Este documento trata sobre los números irracionales, incluyendo características, representaciones y ejemplos como el número e, π, y el número áureo. Explica la historia y aplicaciones del número áureo en la antigua Grecia, Egipto, y en obras de arte y arquitectura. También incluye fórmulas para calcular el número áureo y concluye que los números irracionales son importantes para resolver operaciones matemáticas más complejas.

1. Liceo Reino de Suecia
Números
IrracIoNales
Profesor: lucIaNo carrasco
alumNas: orIaNa PaNchIllo
NIcole Navarro
veróNIca TIllería
elba sáez
fecha de eNTrega: 20-05-2010

2. 2…………………íNdIce
3……………………INTroduccIoN.
4…………………...¿Qué soN los Números
IrracIoNales?
5………………….caracTerísTIcas de uN Número
IrracIoNal
5………………....rePreseNTacIóN de uN Número
IrracIoNal.
6………………….Número e.
6……………..…..Número PI.
7…………….……Número áureo.
7……………….…serIe de fIboNaccI.
8………………….hIsTorIa del Número áureo.
10……………….¿dóNde eNcoNTramos el Número
áureo?
11……………….fórmulas del Número áureo.
12……………….coNclusIóN.

3. INTroduccIóN
eN la PreseNTe INvesTIgacIóN coNoceremos y
aPreNderemos sobre la graN ImPorTaNcIa Que
TIeNeN los Números IrracIoNales y sus dIsTINTas
aPlIcacIoNes eN el graN muNdo de las
maTemáTIcas.
esPeramos Que esTe Trabajo sea de graN uTIlIdad
Para NuesTros coNocImIeNTos y así facIlITar el
aPreNdIzaje de las maTemáTIcas de uNa forma
más eNTreTeNIda y dIdácTIca

4. ¿Qué soN los Números IrracIoNales?
Un número irracional es aquél que no es un número entero
y no puede expresarse como división exacta de dos
números enteros.
Por ejemplo los números 3, 1890 ó 2'5 = 5 / 2 no son números irracionales.
Un número irracional es un número con infinitos decimales que en ningún
caso se repiten de forma periódica. El número 1'33333... con infinitos
decimales iguales a 3 tampoco es un número irracional ya que realmente es
el resultado de dividir 4 entre 3 y los decimales se repiten periódicamente.

5. caracTerísTIcas de uN Número IrracIoNal
Un número irracional es un número que no se
puede escribir en fracción - el decimal sigue para
siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3,1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que
tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.
rePreseNTacIóN
Algunos números irracionales se pueden representar en la recta real
mediante procedimientos geométricos utilizando regla y compás. Este es el
caso de las raíces cuadradas no exactas. Para muchos números irracionales
no se puede aplicar este método, la representación de estos números se hace
por aproximación.
Número e

6. El número "e" es uno de los más importantes en las
matemáticas.
Algunos de los primeros dígitos son:
2.7182818284590452353602874713527 (y más ...)
Frecuentemente se lo llama el número de Euler por
Leonhard Euler.
Número PI
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro,
en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes
matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas,
física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras,
es el siguiente:
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la
historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las
ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la
constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y
aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es
constante en geometrías no euclídeas.

7. Número áureo
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades
interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino
como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se
encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en
elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles,
el grosor de las ramas, etc.
serIe de fIboNaccI
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente
sucesión infinita de números naturales:
La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada
elemento es la suma de los dos anteriores.

8. hIsTorIa del Número áureo
El número áureo ha existido siempre en el universo físico y
se puede explicar de forma matemática. Pero el hombre a
lo largo de la historia lo ha descubierto y redescubierto
alguna vez. Como muchas otros temas científicos y
matemáticos el numero áureo era conocido en la antigua
Grecia. Después estos conocimientos fueron olvidados para
ser redescubierto mas tarde en la historia. Es por esto
también que este número recibe varios nombres.
Antiguo Egipto
El número áureo se encuentra en numerosas obras de
arte del antiguo Egipto. En la gran pirámide de Keople la
relación entre su altitud y la mitad de un lado de su base es
casi exactamente phi.
Aunque no se sabe de cierto que este numero fuese
conocido por los antiguos egipcios, el sistema de medidas
se basa en la diferentes partes del cuerpo por lo que no es
extraño que se encuentre phi en las pirámides.
Antigua Grecia
En la escuela de Pitágoras (570 / 480 antes de JC) se dice
"todo esta arreglado con el numero". Pitágoras y sus
discípulos descubren los segmentos inconmensurables
apoyándose sin duda en la proporciona áurea.
Fidias (490 / 430 antes de JC) utilizó la proporción áurea
en el Partenón.
Euclides (325 / 265 antes de JC) define la proporción
correspondiente al numero áureo en los "elementos de

9. geometría". Aunque Euclides no relaciona el numero áureo
con nada estético o divino.
Vitrubio (1º siglo antes de JC) arquitecto y ingeniero
romano autor de "De Architectura" aborda la importancia
de las proporciones en la arquitectura pero sin referencias
al numero Phi sino al estudio de las proporciones humanas.
Edad Media
Fibonacci (1175 / 1240) recoge los conocimientos de
Euclides, su sucesión tiene relación directa con el numero
phi.
Renacimiento
Luca di Borgo (nacido en 1445) también llamado Luca
Pacioli utiliza el número Phi en su libro "de divina
proportione" ilustrado por Leonardo de Vinci. Aunque este
tratado es puramente geométrico nada sobre el arte. Luca
Pacioli fue fraile Franciscano y profesor de matemáticas.
Leonardo de Vinci reflexiona sobre las proporciones
humanas perfectas basada en el número áureo que el
denomina "sectio aurea". Menciona la proporción divina en
su tratado sobre pintura.
Johannes Kepler (1571 /1630) Astrónomo alemán
considera el numero áureo uno de los grandes tesoros de la
geometría.

10. Siglo XX
Martin Ohm Matemático alemán escribió sobre la sección
Áurea en 1835 en su libro "Die reine elementar-
mathematik", también fue el primero en utilizar la
denominación aureo en honor a Fidias.
Adolf zeising (1810 / 1876) doctor en filosofía y profesor
habla de la sección Áurea pero no del punto de vista
geométrico o matemático sino sobre la estética y la
arquitectura. Busca y encuentra esta proporción en los
monumentos clásicos. Es el que introduce el lado mítico y
místico del número aureo.
Matila Ghyka rumano que escribe sobre el número aureo y
lo encuentra en multitud de monumentos pero también en
la naturaleza.
Le corbusier arquitecto Francés inventa el "modulator"
que es un sistema de proporciones arquitecturales y la
rapidez de construcción.
Salvador Dalí utiliza el rectángulo áureo en algunos de sus
cuadros.
¿dóNde eNcoNTramos el Número áureo?
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras
geométricas como en la naturaleza en elementos tales
como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos
árboles, el grosor de las ramas.

11. fórmulas
Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:
Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente:
Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para
que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:
Multiplicando ambos lados por x y reordenando:
Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene
que las dos soluciones de la ecuación son
La solución positiva es el valor del número áureo.

12. coNclusIóN
eN esTe Trabajo PudImos coNcluIr Que
los Números IrracIoNales soN muy
ImPorTaNTes, ya Que soN ParTe de la
base Que Todos debemos saber Para
resolver oPeracIoNes maTemáTIcas más
comPlejas Que soN PosTerIores a esTa y
Que sIemPre Podremos eNcoNTrar eN la
vIda coTIdIaNa.