Este documento presenta información sobre las razones de cambio y la derivada. Explica las definiciones históricas de la derivada y cómo se puede construir el concepto usando la pendiente de una curva tangente. También cubre tablas de derivadas elementales, derivadas de funciones trigonométricas, derivadas de orden superior y cómo calcular valores máximos y mínimos de una función usando la primera y segunda derivada.

1. Guías Modulares de Estudio
Cálculo diferencial – Parte B

2. Semana 1 y 2:
Las razones de cambio y la
derivada

3. Las razones de cambio y la derivada
 Objetivo:
Resolver problemas sobre razones de cambio y la derivada,
aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación
gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico
administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente
escolar colaborativo y responsable.

4. Las razones de cambio y la derivada
 Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus
definiciones surgen a raíz del concepto de limite.

 Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada,
los comunes son los siguientes:

5. Las razones de cambio y la derivada
Definiciones de Derivada:
 Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el
punto (x , f(x) ) es la derivada de f en x.
 Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el
punto P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f
en x.
 Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La
velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por
f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad
es el módulo de esa cantidad.
 Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de
una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la
derivada de f en x.

6. Las razones de cambio y la derivada
 Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la
de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la
gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación:
 A medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños como el esquema
que se muestra a continuación, la línea recta tiende a ser mas semejante a una línea
tangente que a una línea recta secante:

7. Las razones de cambio y la derivada
Analizando esta línea tangente podemos ver que el
triángulo rectángulo que se forma puede
conducirnos a analizar cual es la ecuación de la
pendiente de la línea recta tangente. Nótese la
hipotenusa dentro del triangulo rectángulo
corresponde a la línea recta.

8. Las razones de cambio y la derivada
 Como podemos apreciar la ecuación que relaciona la línea recta esta dada por la
tangente:
 pero como sabemos para la línea recta dicha relación nos da la pendiente de una
línea recta
 Como hemos dicho esta relación, de recta tangente se logra solo que los intervalos:
 sean pequeños lo que equivale a decir que se genera el limite cuando
 o lo que equivale a decir que se genera el limite:

9. Las razones de cambio y la derivada
Tablas de derivadas elementales Tablas de derivadas elementales

10. Las razones de cambio y la derivada
Derivadas de funciones trigonométricas

11. Las razones de cambio y la derivada
Ejercicios resueltos
1. Encuentra la derivada de la siguiente función:
 Solución:
Como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno de los
términos de las funciones, es decir si entonces
por lo que para la función planteada en el ejercicio:
 Recordando que la derivada de una función potencia es y
que en la derivada de una constante es cero tendremos
 Es decir,

12. Las razones de cambio y la derivada
Ejercicios resueltos
2. Encontrar la derivada de la función:
 Solución:
Derivando cada término
Por lo que:

13. Las razones de cambio y la derivada
Ejercicios resueltos
3. Encuentra la derivada de la siguiente función:
 Solución:
Por lo tanto,

14. Las razones de cambio y la derivada
Ejercicios resueltos
4. Encuentra la derivada de la siguiente función:
 Solución:
5. Encuentra la derivada de la siguiente función:
 Solución:
aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:

15. Las razones de cambio y la derivada
Ejercicios resueltos
6. Encuentra la derivada de la siguiente función:
 Solución:

16. Las razones de cambio y la derivada
Derivadas de orden superior
 La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la
función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en el caso
de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se
le llama segunda derivada:
 de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es
necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características
de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen
pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas.

17. Las razones de cambio y la derivada
 Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:
 para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las
siguientes derivadas:

18. Las razones de cambio y la derivada
 Ejemplo: Encontrar las primeras cuatro derivadas de la siguiente función:
 Solución:

19. Semana 3 y 4:
Valores máximos y
mínimos relativos y sus
aplicaciones

20. Valores máximos y mínimos relativos
 Objetivo:
Calcular valores máximos y mínimos de una función; mediante la
aplicación de los criterios de la primera y segunda derivada,
analizando los intervalos donde la función es creciente o
decreciente, cóncava o convexa e identificando la existencia de
puntos de inflexión, para su graficado y solución de problemas de
optimización y aproximación, mostrando una actitud reflexiva y de
cooperación.

21. Valores máximos y mínimos relativos
 Cuando la función f es positiva el gráfico esta por encima del eje de las x.
 Cuando la función f es negativa el gráfico está por debajo del eje de las x.
 Cuando función f cambia de signo la función cruza al eje de las x.

22. Valores máximos y mínimos relativos
 Donde la primera derivada f´(x) es positiva el gráfico sube.
 Donde la primera derivada f´(x) es negativa el gráfico desciende.

23. Valores máximos y mínimos relativos
 Luego entonces podemos concluir que el punto máximo de una función f derivable
en un intervalo cerrado ocurre en una de las dos situaciones siguientes:
a) En un punto terminal del intervalo
b) En un punto crítico, es decir, f´(x)=0.
Ejemplo:
 Obtener el máximo valor de la función f(x)=x3
+x2
-x+1 para un valor de la variable x en
el intervalo [-1,1]
 Para poder obtener la solución resulta necesario considerar que los valores extremos
de la variable y los puntos donde la derivada se hace cero.
 Los valores de la función evaluada en los puntos extremos de la variables son:
f(-1)=-13
+-12
-1+1= 0
f(1)=13
+12
-1+1=2
 su derivada es:
f´(x)=3x2
+2x-1

24. Valores máximos y mínimos relativos
 Analizando sus raíces, es decir, para el caso f´(x)=0
 tendremos:
3x2
+2x-1 =0
 pero como:
 Es necesario evaluar la función en ambos valores x=1/3 y x=-1:
f(1/3)=(1/3)3
+(1/3)2
-(1/3)+1 =22/27
f(-1)=-13
+-12
-1+1=0

25. Valores máximos y mínimos relativos
 Estos valores están en el rango como podemos observar uno de los valores, el
mínimo corresponde a uno de los extremos, sin embargo el valor máximo obtenido,
es un valor máximo local ya que el valor máximo es el del extremo, gráficamente
tenemos la siguiente situación:

26. Bibliografía
• Ortiz Campos, José Francisco : Cálculo diferencial, Publicaciones
Cultural 2007