LIMITES

1. 1
LÍMITSI CONTINuITAT 1 ·íJMii'sIq~NTINUl]'AT 2
si k > {-ca si k>O
slk < +ca slk <O{
+_00
".".'00
Exemple;••
PRODUCTE D'UN NOMBRE l"ER UNA FUNCIÓ; sí k~e ~- es velmca que ·
lím; ... (kf(x)) = k · llmx...cf(x) segons els casos indfo~s·éh la següent taul~ (coherent
amb !'anterior): · ··
< -/: . /-1~~!.(~})
·iTeorema útilper aeal~rar molts limita de la forma 1"":
Si ,· . .. 1 . _
· 11~., .{(x) T 1 ·
. 2) ;;:ll_iD% g(x) ~'F +llD (o-a>)
3)}llnix..c9(x)(f(x)-1) = L sentLe R
aleshqres ', 1
· llm(f (x)•<x>) = eL
'.l
;
'
RESUMDELS CASO~ D'INDETERMINACIÓ:. . '.l .
-···
i
POTENclA; es verificique llm.,....(f(x)!'<")) = (llm,...,ef(x))llm,, ... 11c:c) segons s'indica
en la seg(leiitblula:
'
-<XI +oo
•".•
+""-<XI
•
lfti!(f(x)-4g(x)J <,Jf) :+ci;.: '491(
0~~&1?.a·~~
' PRQDUCTE: :s verifica que limlcCf Cx) · g(x)) = llm,....cf (x) • llm,..... g x) segons
s'indica en la següent taula:. i . .
•-·--·•_·.;:_::· ::·:···-·•·::)"_/:·:::•:i@:~:~~~Y~ .. ·::_::'.,;/;'/:_~:iC}'.)5:-'_
DIFERENCIA¡ es verifica que 11~,....~(f(x) ~ g(x)) = llm.,...e f(x) - lim.z...c.!i (x) segons .
s"1.dica en la següenttaula: · · : 1 ·
i • ..>:;; ª-Di#(~)/:
:i
ouocntNr; es verifidaque llm f(x).= llmx..cf(x) se~onss'indica en la segUent taUJa:
. ' x-+cg(:c) / llmx..cg(:c) .
¡
ALGEBRA DE L{MIJ5
(e representa un nombre real, +b:i o -oo. A més, a i b representensempre nombres reals. El
~fmbol • indica una indete~i?f· • ,. . . 1
fil!M& es verifica que llm,....cCf(x~ + g(x)) =lim,....ef (x) + llm,....cg(x) seg• ns s'.indica
ehla següent taula:

2. ~)f~ b) 1.,q
C)tA J) o
vf,?O t}-~
~)r~ ~)r-"'°
l)-ob
/º ~)+-0
e; z, ~-~
3
e ) ·t .o +)--0
-x3
f) lim ( _
2)2x--+ +co X -(
5x - 1·)2e) lim -6-
x--+ +Ct.l
d) lím 3 - 2x
x--+ +oo 3x + 4
x2 + 4xX-+ +co
b) ¡- (x - 3)3
trrt ?
x --+ +co xr + 3x
(x + 1)(2x - 3)
c) lim
@ Calcula los siguientes límites:
)
· 1_ 4x3 + 8x2 + 2x
a im ·--.----
x --+ +co 3x4 + 2x - 1
h) lím (3x - log7x) ·
'x--++OO -
i) lím (ln (x + 1) - zx3)
x--+ +co
g) lím (.Yx4 - 3x - .Yx + 2)
X--+ -cco
f) lim (x3 + 2x2 - 3x)
X-+ +co
2x+l
e) lím --
x --+ +co lag X
d) li. lag x4
im --2-
x--+ +co X
x2
c) lim --
x--+ +co lag X
3x
b) lirn _
x--+ +co X)
(j e~(.v C<. •
) l
- V0 .a im --
x--+ +cc ~
p) lim [ v(x)]f(x)
X--+ +co
) l- (h(x) )g(x)
q zm --
x--+ +oo 2
o) lim [ h(x)]11Cx)
'X--+ +co
ñ) lim [f(x)]gCx)
X--+ +co
n) lím [ h(x)]fCx)
X--+ +co
m) lim [f(x)]hCx)
X-+ +co
CD Sabemos que: LI
lím f(x) = +oo; lím g(x) = -oo; lím h(x) = 2; lím u(x) =O; lím v(x) = 1
ª)I ~i~x--++oo x--++OO x--++co X--+ +co X-+ +co
Di en cuáles de los siguientes casos tenemos indeterminaciones y, si no, di cuál es el límite:
l)t .,/j oYt~a) lím [J(x) + g(x)] b) lím [f(x) + h(x)] c) lím [f(x) - g(x)]
X--+ --co X--+ +co X--+ +oo
f; ~o<
'YJ.
'(/ o , ~j·O
d) lím [f(x) + u(x)] e) lím [f(x) · u(x)] f) lim [g(x) · h(x)]
X--+ +oo X--+ +co X--++oci
~ .i.<>C ) T..
j
iyo e)...có
g) lím [ u(x) · v(x)] h)
- u(x)
i) lim . v(x2_.lirn () ,,) .;-,,ex--++oo x--++oo V X x--+ +oo u(x) ~)+o0
~)~ º)'
j) lím
f(x)
k)
t h(x) 1) lim
g(x)
) } I-
zm --
x--+ +co g(x) x --+ +oo f (x) x--+ +oo h(x) ?)'-,-

3. ª)-~ 6)-~
~
o cp- oe
91 fJ-l
d) q y·--1
.l)-i j)º
¡;(){'3
9º
c.) o b) t -o
"ilJ 1 o!!J
~)e_, 'Y~.
C) o f)o
~)eti ~) 1
- 'i
~) e,
~i-oÓ
d)·t"'-)
f)·1-.<}
L2.
a}+o<J
~>f. / 2
Vº
d)i
C) 0
z.
3
- -et_)
3--
1) ¡- "<13x+4
un + 2x-+-00 X
)
~x2 - ~
i lim -2--.1-
x-+-00 X+
í) lím 5 - X
X-+-00 2X + 3
e)
li. 5x2 - 6x + 2
mi 3x-+-00 3x - 2
(
x-5'~
i) lím -3--)z
. x-++oo +x
O lím (ln x)2-x
x-+ +oo
(
4x-2)xe) lim 1 + --2-
x-+ +oo 3x
2 .
') ¡- (X - 2x 2X)1 -· trri
1
. - -3. ..
X-++OO X-
D lím (?../x - log3x)
x-++oo
) l- (2x+3 x2-1)e im ----.--
x-++oo 2 X
8x2 + 3
2x2- X
O lím
X-++OO
_ ~x2- 2x
e) lim
x-++ro ..J9x + 2
k) t: §x+4un ---
x-+-00 X+ 2
2
h) lim ( -X )2
x-+-00 X+ 1
) Ii. (x + l)(x - 3)
e trrt 7
X-';-00 x- + 4
b) lím (2x + -41)5
X~ -rJJ
o ¡- ~J im
x-+-W X+ 2
13.2+?)2.) ¡ · X -·g un 2
X-+-4:! 1-X
(x-:- 2)3
d) lím 2
X-'>-00 X + 4X- 2
a) lím (±x3 - 2x2 + 1)
X-+-4:! 3
Halla el valor de cada uno de los siguientes límites:
h) lím (X - 5 ). {/+13
x-++oo3+x
- (3xZ+1)-x2e) hin
x-++oo x+l
(
ex )3xb) lirn ---
x-++oo. x + l
h) -lim . (ex-'- x1il.)
X-++OO
e) lím (..Jx + 2 - ..Jx -1- 1)
X-++OO
_ ( x2 3x )b) lim -·- ---.
x-++oox+l x-1
3x + 2
e) lím ~3;::::;====
x-+ +oo ~x4- 3x
b)
r ~sx3 + 2x
irn x+ 2
x-++OO
(2 +4)x+l
," li: .X -· 2-
g,_¡ irn ---
x-++oo 3+2x
( x +?)2x+l
d) lím ------3-
x-+ +co X- 3
- (5x - 2 )4x + 3a) hin ---
x-++oo 6x + 1
@ Calcula los siguientes límites:
g)· lím-(..Jx2 +·x -x)
x--t +oo
d) lím (3x - ..Jx2 - x )
X--'; +oo
a) lim (5x - 3x2)
X-'> +oo
@ Halla el valor de estos límites:
d) lím ~_x3 + 2x
x~ +00 ~x2- 1
Calcula estos límites:
) l
- 5 - 3-{;;
a im .
x-'>+oo ..J4x-1

4. ~) :!: o6. bj ~
- .3
l) j dt)-1
C) e._ 'tl>
1) o
j)-"4 Vl} o
'l.)i31i 7) 1
i~) o
f/-·o0 ~)fo{>
r)D s)-o(J
~)i tJ)-~
Vi)-o?J n) O
e) liru (x +2)x:JX--¡] 3
d) lím (__}_ - X -3 )
x--+ 1 x -1 x2 - 3x + 2
e) lím ~x3-2x + 1
X-+] ·.;X-} ..
3. 4
b) fim ~ - X
x-+2 X -X -2
x2 +a sí XJ' -3
~ -- ..iialla los siguientes límites.'.
x2-3a)= lím
x-+1 x-1
2 · si x(..-3X ..,,,.
f(x) =
(l:.-10
lím f(x), siendo:
X-t-3
ID Halla el valor de a para que exista
si X~ -1
si -1. < X < o en X = -1, X =O y X = 1.
SÍ X> 0l
zx
BHalla Jos límites de f(x) = x; 3
x+l
e) .,
f) l
- lag (x + 1) ¡ e:
trr; x
X-+0 e
e) lím (1 + cos x)
x-+0
d) fím ..J1 - X
X-+2
c) lím ..J4x + 2
X-+ 1/2
a) lím (x2 _ ix + l). X--t-2 2 4
b) l
, x2 +X
zm~
x-+03x+1
Halla los siguientes límites en los casos en los que sea posible:
f) lim (x2 + 1) = 10
:X --t 3
e) lím (3x -1) = 2
X--t 1-
- 3 .d) lim -- = -co
x-+1+l-x
a) lím -3- = -ce
x-ti- :x- l
) l
, 3c tnt --= +co
x--t 1- 1 -X
b) lím -3- = +oo
x-+1+X-1
~·· Aplica la definición para cada expresión y representa cada resultaéo:
) _ (2x+3)x+lz lim --
x--?-oo 1 +x
(
x2 - 1 ).:!.!..ly) lím -- i.x
x-+-00 2 + x2(
x- l)~x) .lim ~ 2
x--t--ro - +X
) , (4 + 2X )X¡ + 1
w lim --
:x-+_,,, 3x + 1 .
) l- (x2- 2x 2.x)v zm --
·•-+--ro X+ 1 3
u) lím (2x + ./x2 - x )
X--+ --ro
t) ¡-. (2x + 1 x2 - 1)zm -----
:x-+--ro 2 X
(
1 x2 - 3)s) lím - + --,; +
1X --+-co X ¿,.,"(
r) lím (~ - -h- x)
:X-+_,,,
q) lím (~ + x2)
:X-t-00
p) lím (ln(x2) + x3)
:X -+--ro
lag (-x)
o) lím
ñ) lím (3x - x2)
X--t-00
e:x
n) lím -7-
x-+-= x : + 1
~x6+1-2x
m) lím 31J
:x-+-00 1--vx-
") 1~ ft;e)-::. ?
)l - :i. z,
b)~~ tc_-")::3.
7'-0
e) }vtV' f'(.x) ::: ..,,
.~,.· ')<-. _, -· ;-;,te:_;r;;:;; .

5. g) lím (3x-1)x.1.2
x-t2 5
(
2x + 1)X+2
h) x~m+oo 3 + 2x
i) lím ( 2x2 - 4 )2
x--+2 X -4x+4
e) lím (../x2 + 2x - ../x2 + x)
x--+ +co
f) ¡- -x3 + 2x
trn 4x-t+oo X + 3
d) lím .¡:z;:+:¡- 3
X--71 2x- 2
, (3X+}tX-3c) lim --_-
x--+3 x...;1. -
b) lím ~x2 + 3x
X-t +oo 1 + 2.,¡;;
li)Calcula los siguientes límites:
_ ( x+2 1 )
a) lim ( 1)2 - ---::;-1
X--71 X- , X-
~)!~ b) o
e) I o) J. G
f)o
.i:·~r~
e.)' ,
~•. "Z...
~)
'115
Lt)i'e
y t- o<l
g) lím (3x2 - log x)
X-t +oo
· h) lím (,/x3 + 1 -,_,,,/x + 2)
. x--+.+oo
i) lím {;;+1 - 2
x--+3 x-3
e) lím (>lx4 + x .;x2)
X-7-<t:J
y:+ 2
d) lím . 6 2
x-t+oo X + 2x
_ x2-x
f) lim . 2 4x
x-tlx + -5
b) lím (2x2 + 1 _ 4x + 1)x-t+oo·x-1 2
- e3x- 6
c) lim x + 1.x-t2
@Halla los siguientes límites:
. - ( 3 + 2x x' - 1
a) lim ---Jx-t+oo 5x + 1
&I) :o b)i
9~ .-t) 4-<><l
~o f) i
S) + ..<) ~ t..ó
) 1.1.- ~
'-1-
f) lím [g(x) · u(x)J
X--+ 3
e) lím [h(x)J8(x)
x-t3
d) lím V(x)Ju(x)
x-t3
a) lím V(x) + g(x)]
X-t 3 .
e) lím [ v(x)Jf<x>
X--+3
b) lím [ u(x)Jh(x)
X--+3
~o.. Dl) J:.
e/1 {-}:l.
Di en cuáles de los siguientes casos hay indeterminaciones; y, si no, di cuál es el límite:
lím f(x) = +oo; lím g(x) = -oo; lím h(x) = 1; lim u(x) = O; lím v(x) = l.
x--+3 x--+3 · x--+3 x--+3 · x-t3 · 2
@sabemos que:
1) lím -../x+2- 2
x-t2 >lx-1- 1
k) l
- ..¡;;-:;-¡ - 2
tm 2
x-tO X
~-2
j)=lím
1X-t 1 X -
e-e(
x+ z)_1h) lim -- x-2
x--+2 4
. (X+ 4 )x-2
g)= lím --
~-:i;,>ilftH 2 3x - 2 ·h•
1) lím(x2+1)~:~
X-t-l 3X -1
j)-l/1·
e) lz,
(
x2-2 1)f) lím --2- - -
x-t 1 X X
(
x2 - 2 I)e) lím --2- --
z -e O X X
d) l
, Yx2- X
un ;;;;3:::;:::=====· x--+ 1 ~x2 + x - 2
3 _ 9
c) lím x x
. X-t-4 X2 +X - 12
. 3
b) lím : - 9x
x--+ 3 X +X - 12
5'
ª} j
c-)±t?O
€)-o(l
o) i
b/ 'Í
1
J) o
1)-l
''1~)e,
@ ·Cal~ula los siguientes límites:
x3-9x
a) = }~'2 x2 + x - 12

6. · ~ Encuentra un intervalo en el que la ecuación cos x + x - 2 = O tenga una raíz.
@ La función f(x) = p~.'...2~I :~ : ~ ~. está definida en el intervalo (1, 31 y cumple que "signo de
j(l) *signo defC3i, pero no existe ningún e e (1, 3) tal que f(c) =O. ¿Contráf:iice esto el teorema
de Bolzano? Justifica la respuesta.
@ a) Demuestra que la función f(x) = -x5 - 3x2 + 5 coita al eje OX en elintervalo (O, 2).
b) Aproxima hasta las décimas una raíz de la ecuación -x5 _ 3x2 + 5 =O:
b) Representa gráficamente.la función anterior para los valores de m y n que hayas obtenido en
el apartado a).
®a) Halla el valor de m y n para que la siguiente función sea continua en IR:
. ¡-2x- m si x::;; O
j(x) = x2 - 1 si O < x ::;; 2
nx-5 six>2
X si X* Ü
b)f(x) = x2 + x
1 si X= Ü
(f)Estudia la continuidad de estas funciones:
. ¡4
~X si X S -1
a)f(x) = 2-x - 3 si -1 < x::;; O
3x2+2 si x>O
x2- b si X S -1
r x2- ax
a)f(x) = x+a si -1 <X S Ü .. b) f(x) = 2rx+ a
si xsl
e= si x>O
si x>l
@falla el.valor de a y/o b para que las siguientes funcione~ sean continuas:
si o e e s i
~i X> 1
d) f(x) ,,:, l':ix::rSi X* -4
5 si x=-4
Si X S Ü
. · ¡....J-X-11 .
c)f(x) =. .X
Jx/
1
· b)f(x) = -~-
x2+2x+ l
x2-"-4
a)f(x) = 2 4x 4X - +
Estudia la continuidad de estas funciones. En los puntos en los que no sean continuas, estudia e! ti-
po de discontinuidad .
a)
31/
b) hjj!t
c) d)
3 " 3
.... • 1 1
~J ~/~-•2 : / _): 2 1:' / : 1 I :'__.. ' : t : ~ /
...:3 -2 -1 j2 3 -3 -2 -l 2 3 -3 -2 -1,;:;' 1 2 3
-7, 1 2 3
-1 ,-(J. r1
-2 :.¡2 / -2 -2
-3
~
:L3 / -3 -3
y
Estudia la continuidad de estas funciones. En los puntos en los que no sean continuas, indica el ti-
po de discontinuidad:

7. ,
1o
4) ( /3
_y-(
. c.; o
. i!) l¡l.
·l) o
;.J) e"
&JI
l.) 1
t) '
<;) -2-/3
~~e(}
v) 1
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9 t,·..L.t :!>
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~ e e.t..c.. x .::. -t.t. ( ~e")
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1) +'º) >-s .. t-c~J :-26'
fl') -- l +-t.tf) :>-D, L -
~ [=. 111 t<f) )~ _,
t(Tf) ~ 1>1 l '1
°t) _No. No ~ ~h-1"'
i) <) i:h.íc. . LM )(-:=._I ( Do9
~ e:.. . .eM. ~ =- -t e i)'ót)
J;} ~~c.. .t.u X:::-1 [C~)
~ e, Jlp... x, s: 1 l. (.)4)
Í<Mc. ..(!p._ X ~ 2 ( DTu)
c.) f6ue, .e.v. )(.::. 1 t c""C-i)
JJ 1:1tse Q..t,.. x.=- 2.. e.!)Sc-l{)
'r) ~; ~'- tL- ~lt <
. '.'."." ')(::o -
i) lim (sen x) tgx
X-7rr./2
h) Jim (x + l)X + 1
x-7~1
. g)= lím (inJ_)x. x~O+ X
f) lim (1 - sen x)llx
.X-70 .
(
1 1 . )
d)= lím ---
x~I lnx x -1
e) lím (~ - _i_)x-70 x senx
. b) lím x2 (1_ e11x2.) l
x-7+oo .
e) lím ·{;+J.
x~+oo ex
® Calcula estos límites:
a) lím (3x)1 · sen x
x~O
h). Iim aretgx - x + x3/3
X-70 x3 .. ·; ·.-''g) lim x + tgx
· .x~o x +senx
f) lírn 1 - cos2 x
X-70 . 2x2
d) lím X+ senx
x~O X
X-70 X
1
1.
¡
c)· lírn In (x +.l)
1 . . - -~-· . . ~..~-·-- -· .
. ·@ Calcula los.síguíentes límites apli d
1
. ....... . . -.. .
. . , can o a regla de L'Hópital:
a) lím x5- 3x4 + 2x .
x~o x2-3x b) lirn ZX:-.1
x~O x2
@1a función ji(x)- 1.. - x toma valores de distinto signo en los . . ...
bargo, no se anula en él .Contr di extremos del intervalo (-1, 1] Y sin em-
. l a ice esto el teorema de Bolzano?