El documento trata sobre el número pi y el número áureo. Explica que pi es la constante que relaciona el perímetro y diámetro de un círculo y tiene infinitas cifras decimales. También describe la historia de los cálculos de pi a través de los años con más y más cifras decimales. Luego, explica que el número áureo es un número irracional relacionado con la sección áurea y proporciones estéticas. Finalmente, habla sobre números amigos y la fórmula de Fermat para generar pares de números amigos.

2. EL NÚMERO
El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una
circunferencia con la amplitud de su diámetro: Π = L/D.
Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, ya
que tiene infinitas cifras decimales.
Pi (π) es una de las constantes matemáticas que más aparece en las
ecuaciones de la física, junto con el número e, y es, tal vez por ello la
constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y
aficionados.
Arquímedes reúne y amplía estos resultados.
Prueba que el área de un círculo es la mitad
del producto de su radio por la circunferencia
y que la relación del perímetro al diámetro
está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.
En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza
polígonos de hasta 720 lados y una
circunferencia de 60 unidades de radio para
aproximarse un poco más, y da el valor 3 +
8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3'14166...
Ptolomeo
Desde esa fecha hacia delante, se han consignado los siguientes resultados
en la búsqueda de un valor para Pi:
Ferguson, en 1947, obtuvo un valor con 808 decimales.
Usando el computador Pegasus, en 1597, se logró una cifra con 7.840
decimales.
Más tarde, en 1961, usando un computador IBM 7090, se logró llegar a
100.000 decimales.
Luego, en 1967, con un CDC 6600, se llegó a 500.000 decimales.
En 1987, con un Cray-2, se obtuvo una cifra con 100.000.000 decimales
para Pi.
Y finalmente, en 1995, en la Universidad de Tokio, se llegó a un valor de
pi de 3,14… y se le agregan 4.294.960.000 de decimales.

3. Letra griega pi. Símbolo adoptado inicialmente en
1706 por William Jones y popularizado por Euler.
El valor numérico de π truncado a sus diez
primeras posiciones decimales, es el siguiente:

4. EL NUEMRO AÚREO
El número áureo o de oro (también llamado número plateado, razón
extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea
y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o
Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número
irracional:2
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ), por ser la primera letra
de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo
representado con la letra Fi (Φ, φ) es más común.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico)
que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la
antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre
segmentos de rectas.
La sección áurea y el número de oro
La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y
extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor,
como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de
tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y
menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una
línea se llama proporción áurea.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división
indicada anteriormente

5. Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que
tendremos que resolver.
Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x= .
Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el
segmento mayor entre el menor.
Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el
número de oro.

6. NÚMEROS AMIGOS
Dos números amigos son dos enteros positivos a y b tales que a es la suma
de los divisores propios de b, y b es la suma de los divisores propios de a.
(la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).
220 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284
284 = 1+2+4+71+142 = 220
La regla que estudió Fermat afirma que: " para cualquier número "n" mayor
que uno:
p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1,
Son los tres números primos, entonces los números siguientes son amigos:
2npq y 2nr son un par de números amigos
Esta fórmula genera los pares (220, 284), (1184, 1210), (17.296, 18.416) y
(9.363.584, 9.437.056). El par (6232, 6368) también es de números amigos,
pero no se puede hallar por la fórmula anterior.
En 1636, Fermat reveló que 17296 y 18416 eran amigos.
Descartes, en 1638, envía una carta a Mersenne contándole que ha
encontrado la tercera parejita de numeritos: 9363584 y 9437056.

7. NETGRAFIA
http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1/primeroa/fermat/amig
os.htm
http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numero_Pi.htm