Este documento contiene varios ejercicios de cálculo de límites y cálculo integral. En el primer ejercicio, se piden calcular varios límites de funciones. En el segundo ejercicio, se piden determinar conjuntos de puntos de discontinuidad de funciones. En el tercer ejercicio, se piden calcular varias integrales definidas.

1. 1. Calcular los siguientes límites:
(a) lim
n!1
n
p
n2 + 2n = 1 = 1:0
(b) lim
n!1
np
n3+3n
np
2n 3n3
= 1 = 1:0
(c) lim
n!1
n3
+ 3n
n
= 1 = 1
2. Calcular los siguientes límites de funciones:
(a) lim
x!0
sin ax
x = a
(b) lim
x!0
sin x
2 x
3x = 0
(c) lim
x!1
ln(2x
3x
)
x = ln 3
(d) lim
x! 2
x
tan x = 0
(e) lim
x!0
1
x
tan x
= 1
3. Gra…car las siguientes cónicas, teniendo en cuenta el
tipo de coordenas mas adecuado.
(a) x2
+ y2
= 9
(b) x2
9 + y2
4 = 1
(c) x2
5
y2
3 = 1
(d) 2x2
+ 3x 1 y = 0
4. Gra…car las siguientes cuádricas, teniendo en cuenta
el tipo de coordenadas más adecuado: (Modi…car
convenientemente las propiedades del grá…co para
obtener una visualización adecuada de la …gura).
(a) x2
+ y2
+ z2
= 16
1. (b) x2
5
y2
3 = 2z 2x2
+ 3x z
(c) x2
y2
z2
+ 3y 2z = 1
(d) y2
+ z2
x2
+ 3y + 4z = 1
Ejercicio 1. Usando las propiedades básicas de los límites de
funciones calcular los siguientes límites. En cada caso indicar que
propiedades se han empleado.
1

2. (a)lim
x!1
x2
+ 3x + 2
p
3x 1 = 6
p
2 (h) lim
x!2
x4
16
x 2 = 32h
(b)lim
x!0
q
x+4
x
2p
x
= unde ned (i) lim
x! 1
e2x+5
x+2 = ce3
(c) lim
h!0
(t+h)2
t2
h == 2ct con t 2 R; t …jo (j) lim
x!2
5x2
+9x+2
x2 4 = 11
4 j
(d) lim
x!3
x2
1
x2 3x+2 = 4d (k) lim
x!b
x3
b3
x b = 3b2
k
(e) lim
x! 2
x
x+3
x2
+xp
x2+5
= 2e 1p
x2+5
x2
+ x (l) lim
x!1
x 1p
x 1
= 2l
(f) lim
x!0
p
1+x
p
1 xp
4x+1 3
= 0 (mlim
x!0
ln (x + 1) = 0)
(g) lim
x! 4
sin2
x+tan x
cos(2x
3 )
=
p
3g
Ejercicio 2. Calcular los siguientes límites
(a) lim
x!3
(3x 5)
1
1 x
= 1
2 (d) lim
x!0
sin(2x)
x
tan x
3x
= 3
p
2
(b) lim
x!1
3x+1
2x 5
x+1
3x+1
= 1
2 2
2
3
3
p
3 (e) lim
x!+1
p
2x2+1+1
x
x+1
= 1
(c) lim
x!0+
sin(2x)
sin x
1
x
= c1 (f) lim
x!0+
sin(3x2
)
sin(4x2)
1
x
= 0
Ejercicio 3. Sabiendo que lim
y!0
(1 + y)
1
y
= lim
t!1
1 + 1
t
t
= e calcular los
siguientes límites:
(a) lim
x!+1
x 2
x+3
x
= e 5
(e) lim
x!0
ln(1+x)
x = 1
(b) lim
x!+1
1 + a
x = 1 (f) lim
h!0
ln(a+h) ln a
h , a > 0 …jo
(c) lim
h!0
1 + h
x
1
x
= 1 (g) lim
h!0
eh
1
h
(d) lim
x!0+
(1 + sin x)
1
x
(h) lim
h!0
ea+x
ea
h , a 2 R …jo
Ejercicio 4. Determinar el conjunto de puntos de discontinuidad
(en R) de las siguientes funciones. Rede…nirlas, si fuera posible, para
que resulten continuas:
(a) f(x) = x 1
x(x2 4) (e) f(x) =
8
<
:
4x2
3 si x > 1
1 si x = 1
x2
3x+2
x2 4x+3 si x < 1
(b) f(x) =
8
<
:
x si x < 0
x2
si 0 x < 2
2 si x 2
(f) f(x) = x2
p
x2+1 1
(c) f(x) = x
2
3 4
2x
2
3 3x
1
3 2
(g) f(x) =
( p
3x+1
p
x+3
x2 x si x > 1
sin( 2x+2)
x2+x 2 si x < 1
(d) f(x) = (x 1)2
x2 1
Ejercicio 5: En cada uno de los siguientes casos hallar todos los
pares de números reales a y b para los que la funcion f resulta continua
en todo R:
2

3. (a) f(x) =
8
<
:
x si x 2 ( 1; 0]
ax + b si x 2 (0; 2)
x2
si x 2
(b) f(x) =
8
<
:
x3
+ 1 si x 0
ax2
+ b si 0 < x < 2
x2
1 si x 2
Ejercicio 6. Cálculo integral
1.
R dx
2x2+5x+13 =
p
79 2
79 arctan
p
79 4
79 x + 5
79
1
79
2.
R dxp
x2+6x+21
=
R 1p
x(x+6)+21
dx
3.
R
sin2
axdx = 1
4a (sin 2ax 2ax)
4.
R
arcsin 1
x dx = arctanh 1q
1
x2 (x2 1)
+ x arcsin 1
x
5.
R dx
x2
p
4+x2
= 1
4x
p
x2 + 4
6.
R ln 2x
x ln 4x dx = ln x ln (2 ln 2 + ln x) ln 2
7.
R x3
p
1+2x x2
dx : 4 arcsin
p
2 1
2 x 1
2
5
6 x
p
x2 + 2x + 1 1
3 x2
p
x2 + 2x + 1 19
6
p
x2 + 2x + 1
8.
R
tan3
xdx = 1
2 tan2
x + ln (cos x)
3