 3 , 1
ersi
(Rta. a) y−3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 1 e−2 e6x )
y+3 y+3 2
iv
Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n o
Un
de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias
o
son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es
la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en
funci´n de c(0); ¿cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es
o a o
decir, cuando c (t) = 0√ ?
√ √ √ √
µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2 kµt
(Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraci´n de equilibrio c = µ )
o k
16. 10 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
dy dy
Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx en
y = a y x = 2a.
3 y
(Rta.: yx2 = 4a e a )
e
2.2. ´
ECUACIONES HOMOGENEAS
Definici´n 2.2. f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que
o e
as
n
para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y).
atic
atem
Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos.
e
eM
Definici´n 2.3. Si una ecuaci´n en la forma diferencial :
o o
o. d
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
ept
tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), en-
tonces decimos que es de coeficientes homog´neos o que es una E.D. ho-
e
a, D
mog´nea.
e
qui
Siempre que se tenga una E.D. homog´nea podr´ ser reducida por medio
e a
tio
de una sustituci´n adecuada a una ecuaci´n en variables separables.
o o
An
M´todo de soluci´n: dada la ecuaci´n
e o o
de
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
dad
donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´neas del mismo grado; me-
e
ersi
diante la sustituci´n y = ux o x = yv (donde u o v son nuevas variables
o ´ ´
iv
dependientes), puede transformarse en una ecuaci´n en variables separables.
o
Un
Nota: si la estructura algebraica de N es m´s sencilla que la de M , en-
a
tonces es conveniente usar las sustituci´n y = ux.
o
Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N , es conveniente
a
usar la sustituci´n x = vy.
o
Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homog´neas, la siguiente E.D.:
e e
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0.
17. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS 11
Soluci´n:
o
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0 donde
homog´nea de grado 1
e homog´nea de grado 1
e
y y
M (x, y) = x + ye x y N (x, y) = −xe x
Como N es m´s sencilla que M , hacemos la sustituci´n: y = ux, por tanto
a o
dy = u dx + x du
as
Sustituyendo en la E.D.
atic
ux ux
(x + uxe x ) dx − xe x (u dx + x du) = 0
atem
o sea que
eM
x dx − x2 eu du = 0
o. d
luego x dx = x2 eu du, separando variables y considerando x = 0, obte-
nemos,
ept
dx
= eu du ⇒ ln x = eu + C
x
a, D
Por lo tanto la soluci´n general es
o
qui
y
ln x = e x + C
tio
Para hallar la soluci´n particular que pasa por el punto y(1) = 0, susti-
o
An
tuimos en la soluci´n general y obtenemos:
o
0
de
ln 1 = e 1 + C ⇒ 0 = 1 + C de donde C = −1
dad
Por lo tanto, y
ln x = e x − 1
ersi
es la soluci´n particular
o
iv
Un
Ejemplo 5. (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 (ayuda: hacer y = z α y calcular
α para convertirla en homog´nea)
e
Soluci´n:
o
No es homog´nea; hagamos y = z α y hallemos α de tal manera que la E.D.O.
e
se vuelva homog´nea:
e
dy = αz α−1 dz
18. 12 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
(x2 z 2α − 1)αz α−1 dz + 2xz 3α dx = 0
α(x2 z 3α−1 − z α−1 )dz + 2xz 3α dx = 0 (2.1)
suma de exponentes en los t´rminos: 2+3α−1, α−1 y 1+3α respectivamente.
e
An´lisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad:
a
as
1 + 3α = 2 + 3α − 1 = α − 1, se concluye α = −1
atic
Sustituyo en la E.D. (2.1): (−1)(x2 z −2 − 1)z −2 dz + 2xz −3 dx = 0
atem
(−x2 z −4 + z −2 ) dz + 2xz −3 dx = 0
eM
Es homog´nea de orden −2.
e o. d
La sustituci´n m´s sencilla es x = uz ⇒ dx = u dz + z du.
o a
ept
a, D
(−u2 z 2 z −4 + z −2 ) dz + 2uzz −3 (u dz + z du) = 0
qui
(−u2 z −2 + z −2 + 2u2 z −2 ) dz + (2uz −1 ) du = 0
tio
An
(u2 z −2 + z −2 ) dz + 2uz −1 du = 0
de
dad
z −2 (u2 + 1) dz + 2uz −1 du = 0
ersi
z −2 dz 2u
+ 2 du = 0
iv
z −1 u +1
Un
dz 2u
+ 2 du = 0
z u +1
Integrando: ln |z| + ln(u2 + 1) = ln C
ln |z(u2 + 1)| = ln C ⇒ z(u2 + 1) = C
x
reemplazo u = z
y tenemos, tomando z = 0
19. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS 13
x2
+z =C
z
x2
Como y = z −1 o sea que z = y −1 , entonces y −1
+ y −1 = C
luego
x2 y 2 + 1 = Cy,
es la soluci´n general.
o
as
atic
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de las homog´neas, o con-
e e ´
vertirla en homog´nea y resolverla seg´n el caso:
e u
atem
y
Ejercicio 1. y + x cot x dx − x dy = 0.
eM
y
(Rta.: C = x cos x )
dy
o. d
Ejercicio 2. (x + y 2 − xy) dx = y , con y(1) = 1.
(Rta.: ln2 |y| = 4( y−x ))
ept
y
y y
Ejercicio 3. x − y cos x dx + x cos x dy = 0.
a, D
y
(Rta.: ln |x| + sen x = C)
qui
Ejercicio 4. (x2 − 2y 2 ) dx + xy dy = 0.
tio
(Rta.: x4 = C(x2 − y 2 ))
An
−y
Ejercicio 5. xy = y + 2xe x .
y
de
(Rta.: ln x = 1 e x +c )
2
dad
Ejercicio 6. (x + y 3 ) dx + (3y 5 − 3y 2 x) dy = 0, (Ayuda: hacer x = z α ).
3
(Rta.: ln |C(x2 + y 6 )| = 2 arctan yx )
iv ersi
Ejercicio 7. 2(x2 y + 1 + x4 y 2 ) dx + x3 dy = 0, (Ayuda: hacer y = z α ).
Un
(Rta.: x4 (1 + 2Cy) = C 2 )
Ejercicio 8. y cos x dx + (2y − sen x) dy = 0, (Ayuda: hacer u = sen x).
sen x
(Rta.: y 2 = Ce− y )
y y
Ejercicio 9. y(ln x + 1) dx − x ln x dy = 0.
(Rta.: ln |x| − 1 ln2 x = C)
2
y
20. 14 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
dy y y
Ejercicio 10. dx = cos( x ) + x .
y y
(Rta.: sec( x ) + tan( x ) = Cx)
Ejercicio 11. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
yx2 dx − (x3 + y 3 )dy = 0,
donde y(0) = 1
as
(Rta.: ln |y| = 1 ( x )3 )
3 y
atic
Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
atem
xy 2 dy − (x3 + y 3 )dx = 0,
eM
donde y(1) = 0
y
(Rta.: ln |x| = 1 ( x )3 )
3 o. d
√
Ejercicio 13. (y + xy)dx − 2xdy = 0
ept
y y
(Rta.: x( x − 1)4 = C, si x > 0, y > 0 y x( x
+ 1)4 = C , si x < 0, y < 0)
a, D
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
qui
y(ln y − ln x − 1)dx + xdy = 0,
tio
donde y(e) = 1
An
y
(Rta.: x ln | x | = −e)
de
dad
2.3. E.D. DE COEFICIENTES LINEALES:
ersi
(ax + by + c) dx + (αx + βy + γ) dy = 0
iv
Se presentan dos casos:
Un
1. Si (h, k) es el punto de intersecci´n entre las rectas:
o
ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0
entonces se hace la sustituci´n: x = u + h y y = v + k y se consigue la
o
ecuaci´n homog´nea:
o e
(au + bv)du + (αu + βv)dv = 0
21. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 15
2. Si las dos rectas no se intersectan (o sea son paralelas), entonces
αx + βy = n(ax + by)
y por tanto se hace la sustituci´n z = ax + by, lo cual quiere decir
o
que αx + βy = nz, esta sustituci´n convierte la E.D. en una E.D. de
o
variables separables.
as
Ejercicios: resolver por el m´todo anterior:
e
atic
1. (x − y + 1) dx + (x + 2y − 5) dy = 0
√
atem
2 arctan √ x−1
(Rta.: (x − 1)2 + 2(y − 2)2 = Ce 2(y−2) )
eM
2. = 2y−x+5
dy
dx 2x−y−4
(Rta.: (x + y + 1)3 = C(y − x + 3))
o. d
3. (x − 2y + 4) dx + (2x − y + 2) dy = 0
ept
(Rta.: (x + y − 2)3 = C 2 (x − y + 2))
a, D
4. (x + y + 1)2 dx + (x + y − 1)2 dy = 0
(Rta.: 4x = − 1 (x + y)2 + 2(x + y) − ln |x + y| + C)
qui
2
tio
5. (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0
(Rta.: 4 − x − 2y = 3 ln |2 − x − y| + C)
An
6. (x + y − 2) dx + (x − y + 4) dy = 0
de
(Rta.: C = 2(x + 1)(y − 3) + (x + 1)2 − (y − 3)2 )
dad
7. (x − y − 5) dx − (x + y − 1) dy = 0
(Rta.: (x + y − 1)2 − 2(x − 3)2 = C)
ersi
8. (2x + y) dx − (4x + 2y − 1) dy = 0
iv
(Rta.: x = 2 (2x + y) − 25 − ln |5(2x + y) − 2| + C)
4
Un
5
2.4. ECUACIONES EXACTAS
Si z = f (x, y), entonces
∂f ∂f
dz = dx + dy
∂x ∂y
22. 16 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
es la diferencial total de f ; pero si z = c = f (x, y) (familia de curvas uni-
param´tricas en el plano XY ), entonces
e
∂f ∂f
dz = 0 = dx + dy.
∂x ∂y
Definici´n 2.4. La forma diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy es una dife-
o
rencial exacta en una regi´n R del plano XY si corresponde a la diferencial
o
as
total de alguna funci´n f (x, y).
o
atic
La ecuaci´n M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es exacta si es la diferencial
o
atem
total de alguna funci´n f (x, y) = c.
o
eM
Teorema 2.1 (Criterio para E.D. exactas).
Si M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer
o. d
orden continuas en una regi´n R del plano XY , entonces la condici´n nece-
o o
saria y suficiente para que la forma diferencial
ept
M (x, y) dx + N (x, y) dy
a, D
sea una diferencial exacta es que
qui
∂M ∂N
tio
= .
∂y ∂x
An
de
Demostraci´n: como M (x, y) dx + N (x, y) dy es una diferencial exacta, en-
o
tonces existe una funci´n f (x, y) tal que:
o
dad
∂f ∂f
ersi
M (x, y) dx + N (x, y) dy = dx + dy = d f (x, y)
∂x ∂y
iv
luego
Un
∂f
M (x, y) =
∂x
y
∂f
N (x, y) =
∂y
por tanto,
∂M ∂2f ∂2f ∂N
= = = .
∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x
23. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 17
La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque M y N son
continuas con derivadas de primer orden continuas.
M´todo. Dada la ecuaci´n M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0, hallar una funci´n
e o o
f (x, y) = C tal que
∂f ∂f
=M y =N
∂x ∂y
∂M ∂N
i) Comprobar que es exacta, es decir, verificar que = .
as
∂y ∂x
atic
∂f
ii) Suponer que = M (x, y) y luego integrar con respecto a x dejando a
atem
∂x
y constante:
eM
f (x, y) = M (x, y) dx + g(y) (2.2)
o. d
iii) Derivar con respecto a y la ecuaci´n (2.2)
o
ept
∂f ∂
a, D
= M (x, y) dx + g (y) = N (x, y)
∂y ∂y
qui
despejar
tio
∂
g (y) = N (x, y) − M (x, y) dx (2.3)
An
∂y
de
Esta expresi´n es independiente de x, en efecto:
o
dad
∂ ∂ ∂N ∂ ∂
N (x, y) − M (x, y) dx = − M (x, y) dx
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
ersi
∂N ∂ ∂ ∂N ∂
= − M (x, y) dx = − M (x, y) = 0
iv
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
Un
iv) Integrar la expresi´n (2.3) con respecto a y y sustituir en (2.2) e igualar
o
a C.
∂f
Nota: en ii) se pudo haber comenzado por ∂y
= N (x, y).
Ejemplo 6. Resolver la siguiente E.D.:
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
24. 18 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
Soluci´n:
o
paso i)
∂M x
= 4xy + e
∂y ∂M ∂N
de donde =
∂N ∂y ∂x
= 4xy + ex
∂x
paso ii)
as
atic
f (x, y) = N (x, y) dy + h(x) = (2x2 y + ex − 1) dy + h(x)
atem
= x2 y 2 + yex − y + h(x)
paso iii)
eM
∂f
= M = 2xy 2 + yex o. d
∂x
∂f
= 2xy 2 + yex + h (x) ⇒ h (x) = 0
ept
∂x
a, D
paso iv) h(x) = C
paso v) sustituyo h(x) en el paso ii):
qui
x2 y 2 + yex − y + C1 = C
tio
x2 y 2 + yex − y = C2 Soluci´n general
o
An
Ejemplo 7. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D.:
de
(xy 2 + bx2 y) dx + (x + y)x2 dy = 0.
dad
Soluci´n:
o
ersi
Como ∂M = 2xy + bx2 y
∂y
∂N
∂x
= 3x2 + 2xy entonces b = 3 , por lo tanto
iv
∂f
= xy 2 + 3x2 y (2.4)
Un
∂x
∂f
= x3 + x2 y (2.5)
∂y
integramos (2.4) :
x2
f (x, y) = (xy 2 + 3x2 y) dx + g(y) = y 2 + x3 y + g(y) (2.6)
2
25. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 19
derivamos (2.6) con respecto a y
∂f
= yx2 + x3 + g (y) (2.7)
∂y
igualamos (2.5) y (2.7)
x3 + x2 y = yx2 + x3 + g (y) ⇒ g (y) = 0
as
(2.8)
atic
luego g(y) = K y reemplazando en (2.6)
atem
x2
f (x, y) = y 2 + x3 y + K = C 1
2
eM
y por tanto la soluci´n general es
o
o. d
y 2 x2
+ x3 y = C
2
ept
Ejercicio 1. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas :
e
a, D
(tan x − sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0.
qui
(Rta.: f (x, y) = cos x sen y − ln |cos x| = C)
tio
Ejercicio 2. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas:
e
An
(y 2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sen x − x3 + ln y) dy = 0, con y(0) = e.
de
(Rta.: f (x, y) = y 2 sen x − x3 y − x2 + y(ln y − 1) = 0)
dad
ersi
Ejercicio 3. Determinar la funci´n M (x, y) de tal manera que la siguiente
o
E.D.O sea exacta:
iv
1
Un
M (x, y) dx + xex y + 2xy + dy = 0
x
y
(Rta.: M (x, y) = 1 y 2 ex (x + 1) + y 2 −
2 x2
+ g(x))
Ejercicio 4. Determinar la funci´n N (x, y) para que la siguiente E.D.
o
sea exacta:
1 1 x
y 2 x− 2 + 2 dx + N (x, y) dy = 0
x +y
26. 20 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
1 1 1
(Rta.: N (x, y) = x 2 y − 2 + 2 (x2 + y)−1 + g(y))
Ejercicio 5. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
(Rta.: f (x, y) = y(x2 y + ex − 1) = C)
Ejercicio 6. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
as
atic
(2x − y sen xy − 5y 4 ) dx − (20xy 3 + x sen xy) dy = 0
(Rta.: f (x, y) = x2 + cos(xy) − 5y 4 x = C)
atem
Ejercicio 7. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
eM
( sen xy + xy cos xy) dx + (x2 cos xy) dy = 0
o. d
(Rta.: f (x, y) = x sen (xy) = C)
ept
Ejercicio 8. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
a, D
(yexy + 4y 3 ) dx + (xexy + 12xy 2 − 2y) dy = 0, con y(0) = 2
(Rta.: f (x, y) = exy + 4xy 3 − y 2 = −3)
qui
tio
Ejercicio 9. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
An
(1 − sen x tan y) dx + cos x sec2 y dy = 0
(Rta.: f (x, y) = cos x tan y + x = C)
de
dad
´
ersi
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
iv
Definici´n 2.5 (Factor Integrante F.I.). Sea la E.D.
o
Un
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
Si µ(x, y) es tal que
µ(x, y) M (x, y) dx + µ(x, y) N (x, y) dy = 0
es una E.D. exacta, entonces decimos que µ(x, y) es un factor integrante
(F.I.).
27. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 21
Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas.
Ejemplo: x dx + y dy es la diferencial de 1 (x2 + y 2 ) ya que d 1 (x2 + y 2 ) =
2 2
x dx + y dy.
An´logamente: para x dy + y dx = d(xy).
a
Pero py dx + qx dy no es exacta, la expresi´n µ(x, y) = xp−1 y q−1 es un
o
factor integrante.
as
atic
Para y dx − x dy, las expresiones:
atem
1 1 1 1 1
µ= ; µ= 2; µ= ; µ= 2 ; µ= 2
eM
y 2 x xy x +y 2 ax + bxy + cy 2
son factores integrantes. o. d
Teorema 2.2 (Teorema del Factor Integrante).
ept
Sea M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 una E.D. y µ(x, y) un factor integrante, con
M , N y µ continuas y con primeras derivadas parciales continuas , entonces
a, D
∂M ∂N dµ dµ
qui
µ − =N = −M
∂y ∂x dx dy
tio
An
Demostraci´n: si µ es tal que µM dx + µN dy = 0 es exacta y µ, M, N
o
tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:
de
∂ ∂
dad
(µM ) = (µN )
∂y ∂x
o sea que
ersi
∂M ∂µ ∂N ∂µ
µ +M =µ +N
∂y ∂y ∂x ∂x
iv
Un
luego
∂M ∂N ∂µ ∂µ ∂µ M ∂µ
µ − =N −M =N −
∂y ∂x ∂x ∂y ∂x N ∂y
dy
como dx
= − M , entonces:
N
∂M ∂N ∂µ dy ∂µ dµ dµ
µ − =N + =N = −M
∂y ∂x ∂x dx ∂y dx dy
28. 22 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
ya que si µ = µ(x, y) y y = y(x) entonces:
∂µ ∂µ
dµ = dx + dy
∂x ∂y
y por tanto
dµ ∂µ ∂µ dy
= +
dx ∂x ∂y dx
as
Nota.
atic
∂M
− ∂N
1. Si ∂y N ∂x = f (x),
atem
entonces µf (x) = dµ y por tanto f (x)dx = dµ ,
dx µ
R R
f (x)dx
luego µ = ke ; tomando k = 1 se tiene µ = e f (x)dx .
eM
∂M
− ∂N
∂y ∂x
o. dR
g(y)dy
2. Similarmente, si −M
= g(y), entonces µ = e .
ept
Ejemplo 8. (2xy 2 − 2y) dx + (3x2 y − 4x) dy = 0.
a, D
Soluci´n:
o
qui
∂M
M (x, y) = 2xy 2 − 2y ⇒ = 4xy − 2
∂y
tio
∂N
An
N (x, y) = 3x2 y − 4x ⇒ = 6xy − 4
∂x
de
luego
∂M ∂N
dad
− = −2xy + 2
∂y ∂x
ersi
por tanto
∂M ∂N
∂y
− ∂x −2xy + 2 2(−xy + 1)
= =
iv
−M −2xy 2 + 2y 2y(−xy + 1)
Un
luego
1 R 1
dy
g(y) = ⇒ F.I. = µ(y) = e y = eln |y| = y
y
multiplico la E.D. original por y: (2xy 3 − 2y 2 ) dx + (3x2 y 2 − 4xy) dy = 0
el nuevo M (x, y) = 2xy 3 − 2y 2 y el nuevo N (x, y) = 3x2 y 2 − 4xy
29. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 23
Paso 1.
∂M
= 6xy 2 − 4y
∂y
y
∂N
= 6xy 2 − 4y
∂x
luego es exacta.
as
Paso 2.
atic
atem
f (x, y) = (2xy 3 − 2y 2 )dx + g(y) = x2 y 3 − 2xy 2 + g(y)
eM
Paso 3. Derivando con respecto a y:
∂f o. d
N = 3x2 y 2 − 4xy = = 3x2 y 2 − 4xy + g (y)
∂y
ept
luego g (y) = 0
a, D
Paso 4. g(y) = k
qui
Paso 5. Reemplazo en el paso 2.
tio
f (x, y) = x2 y 3 − 2xy 2 + k = c
An
luego x2 y 3 − 2xy 2 = k1 que es la soluci´n general.
de
o
dad
Ejemplo 9. x dy − y dx = (6x2 − 5xy + y 2 ) dx
Soluci´n:
o
ersi
y x dy − y dx
iv
como d( ) =
x x2
Un
entonces dividimos a ambos lados de la E.D. por x2 , luego
x dy − y dx 6x2 − 5xy + y 2
= dx
x2 x2
luego
y y y
d( ) = 6 − 5( ) + ( )2 dx,
x x x
30. 24 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
y
hagamos u = x
⇒ du = (6 − 5u + u2 )dx
du du
luego = dx ⇒ = dx
6 − 5u + u2 (u − 3)(u − 2)
1 A B
pero por fracciones parciales = +
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
o sea que A = 1 y B = −1, por tanto
as
atic
du du du
= dx ⇒ − = ln |u−3|−ln |u−2|+ln c = x
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
atem
luego
(u − 3) (y − 3x)
eM
c = ex , si x = 0 ⇒ c = ex
(u − 2) (y − 2x)
o. d
Obs´rvese que x = 0 es tambi´n soluci´n y es singular porque no se desprende
e e o
de la soluci´n general.
o
ept
En los siguientes ejercicios, hallar el factor integrante y resolver por el
a, D
m´todo de las exactas:
e
qui
Ejercicio 1. (cos(2y) − sen x) dx − 2 tan x sen (2y) dy = 0.
tio
1
(Rta.: sen x cos(2y) + 2 cos2 x = C)
An
Ejercicio 2. (3xy 3 + 4y) dx + (3x2 y 2 + 2x) dy = 0.
(Rta.: f (x, y) = x3 y 3 + 2x2 y = C)
de
dad
Ejercicio 3. 2xy ln y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0.
1 3
(Rta.: f (x, y) = x2 ln y + 3 (y 2 + 1) 2 = C)
ersi
Ejercicio 4. (2wz 2 − 2z) dw + (3w 2 z − 4w) dz = 0.
iv
Un
(Rta.: w 2 z 3 − 2z 2 w = C)
Ejercicio 5. ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0
(Rta.: f (x, y) = ex sen y + y 2 = C)
Ejercicio 6. x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 )(dx + dy).
1
(Rta.: xy = 4 (x + y)4 + C)
31. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 25
Ejercicio 7. x dy − y dx = (2x2 + 3y 2 )3 (2xdx + 3ydy).
2 3 y 1
(Rta.: 3
tan−1 ( 2 x
) = 3 (2x2 + 3y 2 )3 + C)
Ejercicio 8. y dx + (2x − yey ) dy = 0.
(Rta.: y 2 x − y 2 ey + 2yey − 2ey = C)
Ejercicio 9. (xy − 1)dx + (x2 − xy)dy = 0.
as
2
(Rta.: f (x, y) = xy − ln |x| − y2 = C)
atic
Ejercicio 10. ydx + (x2 y − x)dy = 0.
atem
2
(Rta.: f (x, y) = − x + y2 = C)
y
eM
Ejercicio 11. (2xy − e−2x )dx + xdy = 0.
(Rta.: f (x, y) = ye2x − ln |x| = C) o. d
Ejercicio 12. ydx + (2xy − e−2y )dy = 0.
ept
(Rta.: f (x, y) = xe2y − ln |y| = C)
a, D
Ejercicio 13. (x + y)dx + x ln xdy = 0.
(Rta.: f (x, y) = x + y ln x = C)
qui
tio
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular que pasa por el punto
o
y(1) = −2, de la E.D.
An
dy 3x2 y + y 2
=− 3
de
dx 2x + 3xy
(Rta.: x3 y 2 + y 3 x = −4)
dad
ersi
Ejercicio 15. x dx + y dy = 3 x2 + y 2 y 2 dy.
(Rta.: x2 + y 2 = y 3 + C)
iv
Un
Ejercicio 16. 4y dx + x dy = xy 2 dx.
1 1
(Rta.: yx4 − 3x3 = C)
Ejercicio 17. Si
My − N x
= R(xy),
yN − xM
Rt
R(s) ds
entonces µ = F.I. = e , donde t = xy
32. 26 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
Ejercicio 18. Bajo que condiciones M dx + N dy = 0 tendr´ un F.I.=
a
µ(x + y)
Ejercicio 19. Si M dx + N dy = 0 es homog´nea, entonces µ(x, y) =
e
1
xM +yN
as
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
atic
atem
Definici´n 2.6. Una E.D. de la forma:
o
dy
a1 (x) + a0 (x)y = h(x),
eM
dx
o. d
donde a1 (x) = 0, en I y a1 (x), a0 (x), h(x) son continuas en I, se le llama
E.D. lineal en y de primer orden.
ept
a, D
Dividiendo por a1 (x), se obtiene la llamada ecuaci´n en forma can´nica
o o
´
o forma estandar:
qui
dy
+ p(x)y = Q(x),
dx
tio
a0 (x) h(x)
An
donde p(x) = y Q(x) = .
a1 (x) a1 (x)
de
Teorema 2.3 (Teorema de la E.D. lineal de primer orden).
dad
La soluci´n general de la E.D. lineal en y, de primer orden:
o
ersi
y + p(x)y = Q(x)
iv
es :
Un
R R
p(x) dx p(x) dx
ye = e Q(x) dx + C.
Demostraci´n:
o
dy
+ p(x)y = Q(x) (2.9)
dx
⇒ p(x)y dx + dy = Q(x) dx
33. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN 27
∂M ∂N
o sea que (p(x)y − Q(x)) dx + dy = 0, como ∂y
= p(x) y ∂x
= 0, entonces
∂M ∂N
∂y
− ∂x
= p(x)
N
R
p(x) dx
y por tanto µ = e = F.I.; multiplicando (2.9) por el F.I.:
p(x) dx dy
R R R
p(x) dx p(x) dx
as
e + p(x)ye = Q(x)e
dx
atic
R R
d
o sea dx
(ye p(x) dx ) = Q(x)e p(x) dx
e integrando con respecto a x se tiene:
atem
R R
p(x) dx p(x) dx
ye = Q(x)e dx + C
eM
Obs´rvese que la expresi´n anterior es lo mismo que:
e o o. d
y F.I. = Q(x) F.I. dx + C
ept
a, D
dν
Ejemplo 10. Hallar la soluci´n general de la E.D.:(6 − 2µν) dµ + ν 2 = 0
o
qui
Soluci´n:
o
dν ν2
tio
=−
dµ 6 − 2µν
An
dµ 6 2µ
=− 2 +
de
dν ν ν
dad
dµ 2µ 6
− =− 2
dν ν ν
ersi
que es lineal en µ con
iv
2 6
Un
p(ν) = − , Q(ν) = − 2
ν ν
R R 2
− ν dν −2 1
F.I. = e p(ν)dν
=e = e−2 ln |ν| = eln |ν| = ν −2 =
ν2
La soluci´n general es
o
1 1 6
µ= (− 2 )dν + C
ν2 ν 2 ν
34. 28 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
1 ν −3
µ = −6 ν −4 dν + C = −6 +C
ν2 −3
µ 2 2
2
= 3 + C ⇒ µ = + Cν 2
ν ν ν
que es la soluci´n general.
o
as
dy
Ejemplo 11. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o dx
+ 2xy = f (x)
atic
x, 0≤x<1
donde f (x) =
atem
0, x≥1
y y(0) = 2
eM
Soluci´n:
o o. d
2 2 2
R
2xdx
F.I. : e = ex ⇒ ex y = ex f (x)dx + C
ept
a, D
2 2
a). si 0 ≤ x < 1 : ex y = ex x dx + C
2 2 1 2
ex y = 1 ex 2x dx+C = 2 ex +C, que es la soluci´n general. Hallemos
2
o
qui
C con la condici´n incial
o
2 2
y(0) = 2 ⇒ e0 2 = 1 e0 + C ⇒ C = 3
tio
2 2
2
luego y = 1 + 3 e−x , soluci´n particular.
2 2
o
An
b). si x ≥ 1 : F.I.y = F.I. 0 dx + C
de
2 2
ex y = 0 + C ⇒ y = Ce−x
dad
1 2
2
+ 3 e−x
2
0≤x<1
Soluci´n general: f (x) =
o
ersi
2
Ce−x x≥1
iv
Busquemos C, de tal manera que la funci´n f (x) sea continua en x = 1.
o
Un
Por tanto
1 3 2
l´ ( + e−x ) = f (1) = y(1)
ım
x→1 2 2
1 3
1 3 −1 + 2 e−1 1 3
+ e = Ce−1 , ⇒ C = 2 −1 = e+
2 2 e 2 2
Ejemplo 12. Con un cambio de variable adecuado transformar la E.D.:
2
y + x sen 2y = xe−x cos2 y
35. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN 29
en una E.D. lineal de primer orden y luego resolverla.
Soluci´n. Lo trabajamos mediante cambios de variable.
o
Dividiendo por cos2 y:
1 dy x(2 sen y cos y) 2
2 y dx
+ 2y
= xe−x
cos cos
dy 2
sec2 y
+ 2x tan y = xe−x
as
dx
atic
hagamos el siguiente cambio de variable: t = tan y, por lo tanto
atem
dt dy
= sec2 y .
dx dx
eM
Sustituyendo
dt 2
+ 2xt = xe−x ,
o. d
es lineal en t con
dx
ept
2
p(x) = 2x, Q(x) = xe−x
a, D
2
R
2x dx
F.I. = e = ex
qui
Resolvi´ndola
e
tio
t F.I. = F.I.Q(x) dx + C
An
2 2 2
tex = ex (xe−x ) dx + C
de
dad
x2 2
⇒ tan y ex =
+C
2
ersi
Ejercicio 1. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o
iv
dy
(1 + x2 ) dx + 2xy = f (x)
Un
x, 0≤x<1
donde f (x) =
−x , x≥1
con y(0) = 0.
x2
2(1+x2 )
, si 0 ≤ x < 1
(Rta.: y(x) = x2 1
)
− 2(1+x2 ) + 1+x2
, si x ≥ 1