Este documento presenta un examen de Sistemas Lineales que contiene 3 problemas a resolver. Se pide determinar respuestas de impulso y paso de subsistemas en serie y paralelo, así como energías de señales de entrada y salida. También se pide analizar la causalidad y estabilidad BIBO de un sistema formado por 5 subsistemas interconectados. Finalmente, se pide hallar la respuesta impulso y de paso de un sistema LTI discreto dado.

1. Alumno:
Alumno
SCUELA SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL LITORAL
Fecha:
( )
(
jueves
)
11
d
l 20
del
2014
__________________________________
___________________________________________________________________________
: El
presente
trabajarlos
Instrucciones: AHORA. AHORA
con
consulta.
sulta.
ESCUELA Profesor:
PRIMERA
EVALUACIÓN
SISTEMAS
LINEALES
___________________________________________
examen consta de
. ctamente en los
3 problemas
espacios previst
y del
correspondiente
ningún p
Instrucciones
en blanco para trabajar
Escriba sus respuestas
directamente cuadernillo. No olvide escribir su nombre en todas y cada una de las páginas.
___
espacio
roblema por resolver
n problema resolver.
os en las páginas de este
HÁGALO
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes leyendas.
que se indique lo contrario
examen a libro cerrado
das sus res
el
contrario, to
, todas cerrado, Estudiante
ING. CARLOS SALAZAR LÓPEZ
ING. ALBERTO TAMA FRANCO
los. Asegúrese de que no le falta ning
dire
, aunque
puestas deben ser razonadas
respuestas Salvo
alvo
S
. Este es un
estudiante puede utilizar su formulario resumen para
Resumen de Calificaciones
Examen
Deberes
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
ESPOL
FIEC-FIEC
-2014
– 20
14 –
2S
______________________________
previstos Lecciones
de diciembre
razonadas.
Total
Evaluación
Primera
.

2. Primer Tema (30 puntos):
Para el sistema global, integrado por la combinación serie/paralelo que se esquematiza a
continuación; y, conociendo la respuesta de paso ( ) 1 s t del subsistema SS1, se le ha
solicitado lo siguiente:
f) Determinar, esquematizar y etiquetar la respuesta impulso del subsistema SS1, es decir
( ) S
Ing. Alberto Tama Franco
6
5
3
1
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
( ) 1 h t .
g) Determinar, esquematizar y etiquetar la respuesta de paso del subsistema SS2, es decir
( ) 2 s t
h) Determinar, esquematizar y etiquetar la respuesta impulso equivalente del sistema
global, es decir ( ) equi h t
i) Determinar, esquematizar y etiquetar la señal w(t ) y evalúe el valor de su energía, es
decir w(t ) E
j) Hallar la relación de la energía de la señal de salida a la energía de la señal de entrada,
es decir ( ) ( )
E /
E .
y t x t ( ) 1 s t
t
0
−1
1 2 3 4
2
5 6 7 8 9
4
SS1
SS1 d (t −10)
1.5
3
t
x t rect
 − 
=  
 
y (t )
d
dt
( )
equi SISTEMA GLOBAL h t
SS2
w(t )

3. ( )
( ) 1
h t
1
ds t
dt
=
1
 t −   t −   t
− 
=   +   +  
h t rect rect rect
     
h t = h t *d t −10 ⇒ h t = h t −10
( ) 1 1
ds t d ds t
= * d −  * d
−  ⇒ =
10
−
= = ⇒ = −
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
x(t )
1
0
1 2 3 4 5
( ) 1 h t
t
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
h t = μ t −μ t − 2 +μ t −3 −μ t −5 +μ t −6 −μ t −8
( ) 1
1 4 7
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2
10
10 = 10
h t t s t t h t
−
dt dt dt
( )
( ) ( )
( ) ( ) 2 1
2 2 1
10
ds t ds t
h t s t s t
dt dt
( ) 1 s t
t
6
5
3
1
0
−1
2 3
2
5 6 8 9
4
( ) 2 s t
10 12 13 15 18
( ) ( ) ( ) equi 1 2 h t = h t + h t
( ) equi h t
t
1
0
2 3 5 6 8 10 12 13 15 16 18

4.  t −   t −   t −   t −   t −   t
− 
=   +   +   +   +   +  
h t rect rect rect rect rect rect
3
E = ∫ 2
dt ⇒ E =
x t x t  
2 9 10 11
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 2
=  + + − +  + ⇒ =
2 2 11 1 67
w t w t E t dt dt t dt dt E
 
2 10 12 21
∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2
E = dt + − dt + dt + − dt ⇒ E =
y t y t 1 1 1 1 6
= = ⇒ =
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
( )
1 4 7 11 14 17
2 2 2 2 2 2 equi
           
( ) ( ) ( ) equi w t = x t * h t Primer Caso
D =1.5+1.0 = 2.5
Segundo Caso
D =1.5+ 4.0 = 5.5
Tercer Caso
D =1.5+ 7.0 = 8.5
a =1.5
b =1.0
c =1.0
d =1.0
2.5
0.5
0.5
2.5
+ = 
a b
a b
a b
a b
− = 
− + = − 
− − = −
5.0 8.0 11.0
3.0 6.0 9.0
2.0 5.0 8.0
0.0 3.0 6.0
El cuarto, quinto y sexto caso (o convoluciones) son similares pero desplazados en 10
unidades; por lo cual, su superposición dará como resultado lo siguiente:
w(t )
2
1
0
2 3 5 6 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21
t
y (t )
1
0
2 3 5 6 8
9 10
12 13 15 16 18
19 21
11
t
−1
( ) ( )
0
1 3
( ) ( ) ( )
0 2 9 10
( ) ( ) ( ) ( )
0 9 11 19
( )
( )
6
2
3
y t
xy xy
x t
E
R R
E

5. Segundo Tema (30 puntos):
Tal como se puede apreciar en la siguiente figura, cinco subsistemas LTI-CT son
interconectados en una combinación serie-paralelo. Dado que:
h t = d t ( ) ( ) 2 h t = μ t
h t = 2d t ( ) ( ) 4 h t = μ t
SISTEMA GLOBAL h(t )
x(t ) S
h t = d t *  d t *μ t + d t * μ t +μ t 
1 1
h t = d t *  μ t + μ t +μ t  = d t * μ t
Ing. Alberto Tama Franco
( ) 4 h t
1
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
1
( ) ( ) 1
7
( ) ( ) 3
( ) ( ) 5
h t = 2μ t
x(t )
t
0 1
1
2 3 4 5
−1
e) Determinar la expresión matemática que permita encontrar la respuesta impulso del
sistema global.
f) Determinar, esquematizar y etiquetar la respuesta del Sistema Global; es decir y (t ) ,
frente a la excitación antes esquematizada.
g) El sistema global es ¿Causal o no causal?, ¿BIBO estable o no? Justifique sus
respuestas de manera razonada.
h) Obtener el valor de la energía de la señal de salida, es decir y(t ) E .
( ) 1 h t
( ) 3 h t
( ) 5 h t
( ) 2 h t
y (t )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 4 1 3 5 1 2 h t = h t * h t * h t + h t * h t * h t + h t * h t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 4 3 5 2 h t = h t * h t * h t + h t * h t + h t 
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2
( ) ( )
7
( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 7
( )
7 7
h (t ) = μ (t )

6. x(t ) = μ (t ) −μ (t −1) − μ (t −1) −μ (t −3) +μ (t −3) −μ (t − 4)
x(t ) = μ (t ) − 2μ (t −1) + 2μ (t −3) −μ (t − 4)
y (t ) = x (t )* h(t ) = μ (t ) − 2μ (t −1) + 2μ (t − 3) −μ (t − 4) *μ (t )
y (t ) = x (t )* h (t )
y (t ) = tμ (t ) − 2(t −1)μ (t −1) + 2(t − 3)μ (t − 3) − (t − 4)μ (t − 4)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫ ¥. En el presente caso, se tendría que:
¥ ¥
∫ μ t dt = ∫ dt = t
¥ ⇒ No es BIBO estable
     
t t
∫ ∫
= 2  + − + 2  = 2  +  − 2 + 4
 
E t dt t dt t t
3 3 y t
     
 3 − 3

2 2 1 2 1 4
=  + − − + −  ⇒ =
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
1 3
2 1 2 3 4
t t
2 2
y t r t r t r t r t y t
 −   − 
= − − + − − − ⇒ = D  − D 
   
Sistema LTI −CT ® h (t ) = μ (t )
y (t )
t
4
3
1
0
1 2 3 4 5 6
2
−1
−2
−3
−4
Causal
BIBO estable
Sí
No
Un sistema LTI-CT es causal, si y solo si h(t ) = 0 para todo tiempo t 0 . Así que, como la
respuesta impulso del presente sistema es μ (t ) , dicho sistema es causal.
Un sistema LTI-CT es BIBO o EASA estable, si y solo si su respuesta impulso es
¥
absolutamente integrable, es decir si h(t ) dt
−¥
( ) 0
0
¥
−¥
( ) ( )
1 2
1 2 3 3
2 2 2
0 1 0 1
2 2 ( 2 1 ) 4 ( 2 1
) ( ) ( )
3 3 3 y t y t E E
 

7. Tercer Tema (24 puntos):
Un estudiante de la materia Sistemas Lineales de la ESPOL, ha encontrado que un
determinado sistema LTI-DT causal, en el dominio de tiempo discreto, tiene la siguiente
representación:
− − ± − − ±  g
=
= = ⇒ 
1.6 1.6 4 1 0.63 1.6 0.04 0.7
2 1 2 0.9
n n
c y n = c + c
−
4
b
n n n
= + ⇒ = + +
h n n y n n h n n c n c n
n n
h n = − d n + c μ n + c μ n
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
S
S
D
D
y[n]
x[n]
1.6
−0.63
4
D
D
−
Determinar:
a) La respuesta impulso h[n].
b) La respuesta de paso s[n]
c) ¿El sistema es BIBO estable?,
justifique su respuesta.
De la representación anterior, se puede obtener que la ecuación de diferencias, que
representa al precitado sistema LTI-DT causal, sea la siguiente:
y [n] = 4x[n −1]− 4x[n − 2]+1.6y [n −1]− 0.63y [n − 2]
y [n]−1.6 y [n −1]+ 0.63y [n − 2] = 4x[n −1]− 4x[n − 2]
y [n + 2]−1.6y [n +1]+ 0.63y [n] = 4x[n +1]− 4x[n]
( ) [ ] ( ) [ ] 2 E −1.6E + 0.63 y n = 4E − 4 x n
[ ] 2 Q g = 0 ⇒ g −1.6g + 0.63 = 0
( ) ( ) ( )( )
( )
2
1
2
g
g
 =
[ ] ( 0.7 ) ( 0.9
) 1 2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( 0.7 ) [ ] ( 0.9
) [ ] 1 2
0.63
c
n
a
d μ d μ μ
[ ] 6.3492 [ ] ( 0.7 ) [ ] ( 0.9
) [ ] 1 2
Ahora se procederá a determinar las condiciones de frontera para la respuesta impulso, es
decir:

8. h[n] = 4d [n −1]− 4d [n − 2]−0.63h[n − 2]+1.6h[n −1]
h[0] = 4d [−1]− 4d [−2]− 0.63h[−2]+1.6h[−1] ⇒ h[0] = 0
h[1] = 4d [0]− 4d [−1]− 0.63h[−1]+1.6h[0] ⇒ h[1] = 4
[ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 0 0
h 0 = 0 = −6.3492 d 0 + c 0.7 μ 0 + c 0.9 μ 0
1 2
−6.3492 + c + c = 0 ⇒ c + c = 6.3492
1 2 1 2
[ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 1 1
h 1 = 4 = −6.3492 d 1 + c 0.7 μ 1 + c 0.9 μ 1
1 2
4 = c 0.7 + c 0.9 ⇒ 0.7c + 0.9c = 4
( ) ( ) 1 2 1 2
 + =  =
 ⇒ 
 + =  = −
6.3492 8.5714
c c c
1 2 1
0.7 0.9 4 2.2222
c c c
1 2 2
n n
[ ] 6.3492 [ ] 8.5714(0.7) [ ] 2.2222(0.9) [ ]
h n = − d n + μ n − μ n
A continuación se procederá a determinar la respuesta de paso de dicho sistema, misma
que es su respuesta frente a una excitación escalón unitario, es decir:
s [n] = μ [n]* h[n]
[ ] [ ] { 6.3492 [ ] 8.5714(0.7) n [ ] 2.2222(0.9) n
[ ]}
y n = μ n * − d n + μ n − μ n
 1
− n
+ 1 
g
Recordando que: n [ n ] [ n ] [ n
]
* =  
g μ μ μ
 1
− g

n n
 − n +   −
n
+  = − +   −  
y n μ n μ n μ n
 −   − 
= − +  − n +  −  − n
+     
s n μ n μ n μ n
+ +
n n
= −
s n μ n μ n
n n
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
, se tendría lo siguiente:
[ ] 6.3492 [ ] [ ] 8.5714(0.7) [ ] [ ] 2.2222(0.9) [ ] [ ]
y n = − μ n *d n + μ n *μ n − μ n *μ n
[ ] [ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
1 1
1 0.7 1 0.9
6.3492 8.5714 2.2222
1 0.7 1 0.9
[ ] [ ] ( 1 1
6.3492 28.5713 1 0.7 ) [ ] 22.222 1 ( 0.9
) [ ] [ ] 1 22.222 ( 0.9 ) [ ] 28.5713 ( 1
0.7
) [ ] [ ] 20(0.9) [ ] 20(0.7) [ ]
s n = μ n − μ n

9. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Im
1
0
1
−1
×× Re
Dado que las raíces características, valores
característicos, eigenvalores o frecuencias
naturales, del referido sistema, se encuentran
dentro del círculo de radio unitario, el sistema es
asintóticamente estable y por ende implica que es
BIBO o EASA estable.

10. Cuarto Tema (16 puntos):
Determine si existe la Transformada de Laplace de cada una de las siguientes señales. Si
su respuesta es afirmativa, escriba SÍ en el casillero respectivo. Si considera que no
existe, escriba NO en el casillero correspondiente; y, si Usted desconoce la respuesta,
coloque el signo ? o deje en blanco dicho casillero.
Precisión: Por cada respuesta correcta, obtendrá +2 puntos. Por cada respuesta
incorrecta, obtendrá -2 puntos; y, por cada ? o casillero en blanco, CERO puntos.
x ( t ) = e − tμ ( t ) + e − 2 tμ ( t ) + e − 3
tμ ( t ) ¿ X ( s ) existe? (SÍ o NO o ?) SÍ
1 t t t x t e μ t e μ t e μ t − − − = − + + ¿ ( ) 2 X s existe? (SÍ o NO o ?) SÍ
t t t x t e μ t e μ t e μ t − − − = + − + ¿ ( ) 3 X s existe? (SÍ o NO o ?) NO
t t t x t e μ t e μ t e μ t − − − = − + − + ¿ ( ) 4 X s existe? (SÍ o NO o ?) SÍ
t t t x t e μ t e μ t e μ t − − − = + + − ¿ ( ) 5 X s existe? (SÍ o NO o ?) NO
t t t x t e μ t e μ t e μ t − − − = − + + − ¿ ( ) 6 X s existe? (SÍ o NO o ?) NO
t t t x t e μ t e μ t e μ t − − − = + − + − ¿ ( ) 7 X s existe? (SÍ o NO o ?) NO
t t t x t e μ t e μ t e μ t − − − = − + − + − ¿ ( ) 8 X s existe? (SÍ o NO o ?) SÍ
x t = e − t μ t + e − t μ t + e − t
μ t Û x t = x t + x t +
x t a b c « − 
x t ROC s
x t ROC s ROC ROC ROC ROC s
x t ROC s
« − ⇒ = Ç Ç − 
 « −
x t = e − t μ − t + e − t μ t + e − t
μ t Û x t = x t + x t +
x t a b c « − 
x t ROC s
x t ROC s ROC ROC ROC ROC s
x t ROC s
« − ⇒ = Ç Ç − − 
 « −
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
1
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
2
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
3
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
4
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
5
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
6
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
7
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
8
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 1
:Re 1
:Re 2 : Re 1
:Re 3
a a
b b a b c
c c
Conclusión: Sí existe transformada de Laplace.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 2
:Re 1
:Re 2 : 2 Re 1
:Re 3
a a
b b a b c
c c

11. Conclusión: Sí existe transformada de Laplace.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
x t = e − t μ t + e − t μ − t + e − t
μ t Û x t = x t + x t +
x t 3 3
a b c ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x t ROC s
x t ROC s ROC ROC ROC ROC
x t ROC s
{ } 3
:Re 1
:Re 2
:Re 3
x t = e − t μ − t + e − t μ − t + e − t
μ t Û x t = x t + x t +
x t a b c « − 
x t ROC s
x t ROC s ROC ROC ROC ROC s
x t ROC s
« − ⇒ = Ç Ç − − 
 « −
x t = e − t μ t + e − t μ t + e − t
μ − t Û x t = x t + x t +
x t a b c x t ROC s
x t ROC s ROC ROC ROC ROC
x t ROC s
x t = e − t μ − t + e − t μ t + e − t
μ − t Û x t = x t + x t +
x t a b c x t ROC s
x t ROC s ROC ROC ROC ROC
x t ROC s
x t = e − t μ t + e − t μ − t + e − t
μ − t Û x t = x t + x t +
x t a b c x t ROC s
x t ROC s ROC ROC ROC ROC
x t ROC s
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
a a
b b a b c
c c
f
« − 
« − ⇒ = Ç Ç = 
 « −
Conclusión: No existe transformada de Laplace.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
4 4
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 4
:Re 1
:Re 2 : 3 Re 2
:Re 3
a a
b b a b c
c c
Conclusión: Sí existe transformada de Laplace.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
5 5
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{ } 5
:Re 1
:Re 2
:Re 3
a a
b b a b c
c c
f
« − 
« − ⇒ = Ç Ç = 
 « −
Conclusión: No existe transformada de Laplace.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
6 6
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{ } 6
:Re 1
:Re 2
:Re 3
a a
b b a b c
c c
f
« − 
« − ⇒ = Ç Ç = 
 « −
Conclusión: No existe transformada de Laplace.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3
7 7
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{ } 7
:Re 1
:Re 2
:Re 3
a a
b b a b c
c c
f
« − 
« − ⇒ = Ç Ç = 
 « −