Este documento presenta un resumen de ecuaciones diferenciales con aplicaciones en Maple. Incluye introducciones a métodos de solución como variables separables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas, factores de integración, ecuaciones lineales y no lineales de primer orden, transformada de Laplace, series, sistemas lineales de primer orden y teoría de estabilidad. También contiene anexos con fórmulas y teoremas útiles y ejemplos resueltos en Maple.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas, factores de integración, ecuaciones lineales y no lineales de primer orden, series, transformada de Laplace y sistemas lineales de primer orden. El documento contiene aplicaciones de estas ecuaciones a problemas geométricos, de crecimiento, dilución, física y estabilidad.
Libro ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple - 383pÁLVARO REYES
Este documento presenta un resumen de varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) métodos de separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones lineales de primer orden, ecuaciones exactas y factores de integración; 2) aplicaciones geométricas, de crecimiento y descomposición, dilución y vaciado de tanques; y 3) teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, soluciones por series y transformada de Laplace. El documento también incluye anexos con el paquete Maple
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como soluciones generales, soluciones particulares, ecuaciones de primer orden y de orden superior. También cubre métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones lineales, homogéneas, de variables separables, y sistemas de ecuaciones diferenciales. Finalmente, incluye aplicaciones de ecuaciones diferenciales y métodos avanzados como series y la transformada de Laplace.
Este documento introduce conceptos fundamentales de acústica. Explica la propagación de ondas sonoras, incluyendo definiciones de ondas, la ecuación de ondas y soluciones como ondas armónicas planas y esféricas. También cubre temas como la reflexión, transmisión y absorción de ondas acústicas, el análisis en frecuencia mediante la transformada de Fourier, y modelos de fuentes sonoras como esferas pulsantes y pistones pulsantes. Finalmente, resume términos importantes de acústica como veloc
Este documento presenta un análisis de dos algoritmos para medir la similitud entre secuencias mitocondriales: el algoritmo de Needleman-Wunsch y el algoritmo de Weiner. El autor implementa estos algoritmos en MATLAB y los evalúa en términos de eficiencia espacial y de tiempo, usando una base de datos de ADN mitocondrial. El objetivo es determinar cuál algoritmo es más adecuado para este tipo de análisis genético.
INDICE DE SEGURIDAD ALIMENTARIA POR MACRONUTRIENTESmilenagost
El Indice de Seguridad Alimentaria por Macronutrientes permite evaluar probabílisticamente la capacidad alimentaria y económica que tienen los países para garantizarle a sus habitantes la seguridad alimentaria.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de una función. Explica que el problema de trazar una recta tangente a una curva fue un problema importante en los inicios del cálculo. La solución a este problema condujo al desarrollo de las técnicas del cálculo diferencial, las cuales son fundamentales en ciencias y tecnología modernas. Define una recta secante como una recta que pasa por dos puntos de una curva, y explica que el problema de la tangente involucra determinar la pendiente de la recta tangente a partir de
Este documento presenta una introducción a la termodinámica. Explica que el objetivo es realizar una revisión de la termodinámica del equilibrio de manera general, huyendo de los sistemas simples como los gases perfectos. También indica que se basará en textos prestigiosos pero que buscará un nivel adecuado para la materia tratada de forma rigurosa pero accesible. Finalmente, introduce algunas definiciones básicas como la de sistema termodinámico.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas, factores de integración, ecuaciones lineales y no lineales de primer orden, series, transformada de Laplace y sistemas lineales de primer orden. El documento contiene aplicaciones de estas ecuaciones a problemas geométricos, de crecimiento, dilución, física y estabilidad.
Libro ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple - 383pÁLVARO REYES
Este documento presenta un resumen de varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) métodos de separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones lineales de primer orden, ecuaciones exactas y factores de integración; 2) aplicaciones geométricas, de crecimiento y descomposición, dilución y vaciado de tanques; y 3) teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, soluciones por series y transformada de Laplace. El documento también incluye anexos con el paquete Maple
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como soluciones generales, soluciones particulares, ecuaciones de primer orden y de orden superior. También cubre métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones lineales, homogéneas, de variables separables, y sistemas de ecuaciones diferenciales. Finalmente, incluye aplicaciones de ecuaciones diferenciales y métodos avanzados como series y la transformada de Laplace.
Este documento introduce conceptos fundamentales de acústica. Explica la propagación de ondas sonoras, incluyendo definiciones de ondas, la ecuación de ondas y soluciones como ondas armónicas planas y esféricas. También cubre temas como la reflexión, transmisión y absorción de ondas acústicas, el análisis en frecuencia mediante la transformada de Fourier, y modelos de fuentes sonoras como esferas pulsantes y pistones pulsantes. Finalmente, resume términos importantes de acústica como veloc
Este documento presenta un análisis de dos algoritmos para medir la similitud entre secuencias mitocondriales: el algoritmo de Needleman-Wunsch y el algoritmo de Weiner. El autor implementa estos algoritmos en MATLAB y los evalúa en términos de eficiencia espacial y de tiempo, usando una base de datos de ADN mitocondrial. El objetivo es determinar cuál algoritmo es más adecuado para este tipo de análisis genético.
INDICE DE SEGURIDAD ALIMENTARIA POR MACRONUTRIENTESmilenagost
El Indice de Seguridad Alimentaria por Macronutrientes permite evaluar probabílisticamente la capacidad alimentaria y económica que tienen los países para garantizarle a sus habitantes la seguridad alimentaria.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de una función. Explica que el problema de trazar una recta tangente a una curva fue un problema importante en los inicios del cálculo. La solución a este problema condujo al desarrollo de las técnicas del cálculo diferencial, las cuales son fundamentales en ciencias y tecnología modernas. Define una recta secante como una recta que pasa por dos puntos de una curva, y explica que el problema de la tangente involucra determinar la pendiente de la recta tangente a partir de
Este documento presenta una introducción a la termodinámica. Explica que el objetivo es realizar una revisión de la termodinámica del equilibrio de manera general, huyendo de los sistemas simples como los gases perfectos. También indica que se basará en textos prestigiosos pero que buscará un nivel adecuado para la materia tratada de forma rigurosa pero accesible. Finalmente, introduce algunas definiciones básicas como la de sistema termodinámico.
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Incluye secciones sobre la estructura diferenciable de un espacio vectorial, campos tangentes, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, métodos para resolver ecuaciones diferenciales como el método de Lie, estabilidad de sistemas dinámicos, y aplicaciones a problemas físicos.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de álgebra, geometría y trigonometría para cursos preuniversitarios. El documento está dividido en tres capítulos que cubren números reales, exponentes y radicales, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, ángulos, triángulos, paralelogramos, volúmenes y funciones trigonométricas. El objetivo es proveer material de apoyo para cursos posteriores en el área de ingeniería.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Desde la primera formulaci´on de los Problemas de Ruteo de Veh´ıculos, una gran
cantidad de m´etodos han sido propuestos para su resoluci´on. Estos m´etodos
incluyen tanto algoritmos exactos como heur´ısticas. En este trabajo se presenta
un relevamiento de algunas de las heur´ısticas que han sido m´as significativas.
Este documento presenta una revisión teórica del control de procesos industriales continuos. Explica conceptos clave como modelos de procesos, realimentación, elementos de control, diseño de sistemas de control, clasificación de sistemas, respuesta temporal y de frecuencia, lugar de las raíces, funcionamiento y estabilidad de sistemas de control, y sistemas de tiempo discreto.
Este documento describe los criterios para clasificar secciones de acero según su comportamiento frente a tensiones normales. Existen cuatro clases que van de más plástico a más esbelto, dependiendo de su sensibilidad al pandeo local. También presenta un algoritmo para asignar una clase a una sección a partir de un modelo de fibras, considerando factores como la esbeltez y relación de tensiones de sus componentes.
Este documento presenta las soluciones a pruebas y ejercicios de matemáticas del primer semestre de 1999. Contiene las respuestas a 4 pruebas distintas con ejercicios de álgebra, trigonometría, funciones y ecuaciones. Además, incluye las soluciones a 10 guías de ejercicios de funciones cuadráticas, trigonométricas y raíces cuadradas. Por último, presenta figuras gráficas que ilustran las soluciones.
Este documento presenta un curso de mecánica cuántica impartido por cuatro profesores de la Universidad de Chile. El curso consta de tres secciones principales: 1) una introducción histórica a la mecánica cuántica y sus principios fundamentales, 2) una introducción matemática a conceptos como espacios vectoriales y operadores lineales, y 3) las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica como los postulados y las relaciones de incertidumbre.
Este documento presenta apuntes sobre la teoría de la medida y la integración. Se divide en cinco capítulos principales que cubren temas como σ-álgebras de conjuntos, medidas, integración, espacios de medida producto y diferenciación. Cada capítulo contiene secciones detalladas sobre definiciones, teoremas y propiedades relacionadas con los diferentes conceptos de la teoría de la medida.
Sistema de posicionamiento de objetos mediante visión estéreo embarcable en v...Jorge Tarlea
This project has consisted on designing and implementing a stereo vision system that is capable of estimating the distances to which some objects of interest are located.
The images acquisition system consists of two rewire cameras serial connected. The
software is implemented in C/C++ programming language, together with the OpenCV computer vision libraries. It is formed by two applications: the rest of them carries out the stereo calibration and the other one corrects the images, generates the disparity maps and calculates the distances.
El documento describe la simulación numérica del problema de Brinkman utilizando el método de elementos finitos. Se considera un cojinete deslizante cilíndrico con lubricante incompresible e isoviscoso, y se modela el fenómeno de cavitación mediante la ecuación variacional de Reynolds. La resolución numérica del sistema de ecuaciones resultante constituye el principal aporte del trabajo.
Este documento presenta un proyecto de simulación de un péndulo invertido. El objetivo principal es diseñar un controlador óptimo para estabilizar el péndulo, incluso cuando está inicialmente en la posición vertical inestable. El proyecto incluye el modelado matemático del sistema, el diseño e implementación de controladores PID y LQR, y el desarrollo de una aplicación en Java para simular el péndulo invertido de forma interactiva.
propiedades petrofsicas de un yacimiento petroleroEsmeralda Mora
Este documento presenta un estudio sobre la determinación de las propiedades petrofísicas de rocas de yacimientos petrolíferos colombianos mediante métodos de relajación de resonancia magnética nuclear (RMN). El estudio incluye la medición y análisis de muestras de roca de tres campos petrolíferos colombianos para caracterizar las distribuciones de tiempo de relajación T1 y T2, así como el cálculo de propiedades como porosidad, relajabilidad superficial, presencia de gradientes internos y estimación
Este documento presenta 10 identidades trigonométricas y demuestra si son ciertas resolviendo paso a paso cada una. La resolución incluye aplicar definiciones, igualdades fundamentales y propiedades de funciones trigonométricas como tangente, coseno, seno y cotangente.
Este documento es la tesis de ingeniería de Jimena Garbarino sobre protocolos para redes inalámbricas de sensores. La tesis introduce el tema de las redes de sensores inalámbricos, describe varios tipos de aplicaciones, estándares de comunicación empleados y protocolos de red propuestos. Luego, detalla el diseño de una simulación en Omnet++ para evaluar y comparar protocolos, incluyendo métricas de evaluación. Finalmente, presenta la implementación de módulos de red específicos, como diseminación de
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Introduce conceptos fundamentales como estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos), espacios vectoriales, aplicaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Explica propiedades de estas ideas y su relación, con ejemplos. El objetivo es proporcionar una introducción general a los temas básicos del álgebra lineal.
Se ha caracterizado magnéticamente cintas nanoperm de
distintas composiciones, con el objetivo de estudiar cómo varía la impedancia con el campo magnético, efecto
conocido como Magneto-Impedancia, tanto en el estado as-quenched como tras recocerlas durante una hora a 600ºC.
Se ha elegido este tipo de materiales porque presenta un comportamiento magnético muy prometedor, sobre todo tras la nanocristalización, para obtener un fuerte efecto de la Magneto-Impedancia, así como muy buena sensibilidad al
campo magnético, lo cual es deseable para diversas aplicaciones relacionadas con sensores magnéticos.
Este documento presenta un resumen de temas relacionados con la propagación de ondas, incluyendo ondas elásticas, electromagnéticas y sísmicas. Se divide en 12 capítulos que cubren conceptos básicos de ondas, ecuaciones de ondas, propagación de ondas en medios elásticos isotrópicos y anisotrópicos, y métodos numéricos para resolver ecuaciones de ondas. El objetivo es proveer una introducción a estos temas para estudiantes y profesionales interesados en aplicaciones geofísicas y de
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos numéricos para la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas numéricas, integrales numéricas y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como precisión, error y convergencia, así como métodos iterativos, de interpolación y de diferenciación/integración numérica. El documento provee una introducción general a estos temas y métodos a través de ejemplos expresados en lenguaje Scheme.
Este documento presenta un cuaderno de estudio para el programa preliminar de ingeniería de la Universidad Técnica Federico Santa María. Incluye 10 secciones que cubren temas matemáticos fundamentales como lógica simbólica, teoría de conjuntos, funciones, geometría analítica, números naturales y reales, trigonometría, números complejos, límites y continuidad. El cuaderno proporciona los conceptos y herramientas matemáticas básicas necesarias para los estudiantes de ingeniería.
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Incluye secciones sobre la estructura diferenciable de un espacio vectorial, campos tangentes, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, métodos para resolver ecuaciones diferenciales como el método de Lie, estabilidad de sistemas dinámicos, y aplicaciones a problemas físicos.
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Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Desde la primera formulaci´on de los Problemas de Ruteo de Veh´ıculos, una gran
cantidad de m´etodos han sido propuestos para su resoluci´on. Estos m´etodos
incluyen tanto algoritmos exactos como heur´ısticas. En este trabajo se presenta
un relevamiento de algunas de las heur´ısticas que han sido m´as significativas.
Este documento presenta una revisión teórica del control de procesos industriales continuos. Explica conceptos clave como modelos de procesos, realimentación, elementos de control, diseño de sistemas de control, clasificación de sistemas, respuesta temporal y de frecuencia, lugar de las raíces, funcionamiento y estabilidad de sistemas de control, y sistemas de tiempo discreto.
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Este documento presenta un proyecto de simulación de un péndulo invertido. El objetivo principal es diseñar un controlador óptimo para estabilizar el péndulo, incluso cuando está inicialmente en la posición vertical inestable. El proyecto incluye el modelado matemático del sistema, el diseño e implementación de controladores PID y LQR, y el desarrollo de una aplicación en Java para simular el péndulo invertido de forma interactiva.
propiedades petrofsicas de un yacimiento petroleroEsmeralda Mora
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Se ha caracterizado magnéticamente cintas nanoperm de
distintas composiciones, con el objetivo de estudiar cómo varía la impedancia con el campo magnético, efecto
conocido como Magneto-Impedancia, tanto en el estado as-quenched como tras recocerlas durante una hora a 600ºC.
Se ha elegido este tipo de materiales porque presenta un comportamiento magnético muy prometedor, sobre todo tras la nanocristalización, para obtener un fuerte efecto de la Magneto-Impedancia, así como muy buena sensibilidad al
campo magnético, lo cual es deseable para diversas aplicaciones relacionadas con sensores magnéticos.
Este documento presenta un resumen de temas relacionados con la propagación de ondas, incluyendo ondas elásticas, electromagnéticas y sísmicas. Se divide en 12 capítulos que cubren conceptos básicos de ondas, ecuaciones de ondas, propagación de ondas en medios elásticos isotrópicos y anisotrópicos, y métodos numéricos para resolver ecuaciones de ondas. El objetivo es proveer una introducción a estos temas para estudiantes y profesionales interesados en aplicaciones geofísicas y de
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos numéricos para la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas numéricas, integrales numéricas y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como precisión, error y convergencia, así como métodos iterativos, de interpolación y de diferenciación/integración numérica. El documento provee una introducción general a estos temas y métodos a través de ejemplos expresados en lenguaje Scheme.
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Este documento presenta una introducción a los materiales cerámicos. Explica conceptos clave como los tipos de enlace químico, estructuras cristalinas comunes, defectos en la red, difusión, fenómenos de superficie y soluciones. El autor describe estos temas fundamentales para comprender las propiedades y aplicaciones de los materiales cerámicos.
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Heuristicas para problemas de ruteo de vehiculosdolimpica
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Efectos Magnetovolúmico y Magnetocalórico en el compuesto Nd2Fe17Universidad de Oviedo
Trabajo de investigación sobre el efecto magnetocalórico presente en el compuesto intermetálico Nd2Fe17, y su relación con las anomalías de magnetovolumen.
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1. as
atic
atem
ECUACIONES
eM
DIFERENCIALES
o. d
con aplicaciones en Maple ,D
ept
uia
1
Jaime Escobar A.
tioq
An
de
ad
rsid
ive
Un
1 Profesor Titular de la Universidad de Antioquia, Magister en
Matem´ticas de la Universidad Nacional. Texto en la
a p´gina Web:
a
http://matematicas.udea.edu.co/ jescobar/
2. ii
Un
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rsid
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An
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ept
o. d
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atem
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as
3. ´
INDICE GENERAL
as
atic
atem
eM
o. d
1. INTRODUCCION 1
ept
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . 5
´
,D
1.2. ECUACION DE CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . 6
uia
´
2. METODOS DE SOLUCION ´ 7
2.1. VARIABLES SEPARABLES . . . . . . . . . . . . . . . . 7
tioq
´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS . . . . . . . . . . . . . . 10
An
2.3. E.D. CON COEFICIENTES LINEALES . . . . . . . . . 14
2.4. ECUACIONES EXACTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
de
´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION . . . . . . . . . . . . . 20
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . 26
ad
2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI . . . . 31
rsid
2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN . . . . . . 33
2.9. OTRAS SUSTITUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
ive
2.10. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 45
Un
3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN 49
´
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1. Trayectorias Isogonales y Ortogonales . . . . . . . 49
3.1.2. Problemas de Persecuci´n: . . . . . . . .
o . . . . . . 51
3.1.3. Aplicaciones a la geometr´ anal´
ıa ıtica . . . . . . . 54
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION . . ´ . . . . . . 55
3.2.1. Desintegraci´n radioactiva . . . . . . . .
o . . . . . . 56
iii
4. iv ´
INDICE GENERAL
3.2.2. Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . 57
3.2.3. Ley de absorci´n de Lambert . .
o . . . . . . . . . . 57
3.2.4. Crecimientos poblacionales . . . . . . . . . . . . . 58
´
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. VACIADO DE TANQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5. APLICACIONES A LA FISICA . . . . . . . . . . . . . . 73
as
4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES 81
atic
4.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
´
4.2. DIMENSION DEL ESP. VECT. SOL. DE UNA E.D.O. 90
atem
´ ´
4.3. METODO DE REDUCCION DE ORDEN . . . . . . . 97
4.4. E.D. LINEALES CON COEFICIENTES CONST. . . . 101
4.4.1. E.D. LINEALES DE ORDEN DOS . . . . . . . . 101
eM
4.4.2. E.D. LINEALES DE ORDEN MAYOR QUE
DOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
o. d
4.5. OPERADOR ANULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
´ ´
ept
4.6. COEFICIENTES INDETERMINADOS . . . . . . . . . 109
4.7. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . 112
,D
´
4.7.1. GENERALIZACION DEL METODO DE ´
´ ´
uia
VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . 120
4.8. OPERADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
tioq
4.9. OPERADORES INVERSOS . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.10. E.D.O. DE EULER - CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . 137
An
4.11. APLICAC. DE LA E.D. DE SEGUNDO ORDEN . . . 141
´
4.11.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE . . . . . 141
de
4.11.2. MOVIMIENTO AMORTIGUADO . . . . . . . . 143
ad
4.11.3. MOVIMIENTO FORZADO. . . . . . . . . . . . . 146
rsid
4.12. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 160
ive
5. SOLUCIONES POR SERIES 165
5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Un
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS . . . . . . . . 167
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 178
5.3.1. CASO II: r1 − r2 = entero positivo . . . . . . . . . 184
´
5.3.2. FUNCION GAMMA: Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.3. CASO III: r1 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
´
5.3.4. ECUACION DE BESSEL DE ORDEN p : . . . . 194
5.3.5. PUNTO EN EL INFINITO . . . . . . . . . . . . . 202
5.4. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 208
5. ´
INDICE GENERAL v
6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 211
6.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE . . . . . 215
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE . . 218
6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA A LAS E.D. 234
6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC . . . . . 239
6.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 242
as
atic
7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 247
7.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
atem
´
7.2. CONJUNTOS FUND. Y SIST. HOMOGENEOS . . . 250
´
7.3. METODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS . 251
´ ´
7.4. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . 271
eM
7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS276
o. d
7.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 279
8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. 281
´
8.1. SISTEMAS AUTONOMOS, EL PLANO DE FASE . . 281
ept
,D
8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. . . 286
8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS. . . . . . . . . . 287
uia
8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTAB. . . 296
tioq
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV . 309
8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES . . 318
An
´
8.6. CICLOS LIMITES: TEOREMA DE POINCARE-BENDIXSON 339
8.7. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 350
de
A. F´rmulas
o 355
ad
A.1. F´rmulas Aritm´ticas .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
rsid
A.2. F´rmulas Geom´tricas
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
A.3. Trigonometr´ . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
ive
A.4. Tabla de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Un
B. TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 363
B.1. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
B.2. TEOREMA LOCAL DE EXIST. Y UNICID., CASO UNIDIMENSIONAL 365
B.3. TEOREMAS LOCAL Y GLOBAL PARA SISTEMAS DE E. D. LINEALES 372
C. EXPONENCIAL DE OPERADORES 377
´
D. TEOREMA DE LIENARD 381
6. vi ´
INDICE GENERAL
E. FRACCIONES PARCIALES 387
E.1. Factores lineales no repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . 387
E.2. Factores Lineales Repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
E.3. Factores Cuadr´ticos. . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . 390
E.4. Factores Cuadr´ticos Repetidos.
a . . . . . . . . . . . . . . 391
as
atic
atem
eM
o. d
ept
,D
uia
tioq
An
de
ad
rsid
ive
Un
7. CAP´
ITULO 1
as
atic
atem
INTRODUCCION
eM
o. d
Definici´n 1.1. Si una ecuaci´n contiene las derivadas o las diferenciales
o o
a ept
de una o m´s variables dependientes con respecto a una o m´s variables
a
,D
independientes, se dice que es una ecuaci´n diferencial (E.D.).
o
uia
Si la ecuaci´n contiene derivadas ordinarias de una o m´s variables depen-
o a
dientes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuaci´n o
tioq
se dice que es una ecuaci´n diferencial ordinaria (E.D.O.).
o
An
dy
Ejemplo 1. 3 dx + 4y = 5
de
Ejemplo 2. (x2 − y)dx + 5 sen y dy = 0
ad
rsid
Ejemplo 3. u du + v dx = x
dx
dv
ive
Si la ecuaci´n contiene derivadas parciales de una o m´s variables depen-
o a
dientes con respecto a una o m´s variables independientes, se dice que es una
a
Un
ecuaci´n en derivadas parciales.
o
∂u ∂v
Ejemplo 4. ∂y
= − ∂x
∂2u
Ejemplo 5. ∂x∂y
=y−x
Definici´n 1.2. (Orden). La derivada o la diferencial de m´s alto orden
o a
determina el orden de la E.D.
1
8. 2 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
d3 y 2
Ejemplo 6. dx3
+ x2 dxy + x dx = ln x, es de orden 3.
d
2
dy
dy y
Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒ dx
= x , la cual es de orden 1.
Definici´n 1.3 (E.D.O. lineal). Una E.D. es lineal si tiene la forma:
o
as
atic
d yn d y n−1 dy
an (x) dxn + an−1 (x) dxn−1 + . . . + a1 (x) dx + a0 (x)y = g(x)
atem
Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente
uno y cada coeficiente a0 (x), a1 (x), . . . , an (x), g(x), depende solo de x. Si no
eM
se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal.
o. d
3 2
Ejemplo 8. x2 dxy + cos x dxy + sen x dx + x2 y = ex es lineal de orden 3.
d
3
d
2
dy
3
Ejemplo 9. sen x dxy + xy 2 = 0 no es lineal.
d ept
3
,D
2
Ejemplo 10. y 2 dxy + y dx + xy = x no es lineal.
d dy
uia
2
tioq
Definici´n 1.4. . Se dice que una funci´n f con dominio en un intervalo I
o o
es soluci´n a una E.D. en el intervalo I, si la funci´n satisface la E.D. en el
o o
An
intervalo I.
de
ad
Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluci´n de y (x + y) = y
o
rsid
dy 1 dy
En efecto, derivando impl´
ıcitamente: 1 = dx
ln(cy) + y cy c dx
ive
dy dy 1
1= dx
(ln(cy) + 1), luego dx
= ln(cy)+1
Un
Sustituyendo en la ecuaci´n diferencial:
o
y ln(cy) + y y(ln (cy) + 1)
= = y,
ln (cy) + 1 ln (cy) + 1
luego y = y
por tanto x = y ln (cy) es soluci´n.
o
9. 3
Una E.D. acompa˜ ada de unas condiciones iniciales se le llama un pro-
n
blema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un pro-
blema de valor inicial tiene soluci´n y tambi´n deseamos saber si esta soluci´n
o e o
es unica, aunque no podamos conseguir expl´
´ ıcitamente la soluci´n. El si-
o
guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este
teorema lo enunciamos y demostramos con m´s profundidad en el Ap´ndice
a e
al final del texto.
as
atic
Teorema 1.1. (Picard)
Sea R una regi´n rectangular en el plano XY definida por
o
atem
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior.
Si f (x, y) y ∂f son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cen-
∂y
eM
tro en x0 y una unica funci´n y(x) definida en I que satisface el problema
´ o
de valor inicial y = f (x, y), y(x0 ) = y0 .
o. d
Ejemplo 12. Para la E.D. y = x2 + y 2 , se tiene que f (x, y) = x2 + y 2
∂f
y ∂y ept
= 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier
punto (x0 , y0 ) del plano XY pasa una y solo una soluci´n de la E.D. anteri-
o
,D
or. Es importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluci´n
o
uia
expl´ıcita; s´lo con m´todos num´ricos se puede hallar la soluci´n.
o e e o
tioq
Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es soluci´n de y + 25y = 0.
o
An
2 x t2 2
Ejercicio 2. Demostrar que y = e−x 0
e dt + c1 e−x es soluci´n de
o
y + 2xy = 1.
de
x sen t
ad
Ejercicio 3. Demostrar que y = x 0 t
dt es soluci´n de
o
rsid
xy = y + x sen x.
x
ive
Ejercicio 4. Demostrar que y = e− 2 es soluci´n de 2y + y = 0, tambi´n
o e
y = 0 es soluci´n.
o
Un
Nota: si todas las soluciones de la E.D. F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 en un in-
tervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1, . . . , Cn ) mediante valores apropia-
dos de Ci , entonces a G se le llama la soluci´n general; una soluci´n que no
o o
contenga los par´metros Ci se le llama la soluci´n particular; una soluci´n
a o o
que no pueda obtenerse a partir de la soluci´n general se le llama soluci´n
o o
singular.
Veremos m´s adelante que la soluci´n general a una E.D. lineal de orden n
a o
10. 4 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
tiene n par´metros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener
a
expl´
ıcitamente una soluci´n general.
o
Ejemplo 13. y = Cx4 es soluci´n general de xy − 4y = 0.
o
Con C = 1 entonces la soluci´n particular es y = x4 .
o
Tambi´n
e
as
x4 x≥0
f (x) =
atic
−x4 x<0
atem
es una soluci´n singular, porque no se puede obtener a partir de la soluci´n
o o
general.
eM
1
Ejercicio 5. Si y − xy 2 = 0, demostrar
o. d
2
a). y = ( x4 + C)2 es soluci´n general.
o
ept
x4
b). Si C = 0 mostrar que y = es soluci´n particular.
o
,D
16
uia
c). Explicar porqu´ y = 0 es soluci´n singular.
e o
tioq
Ejercicio 6. Si y = y 2 − 1, demostrar
1+Ce2x
An
a). y = 1−Ce2x
es soluci´n general.
o
b). Explicar porqu´ y = −1 es soluci´n singular.
e o
de
Ejercicio 7. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´n
ad
o
general.
rsid
Ejercicio 8. Si 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0, comprobar que x2 y + y 2 = C1
ive
es soluci´n general.
o
Un
Ejercicio 9. Si (x2 + y 2) dx + (x2 − xy) dy = 0, comprobar que
y
C1 (x + y)2 = xe x , es soluci´n general.
o
11. 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES 5
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
Dada la E.D. y = f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa
una direcci´n en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto
o
(x, y) una direcci´n. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de
o
direcciones o campo pendiente de la E.D. y = f (x, y). Este campo de di-
recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como
as
por ejemplo si son asint´ticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc..
o
atic
Con el paquete Maple haremos un ejemplo.
Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y = −2x2 + y 2 y
atem
cuatro curvas soluci´n de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1),
o
(0, −1) respectivamente.
eM
> with(DEtools):
o. d
DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black,
{[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black);
ept
,D
uia
2
tioq
An
1
de
ad
y(x)0
rsid
-2 -1 0 1 2
x
ive
-1
Un
-2
Figura 1.1
12. 6 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
1.2. ´
ECUACION DE CONTINUIDAD
Para finalizar este Cap´ ıtulo, es importante hacer un corto comentario so-
bre la ecuaci´n de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´menos
o o
en diferentes ´reas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como
a
resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaci´n de continuidad
o
nos dice que la tasa de acumulaci´n de una variable x en un recipiente (el
o
as
cual puede ser un tanque, un ´rgano humano, una persona, una ciudad, un
o
atic
banco, una universidad, un sistema ecol´gico, etc.) es igual a su tasa de en-
o
trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida
atem
pueden ser constantes o variables.
eM
Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t)
entonces la tasa de acumulaci´n es
o
o. d
dx
= E(t) − S(t).
dt ept
Ejemplo 15. La concentraci´n de glucosa en la sangre aumenta por ingesta
o
,D
de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa a una raz´n constante
o
uia
R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina
a una tasa proporcional a la concentraci´n presente de glucosa. Si C(t) re-
o
tioq
presenta la concentraci´n de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y
o
S(t) = kC(t), entonces por la ecuaci´n de continuidad, la Ecuaci´n Diferen-
o o
An
cial que rige este fen´meno es
o
de
dC(t)
= E(t) − S(t) = R − kC(t).
ad
dt
rsid
ive
Un
13. CAP´
as
ITULO 2
atic
atem
´ ´
METODOS DE SOLUCION
eM
o. d
2.1. VARIABLES SEPARABLES ept
,D
dy g(x)
Definici´n 2.1. Se dice que una E.D. de la forma:
o = es separable
uia
dx h(y)
o de variables separables.
tioq
La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran-
o
An
do:
de
h(y) dy = g(x) dx + C,
ad
obteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones.
e ı e
rsid
ive
Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de
a
otra manera, por ejemplo, m´ ltiplos de constantes o logaritmos de constantes
u
Un
o exponenciales de constantes o si aparece la suma de varias constantes re-
unirlas en una sola constante.
dy
Ejemplo 1. dx
= e3x+2y
Soluci´n:
o
dy
= e3x+2y = e3x e2y
dx
7
14. 8 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
separando variables
dy
2y
= e3x dx
e
e integrando
1 e3x
as
− e−2y + C =
2 3
atic
la soluci´n general es
o
atem
e3x e−2y
+ =C
3 2
eM
dy 1
Ejemplo 2. = xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1
o. d
dx
Soluci´n: separando variables
o ept
,D
2x
y −3dy = √ dx
2 1 + x2
uia
tioq
1 d(1 + x2 ) u = 1 + x2
= √ haciendo
2 1 + x2 du = 2xdx
An
obtenemos
de
1 du
ad
= √
2 u
rsid
1
y −2 1 (1 + x2 ) 2
e integrando = +C
ive
1
−2 2 2
Un
soluci´n general
o
1 √
− = 1 + x2 + C.
2y 2
Cuando x = 0, y = 1
1 √
− = 1 + 02 + C
2×1
15. 2.1. VARIABLES SEPARABLES 9
luego C = −3
2
La soluci´n particular es
o
−1 √ 3
2
= 1 + x2 −
2y 2
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables:
e o
as
Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0
atic
(Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))
atem
Ejercicio 2. y + y 2 sen x = 0
(Rta. y = − cos 1 )
x+c
eM
Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0
(Rta. (2 − ex )3 = C tan y)
o. d
π
Ejercicio 4. y sen x = y ln y, si y 2
=e ept
(Rta. ln y = csc x − cot x)
,D
dy xy + 3x − y − 3
uia
Ejercicio 5. =
dx xy − 2x + 4y − 8
tioq
y+3 5 y−x
(Rta. ( x+4 ) = Ce )
An
Ejercicio 6. x2 y = y − xy, si y(−1) = −1
1
(Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)
de
dy
Ejercicio 7. Hallar la soluci´n general de la E.D. dx − y 2 = −9 y luego
o
ad
hallar en cada caso una soluci´n particular que pase por:
o
rsid
1
a) (0, 0), b) (0, 3), c) 3 , 1
y−3
(Rta. a) y+3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 2 e−2 e6x )
1
ive
y+3
Un
Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n o
de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias
o
son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es
la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en
funci´n de c(0); ¿cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es
o a o
decir, cuando c (t) = 0 √?
√ √ √
µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2√kµt
(Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraci´n de equilibrio c = µ )
o k
16. 10 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
dy dy
Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx en
y = a y x = 2a.
3 y
(Rta.: yx2 = 4a e a )
e
2.2. ´
ECUACIONES HOMOGENEAS
as
Definici´n 2.2. f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que
o e
n
para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y).
atic
atem
Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos.
e
eM
Definici´n 2.3. Si una ecuaci´n en la forma diferencial :
o o
o. d
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
ept
tiene la propiedad que M(tx, ty) = tn M(x, y) y N(tx, ty) = tn N(x, y), en-
,D
tonces decimos que es de coeficientes homog´neos o que es una E.D. ho-
e
mog´nea.
e
uia
tioq
Siempre que se tenga una E.D. homog´nea podr´ ser reducida por medio
e a
de una sustituci´n adecuada a una ecuaci´n en variables separables.
o o
An
de
M´todo de soluci´n: dada la ecuaci´n
e o o
ad
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
rsid
donde M(x, y) y N(x, y) son funciones homog´neas del mismo grado; me-
e
ive
diante la sustituci´n y = ux o x = yv (donde u ´ v son nuevas variables
o ´ o
dependientes), puede transformarse en una ecuaci´n en variables separables.
o
Un
Nota: si la estructura algebraica de N es m´s sencilla que la de M, en-
a
tonces es conveniente usar las sustituci´n y = ux.
o
Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N, es conveniente
a
usar la sustituci´n x = vy.
o
Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homog´neas, la siguiente E.D.:
e e
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0.
17. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS 11
Soluci´n:
o
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0 donde
homog´nea de grado 1
e homog´nea de grado 1
e
y y
M(x, y) = x + ye x y N(x, y) = −xe x
Como N es m´s sencilla que M, hacemos la sustituci´n: y = ux, por tanto
a o
as
dy = u dx + x du
atic
Sustituyendo en la E.D.
ux ux
(x + uxe x ) dx − xe x (u dx + x du) = 0
atem
o sea que
eM
x dx − x2 eu du = 0
o. d
luego x dx = x2 eu du, separando variables y considerando x = 0, obte-
nemos,
dx ept
= eu du ⇒ ln x = eu + C
,D
x
Por lo tanto la soluci´n general es
o
uia
y
tioq
ln x = e x + C
Para hallar la soluci´n particular que pasa por el punto y(1) = 0, susti-
o
An
tuimos en la soluci´n general y obtenemos:
o
de
0
ln 1 = e 1 + C ⇒ 0 = 1 + C de donde C = −1
ad
Por lo tanto,
rsid
y
ln x = e x − 1
ive
es la soluci´n particular
o
Un
Ejemplo 5. (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 (ayuda: hacer y = z α y calcular
α para convertirla en homog´nea)
e
Soluci´n:
o
No es homog´nea; hagamos y = z α y hallemos α de tal manera que la E.D.O.
e
se vuelva homog´nea:
e
dy = αz α−1 dz
18. 12 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
(x2 z 2α − 1)αz α−1 dz + 2xz 3α dx = 0
α(x2 z 3α−1 − z α−1 )dz + 2xz 3α dx = 0 (2.1)
suma de exponentes en los t´rminos: 2+3α−1, α−1 y 1+3α respectivamente.
e
An´lisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad:
a
as
1 + 3α = 2 + 3α − 1 = α − 1, se concluye α = −1
atic
Sustituyo en la E.D. (2.1): (−1)(x2 z −2 − 1)z −2 dz + 2xz −3 dx = 0
atem
eM
(−x2 z −4 + z −2 ) dz + 2xz −3 dx = 0
Es homog´nea de orden −2.
e
o. d
o a ept
La sustituci´n m´s sencilla es x = uz ⇒ dx = u dz + z du.
,D
(−u2 z 2 z −4 + z −2 ) dz + 2uzz −3 (u dz + z du) = 0
uia
tioq
(−u2 z −2 + z −2 + 2u2z −2 ) dz + (2uz −1 ) du = 0
An
(u2 z −2 + z −2 ) dz + 2uz −1 du = 0
de
ad
z −2 (u2 + 1) dz + 2uz −1 du = 0
rsid
ive
z −2 dz 2u
−1
+ 2 du = 0
z u +1
Un
dz 2u
+ 2 du = 0
z u +1
Integrando: ln |z| + ln(u2 + 1) = ln C
ln |z(u2 + 1)| = ln C ⇒ z(u2 + 1) = C
x
reemplazo u = z
y tenemos, tomando z = 0
19. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS 13
x2
+z =C
z
x2
Como y = z −1 o sea que z = y −1 , entonces y −1
+ y −1 = C
luego
x2 y 2 + 1 = Cy,
as
es la soluci´n general.
o
atic
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de las homog´neas, o con-
e e ´
atem
vertirla en homog´nea y resolverla seg´ n el caso:
e u
y
Ejercicio 1. y + x cot x dx − x dy = 0.
eM
y
(Rta.: C = x cos x )
o. d
dy
Ejercicio 2. (x + y 2 − xy) dx = y , con y(1) = 1.
(Rta.: ln2 |y| = 4( y−x ))
y
,D
ept
y y
Ejercicio 3. x − y cos x dx + x cos x dy = 0.
y
(Rta.: ln |x| + sen x = C)
uia
tioq
Ejercicio 4. (x2 − 2y 2) dx + xy dy = 0.
(Rta.: x4 = C(x2 − y 2 ))
An
−y
Ejercicio 5. xy = y + 2xe x .
de
1 y
(Rta.: ln |x| = 2 e x + C)
ad
Ejercicio 6. (x + y 3) dx + (3y 5 − 3y 2x) dy = 0, (Ayuda: hacer x = z α ).
rsid
3
(Rta.: ln |C(x2 + y 6)| = 2 arctan yx )
ive
Ejercicio 7. 2(x2 y + 1 + x4 y 2) dx + x3 dy = 0, (Ayuda: hacer y = z α ).
Un
(Rta.: x4 (1 + 2Cy) = C 2 )
Ejercicio 8. y cos x dx + (2y − sen x) dy = 0, (Ayuda: hacer u = sen x).
sen x
(Rta.: y 2 = Ce− y )
y y
Ejercicio 9. y(ln x + 1) dx − x ln x dy = 0.
1 2 y
(Rta.: ln |x| − 2 ln x = C)
20. 14 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
dy y y
Ejercicio 10. dx = cos( x ) + x .
y y
(Rta.: sec( x ) + tan( x ) = Cx)
Ejercicio 11. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
yx2 dx − (x3 + y 3)dy = 0,
donde y(0) = 1
as
(Rta.: ln |y| = 1 ( x )3 )
atic
3 y
Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
atem
xy 2 dy − (x3 + y 3)dx = 0,
eM
donde y(1) = 0
y
(Rta.: ln |x| = 1 ( x )3 )
o. d
3
√
Ejercicio 13. (y + xy)dx − 2xdy = 0 ept
y y
(Rta.: x( x − 1)4 = C, si x > 0, y > 0 y x( x
+ 1)4 = C , si x < 0, y < 0)
,D
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
uia
tioq
y(ln y − ln x − 1)dx + xdy = 0,
donde y(e) = 1
An
y
(Rta.: x ln | x | = e)
de
ad
2.3. E.D. DE COEFICIENTES LINEALES:
rsid
(ax + by + c) dx + (αx + βy + γ) dy = 0
ive
Se presentan dos casos:
Un
1. Si (h, k) es el punto de intersecci´n entre las rectas:
o
ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0
entonces se hace la sustituci´n: x = u + h y y = v + k y se consigue la
o
ecuaci´n homog´nea:
o e
(au + bv)du + (αu + βv)dv = 0
21. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 15
2. Si las dos rectas no se intersectan (o sea son paralelas), entonces
αx + βy = n(ax + by)
y por tanto se hace la sustituci´n z = ax + by, lo cual quiere decir
o
que αx + βy = nz, esta sustituci´n convierte la E.D. en una E.D. de
o
variables separables.
as
Ejercicios: resolver por el m´todo anterior:
e
atic
1. (x − y + 1) dx + (x + 2y − 5) dy = 0
atem
√
2 arctan √ x−1
(Rta.: (x − 1)2 + 2(y − 2)2 = Ce 2(y−2) )
eM
2. = 2y−x+5
dy
dx 2x−y−4
o. d
(Rta.: (x + y + 1)3 = C(y − x + 3))
3. (x − 2y + 4) dx + (2x − y + 2) dy = 0 ept
(Rta.: (x + y − 2)3 = C 2 (x − y + 2))
,D
4. (x + y + 1)2 dx + (x + y − 1)2 dy = 0
uia
1
(Rta.: 4x = − 2 (x + y)2 + 2(x + y) − ln |x + y| + C)
tioq
5. (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0
An
(Rta.: 4 − x − 2y = 3 ln |2 − x − y| + C)
de
6. (x + y − 2) dx + (x − y + 4) dy = 0
(Rta.: C = 2(x + 1)(y − 3) + (x + 1)2 − (y − 3)2 )
ad
rsid
7. (x − y − 5) dx − (x + y − 1) dy = 0
(Rta.: (x + y − 1)2 − 2(x − 3)2 = C)
ive
8. (2x + y) dx − (4x + 2y − 1) dy = 0
Un
2 4 1
(Rta.: x = 5 (2x + y) − 25 − 25 ln |5(2x + y) − 2| + C)
2.4. ECUACIONES EXACTAS
Si z = f (x, y), entonces
∂f ∂f
dz = dx + dy
∂x ∂y
22. 16 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
es la diferencial total de f ; pero si z = c = f (x, y) (familia de curvas uni-
param´tricas en el plano XY ), entonces
e
∂f ∂f
dz = 0 = dx + dy.
∂x ∂y
Definici´n 2.4. La forma diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy es una dife-
o
rencial exacta en una regi´n R del plano XY si corresponde a la diferencial
o
as
total de alguna funci´n f (x, y).
o
atic
La ecuaci´n M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, es exacta si es la diferencial
o
atem
total de alguna funci´n f (x, y) = c.
o
eM
Teorema 2.1 (Criterio para E.D. exactas).
Si M(x, y) y N(x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer
o. d
orden continuas en una regi´n R del plano XY , entonces la condici´n nece-
o o
saria y suficiente para que la forma diferencial ept
,D
M(x, y) dx + N(x, y) dy
uia
sea una diferencial exacta es que
tioq
∂M ∂N
= .
∂y ∂x
An
de
Demostraci´n: como M(x, y) dx + N(x, y) dy es una diferencial exacta, en-
o
ad
tonces existe una funci´n f (x, y) tal que:
o
rsid
∂f ∂f
M(x, y) dx + N(x, y) dy = dx + dy = d f (x, y)
∂x ∂y
ive
luego
Un
∂f
M(x, y) =
∂x
y
∂f
N(x, y) =
∂y
por tanto,
∂M ∂2f ∂2f ∂N
= = = .
∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x
23. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 17
La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque M y N son
continuas con derivadas de primer orden continuas.
M´todo. Dada la ecuaci´n M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0, hallar una funci´n
e o o
f (x, y) = C tal que
∂f ∂f
=M y =N
∂x ∂y
as
∂M ∂N
i) Comprobar que es exacta, es decir, verificar que ∂y
= ∂x
.
atic
atem
∂f
ii) Suponer que ∂x
= M(x, y) y luego integrar con respecto a x dejando a
y constante:
eM
f (x, y) = M(x, y) dx + g(y) (2.2)
o. d
iii) Derivar con respecto a y la ecuaci´n (2.2)
o
ept
∂f ∂
,D
= M(x, y) dx + g (y) = N(x, y)
∂y ∂y
uia
despejar
tioq
∂
An
g (y) = N(x, y) − M(x, y) dx (2.3)
∂y
de
Esta expresi´n es independiente de x, en efecto:
o
ad
∂ ∂ ∂N ∂ ∂
rsid
N(x, y) − M(x, y) dx = − M(x, y) dx
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
∂N ∂ ∂ ∂N ∂
ive
= − M(x, y) dx = − M(x, y) = 0
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
Un
iv) Integrar la expresi´n (2.3) con respecto a y y sustituir en (2.2) e igualar
o
a C.
∂f
Nota: en ii) se pudo haber comenzado por ∂y
= N(x, y).
Ejemplo 6. Resolver la siguiente E.D.:
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
24. 18 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
Soluci´n:
o
paso i)
∂M x
= 4xy + e
∂y ∂M ∂N
de donde =
∂N ∂y ∂x
= 4xy + ex
∂x
paso ii)
as
atic
f (x, y) = N(x, y) dy + h(x) = (2x2 y + ex − 1) dy + h(x)
atem
= x2 y 2 + yex − y + h(x)
eM
paso iii)
∂f
o. d
= M = 2xy 2 + yex
∂x
∂f
∂x
ept
= 2xy 2 + yex + h (x) ⇒ h (x) = 0
,D
paso iv) h(x) = C
uia
paso v) sustituyo h(x) en el paso ii):
tioq
x2 y 2 + yex − y + C1 = C
x2 y 2 + yex − y = C2 Soluci´n general
o
An
Ejemplo 7. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D.:
de
(xy 2 + bx2 y) dx + (x + y)x2 dy = 0.
ad
rsid
Soluci´n:
o
Como ∂M = 2xy + bx2 y
∂y
∂N
∂x
= 3x2 + 2xy entonces b = 3 , por lo tanto
ive
∂f
Un
= xy 2 + 3x2 y (2.4)
∂x
∂f
= x3 + x2 y (2.5)
∂y
integramos (2.4) :
x2
f (x, y) = (xy 2 + 3x2 y) dx + g(y) = y 2 + x3 y + g(y) (2.6)
2
25. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 19
derivamos (2.6) con respecto a y
∂f
= yx2 + x3 + g (y) (2.7)
∂y
igualamos (2.5) y (2.7)
x3 + x2 y = yx2 + x3 + g (y) ⇒ g (y) = 0
as
(2.8)
atic
luego g(y) = K y reemplazando en (2.6)
atem
x2
f (x, y) = y 2 + x3 y + K = C1
2
eM
y por tanto la soluci´n general es
o
o. d
y 2 x2
+ x3 y = C
2 ept
Ejercicio 1. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas :
e
,D
(tan x − sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0.
uia
tioq
(Rta.: f (x, y) = cos x sen y − ln |cos x| = C)
An
Ejercicio 2. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas:
e
(y 2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sen x − x3 + ln y) dy = 0, con y(0) = e.
de
ad
(Rta.: f (x, y) = y 2 sen x − x3 y − x2 + y(ln y − 1) = 0)
rsid
Ejercicio 3. Determinar la funci´n M(x, y) de tal manera que la siguiente
o
ive
E.D.O sea exacta:
Un
1
M(x, y) dx + xex y + 2xy + dy = 0
x
1 y
(Rta.: M(x, y) = 2 y 2ex (x + 1) + y 2 − x2
+ g(x))
Ejercicio 4. Determinar la funci´n N(x, y) para que la siguiente E.D.
o
sea exacta:
1 1 x
y 2 x− 2 + 2 dx + N(x, y) dy = 0
x +y
26. 20 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
1 1 1
(Rta.: N(x, y) = x 2 y − 2 + 2 (x2 + y)−1 + g(y))
Ejercicio 5. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
(Rta.: f (x, y) = y(x2 y + ex − 1) = C)
as
Ejercicio 6. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
atic
(2x − y sen xy − 5y 4) dx − (20xy 3 + x sen xy) dy = 0
atem
(Rta.: f (x, y) = x2 + cos(xy) − 5y 4 x = C)
Ejercicio 7. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
eM
( sen xy + xy cos xy) dx + (x2 cos xy) dy = 0
o. d
(Rta.: f (x, y) = x sen (xy) = C)
ept
Ejercicio 8. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
,D
(yexy + 4y 3) dx + (xexy + 12xy 2 − 2y) dy = 0, con y(0) = 2
uia
(Rta.: f (x, y) = exy + 4xy 3 − y 2 = −3)
tioq
Ejercicio 9. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
An
(1 − sen x tan y) dx + cos x sec2 y dy = 0
de
(Rta.: f (x, y) = cos x tan y + x = C)
ad
rsid
2.5. ´
FACTORES DE INTEGRACION
ive
Definici´n 2.5 (Factor Integrante F.I.). Sea la E.D.
o
Un
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0.
Si µ(x, y) es tal que
µ(x, y) M(x, y) dx + µ(x, y) N(x, y) dy = 0
es una E.D. exacta, entonces decimos que µ(x, y) es un factor integrante
(F.I.).
27. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 21
Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas.
1
Ejemplo: x dx + y dy es la diferencial de 2 (x2 + y 2 ) ya que d 1 (x2 + y 2) =
2
x dx + y dy.
An´logamente: para x dy + y dx = d(xy).
a
Pero py dx + qx dy no es exacta, la expresi´n µ(x, y) = xp−1 y q−1 es un
o
as
factor integrante.
atic
Para y dx − x dy, las expresiones:
atem
1 1 1 1 1
eM
µ= 2
; µ= 2; µ= ; µ= 2 2
; µ= 2
y x xy x +y ax + bxy + cy 2
o. d
son factores integrantes.
Teorema 2.2 (Teorema del Factor Integrante).
ept
Sea M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 una E.D. y µ(x, y) un factor integrante, con
,D
M, N y µ continuas y con primeras derivadas parciales continuas , entonces
uia
∂M ∂N dµ dµ
µ − =N = −M
tioq
∂y ∂x dx dy
An
Demostraci´n: si µ es tal que µM dx + µN dy = 0 es exacta y µ, M, N
o
tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:
de
∂ ∂
ad
(µM) = (µN)
∂y ∂x
rsid
o sea que
∂M ∂µ ∂N ∂µ
ive
µ +M =µ +N
∂y ∂y ∂x ∂x
Un
luego
∂M ∂N ∂µ ∂µ ∂µ M ∂µ
µ − =N −M =N −
∂y ∂x ∂x ∂y ∂x N ∂y
dy
como dx
= − M , entonces:
N
∂M ∂N ∂µ dy ∂µ dµ dµ
µ − =N + =N = −M
∂y ∂x ∂x dx ∂y dx dy
28. 22 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
ya que si µ = µ(x, y) y y = y(x) entonces:
∂µ ∂µ
dµ = dx + dy
∂x ∂y
y por tanto
dµ ∂µ ∂µ dy
= +
dx ∂x ∂y dx
as
Nota.
atic
∂M
− ∂N
1. Si ∂y N ∂x = f (x),
atem
entonces µf (x) = dµ y por tanto f (x)dx = dµ ,
dx µ
f (x)dx f (x)dx
luego µ = ke ; tomando k = 1 se tiene µ = e .
eM
o. d
∂M
∂y
− ∂N
∂x g(y)dy
2. Similarmente, si −M
= g(y), entonces µ = e .
ept
Ejemplo 8. (2xy 2 − 2y) dx + (3x2 y − 4x) dy = 0.
,D
Soluci´n:
o
uia
∂M
tioq
M(x, y) = 2xy 2 − 2y ⇒ = 4xy − 2
∂y
An
∂N
N(x, y) = 3x2 y − 4x ⇒ = 6xy − 4
∂x
de
luego
∂M ∂N
ad
− = −2xy + 2
∂y ∂x
rsid
por tanto
ive
∂M ∂N
∂y
− ∂x −2xy + 2 2(−xy + 1)
= =
−M −2xy 2 + 2y 2y(−xy + 1)
Un
luego
1 1
dy
g(y) = ⇒ F.I. = µ(y) = e y = eln |y| = y
y
multiplico la E.D. original por y: (2xy 3 − 2y 2) dx + (3x2 y 2 − 4xy) dy = 0
el nuevo M(x, y) = 2xy 3 − 2y 2 y el nuevo N(x, y) = 3x2 y 2 − 4xy
29. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 23
Paso 1.
∂M
= 6xy 2 − 4y
∂y
y
∂N
= 6xy 2 − 4y
∂x
luego es exacta.
as
atic
Paso 2.
atem
f (x, y) = (2xy 3 − 2y 2)dx + g(y) = x2 y 3 − 2xy 2 + g(y)
eM
Paso 3. Derivando con respecto a y:
o. d
∂f
N = 3x2 y 2 − 4xy = = 3x2 y 2 − 4xy + g (y)
∂y
ept
luego g (y) = 0
,D
uia
Paso 4. g(y) = k
tioq
Paso 5. Reemplazo en el paso 2.
An
f (x, y) = x2 y 3 − 2xy 2 + k = c
de
luego x2 y 3 − 2xy 2 = k1 que es la soluci´n general.
o
ad
Ejemplo 9. x dy − y dx = (6x2 − 5xy + y 2) dx
rsid
Soluci´n:
o
ive
y x dy − y dx
como d( ) =
Un
x x2
entonces dividimos a ambos lados de la E.D. por x2 , luego
x dy − y dx 6x2 − 5xy + y 2
= dx
x2 x2
luego
y y y
d( ) = 6 − 5( ) + ( )2 dx,
x x x
30. 24 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
y
hagamos u = x
⇒ du = (6 − 5u + u2 )dx
du du
luego 2
= dx ⇒ = dx
6 − 5u + u (u − 3)(u − 2)
1 A B
pero por fracciones parciales = +
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
o sea que A = 1 y B = −1, por tanto
as
atic
du du du
= dx ⇒ − = ln |u−3|−ln |u−2|+ln c = x
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
atem
luego
eM
(u − 3) (y − 3x)
c = ex , si x = 0 ⇒ c = ex
(u − 2) (y − 2x)
o. d
Obs´rvese que x = 0 es tambi´n soluci´n y es singular porque no se desprende
e e o
de la soluci´n general.
o
ept
,D
En los siguientes ejercicios, hallar el factor integrante y resolver por el
m´todo de las exactas:
e
uia
tioq
Ejercicio 1. (cos(2y) − sen x) dx − 2 tan x sen (2y) dy = 0.
(Rta.: sen x cos(2y) + 1 cos2 x = C)
2
An
Ejercicio 2. (3xy 3 + 4y) dx + (3x2 y 2 + 2x) dy = 0.
de
(Rta.: f (x, y) = x3 y 3 + 2x2 y = C)
ad
Ejercicio 3. 2xy ln y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0.
rsid
3
1
(Rta.: f (x, y) = x2 ln y + 3 (y 2 + 1) 2 = C)
ive
Ejercicio 4. (2wz 2 − 2z) dw + (3w 2 z − 4w) dz = 0.
Un
(Rta.: w 2 z 3 − 2z 2 w = C)
Ejercicio 5. ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0
(Rta.: f (x, y) = ex sen y + y 2 = C)
Ejercicio 6. x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 )(dx + dy).
1
(Rta.: xy = 4 (x + y)4 + C)
31. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 25
Ejercicio 7. x dy − y dx = (2x2 + 3y 2)3 (2xdx + 3ydy).
2 3 y 1
(Rta.: 3
tan−1 ( 2 x
) = 3 (2x2 + 3y 2)3 + C)
Ejercicio 8. y dx + (2x − yey ) dy = 0.
(Rta.: y 2 x − y 2 ey + 2yey − 2ey = C)
Ejercicio 9. (xy − 1)dx + (x2 − xy)dy = 0.
as
2
(Rta.: f (x, y) = xy − ln |x| − y2 = C)
atic
Ejercicio 10. ydx + (x2 y − x)dy = 0.
atem
2
(Rta.: f (x, y) = − x + y2 = C)
y
eM
Ejercicio 11. (2xy − e−2x )dx + xdy = 0.
(Rta.: f (x, y) = ye2x − ln |x| = C)
o. d
Ejercicio 12. ydx + (2xy − e−2y )dy = 0.
(Rta.: f (x, y) = xe2y − ln |y| = C)
ept
,D
Ejercicio 13. (x + y)dx + x ln xdy = 0.
uia
(Rta.: f (x, y) = x + y ln x = C)
tioq
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular que pasa por el punto
o
An
y(1) = −2, de la E.D.
dy 3x2 y + y 2
de
=− 3
dx 2x + 3xy
ad
(Rta.: x3 y 2 + y 3 x = −4)
rsid
Ejercicio 15. x dx + y dy = 3 x2 + y 2 y 2 dy.
ive
(Rta.: x2 + y 2 = y 3 + C)
Un
Ejercicio 16. 4y dx + x dy = xy 2 dx.
1 1
(Rta.: yx4 − 3x3 = C)
Ejercicio 17. Si
My − Nx
= R(xy),
yN − xM
t
R(s) ds
entonces µ = F.I. = e , donde t = xy
32. 26 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
Ejercicio 18. Bajo que condiciones Mdx + Ndy = 0 tendr´ un F.I.=
a
µ(x + y)
−N
(Rta.: My−Mx = f (x + y))
N
Ejercicio 19. Si Mdx + Ndy = 0 es homog´nea, entonces µ(x, y) =
e
1
xM +yN
as
atic
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
atem
Definici´n 2.6. Una E.D. de la forma:
o
eM
dy
a1 (x) + a0 (x)y = h(x),
dx
o. d
donde a1 (x) = 0, en I y a1 (x), a0 (x), h(x) son continuas en I, se le llama
E.D. lineal en y, de primer orden. ept
,D
Dividiendo por a1 (x), se obtiene la llamada ecuaci´n en forma can´nica
o o
uia
o
´ forma estandar:
tioq
dy
+ p(x)y = Q(x),
dx
An
a0 (x) h(x)
donde p(x) = y Q(x) = .
a1 (x) a1 (x)
de
Teorema 2.3 (Teorema de la E.D. lineal de primer orden).
ad
La soluci´n general de la E.D. lineal en y, de primer orden:
o
rsid
y + p(x)y = Q(x)
ive
Un
es :
p(x) dx p(x) dx
ye = e Q(x) dx + C.
Demostraci´n:
o
dy
+ p(x)y = Q(x) (2.9)
dx
⇒ p(x)y dx + dy = Q(x) dx
33. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN 27
∂M ∂N
o sea que (p(x)y − Q(x)) dx + dy = 0, como ∂y
= p(x) y ∂x
= 0, entonces
∂M ∂N
∂y
− ∂x
= p(x)
N
p(x) dx
y por tanto µ = e = F.I.; multiplicando (2.9) por el F.I.:
p(x) dx dy
as
p(x) dx p(x) dx
e + p(x)ye = Q(x)e
atic
dx
d
o sea (ye p(x) dx ) = Q(x)e p(x) dx
e integrando con respecto a x se tiene:
atem
dx
p(x) dx p(x) dx
ye = Q(x)e dx + C
eM
Obs´rvese que la expresi´n anterior es lo mismo que:
e o
o. d
y F.I. = Q(x) F.I. dx + C ept
,D
dν
Ejemplo 10. Hallar la soluci´n general de la E.D.:(6 − 2µν) dµ + ν 2 = 0
o
uia
Soluci´n:
o
tioq
dν ν2
=−
dµ 6 − 2µν
An
dµ 6 2µ
de
=− 2 +
dν ν ν
ad
dµ 2µ 6
rsid
− =− 2
dν ν ν
que es lineal en µ con
ive
2 6
Un
p(ν) = − , Q(ν) = − 2
ν ν
2
− ν dν −2 1
F.I. = e p(ν)dν
=e = e−2 ln |ν| = eln |ν| = ν −2 =
ν2
La soluci´n general es
o
1 1 6
µ= (− 2 )dν + C
ν2 ν 2 ν
34. 28 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
1 ν −3
µ = −6 ν −4 dν + C = −6 +C
ν2 −3
µ 2 2
2
= 3 + C ⇒ µ = + Cν 2
ν ν ν
que es la soluci´n general.
o
as
dy
Ejemplo 11. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o + 2xy = f (x)
atic
dx
x, 0≤x<1
atem
donde f (x) =
0, x≥1
y y(0) = 2
eM
Soluci´n:
o
o. d
2xdx 2 2 2
F.I. : e = ex ⇒ ex y = ex f (x)dx + C
,D
ept
2 2
a). si 0 ≤ x < 1 : ex y = ex x dx + C
uia
2 2 2
1
ex y = 2 ex 2x dx+C = 1 ex +C, que es la soluci´n general. Hallemos
2
o
C con la condici´n incial
o
tioq
2 2
y(0) = 2 ⇒ e0 2 = 1 e0 + C ⇒ C = 3
2 2
2
3
luego y = 1 + 2 e−x , soluci´n particular.
o
An
2
b). si x ≥ 1 : F.I.y = F.I. 0 dx + C
de
2 2
ex y = 0 + C ⇒ y = Ce−x
ad
rsid
1 3 2
2
+ 2 e−x 0≤x<1
Soluci´n general: f (x) =
o 2
Ce−x x≥1
ive
Busquemos C, de tal manera que la funci´n f (x) sea continua en x = 1.
o
Un
Por tanto
1 3 2
l´ ( + e−x ) = f (1) = y(1)
ım
x→1 2 2
1
1 3 −1 + 3 e−1 1 3
+ e = Ce−1 , ⇒ C = 2 −1 2
= e+
2 2 e 2 2
Ejemplo 12. Con un cambio de variable adecuado transformar la E.D.:
2
y + x sen 2y = xe−x cos2 y
35. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN 29
en una E.D. lineal de primer orden y luego resolverla.
Soluci´n. Lo trabajamos mediante cambios de variable.
o
Dividiendo por cos2 y:
1 dy x(2 sen y cos y) 2
2 y dx
+ 2y
= xe−x
cos cos
dy
as
2
+ 2x tan y = xe−x
sec2 y
dx
atic
hagamos el siguiente cambio de variable: t = tan y, por lo tanto
atem
dt dy
= sec2 y .
dx dx
eM
Sustituyendo
dt
o. d
2
+ 2xt = xe−x , es lineal en t con
dx
ept
2
p(x) = 2x, Q(x) = xe−x
,D
uia
2x dx 2
F.I. = e = ex
tioq
Resolvi´ndola
e
t F.I. = F.I.Q(x) dx + C
An
de
2 2 2
tex = ex (xe−x ) dx + C
ad
x2
rsid
2
⇒ tan y ex =
+C
2
Ejercicio 1. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o
ive
Un
dy
(1 + x2 ) dx + 2xy = f (x)
x, 0≤x<1
donde f (x) =
−x , x≥1
con y(0) = 0.
x2
2(1+x2 )
, si 0 ≤ x < 1
(Rta.: y(x) = x2 1
)
− 2(1+x2 ) + 1+x2
, si x ≥ 1