El documento discute las dificultades y errores en el aprendizaje del álgebra. Señala que introducir el pensamiento algebraico en las primeras etapas de la educación puede hacer que el álgebra sea más accesible para los estudiantes. Varias investigaciones recomiendan desarrollar el razonamiento algebraico a través de experiencias significativas con la aritmética en los primeros años escolares. Sin embargo, tanto estudiantes como profesores a menudo ven el álgebra sólo como el uso de letras y símbolos, en lugar de reconocer que

1. Según Soccas (2011), (citado por De Farias Campos, E. 2013). Las dificultades y
los errores en el aprendizaje de las Matemáticas han sido, y son hoy, un foco de
estudio e investigación en Educación Matemática, y que el panorama investigador
en la década de los noventa reflejaba por un lado una insatisfacción generalizada
sobre las formas tradicionales de la enseñanza del Álgebra, debido a las
dificultades y errores que tenían los estudiantes en esta área, y por otro lado
reconocían la importancia del Álgebra en las Matemáticas y en el desarrollo de
habilidades y hábitos mentales en el estudiantado.

2. Esta crítica generalizada se hace visible en el fracaso escolar reflejado en la
deserción estudiantil en Matemáticas, en la ausencia de significado en el
aprendizaje de los estudiantes y en la escasa conexión entre el Álgebra y otras
áreas de las Matemáticas. Todo esto generó una preocupación por hacer del
Álgebra un estudio accesible a todos los estudiantes, y por la búsqueda de formas
más efectivas para su enseñanza y aprendizaje.

3. Varias investigaciones recomiendan introducir el pensamiento algebraico en los primeros
años de la educación elemental (Davis, 1985, Vergnaud, 1988, Kaput, 1998, 2000,
NCTM, 1989, 2000, Godino, 2003, Blanton y Kaput, 2005, Malara y Navarra, 2003,
Bastable y Schifter, 2007, Carraher y Schliemann, 2007, Soccas, 2011, Carraher,
Schliemann y Brizuela2011).
Carraher y Schliemann (2007), realizaron una amplia revisión de las investigaciones
acerca del razonamiento algebraico de estudiantes de 6 a 12 años y concluyeron que el
álgebra tiene que ocupar un papel importante en la educación primaria. La propuesta que
apoya esta postura se conoce como “Early-Algebra (Álgebra temprana)” y abarca el
razonamiento algebraico y las relaciones algebraicas.

4. Los autores señalan dos eventos que fueron decisivos en los Estados Unidos para el
desarrollo de este movimiento: las publicaciones del “National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM, 1989 y 2000) y el informe sobre Álgebra en la educación primaria
y secundaria del Panel de Investigación y Desarrollo de la Corporación RAND (RAND
Mathematics Study Panel, 2003), y determinan algunas cuestiones problemáticas que son
fundamentales: las relaciones entre la Aritmética y el Álgebra; la dualidad
proceso/objeto en Álgebra; el papel referencial del Álgebra en las Matemáticas, y las
representaciones simbólicas del Álgebra tanto formal como no formal.

5. Para Rojas y Vergel (2013). En los currículos de muchos países es explícito el propósito de
desarrollar, desde las matemáticas escolares, la capacidad de los niños y jóvenes para
razonar algebraicamente, lo cual es usual abordar en los últimos cursos de educación
básica (secundaria, 14-15 años), aunque no necesariamente con éxito. En las últimas dos
décadas se ha desarrollado un número significativo de trabajos de investigación que dan
cuenta de la posibilidad de abordar este propósito desde edades tempranas; lo cual ha
hecho surgir nuevamente discusiones sobre la pertinencia de curricularizar los desarrollos
teóricos al respecto.

6. Un número significativo de investigadores plantea que dicha curricularización no sólo es
posible sino necesaria (ver, por ejemplo, Kieran, 2006), y que a partir del contacto con
experiencias significativas desde la formación inicial en aritmética, es posible avanzar en
la construcción de esquemas asociados al pensamiento algebraico. En esta dirección,
parece necesaria una reflexión explícita orientada a superar concepciones sobre el
álgebra escolar, su enseñanza y su aprendizaje, ampliamente asociadas de manera casi
exclusiva con el dominio de un conjunto de procedimientos y técnicas para factorizar
expresiones, simplificarlas y resolver ecuaciones.

7. Al respecto, Kaput (2000) plantea que:
Se debe buscar que los docentes aprendan a construir oportunidades para el
aprendizaje del razonamiento algebraico a partir de las restricciones que
impone su sistema educativo y las fuentes documentales de que dispone (textos,
Internet, currículo, entre otros.). En particular se debe ayudar al docente a que
se centre en las formas como los estudiantes pueden acceder a la
generalización de su propio pensamiento matemático, así como a expresar y
justificar sus propias generalizaciones.

8. Los autores Verga y Rojas (2013), afirman que para
muchos estudiantes y profesores, el trabajo algebraico está
asociado a la incorporación de nuevos signos –letras–, esto
se debe en parte a su desconocimiento sobre elementos
teóricos y metodológicos, así como también a la ausencia de
experiencias –ya sean de aprendizaje o de enseñanza–,
que les permita reconocer, especialmente a los profesores,
que el desarrollo del pensamiento algebraico puede tener
lugar mucho antes de la aparición de dicho tipo de signos.

9. Azarquiel (1993), por ejemplo, reconoce la necesidad de desarrollar
procesos de pensamiento que permita a los estudiantes la construcción de
un pensamiento algebraico, insistiendo en que la construcción de tal
pensamiento tiene lugar a lo largo de un proceso paralelo y continuo
dentro del trabajo aritmético y geométrico que se inicia en los primeros
años. En el mismo sentido, Butto y Rojano (2000) plantean que los tiempos
didácticos para el aprendizaje del álgebra son prolongados, por lo que
es conveniente iniciar en edades tempranas, aprovechando las fuentes de
signifi„cados que están presentes en los contenidos matemáticos de la
educación primaria. Por tanto, puede a„rmarse que existe un consenso en la
comunidad de investigadores en didáctica del álgebra respecto a la
necesidad de potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico desde
los primeros años de educación básica (primaria).

10. Para Godino & Font (2000, p.8) el razonamiento algebraico,
Implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en
cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este
razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo
necesario para apoyar y comunicar, especialmente las ecuaciones, las variables y
las funciones.

11. En términos de este autor, algunas características del razonamiento algebraico que son sencillas
de adquirir por los niños, y por tanto deben conocer los maestros en formación, son:
1. Los patrones o regularidades existen y aparecen de manera natural en las matemáticas. Pueden ser
reconocidos, ampliados, o generalizados.
2. El mismo patrón se puede encontrar en muchas formas diferentes. Los patrones se encuentran en
situaciones físicas, geométricas y numéricas.
3. Podemos ser más e„caces al expresar las generalizaciones de patrones y relaciones usando símbolos.
4. Las variables son símbolos que se ponen en lugar de los números o de un cierto rango de números.
Las funciones son relaciones o reglas que asocian los elementos de un conjunto con los de otro,
de manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo
conjunto. Se pueden expresar en contextos reales mediante gráficas, fórmulas, tablas o
enunciados (Godino, 2000, p. 10).

12. El pensamiento algebraico, como forma particular de refexionar matemáticamente, es caracterizado
por Radford (2006) mediante tres elementos interrelacionados:
El sentido de indeterminancia (objetos básicos como: incógnitas, variables y parámetro; opuesto a la
determinancia numérica).
La analiticidad (como forma de trabajar los objetos indeterminados; reconocimiento del carácter
operatorio de los objetos básicos).
La designación simbólica de sus objetos (manera específica de nombrar o referir los objetos).
Este autor reconoce que los objetos matemáticos son objetos «generales», y la actividad matemática es
esencialmente simbólica. Plantea, además, la necesidad de refexionar explícitamente sobre la relación
entre el desarrollo del pensamiento algebraico y los procesos de generalización.

13. Desde lo planteado anteriormente se genera, como exigencia para el profesor, la
necesidad de tomar conciencia sobre requerimientos para posibilitar el desarrollo del
pensamiento algebraico, a través del diseño e implementación de actividades, en
diferentes contextos, para potenciar en los estudiantes formas diferenciadas de
pensamiento algebraico.
Son diferentes los orígenes que se otorgan a las dificultades del aprendizaje de las
Matemáticas, en especial para el Álgebra, estas se ubican generalmente una dinámica
que incluye al estudiante, al contenido, al profesor y a la institución escolar, otorgando
estatus al microsistema educación con relevancia; “en la práctica pedagógica se
concretan en complicadas estructuras en forma de obstáculo, que son identificadas en los
estudiantes como errores” 3 con la presencia de esquemas cognitivos inadecuados, que
no solo son la ausencia de un conocimiento sino el resultado de redes complejas.
3 SOCAS, M. M. DiĮcultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Secundaria. (Cap.V, pp. 125-154). 1997.

14. Los errores categorizados por ausencia de sentido se originan en los distintos estadios de
desarrollo (semiótico, estructural y autónomo) que se dan en los sistemas de representación, por lo
cual se distinguen tres:
(a) Errores del álgebra tienen origen en la Aritmética. Para entender la generalización de las
relaciones y procesos se requiere que éstos antes hayan sido asimilados en el contexto
aritmético.
(b) Errores de procedimiento. Los alumnos usan inadecuadamente fórmulas o reglas de
procedimiento.
(c) Errores del álgebra debidos a las características propias del lenguaje algebraico. Ejemplos de
este tipo de error son el sentido del signo “=” en Álgebra y la sustitución formal.
Los errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales tienen distinta naturaleza:
faltas de concentración (excesiva confianza), bloqueos, olvidos, etc. La identificación de dificultades
y errores en el aprendizaje del algebra y en especial de la generalización se incluye como objeto
didáctico en el diseño de la propuesta permitiendo analizar los distintos significados que los
estudiantes dan al objeto algebraico y determinar la comprensión evidenciada por el
razonamiento proporcionado.

15. Aproximación a situaciones cuantitativas que enfatizan las relaciones y aspectos
generales, no es necesario el uso de letras o símbolos. El uso de letras y símbolos
convencionales del álgebra conlleva pensamiento algebraico (Kieran, 1996).
Indicadores para caracterizar el pensamiento algebraico:
a) Entraña actos deliberados de generalización y expresión de la misma.
b) Conlleva razonamientos basados en formas de generalización sintácticamente
estructuradas, que exigen de procesos sintácticos y semánticos (Lins y Kaput 2004).
Permite analizar relaciones entre cantidades, reconocer estructuras, analizar cambios,
hacer generalizaciones, resolver problemas, modelizar, justificar, probar y predecir (Bell,
1995; Kieran, 2006).

16. El pensamiento algebraico ha de ser desarrollo por los estudiantes y esto no siempre es
sencillo, a veces se les crea se les presenta dificultades y es en este punto de las
dificultades donde centramos este trabajo.
Entre las nociones que producen dificultad se señalan la clausura para las expresiones
algebraicas que los estudiantes sienten necesidad de hacer; el lenguaje algebraico al que
no le “ven” sentido y que les lleva a asignar valores numéricos a las letras o a la sobre-
generalización de ciertas propiedades; la preservación de la jerarquía de la operaciones
para la que no encuentran justificación; el uso de paréntesis; la percepción del signo igual
como expresión de una equivalencia, entre otras.

17. Crisis en la enseñanza del álgebra
Cognitivo
Psicológico
Social
Pedagógico
Didáctico
Achacable al sujeto, la generalización y la
utilización de símbolos suponen dificultad.
Solamente oír la palabra álgebra ya asusta
a los estudiantes.
La sociedad tiene catalogada el álgebra
entre las ramas más complejas de las
matemáticas.
Desmotivación de los estudiantes
que hace la su formación más compleja.
Métodos de enseñanza del álgebra han
quedado anticuados.
Tipos de Dificultades
Intrínsecas al
objeto
O. Epistemológico
Inherentes al
propio sujeto
O. Ontogénico
Consecuencia de
las técnicas de
enseñanza
O. didáctico
Debidas, en gran parte, a la
naturaleza del álgebra, su
lenguaje, los elementos que lo
componen, las reglas que lo
rigen.
Están relacionadas con la
complejidad que supone la
abstracción y la generalización.
La enseñanza tradicional no ha
aportado sentido al álgebra.

18. REFERENCIAS
Castro, E. (1994). Dificultades en el Aprendizaje del Álgebra Escolar. XVI
Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática.
Rojas, P. y Vergel, R. (Octubre, 2013). Procesos de Generalización y Pensamiento Algebraico.
Revista Científica. Edición Especial. Artículo de Investigación. Bogotá, D.C. Recuperado de:
De Faria Campos, E. (2013). El pensamiento algebraico en los programas de estudio de
matemáticas: una visión integral. Conferencia. República Dominicana.
Evaluación y desarrollo del razonamiento algebraico elemental en maestros en formación lilia
p. Aké tec tesis doctoral dirigida por: juan d. Godino departamento de didáctica de la
matemática universidad de granada 2013.