El documento presenta una actividad inicial para la unidad sobre ecuaciones y proporcionalidad. Los estudiantes deben resolver problemas relacionados con una receta de galletas, identificando las relaciones entre los ingredientes y la cantidad de galletas a preparar. Luego deben graficar estos pares de valores para reconocer el modelo matemático subyacente. Finalmente, se les pide analizar cómo se distribuirían las galletas entre los estudiantes.

1. TexTo del esTudianTe
Autores:
Natacha Astromujoff
Eleamar Barrios
Marcelo Casis
Ivette León
Paula Olivares
Marta Riveros
Josrge Soto

2. Estructura didáctica
El Texto del Estudiante de Matemática de 8° Básico contiene 6 unidades didácticas. El cuerpo de cada unidad
está conformado por páginas binarias de contenido que se articulan en torno a un tema que contextualiza los
objetivos de aprendizaje de cada una de ellas. Al inicio de cada unidad existen páginas que contienen activi-
dades introductorias y como cierre se plantean el uso de recursos tecnológicos, un resumen de la unidad y
una evaluación sumativa final. Además, se incorpora cuando corresponde, el ícono que enlaza los contenidos
del texto con las actividades multimediales del Hipertexto. La estructura detallada de cada unidad de este
texto es la siguiente:
Entrada de unidad
Primera aproximación al OFT
que articula la unidad.
Imagen alusiva al tema
Actividad motivadora
transversal de la unidad
inspirada en el OFT que se
desarrolla en la unidad.
Red conceptual con los Aprendizajes que se espera
contenidos de la unidad adquieras tras la revisión de
la unidad.
Actividad inicial
Historieta que te propone Actividades que podrán ser
una situación que debes utilizadas como evaluación
observar y analizar con diagnóstica de materias
detención. vistas en cursos anteriores y
que servirán para la revisión
de los temas de la unidad.
Páginas binarias de contenido Ejercicios individuales para
Ejemplo explicativo que que apliques lo que acabas de
contiene una situación aprender en forma individual.
problemática, que es Ejercicios grupales de análisis
resuelta paso a paso a y reflexión o de carácter
modo de ejemplificación. lúdico para que resuelvas
con uno o más compañeros y
compañeras.
Cuadro de definición de los
contenidos fundamentales. Problemas que plantean
situaciones matemáticas
contextualizadas en diferentes
temas y que puedes resolver
en forma individual o grupal.
4 Estructura didáctica

3. Resolución de problemas
Problemas propuestos que
debes resolver aplicando el
método.
Problema modelo que te
propone un método de
cinco pasos para que lo
apliques en la resolución de
problemas de diversa índole.
Tecnología activa
Ejemplificación del uso de Actividades propuestas para
herramientas tecnológicas que apliques la herramienta
para resolver actividades tecnológica descrita.
relacionadas con los temas
vistos en la unidad.
Síntesis de la unidad Evaluación
Cuadros con las definiciones
que resumen los contenidos Tres páginas en las que se
tratados en la unidad. evalúan los temas vistos en la
unidad. Dos de ellas te proponen
ejercicios de desarrollo y una
ejercicios con alternativas.
Además, en las páginas del texto se incluyen cuatro tipos de apartados y el ícono de Hipertexto:
Archívalo
Enlace con… Desafío
Indicación práctica o
nota recordatoria para Definiciones y concep- al ingenio
una mejor comprensión tos directamente liga- Breve vinculación del Actividades lúdicas que
del tema tratado. dos con los temas de tema tratado en la pági- requieren del ingenio
la página. na binaria y otras ramas matemático para su
del conocimiento. realización.
HIPERTEXTO
Ícono que relaciona el Texto del Estudiante con las actividades del Hipertexto.
Matemática
Estructura didáctica 5

4. Índice de contenidos
Unidad • Potencias de exponente 2 y raíces
1
cuadradas.................................................. 44 y 45
Productos y cocientes • Teorema de Pitágoras ............................... 46 y 47
• Tríos pitagóricos ........................................ 48 y 49
Resolución de problemas ...........................50 y 51
Entrada de unidad ........................................... 8 y 9
Tecnología activa ........................................ 52 y 53
Actividad inicial ............................................10 y 11
• Multiplicación y división de enteros positivos ..12 y 13 Síntesis de la unidad .......................................... 54
• Multiplicación y división de enteros de Evaluación.................................................... 55 a 57
diferente signo ........................................... 14 y 15
• Multiplicación y división de enteros
negativos ................................................... 16 y 17
• Propiedades de la multiplicación en ℤ ..... 18 y 19
Unidad
3
• Operaciones combinadas en ℤ ................ 20 y 21
Ecuaciones y
Resolución de problemas .......................... 22 y 23
Tecnología activa ........................................ 24 y 25
proporcionalidad
Síntesis de la unidad .......................................... 26
Evaluación.................................................... 27 a 29 Entrada de unidad ....................................... 58 y 59
Actividad inicial ........................................... 60 y 61
• Variables dependientes e independientes.. 62 y 63
• Relación directamente proporcional ......... 64 y 65
Unidad
2
• Representación de una relación
Potencias y sus directamente proporcional......................... 66 y 67
• Relación inversamente proporcional ......... 68 y 69
aplicaciones • Representación de una relación
inversamente proporcional .........................70 y 71
Entrada de unidad ....................................... 30 y 31
• Modelos matemáticos de proporcionalidad
Actividad inicial ........................................... 32 y 33 directa ........................................................ 72 y 73
• Potencias de base entera y exponente • Modelos matemáticos de proporcionalidad
natural ....................................................... 34 y 35 inversa ........................................................74 y 75
Interpretación de potencias con • Funciones .................................................. 76 y 77
exponente entero ...................................... 36 y 37
Resolución de problemas .......................... 78 y 79
• Multiplicación y división de potencias de
igual base .................................................. 38 y 39 Tecnología activa ........................................ 80 y 81
• Crecimiento exponencial ............................40 y 41 Síntesis de la unidad .......................................... 82
• Decrecimiento exponencial ....................... 42 y 43 Evaluación.................................................... 83 a 85
6 Índice de contenidos

5. Unidad Transformaciones Resolución de problemas .......................132 y 133
4 isométricas,
circunferencia y círculo
Tecnología activa .....................................134 y 135
Síntesis de la unidad ........................................ 136
Evaluación.................................................137 a 139
Entrada de unidad ....................................... 86 y 87
Actividad inicial ........................................... 88 y 89
• Traslación .................................................. 90 y 91
Unidad
6
• Reflexión ................................................... 92 y 93
• Rotación .................................................... 94 y 95 Datos agrupados y
• Teselaciones ............................................. 96 y 97 probabilidades
• Definición de circunferencia y círculo ....... 98 y 99
• Elementos lineales de una Entrada de unidad .................................... 140 y 141
circunferencia .........................................100 y 101
Actividad inicial ........................................142 y 143
• Elementos angulares de circunferencias
• Datos cuantitativos discretos y
y círculos.................................................102 y 103
continuos ................................................144 y 145
• Perímetro de una circunferencia ............104 y 105
• Intervalo de clase ................................... 146 y 147
• Área de un círculo ..................................106 y 107
• Marca de clase .......................................148 y 149
Resolución de problemas .......................108 y 109
• Media aritmética y moda para datos
Tecnología activa ......................................110 y 111 agrupados ..............................................150 y 151
Síntesis de la unidad .........................................112 • Construcción de gráficos con datos
Evaluación................................................. 113 a 115 agrupados ..............................................152 y 153
• Métodos de muestreo ............................154 y 155
• Experimentos aleatorios equiprobables .156 y 157
• Regla de Laplace ...................................158 y 159
• Verificación de una probabilidad ............160 y 161
Unidad
5
Resolución de problemas .......................162 y 163
Tecnología activa .....................................164 y 165
Cuerpos redondos
Síntesis de la unidad ........................................ 166
Evaluación................................................ 167 a 169
Entrada de unidad .................................... 116 y 117
Actividad inicial ........................................ 118 y 119
Solucionario..............................................170 a 173
• Cuerpos redondos..................................120 y 121
• El cilindro ................................................122 y 123 Índice temático ...................................................174
• El cono ...................................................124 y 125 Bibliografía y páginas web ............................... 175
• La esfera ................................................126 y 127 Evaluación modelo............................................ 176
• Área de cuerpos redondos .....................128 y 129
• Volumen de cuerpo redondos ................130 y 131
Índice de contenidos 7

6. 3
Unidad
Ecuaciones
y
proporcionalidad
Red conceptual
Dependientes
Variables pueden ser
Independientes
Proporcionalidad
directa
Ecuaciones y determinación de Modelos
proporcionalidad matemáticos
Proporcionalidad
inversa
Dominio
Funciones identificación de
Recorrido
58

7. ¿Cuáles son los beneficios del comercio electrónico?
El e-business o comercio electrónico es cualquier actividad empresarial que se efectúa a través
de internet, no solo de compra y venta de productos, sino también de servicio al cliente y cola-
boración de las empresas con sus socios comerciales.
El comercio electrónico beneficia tanto a las empresas como a los consumidores. Hace más
eficientes las actividades de las empresas, ya que reduce las barreras de acceso a los mercados,
en especial para pequeñas empresas, y abre oportunidades de explotar nuevos mercados. En
cuanto a los consumidores, el comercio electrónico amplía la capacidad de los consumidores de
acceder a los distintos productos y les permite comparar ofertas y provee de información sobre
la calidad del producto que consumen. Hoy en día son cada vez más las personas que realizan
sus compras a través de internet, sobre todo en países desarrollados, donde ya se ha vencido
el miedo que existía inicialmente con respecto a la transparencia de las transacciones. Con el
comercio electrónico, las operaciones comerciales son mucho menos burocráticas ya que se
pueden realizar desde cualquier computador personal y en cualquier momento del día.
¿Has comprado algún producto por internet? ¿Cuál?
¿Crees que en el futuro ya no será necesario ir a una tienda o almacén para comprar un
producto?
¿Puedes resolver?
Una empresa ha decidido sacar un nuevo producto al mercado, el cual po-
drá ser adquirido a través de su página web. Las ventas de dicho producto
en los primeros cuatro meses fueron las siguientes:
Mes Julio Agosto Septiembre Octubre
Unidades vendidas 2 000 3 000 4 500 6 750
Confecciona un gráfico que muestre la cantidad de unidades vendidas cada mes.
Si se mantiene la tendencia, ¿cuántas unidades del producto se venderán en noviembre?
rás a:
En esta unidad aprende .
ndientes e independientes
Identificar variables depe forma directa o inversa-
ria bles están relacionadas en
Reconocer cuando dos va
mente proporcional. ersamente proporcionales
.
s de relaciones directa e inv
Construir tablas y gráfico nes no proporcionales.
Distinguir relaciones proporcionales de relacio .
nalidad directa e inversa
Reconocer modelos matemáticos de proporcio
e son funciones.
Identificar relaciones qu
HIPERTEXTO
Motivación 59

8. Actividad inicial
Cotidianamente nos vemos en la necesidad, muchas veces sin darnos cuenta, de
dar solución a situaciones que relacionan variables que se condicionan una a la otra
bajo determinadas pautas matemáticas. Amplificar la cantidad de ingredientes en
una receta de cocina, calcular la cantidad de provisiones necesarias para una sema-
na, conociendo la requerida para un día, o determinar el costo de una visita al cine
si un grupo de amigos aparece a última hora, son situaciones que la mayoría de las
veces resolvemos por métodos meramente intuitivos. Pero, ¿existe un procedimiento
matemático formal para resolverlas?
Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan
a continuación.
A Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:
60 Unidad 3

9. Unidad
Los niños, además de muchos huevos, disponen de:
• 625 g de harina. • 312,5 g de azúcar.
• 250 g de margarina. • 250 g de chocolate.
a) Calculen la razón entre la cantidad de cada uno de los ingredientes de la re-
ceta y las correspondientes cantidades de ingredientes que tienen los niños.
¿Qué características observan en estas razones?
b) ¿Cuántas galletas pueden hacer los niños con los ingredientes que tienen?
c) Si los niños quisieran preparar 75 galletas, ¿qué cantidad de cada ingrediente
necesitarían?
d) Completen la siguiente tabla con la cantidad que se necesita de cada ingre-
diente, según la cantidad de galletas que se desea preparar:
Cantidad de Chocolate Margarina
Harina (g) Azúcar (g)
galletas en polvo (g) (g)
10
20
40 500 g 250 g 200 g 200 g
80
e) Luego de analizar la tabla an-
1000
terior, y teniendo en cuenta la
900
cantidad de galletas a preparar y
la masa de harina necesaria para 800
cada cantidad, señalen los pares 700
Harina (gramos)
de valores en el gráfico como 600
muestra el ejemplo y luego unan 500
los puntos. ¿Qué obtienen? 400
B Supongamos que las galletas que 300
harán los alumnos y alumnas se 200
repartirán entre ellos en partes 100
iguales. Respondan las siguientes
0
preguntas: 0 10 20 30 40 50 60 70 80
a) Si hay 40 galletas de chocolate y Galletas
20 estudiantes, ¿cuántas galletas
comerá cada uno?
b) Si hay 40 galletas de chocolate y 40 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá
cada uno?
c) Si hay 40 galletas de chocolate y 80 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá
cada uno?
HIPERTEXTO
Diagnóstico Ecuaciones y proporcionalidad 61

10. Variables dependientes e
independientes
Los valores de una va- La junta de vecinos de una población está reuniendo fondos para
riable dependiente se refaccionar su centro social. Los fondos se obtendrán de dos fuentes:
ubican en el eje horizon-
tal (abscisas), mientras una donación de $ 400 000 que realizará una empresa del sector y una
que los valores de una rifa organizada por la comunidad. Cada número de la rifa tendrá un
variable independiente se valor de $ 500.
ubican en el eje vertical
(ordenadas). f ¿De qué depende el monto de los fondos que reunirá la junta de
vecinos?
f ¿Qué ecuación expresa los fondos que obtendrá la junta de
vecinos?
f Si se venden 400 números para la rifa, ¿cuál será el monto que
reunirá?
Desafío El monto de los fondos que la junta de vecinos reúna en la rifa de-
al ingenio pende de cuántos números se vendan.
Marcela es amante de Si llamamos y a los fondos que reunirá la junta de vecinos y x a la
los animales y en su casa
tiene varias mascotas. De cantidad de números de la rifa que se vendan entonces:
estas, todas son perros
y = 500x + 400 000
menos dos, todas son
gatos menos dos y todas donde x e y pueden tomar distintos valores.
son loros menos dos.
¿Cuántos animales tiene
Marcela en su casa? Se llama variable independiente a aquella variable cuyo valor
solo depende de sí misma.
Se llama variable dependiente a aquella cuyo valor depende del
valor de otra variable.
En este caso los fondos que reunirá la junta de vecinos (y) dependen
de la cantidad de números de rifa que se vendan (x). Por lo tanto, x es
la variable independiente e y la variable dependiente.
Si se venden 400 números de la rifa, el dinero que reunirá la junta
de vecinos será:
y = 500 · 400 + 400 000
y = 600 000
Si se venden 400 números de la rifa, la junta de vecinos reunirá
$ 600 000.
62 Unidad 3

11. Unidad
Ejercicios individuales
A. Calcula el valor de la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente es igual
a 5:
a) y = 2x – 5 c) n = 10 – 2m e) y = 5 · (x – 10)
y= n= y=
b) w = 5z + 8 d) c = 5a – 20 f) -2x + 6 = y
w= c= y=
B. Señala en cada caso cuál es la variable dependiente (D) y cual la variable independiente (I):
a) La cantidad de personas que asiste a un partido de fútbol.
La recaudación del partido de fútbol.
b) El número de años cursados por un estudiante universitario.
Los años que le restan por cursar.
c) El perímetro de un cuadrado.
La medida de los lados del cuadrado.
d) El precio del producto terminado.
El precio de los materiales necesarios para fabricar el producto.
e) El volumen de un cuerpo al irlo calentando.
El tiempo durante el que va aplicándose calor.
Problemas
1. Don Pedro vende helados a $ 200.
a) ¿De qué depende la cantidad de dinero que recauda por
las ventas?
b) ¿Qué ecuación expresa la cantidad de dinero que don
Pedro recaudará en la semana?
c) Si don Pedro vende 420 helados en una semana, ¿cuánto
dinero recaudará?
2. Fernando es 28 años más joven que su padre.
a) ¿Qué edad tendrá Fernando cuando su padre tenga 56,
67 y 81 años?
b) Señala la variable dependiente y la independiente y ex-
plica cómo las identificaste.
Ecuaciones y proporcionalidad 63

12. Relación directamente proporcional
Los estudiantes del 8° C han decidido pintar la pared de la sala
donde está ubicado el diario mural, cuya área es de 16 m2. Según lo
que averiguaron con sus compañeros del 8º B, estiman que con 1 tarro
Una cantidad y el por- de pintura pueden pintar 4 m2 de pared.
centaje que representa
de una cantidad fija, co- f ¿Cuántos tarros de pintura se necesitan para pintar la pared?
rresponden a variables
directamente proporcio- f Escribe la ecuación que relaciona el número de tarros de pintura y
nales. Por ejemplo: la superficie que puede ser pintada.
Cantidad %
f ¿Qué superficie se podrá pintar con 9 tarros de pintura?
48 100
36 75
La siguiente tabla relaciona el área de pared que se puede pintar
con un número determinado de tarros de pintura:
24 50
12 25 Tarros 1 2 3 4
6 12,5 Área [m2] 4 8 12 16
De la tabla se lee que con 4 tarros de pintura pueden pintarse los
16 m2 de la pared.
El área de la pared y el número de tarros de pintura necesarios para
pintarla, son dos variables que establecen una relación directamente
Recuerda que cuando
entre dos variables existe proporcional.
una relación directamente
proporcional, puedes Existe una relación directamente proporcional entre dos varia-
ocupar la regla de tres bles cuando ambas varían en la misma razón, es decir, el cocien-
directa para calcular algún te entre ellas es siempre el mismo. A este cociente se le llama
valor desconocido. razón o constante de proporcionalidad directa.
Si A y B son directamente
proporcionales y
A B Metros pared y 4 8 12 16
= = = = = =4
a1 b1 Tarros pintura x 1 2 3 4
a2 X La razón de proporcionalidad es 4.
Entonces: y
Como = 4, podemos despejar y obtener la ecuación que relaciona
X=
a2 · b1 x
a1 la cantidad de metros cuadrados de pared y el número de tarros de
pintura, que se necesitan para pintarla.
y=4·x
Si tenemos 9 tarros de pintura, x = 9. Por lo tanto:
y = 4 · 9 = 36
Con 9 tarros de pintura se pueden pintar 36 m2.
64 Unidad 3

13. Unidad
Ejercicios individuales
A. Calcula la constante de proporcionalidad en las siguientes situaciones:
a) Un joven recorre 2 cuadras en 10 minutos y 5 cuadras en 25 minutos.
b) Clara hizo 20 galletas con 200 g de harina, María 30 galletas con 300 g de harina y Antonia
60 galletas con 600 g de harina.
c) Un bus recorre 225 km en 2,5 horas y 378 km en 4,2 horas.
B. Resuelve las siguientes situaciones planteando la ecuación correspondiente:
a) Marcelo utiliza cada día una mina para su porta-mina. ¿Cuántas minas utilizará en una se-
mana?
b) Una máquina puede fabricar 5 000 ladrillos en 4 horas. ¿Cuántas podrá fabricar en 6 horas?
c) Un taxista cobra $ 280 por cada 300 m recorridos. ¿Cuánto debería cobrar por un recorrido
de 3 800 m si aplicara una tarifa proporcional?
d) Un taxista cobra $ 270 por cada 3 minutos de recorrido. ¿Cuánto debería cobrar por un reco-
rrido de media hora si aplicara una tarifa proporcional?
e) Miguel se demoró 10 días en leer 1 libro. ¿Cuántos días se demoraría en leer 4 libros simi-
lares?
Problemas
1. Un artesano necesita 8 días para construir un barco de ma-
dera.
a) Si un coleccionista le ha encargado 5 barcos, ¿en cuántos
días podrá terminarlos?
b) ¿Cuántos barcos podrá construir en 24 días? Calcula la
razón de proporcionalidad.
c) Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona
el número de barcos hechos y el número de días que
necesita el artesano en hacerlos.
2. Un perro consume 3 raciones de alimento al día.
a) ¿Cuántas raciones de alimento consume el perro a la
semana?
b) ¿Cuántas raciones de alimento consumirá el perro en
12 días?
c) Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona el
número de meses transcurridos y el número de raciones
que el perro consume en esos meses. Considera meses
de 30 días.
Ecuaciones y proporcionalidad 65

14. Representación de una relación
directamente proporcional
Los alumnos y alumnas de octavo básico han organizado una obra de
Enlace con… teatro para representar Noche de Reyes de W. Shakespeare en el gimnasio
La Literatura del colegio, cuya capacidad es de 700 personas. Tras analizar la relación
Noche de Reyes o la Duodé- costo-beneficio, decidieron cobrar $ 3 000 la entrada por persona.
cima noche es una comedia
teatral escrita por el poeta y f ¿Qué relación existe entre las entradas que se vendan y el dinero
dramaturgo inglés William que genera su venta?
Shakespeare (1564 - 1616)
alrededor del 1600. Es f ¿Cuánto dinero esperan reunir los estudiantes?
una de las comedias más
populares de este autor y Entre el dinero generado y el número de entradas vendidas existe una
ha sido llevada al cine y a la relación directamente proporcional. Los estudiantes pueden construir una
televisión en innumerables tabla con el número de entradas que vendan y el ingreso respectivo:
oportunidades.
Número de Número de
Ingreso Ingreso
entradas entradas
0 $ 0 400 $ 1 200 000
100 $ 300 000 500 $ 1 500 000
200 $ 600 000 600 $ 1 800 000
300 $ 900 000 700 $ 2 100 000
Otra herramienta útil es un gráfico con los datos de la tabla:
Gráfico de proporcionalidad directa
La gráfica de una relación
directamente proporcional
2 500 000
es una línea recta que
debe, necesariamente, 2 000 000
Ingresos [$]
pasar por el origen.
1 500 000
1 000 000
5000 000
0
0 100 200 300 400 500 600 700
Entradas
La tabla de una relación directamente proporcional contiene los
valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación
directamente proporcional es el que representa los datos de esta
tabla y corresponde a una línea recta.
66 Unidad 3

15. Unidad
Ejercicios individuales
A. Completa las tablas de relaciones directamente proporcionales entregadas en las siguientes
situaciones. Calcula la constante de proporcionalidad y grafica:
a) Un carpintero construye una puerta de madera en 1 día. Dos carpinteros construyen 2 puertas
en 2 días.
Número de Puertas por 6
carpinteros día
Puertas por día
5
1 1 4
2 3
3 2
4 1
5 0
0 1 2 3 4 5 6
6 Número de carpinteros
b) Un ciclista viaja con rapidez constante.
42
Distancia [km] Tiempo [h]
36
6 1 30
Distancia [km]
12 24
18
3
12
4
6
5
0
36
0 1 2 3 4 5 6 7
7 Tiempo [h]
2. Los ingredientes necesarios para preparar un
pastel de choclos para cuatro personas son: N° de choclos vs N° de personas
6 choclos, 4 presas de pollo, 0,25 kg de posta 14
picada, 2 cebollas, 1 taza de leche, 2 dientes de 12
ajo, 8 aceitunas, pasas, sal, comino y pimienta. 10
Choclos
a) En la figura adjunta se muestra el gráfico de 8
proporcionalidad directa para los choclos. 6
Construye la tabla de proporcionalidad
4
directa a partir del gráfico.
2
b) Construye la tabla y el gráfico de proporcio- 0
nalidad directa para todos los ingredientes 0 1 2 3 4 5 6 7 8
del pastel de choclo considerando 1, 2, 4, Personas
10 y 20 personas.
Ecuaciones y proporcionalidad 67

16. Relación inversamente proporcional
Los alumnos y alumnas de un curso quieren ir de paseo por un fin de
semana a un camping. El dueño del camping cobrará al grupo $ 50 000
Recuerda que cuando por el fin de semana. El curso tiene 30 estudiantes y cada uno de ellos
entre dos variables existe
una relación inversamente no puede pagar más de $ 5 000 para ir al camping.
proporcional, puedes f Si van todos los estudiantes del curso, ¿cuánto debe pagar cada uno?
ocupar la regla de tres
inversa para calcular algún f Si va solo la mitad, cuánto deberá pagar cada estudiante?
valor desconocido.
Si A y B son inversamente f ¿Cuántos estudiantes deben ir como mínimo para que cada uno
proporcionales y gaste $ 5 000 o menos?
A B Podemos observar que mientras más estudiantes vayan al campamento
a1 b1 menos dinero tendrá que pagar cada uno, pero que siempre el producto
a2 Y del número de alumnos y alumnas que vayan y el dinero que tienen que
Entonces: pagar individualmente, debe ser 50 000. Esto quiere decir que existe una
a1 · b1 relación inversamente proporcional entre el costo a cancelar por cada
Y=
a2 uno y la cantidad de estudiantes que asistan al campamento.
Existe una relación inversamente proporcional entre dos variables
cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma razón. Es
decir, cuando el producto de las dos variables es el mismo. A este
producto constante se le llama factor o constante de proporciona-
lidad inversa.
La constante o factor de Si van todos los estudiantes tenemos que dividir 50 000 : 30 ≈ 1667,
proporcionalidad inversa entonces, podemos decir que cada uno tendrá que pagar $ 1 667.
se obtiene calculando el
producto de las dos va- Si va la mitad tenemos que dividir 50 000 : 15 = 3 333, es decir, cada
riables involucradas. uno tendrá que pagar $ 3 333.
Por último, tenemos que dividir 50 000 por 5 000 para averiguar
cuántos estudiantes deben asistir para que cada uno pague $ 5 000 o
menos. Es decir, deberán asistir al menos 50 000 : 5 000 = 10 estudiantes
para que el precio a pagar sea inferior que $ 5 000.
Si multiplicamos el número de estudiantes que asistirá al paseo por
lo que debe pagar cada uno, siempre obtendremos 50 000. Podemos
deducir entonces que la ecuación que relaciona el número de estudiantes
que asiste al campamento y lo que tendrán que pagar cada uno es:
y · x = 50 000
y: cantidad de estudiantes que asistirán al campamento.
x: dinero que deberá cancelar cada estudiante.
68 Unidad 3

17. Unidad
Ejercicios individuales
A. Calcula la constante de proporcionalidad inversa de las variables relacionadas en los siguientes
enunciados:
a) Dos cargadores demoran 5 horas en cargar un camión con escombros. Cuatro cargadores
demoran 2,5 horas en realizar el mismo trabajo.
b) Si tengo un gato, el alimento me alcanza para un mes; si tengo dos gatos, el alimento alcanza
para medio mes; si tengo tres gatos, el alimento alcanza para un tercio de mes.
B. Las siguientes expresiones relacionan las variables a y b. Señala con un √ los casos en que las
variables se relacionan en forma inversamente proporcional:
a 1 1
a) =2 c) ·b=3 e) a =
b a b
b) a · b = 10 d) 5a · 5b = 5 f) b = 10a
Problemas
1. Veinte obreros demoran 3 meses en construir el piso de un
edificio.
a) ¿Cuánto se demorarían 15 obreros en construir el mismo
piso?
b) ¿Cuántos obreros se necesitan para que tarden dos
meses en construir el piso del edificio?
c) Escribe la ecuación que relaciona el número de obreros con
el tiempo que tardan en construir el piso del edificio.
d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa entre
el número de obreros y el tiempo que tardan en construir
el piso del edificio?
2. Manuel tiene un hámster en su casa y una bolsa de alimento
le alcanza para un mes. ¿Para cuánto tiempo le alcanzaría
la bolsa si tuviera 3 hámsteres?
3. Tres andinistas perdidos en la montaña tienen alimento sufi-
ciente para que una persona sobreviva 9 días. ¿Cuánto tiempo
podrán sobrevivir los tres con este alimento?
4. Un grupo de 7 estudiantes realiza un trabajo de investigación
y demoran 4 horas en escribir el informe. ¿Cuánto se demo-
rarían 10 estudiantes en escribir el mismo informe?
5. Un grupo de 10 personas ha contratado un microbús de tu-
rismo por $ 30 000 para recorrer el sur de Chile. Si deciden
repartirse el gasto en partes iguales, ¿cuánto pagará cada
persona?, ¿cuánto deberían pagar si fueran 8 personas?
Ecuaciones y proporcionalidad 69

18. Representación de una relación
inversamente proporcional
Archívalo Los estudiantes de octavo básico de un colegio organizarán un cam-
Una hipérbola es una curva
peonato de futbolito con los octavos de otros colegio de su ciudad. Para
que resulta de la intersec- esto arrendarán un gimnasio que tiene capacidad para 5 000 personas
ción de un plano con dos a un costo de $ 5 000 000. La idea del Centro de estudiantes es costear
secciones de cono circular
recto.
el arriendo del gimnasio y generar una utilidad de $ 10 000 000 con
la venta de entradas.
f ¿Cómo puedes visualizar la relación existente entre la cantidad de
asistentes y el precio de las entradas?
f ¿Cuál será el costo de cada entrada si el gimnasio se llena? ¿Y si
asisten 3 000 personas?
Entre el precio de la entrada y el número de asistentes al evento
existe una relación inversamente proporcional.
Una herramienta útil para visualizar esta relación es una tabla como
la siguiente:
Personas Precio Personas Precio
Desafío
al ingenio 100 $ 150 000 2 000 $ 7 500
Las variables A y B son 500 $ 30 000 3 000 $ 5 000
inversamente proporcio-
nales, tal que A · B = K. Las 1 000 $ 15 000 4 000 $ 3 750
variables A y C también son
inversamente proporciona-
También es de gran utilidad graficar los datos de la tabla:
les, verificando A · C = L.
¿Qué relación existe entre
las variables B y C? Si Gráfico de proporcionalidad inversa
esta relación es de pro-
160 000
porcionalidad, ¿cuál es
140 000
la constante?
120 000
Precio [$]
100 000
80 000
60 000
40 000
20 000
0
0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000
Personas
70 Unidad 3

19. Unidad
La tabla de una relación inversamente proporcional contiene los
valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación
inversamente proporcional es el que representa los datos de esta
tabla y corresponde a una curva llamada hipérbola.
Si el gimnasio se llenara, la entrada costaría $ 3 000; y si asisten 3 000
personas, costaría $ 5 000.
Ejercicios individuales
A. Completa las tablas de relaciones inversamente proporcionales entregadas en los siguientes
problemas. Calcula la constante de proporcionalidad inversa y grafica.
a) 1 persona demora 24 horas en pintar una casa. 2 personas demoran 12 horas en pintarla.
Número de 30
Tiempo [h]
personas Tiempo [h] 25
1 24 20
2 15
10
8
5
4
0
5 0 1 2 3 4 5 6
4 Número de personas
b) 1 manguera demora 6 días en llenar una piscina. 2 mangueras demoran 3 días en llenarla.
Número de 6
Tiempo [días]
mangueras 5
Tiempo [días]
1 6 4
2 3
2 2
1
4
0
5
0 1 2 3 4 5 6
1 Número de mangueras
2. Luis celebrará su cumpleaños con sus amigos. Para agasajarlos compró una torta.
a) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 3 amigos de Luis?
b) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 5 amigos de Luis?
c) Confecciona una tabla en la que se indique la fracción de torta que come cada participante
considerando que no hay invitados, que acude 1 invitado, que acuden 2, etc.
d) Construye un gráfico de líneas con los datos de la tabla anterior.
Ecuaciones y proporcionalidad 71

20. Modelos matemáticos de
proporcionalidad directa
Enlace con…
La Ciencia En la naturaleza existen muchas magnitudes que están relacionadas
La aceleración de gravedad en forma directamente proporcional. Dos magnitudes que guardan tal
varía de planeta en planeta. Su relación son la masa y el peso.
valor depende de la masa del
planeta y de su tamaño. La masa m es una medida de la cantidad de materia que contiene un
Se calcula por la fórmula: cuerpo, mientras que el peso p es una medida de la fuerza con que la
G·M Tierra atrae a este cuerpo. A mayor masa del cuerpo, mayor también
g=
R2 es la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra.
Donde:
G= 6,67 · 10-11 (constante). La relación entre masa y peso queda definida por la fórmula:
M: masa del planeta (kg).
R: radio del planeta (m). p = mg
Los valores de la acelera- Evidentemente la constante de proporcionalidad directa es g, que
ción de gravedad (medida
en [m/s2]) en la superficie
como sabemos, es prácticamente constante en las cercanías de la su-
de los planetas del Sistema perficie de nuestro planeta y supondremos que vale 10 m/s2:
Solar son: p
Mercurio: 4,0 =g
Venus: 8,2
m
Tierra: 9,8 f ¿Cuál es el peso de un gato cuya masa es de 4 kg?
Marte: 3,9 Sustituyendo el valor de la masa queda:
Júpiter: 26,0
Saturno: 11,2 p = 4 · 10 = 40 N
Urano: 10,3
Neptuno: 13,9 El peso del gato es de 40 N.
De esta manera, la tabla de la relación entre masa y peso es:
Masa [kg] 1 2 3 4 5 6
Desafío
Peso [N] 10 20 30 40 50 60
al ingenio
Tras una serie de mediciones Y el gráfico es:
de dos variables relacio-
nadas A y B, se elaboró la Gráfico Masa vs Peso
siguiente tabla de datos: 100
90
A B
80
-2 1,2 70
Peso [N]
60
-1 0,6 50
0 0 40
30
1 0,6 20
2 1,2 10
0
¿Cómo puedes modelar 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
esta relación? Masa [kg]
72 Unidad 3

21. Unidad
En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas
por una relación directamente proporcional, cuya expresión ma-
temática es del tipo:
y = Kx
Con x e y las variables relacionadas y K la constante de propor-
cionalidad directa.
Ejercicios individuales
A. Modela mediante la expresión matemática correspondiente las relaciones y completa las tablas
que están más abajo. Considera g = 10 m/s2:
a) Para un cuerpo cuya masa (m) permanece constante, la fuerza que se le aplica (F) y la ace-
leración que adquiere debido a ella (a) son magnitudes directamente proporcionales entre sí.
Considera que dispones de un bloque de 12 kg.
Variable dependiente: Variable independiente: Constante:
F [N] 96 126 220,8 288 Fórmula:
a [m/s2] 8 14,2 22 F=m·a
b) La energía potencial gravitatoria es aquella magnitud que posee un cuerpo debido a su po-
sición respecto a la Tierra. Para un cuerpo cuya masa (m) permanece constante, la energía
potencial gravitatoria (U) y la altura respecto a la superficie del planeta (h) son magnitudes
directamente proporcionales entre sí. Considera que dispones de un bloque de 26 kg.
Variable dependiente: Variable independiente: Constante:
U [J] 1 040 3 380 8 580 Fórmula:
h [m] 1 7 25 U = mgh
c) Las equivalencias entre unidades monetarias corresponden a relaciones directamente pro-
porcionales. Considera un día en que el valor del euro (€) es de 750 pesos chilenos ($).
Variable dependiente: Variable independiente: Constante:
€ 1 4,5 12 Fórmula:
$ 1 875 5 400 11 625 $ = k€
B. Unos investigadores realizaron dos experimentos, obteniendo los resultados que están en las
tablas. Modélalos y determina si corresponden a relaciones directamente proporcionales:
a) A 12 18 21,4 38
b) C 175 231,25 300 393,75
B 4,8 7,2 8,56 15,2 D 14 18,5 24 31,5
Fórmula matemática: Fórmula matemática:
Constante: Constante:
Ecuaciones y proporcionalidad 73

22. Modelos matemáticos de
proporcionalidad inversa
Cuando presionamos un cuerpo con la suficiente intensidad, este tiende
Enlace con… a disminuir su tamaño o bien a deformarse. Por ejemplo, si presionas
La Ciencia
El químico británico Ro-
un globo verás que puedes disminuir su volumen hasta cierto límite y
bert Boyle (1627 - 1691) si continúas apretándolo, estallará. Estas son experiencias cotidianas
fue uno de los primeros que fueron modeladas matemáticamente para sustancias gaseosas hace
científicos que describió algunos siglos por el científico inglés Robert Boyle.
en forma exhaustiva sus
procedimientos, técnicas La “Ley de Boyle” dice que para una cantidad de masa gaseosa
y observaciones, marcan-
fija, la presión ejercida sobre él (P) y el volumen que ocupa (V) son
do una diferencia con los
químicos anteriores a su magnitudes inversamente proporcionales entre sí.
época que realizaban sus
experiencias en condiciones
Matemáticamente esta relación la escribimos así:
secretas y poco claras. Se PV = K
dice que “aplicó el método
científico a la alquimia”, y f ¿Cuál es el volumen de un gas (K = 30) si lo sometemos a una pre-
que esto sentó las bases sión de 1,5 atm?
para el enorme desarrollo
de la química de los siglos Sustituyendo el valor de la presión queda:
XVIII y XIX.
1,5 · V = 30
30
V= = 20 L
1,5
La disposición de las El volumen del gas es de 20 L.
hipérbolas en el plano
depende del valor del De esta manera, la tabla de la relación entre presión y volumen es:
factor de proporcionalidad
K. Observa: Presión [atm] 0,5 1 1,5 2 2,5 3
H1 H2 H3 Volumen [L] 60 30 20 15 12 10
Y el gráfico es:
Gráfico Volumen vs Presión
70
60
50
Volumen [L]
0 x
K1 40
H1: Y =
X 30
K2
H2 : Y = 20
X
K3 10
H3: Y =
Y 0
En este caso K3 > K2 > K1. 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Presión [atm]
74 Unidad 3

23. Unidad
En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas
por una relación inversamente proporcional, cuya expresión ma-
temática es del tipo:
xy = K
Con x e y las variables relacionadas y K la constante de propor-
cionalidad inversa.
Ejercicios individuales
A. Indica con un √ cuál o cuáles de las siguientes situaciones que involucran dos magnitudes pueden
ser modeladas mediante una fórmula de proporcionalidad inversa:
a) _____ La rapidez de un bus (v) y el tiempo (t) que demora en recorrer una distancia fija.
b) _____ El número de vigas (n) distribuidas uniformemente que mantienen una construcción
y el peso que soporta cada una (p).
c) _____ La cantidad de habitantes de una ciudad (N) y la cantidad de atenciones de urgencia
(M) que hay en el único centro hospitalario de ella.
d) _____ El peso de un automóvil (p) y la rapidez con que se desplaza por la carretera (v).
e) _____ La cantidad de camiones de una flota de transportes (N) y el tiempo que (t) demoran
en transportar una carga fija.
Ejercicios grupales
A. En grupos de dos estudiantes determinen los valores que debe adquirir la variable B dados los
valores de A, de manera que las variables A y B estén ligadas por una relación inversamente
proporcional a través de la constante que se indica en cada caso:
a) K = 0,5 b) K = 3 c) K = 120
A B A B A B
1 0,5 12
2 1 24
3 1,5 48
4 2 96
5 2,5 192
B. Expresen la fórmula matemática que relaciona las variables E y F a partir de las tablas de datos
que están a continuación:
a) b) c)
E F E F E F
4 3 1,8 2,5 0,2 24
8 1,5 3 1,5 0,25 30
12 1 4 1,125 0,3 36
16 0,75 20 0,225 0,35 42
Ecuaciones y proporcionalidad 75

24. Funciones
Archívalo
A un arquitecto se le ha encargado construir una casa en un bal-
Las condiciones formales
neario. El tiempo que demore en construir la casa dependerá del
que debe cumplir una fun-
ción de un conjunto A en número de obreros que contrate. La cantidad de obreros y el tiempo
un conjunto B son: que se demorarán en construir la casa están ligados por una relación
Existencia: todos los ele- inversamente proporcional. Según las estimaciones del arquitecto, si
mentos de A están rela- contrata 6 obreros demorarán 10 días en terminar la casa. Por razones
cionados con elementos
de B. de presupuesto, el arquitecto no puede contratar más de 6 obreros y
Unicidad: cada elemento por razones de tiempo, no puede emplear menos de 2 obreros.
de A está relacionado solo
con un elemento de B.
f Escribe la ecuación que relaciona el número de obreros y el tiempo
que demorarán en construir la casa.
f Escribe algunos valores de la relación y dibuja un diagrama con
ellos.
Las funciones pueden La ecuación que relaciona el número de obreros (N) y el tiempo que
ser representadas en un
gráfico. Por ejemplo la
demorarán en construir la casa (T) es:
función f de X en Y: N · T = 60
ƒ
Número de obreros Tiempo [días]
N T
X Y 2 30
0 1 3 20
1 3 4 15
2 5 5 12
3 7 6 10
La gráfica es: El conjunto de los valores que puede tomar N es {2, 3, 4, 5, 6} y el
y
8
conjunto de valores que puede tomar T es {10, 12, 15, 20, 30}.
7 Observa el siguiente diagrama:
6 ƒ
5 N T
4
3
2 30
2 3 20
1 4 15
0 5 12
0 1 2 3 4 5
x
6 10
Si te fijas, cada elemento del conjunto N está relacionado con uno
y solo uno de los elementos del conjunto T.
76 Unidad 3

25. Unidad
Dados dos conjuntos A y B, una función ƒ es una relación entre
estos dos conjuntos tal que cada elemento del conjunto A está El dominio de una función
relacionado con un único elemento del conjunto B. coincide con el conjunto
desde el que parte la
función (en el ejemplo,
Diremos que la relación inversamente proporcional existente entre el conjunto N), pero el
la cantidad de obreros y el tiempo que demoran en construir la casa, recorrido no siempre
coincide con el conjunto
corresponde a una función f del conjunto N en el conjunto T.
al que llega la función (en
El dominio (Dom) de una función son todos los valores desde los el ejemplo, el conjunto T).
En el problema estudiado
que sale una flecha y su recorrido (Rec) son todos los valores a los que sí coinciden, pero esto no
llega una flecha. En el caso del ejemplo tenemos: es una generalidad.
Dom ƒ = {2, 3, 4, 5, 6} Rec ƒ = {10, 12, 15, 20, 30}
Ejercicios individuales
A. Determina el dominio y el recorrido de cada función
a) ƒ b) g
a 1 1 4
b 2 2 8
c 3 3 12
d 4 4 16
e 5 5 20
24
Dom ƒ = { } Dom g = { }
Rec ƒ = { } Rec g = { }
B. Determina el dominio y el recorrido de las funciones que se describen. Dibuja un diagrama que
represente cada función.
a) Un artículo vale $ 10. En el almacén sólo b) y = 3x + 1. x sólo puede adquirir valores enteros
quedan 6 artículos. mayores que 7 y menores que 14.
ƒ g
Artículos $ x y
1 10 8 25
Dom ƒ = { } Dom g = { }
Rec ƒ = { } Rec g = { }
HIPERTEXTO
Desarrollo Ecuaciones y proporcionalidad 77

26. Resolución de problemas
Temperatura Volumen Problema modelo
[K] [ml] Un alumno está estudiando la relación que existe entre el volumen y la
temperatura en un gas cuando la presión de este se mantiene constan-
293,80 452
te. Para esto, llenó un globo con el gas y fue variando la temperatura,
323,70 498 registrando los datos que están en la tabla.
365,95 563 a) Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre el vo-
416,65 641 lumen y la temperatura?
458,25 705 b) Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la temperatura
cuándo el volumen es de 800 ml.
a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?
• Las variables volumen y temperatura están relacionadas y que esta relación se expresa en la
tabla.
b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?
• Graficamos las variables volumen y temperatura. Si obtenemos una recta, la relación es directa-
mente proporcional y si obtenemos una hipérbola, la relación es inversamente proporcional.
• Calculamos la constante de proporcionalidad y planteamos la ecuación correspondiente.
• Para calcular la temperatura desconocida reemplazamos V = 800 ml y despejamos T.
c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta
Gráfico Volumen vs Temperatura 293,8
800 k= = 0,65
700 452
T
Volumen QmlU
600
500 = 0,65
400 V
300 T
200 Si V = 800 ml, entonces = 0,65.
800
100 Por lo tanto:
0
0 100 200 300 400 500
T = 800 · 0,65 = 520 K
Temperatura QKU
d) Responde: Contesta las preguntas del problema
• Entre el volumen y la temperatura de un gas existe una relación directamente proporcional.
• La temperatura para un volumen de 800 ml es de 520 K.
e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado
T
• Podemos verificar que para todos los datos de la tabla, el cociente es igual a 0,65
V
78 Unidad 3

27. Unidad
Problema 1
La siguiente tabla muestra distintos valores de presión y temperatura Temperatura Presión
para un gas cuando su volumen se mantiene constante. [K] [Pa]
a) Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre la tem- 295,00 103,25
peratura y la presión?
323,70 113,295
b) Calcula la constante de proporcionalidad según corresponda.
365,95 128,0825
c) Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la presión cuando
la temperatura es de 380 K. 416,65 145,8275
Problema 2
Número de Precio por El director de un colegio contrató a un actor profesional para hacer clases
estudiantes estudiante de teatro a los estudiantes. El actor aceptará un mínimo de 10 alumnos
10 $ 3 000 y alumnas y un máximo de 30. La tabla muestra cuanto debería pagar
15 $ 2 000 cada estudiante según la cantidad de inscritos en la clase de teatro.
a) Grafica los datos de la tabla y descubre qué tipo de relación hay entre
20 $ 1 500
las dos variables.
25 $ 1 200 b) Calcula la constante de proporcionalidad.
30 $ 1 000 c) Si se permitiera que 40 estudiantes tomaran el curso de teatro, ¿cuánto
debería pagar cada uno?
Problema 3
Pastel
El gráfico muestra la relación existente entre la cantidad de 10
harina necesaria para preparar un pastel y la cantidad de
8
personas que podrían comerlo.
Personas
6
a) ¿Qué tipo de relación hay entre las dos variables que se
muestran en el gráfico? 4
b) A partir del gráfico construye una tabla y luego calcula la 2
constante de proporcionalidad.
0
c) ¿Qué cantidad de harina se necesitaría para que 25 per-
0 100 200 300 400 500
sonas comieran del pastel?
Harina [g]
Problema 4
En el acelerador de partículas europeo CERN un joven físico expe-
rimenta con una nueva partícula –que ha llamado partícula qoppa–.
Sus estudios le han permitido deducir que el número de partículas que
aparecen por centímetro cuadrado y por segundo, es directamente
proporcional a la rapidez con que se mueve la partícula de alta energía
a partir de la que se generan. Para una rapidez de 0,75c, se generan
18 partículas qoppa.
a) Calcula la constante de proporcionalidad.
b) Si la partícula de alta energía se mueve a 0,875c, ¿aproximadamente,
cuántas partículas qoppa se generarán por segundo y por centímetro
cuadrado?
c) Si se generan 16 partículas por segundo y por centímetro cuadrado,
¿con qué rapidez se mueve la partícula de alta energía?
Ecuaciones y proporcionalidad 79

28. Tecnología activa
Representación gráfica de relaciones proporcionales
El comportamiento de los gases ideales fue ampliamente estudiado por científico de los
siglos XVII y XVIII. Las relaciones que se descubrieron empíricamente fueron modeladas
usando relaciones directa e inversamente proporcionales. Las magnitudes que determinan el
estado de un gas son la presión (P), el volumen (V) y la temperatura (T). A continuación gra-
ficaremos en Excel la relación existente entre dos de ellas manteniendo constante la tercera.
1. Construcción de planilla de cálculo para P y V.
Manteniendo constante la temperatura, el modelo matemático que describe el comporta-
miento de la presión y el volumen de un gas ideal es:
PV = K (Ley de Boyle)
Por lo tanto, la presión y el volumen son magnitudes que presentan un comportamiento inversa-
mente proporcional, al aumentar uno, el otro disminuye en la misma razón, y viceversa.
Consideremos los datos de un gas obtenidos en un experimento a temperatura constante:
P [atm] 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
V [L] 12 8 6 4,8 4 3,43 3 2,67 2,4
❯ Crea un archivo, llámalo “Leyes de los gases”.
❯ Ingresa los datos de la tabla como se indica en la imagen.
❯ Haz clic en el ícono , selecciona el gráfico tipo Líneas y
haz clic en Serie. Si hay una o más series ya definidas quítalas
y presiona Agregar.
❯ En Nombre anota “Gráfico P versus V”; en Valores haz clic en
, selecciona los valores numéricos de la columna V y haz
clic en ; y en Rótulo eje de categorías (X) haz clic en ,
selecciona los datos numéricos de la columna P y nuevamente
haz clic en .
Gráfico P versus V
❯ En la siguiente ventana selecciona
14
Títulos y pon a los ejes los nombres 12
Volumen [L]
que corresponde, Presión [atm] para 10
8
el eje horizontal y Volumen [L] para 6
el vertical. 4
2
❯ Finaliza tu trabajo. El gráfico debe 0
verse como indica la figura. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
Presión [atm]
80 Unidad 3

29. Unidad
2. Construcción de planilla de cálculo para P y T.
Manteniendo constante el volumen de una gas ideal y midiendo los cambios en su tempe-
ratura (expresada en kelvin) producto de variaciones de presión, podemos establecer que el
modelo matemático que representa estos cambios es:
P = KT (Ley de Gay-Lussac)
Por lo tanto, la presión y la temperatura son magnitudes que presentan un comportamiento
directamente proporcional, vale decir, al aumentar uno, el otro aumenta en la misma razón,
y viceversa.
Para graficar esta relación trabajaremos con datos de presión de 0; 0,4; 0,8; 1,2; 1,6; 2; 2,4;
2,8 y 3,2. Los valores de temperatura los calcularemos considerando una constante de pro-
porcionalidad K = 0,01.
❯ Haz clic en Hoja 2 de tu archivo.
❯ Ingresa los datos de presión en la columna A.
❯ En la celda B2 anota “=A2/0,01” y arrastra esta fórmula
hasta la celda B10. Tu planilla debe verse como la figura
del costado.
❯ Haz clic en el ícono , selecciona el gráfico tipo Líneas y
haz clic en Serie. Si hay una o más series ya definidas quítalas
y presiona Agregar.
❯ En Nombre anota “Gráfico P versus T”; en Valores, selecciona los
valores numéricos de la columna
Gráfico P versus T
T; y en Rótulo eje de categorías 350
(X) selecciona los datos numéricos 300
Temperatura [K]
de la columna P. 250
❯ En la siguiente ventana selec- 200
ciona Títulos y pon a los ejes 150
los nombres que corresponde, 100
Presión [atm] para el eje hori- 50
zontal y Temperatura [K] para 0
el vertical. 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2
Presión [atm]
❯ Finaliza tu trabajo. El gráfico debe
verse como indica la figura.
3. Aplicando lo aprendido.
a) Grafica la relación P versus V para los b) Grafica la relación P versus T para
datos medidos de volumen 2, 4, 6, 8, 10, los datos de temperatura de 100, 110,
12 y 14 litros y una constante K = 4. 120, 130, 140, 150 y 160 kelvin y una
¿Qué forma tiene la gráfica obtenida? constante K = 0,2.
¿Qué forma tiene la gráfica obtenida?
Ecuaciones y proporcionalidad 81

30. Síntesis de la unidad
Ficha1
Una variable independiente es aquella cuyo valor solo depende de sí misma. Una variable
dependiente es aquella cuyo valor depende del valor de otra variable.
Ficha 2 Ficha 3
Entre dos variables existe una relación direc- La tabla de una relación directamente
tamente proporcional cuando ambas varían proporcional es una tabla que contiene
en la misma razón y el cociente entre ellas es las variables relacionadas en forma direc-
siempre un mismo número, llamado constante tamente proporcional. El gráfico de una
o razón de proporcionalidad directa. relación directamente proporcional es
el que representa los datos de esta tabla y
corresponde a una línea recta que pasa por
el origen.
Ficha 4
Entre dos variables existe una relación inversamente pro-
porcional cuando al aumentar una la otra disminuye en la
misma razón. El producto de las dos variables relacionadas
es siempre un mismo número, llamado constante o factor
de proporcionalidad inversa.
Ficha 5
La tabla de una relación inversamente proporcional es una tabla que contiene las variables que
están relacionadas en forma inversamente proporcional. El gráfico de una relación inversamente
proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea curva llamada
hipérbola.
Ficha 6
Un modelo matemático de proporciona- Ficha 7
lidad directa es una ecuación matemática
que relaciona las variables involucradas. Un modelo matemático de proporciona-
La ecuación que generaliza una relación lidad inversa es una ecuación matemática
directamente proporcional es y = K · x. que relaciona las variables involucradas. La
ecuación que generaliza una relación inver-
samente proporcional es y · x = K.
Ficha 8
Dados dos conjuntos A y B, una función ƒ entre ambos es una relación que relaciona cada
elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B.
HIPERTEXTO
82 Unidad 3 Síntesis

31. Unidad
I
Evaluación
Ejercicios de desarrollo
A. En las siguientes ecuaciones encuentra el valor de la variable desconocida:
a) x + 2y = 12 d) 2x + 6z – 20 = 0
Si x = 6, entonces y = . Si x = 1, entonces z = .
b) w – 2z = 3 e) 5x = 3y
Si w = , entonces z = 1. Si x = , entonces y =10.
c) 3x + 2y = 1 f) 2x + 2y + 30 = 14
Si x = 1, entonces y = . Si x = -5, entonces y = .
2. Determina si las siguientes variables se relacionan en forma directamente proporcional (PD),
inversamente proporcional (PI) o no hay proporcionalidad entre ellas (NP). Grafica en Excel y
calcula la constante de proporcionalidad si corresponde.
a)
x y
PD PI NP
1 3
3 9 Constante:
6 18
9 27
Modelo matemático:
12 36
b)
x y
PD PI NP
4 28
8 10 Constante:
10 70
12 60 Modelo matemático:
15 30
c)
x y
PD PI NP
4 35
5 28 Constante:
7 20
Modelo matemático:
10 14
14 10
Ecuaciones y proporcionalidad 83

32. 3. Dados los siguientes gráficos identifica cuál representa proporcionalidad directa y cuál propor-
cionalidad inversa. Determina en cada caso la constante de proporcionalidad correspondiente e
incorporar a las tablas los datos destacados en rojo:
a) b)
B D
80 100
70 90
80
60
70
50
60
40 50
30 40
30
20
20
10
10
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C
Tipo de proporcionalidad: Tipo de proporcionalidad:
Constante de proporcionalidad: Constante de proporcionalidad:
Modelo matemático: Modelo matemático:
A B C D
4. Marca con un √ las relaciones que son funciones:
a) b) c)
ƒ g h
0 0 2 A 1 1
1 1 4 B 2 3
2 2 6 C 3 5
3 3 8 D 4 7
4 4 E 5 9
F 6 11
84 Unidad 3

33. Unidad
II Ejercicios con alternativas
Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la
tabla que allí aparece.
a La suma de las edades de Carolina (x) y 5 3 pintores demoran 21 días en pintar un edi-
Andrea (y) es 40. ¿Cuál de las siguientes ficio. ¿Cuántos días demorarán 7 pintores?
ecuaciones expresa esta información? a) 12 días
a) x + y = 40 b) 20 días
b) x – y = 40 c) 9 días
c) x · y = 40 d) 18 días
d) x + y + 40 = 0
2 Hay ocho personas invitadas a tomar té en la f Según los datos de la tabla, ¿para cuántos
casa de Victoria. Ella encuentra una receta niños alcanzarán 25 bebidas?
de un pastel para 20 personas que sugiere
Bebidas 1 5 10 15
utilizar 800 gramos de harina ¿Cuánta harina
debe utilizar para 8 personas? Niños 6 30 60 90
a) 400 g a) 120 niños
b) 750 g b) 150 niños
c) 320 g c) 200 niños
d) 300 g d) 240 niños
c ¿Cuál es la ecuación que representa la g Los alumnos y alumnas de un curso rea-
relación inversamente proporcional entre lizarán una choripanada. El kilogramo de
dos variables X e Y, si la constante de pro- longanizas cuesta $ 3 300. ¿Cuánto cuestan
porcionalidad inversa es 33? 2,5 kilogramos de longanizas?
33 a) $ 8 250
a) Y =
X b) $ 3 500
b) Y = 33X c) $ 8 200
1 d) $ 8 500
c) X =
Y
d) X = Y
4 Observa la tabla. ¿Qué tipo de relación hay 8 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad
entre las variables A y B? inversa para las variables X e Y?
A 3 4 5 6 7 X 1 2 3 4
B 15 20 25 30 35 Y 15 7,5 5 3,75
a) Relación inversamente proporcional. a) 0,06
b) No hay relación entre las variables. b) 0,26
c) Relación directamente proporcional. c) 15
d) Ninguna de las anteriores. d) 17
HIPERTEXTO
Evaluación Ecuaciones y proporcionalidad 85

34. 5
Unidad
Cuerpos
redondos
Red conceptual
Cilindro
descripción de Elementos
Cuerpos construcción
Cono usando Redes
redondos
cálculo de Áreas y volúmenes
Esfera
116

35. ¿Cuáles son las principales expresiones artística de nuestro país?
El continente americano ha cobijado a lo largo de su historia gran cantidad de agrupaciones
humanas con diversos niveles de desarrollo que florecieron, decayeron y, muchos de ellos,
desaparecieron como conjunto étnico. Sin embargo, estas civilizaciones extintas y otras que
han conseguido sobrevivir al fragor del tiempo, nos presentan obras artísticas de inapreciable
valor cultural. Es así como en nuestro país, obras de alfarería diaguita, atacameña y molle
forman parte de nuestro patrimonio cultural.
La cultura diaguita floreció entre los años 900 d. de C. y 1500 d. de C. en el Norte Chico
de Chile, entre los ríos Copiapó por el norte y Choapa por el sur.
Los diaguitas se destacaron por su elaborada cerámica en la que privilegiaron los di-
seños geométricos a dos colores en sus vasijas de diferentes formas: ollas (cilíndricas),
urnas (esféricas y cilíndricas), jarros-pato (esféricos y cilíndricos), cuencos (cilíndricos) y
escudillas (cilíndricas).
¿Recuerdas qué es un cilindro? ¿Y una esfera?
¿Qué tienen en común los cilindros, conos y esferas?
¿Qué otras culturas chilenas conoces que se destacaron por su alfarería?
❷
❶
¿Puedes resolver?
Fernando y Amalia acudieron a una muestra de artesanía de diversas
regiones del mundo. Allí adquirieron objetos de alfarería y artículos
elaborados en madera. Parte de ellos se pueden observar en la foto. ❸
¿Qué formas geométricas puedes identificar en la foto?
¿Cuáles de ellas tienen solo caras planas? ¿Qué nombre reciben estos cuerpos?
❹
¿Cuáles de ellas tienen al menos una cara curva? ¿Qué nombre reciben estos
cuerpos?
ás a:
En esta un idad aprender redondos.
s
cterizar cuerpo
Identificar y cara uerpos redond
os.
Determ inar redes de c conos y esfera
s.
ersas situacio‑
y volume n de cilindros, rpos redondos a div
Calcular área olumen de cue
las de área y v
Aplicar fórmu
cas.
nes problemáti
HIPERTEXTO
Motivación 117

36. Actividad inicial
A lo largo de la historia de nuestro continente diversas culturas prehispánicas
desarrollaron manifestaciones artísticas y culturales, donde la presencia de figuras
y cuerpos geométricos ha sido un elemento importante para la trascendencia de
dichas manifestaciones. Tanto en la arquitectura como en la artesanía desarrolladas
en Chile y en el resto de América se aprecian cilindros, conos, esferas, pirámides y
prismas, entre otros cuerpos.
Reúnanse en grupos de tres personas y realicen las actividades que están a
continuación.
a Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:
118 Unidad 5

37. Unidad
a) ¿A qué cuerpos geométricos se asemejan los artículos que admiran los jovenes
en el cuarto recuadro de la historieta?
b) ¿Qué elementos de los cuerpos geométricos pueden reconocer en una pirámide
como la que aparece en el segundo recuadro de la historieta?
c) A lo largo de la historia han existido diferentes manifestaciones artísticas en
donde se puede reconocer con facilidad la presencia de los cuerpo geométri‑
cos. Por ejemplo, la torre de Pisa o las pirámides de Egipto. Mencionen tres
ejemplos diferentes a los anteriores, en donde se aprecien cuerpos geométricos
e intenten clasificarlos.
d) Investiguen qué cuerpos geométricos se pueden encontrar en las manifesta‑
ciones artísticas de la cultura Mapuche.
b Observen los siguientes cuerpos geométricos:
A C E G
B D F H
a) Si tuvieran que formar dos familias de cuerpos, la I y la II, ¿qué cuerpos
estarían en cada una de ellas?
Familia I: Familia II:
b) ¿Qué características comunes tuvieron en cuenta para formar las familias?
c) Elijan un cuerpo de cada familia y señalen los elementos que lo caracterizan.
d) Escriban, para cada cuerpo, el nombre de un objeto del entorno que se le
asemeje.
HIPERTEXTO
Diagnóstico Cuerpos redondos 119

38. Cuerpos redondos
A Antonio le han asignado la tarea de realizar una escultura con
elementos reciclados. Para ello lleva los siguiente materiales:
Archívalo
La filosofía del reciclaje
conlleva un control en
el consumo (reducción)
y una tendencia hacia la
utilización de productos
que ofrezcan los mínimos
problemas de contamina-
ción y la mayor facilidad
para su recuperación y
reutilización.
f ¿A que cuerpos geométricos se asemejan los objetos que lleva An‑
tonio a clases?
Estos objetos se asemejan a cuerpos redondos.
Enlace con…
La Ciencia
Los cuerpos redondos son todos aquellos cuerpos o sólidos geomé-
Pese a los avances tec-
tricos formados por regiones curvas o regiones planas y curvas.
nológicos y técnicos, el
ser humano no ha podi-
Los principales cuerpos redondos son:
do construir una esfera El cilindro:
perfecta. La más cercana
a este ideal difiere de la
perfección en una distan-
cia equivalente a la de 20
átomos alineados.
El cono:
La esfera:
120 Unidad 5

39. Unidad
Ejercicios individuales
a. Completa la tabla con objetos de la vida cotidiana que se asemejen a los cuerpos redondos que
se mencionan a continuación:
Cilindro Cono Esfera
b. Indica un objeto cotidiano que se pueda obtener mediante cada una de las siguientes combina-
ciones:
Combinación Objeto
Cilindro – Cono
Cilindro – Esfera
Cono – Esfera
Ejercicios grupales
a. Reúnanse en grupos de tres compañeros o compañeras y observen las imágenes que a conti-
nuación aparecen. Luego realicen las actividades que se indican.
a) Describan cada una de las imágenes y respondan: ¿Qué representan cada una de ellas en
nuestra sociedad? ¿Qué imagen o imágenes son parte de culturas distintas a la nuestra?
b) Clasifiquen cada una de las imágenes anteriores según el cuerpo geométrico al que se ase-
mejan.
c) Investiguen algunas edificaciones de distintas culturas y civilizaciones donde puedan identi-
ficar la utilización de cuerpos redondos. Expongan su trabajo al resto de los integrantes del
curso.
Cuerpos redondos 121

40. El cilindro
Las formas cilíndricas han sido utilizadas en diferentes manifestaciones
artísticas de los pueblos originarios de nuestro continente, las cuales han
trascendido en el tiempo para ayudarnos a comprender su cultura.
Observa el jarro grabado pertene‑
Las caras de un cilindro ciente a la cultura La Aguada que se
deben cumplir dos con- desarrollo en la provincia argentina de
diciones:
• Los círculos basales
Catamarca.
deben ser congruen- f ¿A qué cuerpo geométrico se asemeja
tes entre sí, es decir,
iguales. su forma?
• La medida de uno de La forma del jarro corresponde a la
los lados del rectángulo
lateral debe ser igual al de un cilindro.
perímetro del círculo.
f ¿Qué figuras geométricas limitan a
un cilindro?
Un cilindro está formado por tres figuras geométricas: 2 círculos
basales –uno superior y otro inferior– y un rectángulo curvado que los
conecta y que corresponde a la cara lateral.
El cilindro es un cuerpo redondo que consta de tres caras: dos ca-
ras basales circulares planas y una cara lateral rectangular curva.
En él se pueden distinguir dos elementos: su base y su altura.
Recuerda que el perímetro
de un círculo se calcula
mediante la fórmula:
Altura
p = 2πr
Y que el área se calcula
con la fórmula:
A = πr2 Base
Donde r es el radio del Caras de un cilindro:
círculo.
Base Base Cara lateral
r r a
b
La condición básica para construir un cilindro es que uno de los
lados del rectángulo coincida con el perímetro de las caras basales,
es decir:
a = 2πr o b = 2πr
122 Unidad 5

41. Unidad
Ejercicios individuales
a. Indica en cada caso si con las dimensiones de las figuras que se presentan es posible formar
un cilindro (considera π ≈ 3,14). En caso de ser posible, señala la altura del cilindro formado y el
perímetro y el área de su base:
¿Se puede formar Altura del Área basal del
Bases Lado lateral
un cilindro? cilindro (H) cilindro (A)
6 cm
9 cm
18,84 cm
3,2 m
15 m
20,096 m
8m
20 m
50,35 m
19,1 m
45 m
119,948 m
b. Completa las siguientes frases indicando las dimensiones que faltan. Cuando debas aproximar,
redondea a la centésima el número decimal. Utiliza una calculadora cuando sea necesario.
a) La altura de un cilindro mide 24 cm, por lo tanto, su cara lateral puede ser un rectángulo de
12 cm de ancho y _______ cm de largo.
b) La cara lateral de un cilindro es un rectángulo de 62 cm de largo y 53 cm de ancho, por lo
tanto, el radio de los círculos que le sirven de base debe medir _________ cm (considera el
cilindro de menor altura que se puede formar).
c) El radio de los círculos basales de un cilindro mide 14 cm, por lo tanto, su cara lateral puede
ser un cuadrado de _______ cm de lado, aproximadamente.
Cuerpos redondos 123

42. El cono
Muchas de las viviendas que utilizaron los
pueblos originarios de América constituían
llamativas formas geométricas.
Observa la tienda del costado, hecha de
Enlace con… pieles de animales, creación típica de algunos
La Historia
pueblos indígenas de Norteamérica.
El tipi fue una vivienda
utilizada principalmente f ¿A qué cuerpo geométrico se asemeja su
por la tribu siux que habitó
gran parte de las llanuras
forma?
de los Estados unidos. Eran La forma de la tienda corresponde a la
una tribu nómada que se
trasladaba siguiendo los
de un cono.
movimientos de las ma-
nadas de búfalos, que eran El cono es un cuerpo redondo que consta de dos caras –una basal
su sustento de vida. plana y una lateral curva o manto– y una cúspide. En él se pueden
reconocer los siguientes elementos: base, generatriz (g) y altura (H).
Cúspide
g
H
Cara lateral curva
r
La fórmula para determi- Base
nar el ángulo del manto Caras de un cono:
del cono α, se puede Base Cara lateral
deducir a partir de la
proporción entre la razón α
del perímetro del sector g
r
circular determinado por
α y el perímetro total, y
la razón entre el ángulo
del sector circular α y el
ángulo completo 360º,
es decir:
2πr α Para construir un cono es necesario conocer:
=
2πg 360
• La longitud del radio de su cara basal (r).
• La longitud de la generatriz (g).
El ángulo del sector circular que servirá de cara lateral del cono se
calcula utilizando la siguiente fórmula:
r · 360°
α=
g
124 Unidad 5

43. Unidad
Imagina que debes construir un cono cuya base sea un círculo de 4 cm
Archívalo
de radio (r). Además, supón que dispones de otro círculo de 9 cm de radio
que debes recortar para construir la cara lateral. Una generatriz se define
como el punto, curva o
f ¿Cómo puedes hacerlo? superficie que al girar alre-
dedor de un eje da lugar a
La generatriz del cono corresponde al radio del círculo que usaremos una curva, una superficie o
para obtener la cara lateral o manto. El ángulo que debemos recortar un cuerpo sólido, respectiva-
de este círculo lo calculamos mediante la fórmula: mente. En el caso del cono,
la generatriz es el segmento
que, al girar alrededor de un
α = r · 360° = 4 · 360° = 160° eje, lo genera.
g 9
Ejercicios individuales
a. ¿Cuánto debe medir el radio de la cara basal de un cono si su generatriz mide 30 cm y el ángulo
de su manto 180°?
b. Calcula la generatriz de un cono, cuyo radio basal mide 72 cm y cuyo ángulo de manto mide 72°.
Ejercicios grupales
a. En grupos de dos personas discutan la siguiente situación: sobre una mesa hay tres conos con
la misma cara basal pero que difieren en sus alturas. Entonces, ¿cuál cono tiene el ángulo de
su manto más pequeño?
b. La longitud de la generatriz de un cono A es el doble de la de un cono B. El radio de las caras ba-
sales de ambos conos es el mismo. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas
y cuáles falsas:
a) _____ El ángulo de los mantos de ambos conos es el mismo.
b) _____ El ángulo del manto del cono B es el doble que el del cono A.
c) _____ La medida de la generatriz no influye en el cálculo del ángulo del manto.
Problemas
1. Isaac necesita construir un gorro de cumpleaños cónico para poner
a la mascota de su tía Marcela. El diámetro de la cabeza del perro
es 14 cm y la generatriz apropiada es de 28 cm.
a) ¿Qué ángulo deberá tener la cartulina que cortará?
b) ¿Cuál es el ángulo, si la generatriz aumenta en 2 cm?
Cuerpos redondos 125

44. La esfera
La mayor parte de los cuerpos masivos que erran por el Universo
Enlace con… tienen forma aproximadamente esférica. Entre ellos, las estrellas, los
La Ciencia planetas, los planetas enanos, los grandes asteroides y muchos saté‑
En agosto de 2006 la Unión lites naturales. En particular, la Tierra tiene forma casi esférica (está
Astronómica Mundial re-
levemente achatada en los polos), es por eso que también la llamamos
definió la categoría de
planeta y excluyó de tal la esfera terrestre.
condición a Plutón. Por lo
tanto, a partir de esa fecha
A continuación, se muestran las fotos del planeta Venus y de Io, uno
el Sistema Solar contiene 8 de los innumerables satélites naturales de Júpiter.
planetas: Mercurio, Venus,
Tierra, Marte, Júpiter, Sa-
turno, Urano y Neptuno; y 3
planetas enanos: Ceres (ex
asteroide), Plutón (ex plane-
ta) y Eris (cuerpo ubicado
más allá de Plutón).
f ¿Por qué la mayoría de los cuerpos celestes tienen forma esférica?
La respuesta la encontramos en la Física. Todos aquellos cuerpos que
poseen la suficiente masa para generar un campo gravitatorio importan‑
te a su alrededor, distribuyen su masa en forma equidistante al punto
central de su interior. Esto ocurre debido a que la fuerza de gravedad
Archívalo
atrae su masa con la misma intensidad en todas las direcciones.
Cuando una esfera se corta
en dos secciones idénticas
se obtienen dos hemis- La esfera es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva,
ferios. cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro de
la esfera. Los principales elementos de una esfera son su centro
Casquete esférico es la sec-
y su radio.
ción de la esfera que queda
determinada cuando se la
corta desigualmente.
Una zona esférica se ob-
tiene al cortar una esfera C r
mediante dos planos pa-
ralelos.
126 Unidad 5

45. Unidad
Ejercicios individuales
a. Indica qué nombre recibe la sección coloreada de cada esfera:
a) b) c)
C C C
b. Indica 8 objetos cotidianos cuya forma sea aproximadamente la de una esfera. Estima el radio
de cada una de ellos:
Objeto 1: Objeto 5:
Radio = Radio =
Objeto 2: Objeto 6:
Radio = Radio =
Objeto 3: Objeto 7:
Radio = Radio =
Objeto 4: Objeto 8:
Radio = Radio =
Ejercicios grupales
a. En grupos de dos personas discutan las siguientes aseveraciones e indiquen si son verdaderas
(V) o falsas (F):
a) ____ La superficie de una esfera es una figura geométrica ilimitada aunque finita.
b) ____ La esfera es el cuerpo que menor resistencia presenta al movimiento.
c) ____ La esfera en el espacio, es el equivalente a un círculo en el plano.
d)____ Todos los puntos de la superficie de una esfera equidistan de un eje que pasa por su centro.
HIPERTEXTO
Desarrollo Cuerpos redondos 127

46. Área de cuerpos redondos
Saber calcular el área de diferentes cuerpos geométricos es muy
importante, ya que a través de este cálculo podemos obtener informa‑
ción útil para, por ejemplo, pintar o recubrir con papel las caras que
determinan estos cuerpos.
El área del manto de un El área de un cuerpo geométrico corresponde a la suma de las
cono (x), se puede calcular áreas de todas las caras que lo componen.
mediante una simple regla
de tres:
Fabiola desea envolver un conjunto de calcetines que compró para
g α su padre. El envase que contiene al conjunto tiene la forma de un ci‑
lindro, cuyo radio basal mide 15 cm y cuya altura mide 20 cm.
f ¿Cómo puede calcular la cantidad de papel de regalo que
2 πr necesita?
r · 360 La cantidad de papel requerido corresponde al área del cilindro que
Como α = ,
g contiene los calcetines.
entonces:
El área de un cilindro de radio basal r y altura H, corresponde a la
r · 360° suma del área de las bases y el área de la cara lateral:
x
g Área cilindro = Área basal + Área lateral = 2 · πr2 + 2πrH
360° πg2 Área cilindro = 2πr · (r + H)
r · 360°
· π · g2 Aplicando la fórmula al problema de Fabiola, tenemos:
g
x=
360° A = 2πr · (r + H) = 2π · 15 · (15 + 20) = 1 050π ≈ 3 298,7 cm2.
x = πrg Por lo tanto, la cantidad de papel requerido es de 3 298,7 cm 2,
aproximadamente.
El padre de Fabiola trabaja en la municipalidad y se le encargó pintar
la punta cónica de una torre centenaria del Correo Central. El radio
del cono mide 3 m y la generatriz mide 6 m.
f ¿Cuál es el área que debe pintar?
El área a pintar equivale al área del manto del cono que sirve de
punta para la torre.
El área de un cono de radio basal r y generatriz g, corresponde a la
suma del área de la base y el área de la cara lateral:
Área cono = Área basal + Área lateral = πr2 + πrg
Área cono = πr · (r + g)
128 Unidad 5

47. Unidad
Aplicando la fórmula para el cono completo:
Archívalo
A = πr · (r + g) = 3π · (3 + 6) = 27π ≈ 84,8 m2.
Los cuerpos redondos pue-
A este número debemos restarle el área de la base, es decir, den obtenerse a partir de la
πr 2 = 9π. Esto porque, en este caso, la base del cono no será pintada. rotación en torno a un eje
de figuras geométricas.
Área a pintar = 27π – 9π = 18π ≈ 56,5 m2. Por ejemplo, la rotación
de un rectángulo en torno
En el patio de su casa, Fabiola encontró una pelota de plástico de a uno de sus lados genera
12 cm de diámetro. La desarmó y midió el área del plástico. un cilindro, la rotación de
un triángulo rectángulo en
f ¿Qué valor halló para esta área? torno a uno de sus catetos
genera un cono, y la rotación
Para responder, debemos calcular el área de una esfera. de una semicircunferencia en
torno a su diámetro genera
El área de una esfera corresponde al área de la única cara que la una esfera. A los cuerpos
constituye. así obtenidos se les llama
Área esfera = 4πr2 sólidos de revolución.
Aplicando la fórmula:
A = 4πr 2 = 4π · 122 = 576π ≈ 1 809,6 cm2.
El área de la pelota de plástico es de 1 809,6 cm2.
Ejercicios individuales
a. Calcula el área total de los siguientes cuerpos redondos:
Cuerpo geométrico Cálculo Área total
Cilindro:
Altura = 17 mm
Radio basal = 8 mm
Cilindro:
Altura = 122,45 cm
Radio basal = 32,56 cm
Cono:
Radio basal = 13 m
Generatriz = 24 m
Cono:
Radio basal = 89,78 cm
Generatriz = 167,67 cm
Esfera:
Radio = 902 cm
Esfera:
Radio = 122,4 m
Cuerpos redondos 129

48. Volumen de cuerpos redondos
Las múltiples representaciones artísticas de los pueblos originarios
de nuestra América utilizaron los tres tipos de cuerpos redondos estu‑
diados. Observa los siguientes instrumentos musicales:
Todos estos cuerpos redondos están limitados por una o más super‑
ficies curvas y encierran en su interior un volumen.
El volumen es una magnitud que expresa la extensión de un cuer-
po en las tres dimensiones y representa el espacio que ocupa. La
unidad de medida para expresar un volumen corresponde a una
unidad de longitud multiplicada por sí misma tres veces, es decir,
elevada a un exponente 3. Por ejemplo: mm3, cm3 y m3.
f ¿Cómo calculamos el volumen de un cilindro, de un cono y de una
esfera?
Desafío
al ingenio Ocupando los elementos de los cuerpos redondos, es posible definir
Un matemático dice a fórmulas que permiten determinar sus volúmenes.
otro: “tengo una pelota f ¿Cuál es el volumen de un cilindro cuyo radio basal mide a 9 cm y
mágica, ya que su área y
su volumen son el mismo cuya altura mide 14 cm?
número”
f ¿Cuál es el volumen de un cono cuyo radio basal mide 11 cm y cuya
¿Es posible esto? ¿Cuántos
metros mediría el diámetro
altura mide 21 cm?
de esta pelota? f ¿Cuál es el volumen de una esfera cuyo radio mide 3 m?
Las fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos redondos
son las siguientes:
Cilindro: V = Area basal · Altura = πr2 · H
Área basal · Altura π r2 · H
Cono: V= =
3 3
4πr3
Esfera: V=
3
130 Unidad 5

49. Unidad
Aplicando las fórmulas:
Cilindro: V = πr 2 · H = π · 92 · 14 = 1 134π ≈ 3 562,6 cm3
πr2 · H π · 112 · 21
Cono: V= = = 847π ≈ 2 660,9 cm3
3 3
4πr3 4π · 33
Esfera: V= = = 36π ≈ 113,1 cm3
3 3
Ejercicios individuales
a. Determina el volumen de los siguientes cuerpos geométricos, aplicando las fórmulas que corres-
pondan:
a) Un cilindro cuyo diámetro basal mide 15 cm y cuya altura mide 40 cm.
V=
b) Un cilindro cuyo radio basal mide 7 m y cuya altura mide el doble que el radio basal.
V=
c) Un cono cuya generatriz mide 5 cm y cuya base es un círculo de 3 cm de radio.
V=
d) Un cono de 4,2 m de altura y cuyo radio basal mide 2 m.
V=
e) Una esfera cuyo diámetro mide 8 cm.
V=
f) Una esfera cuyo radio mide 3,5 m.
V=
Problemas
1. El diámetro basal de un tarro de pintura mide 16 cm y su altura
21 cm.
a) ¿Cuánto mide el radio de la cara basal?
b) ¿Cuál es el área basal del cilindro?
c) ¿Cuál es el volumen del tarro de pintura?
2. El diámetro de la Tierra es de aproximadamente 12 740 km.
a) Aproximadamente, ¿cuánto mide el radio de la Tierra?
b) Aproximadamente, ¿cuál es el volumen de la Tierra?
HIPERTEXTO
Desarrollo Cuerpos redondos 131

50. Resolución de problemas
Problema modelo
Laura quiere comprar papas fritas. Las papitas se venden en tres en-
vases de la misma altura, pero de diferente forma. El primer envase
tiene la forma de un cono de 15 cm altura, cuyo diámetro basal mide 9
cm; el segundo tiene la forma de un cilindro de 15 cm de altura, cuyo
diámetro basal mide 9 cm; y el tercero, tiene la forma de un prisma de
15 cm de altura, cuya base es un cuadrado de 9 cm de lado.
a) ¿Cuál es el volumen de cada uno de los envases?
b) ¿Cuál de los tres envases puede contener más papas fritas?
a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?
• La forma de los envases corresponde a la de tres cuerpos geométricos conocidos: cono,
cilindro y prisma.
• Las dimensiones de los envases son:
Cono: H = 15 cm D basal = 9 cm
Cilindro: H = 15 cm D basal = 9 cm
Prisma: H = 15 cm Lado de la base cuadrada = 9 cm
b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?
πr 2 · H
• El volumen del envase cónico es: V =
3
• El volumen del envase cilíndrico es: V = πr 2 · H
• El volumen del envase prismático es: V = a2 · H
• Sustituimos por los datos conocidos y calculamos el valor de los volúmenes.
c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta
π · 4,52 · 15
• Cono: V= = 101,25π ≈ 318,1 cm3
3
• Cilindro: V = π · 4,52 · 15 = 303,75π ≈ 954,3 cm3
• Prisma: V = 92 · 15 = 1 215 cm3
d) Responde: Contesta las preguntas del problema
• El volumen de los envases es: 318,1 cm3 (cónico), 954,3 cm3 (cilíndrico) y 1 215 cm3 (prismático).
• El envase que puede contener más papas fritas es el prismático.
e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado
• Para comprobar que tus resultados son los correctos debes revisar tus cálculos, principal‑
mente las aproximaciones realizadas cuando aparece el número π.
132 Unidad 5

51. Unidad
Problema 1
Un artesano construye gorros chinos de paja. Para evitar que se de-
terioren, cubre con un plástico su superficie externa. Los sombreros
miden 20 cm de alto y el diámetro de su base mide 38 cm.
a) ¿Cuántos metros cuadrados de plástico debe ocupar para cubrir
un sombrero?
b) ¿Cuántos metros cuadrados de plástico debe ocupar para cubrir
30 sombreros?
Problema 2
Una industria de metales recibe una orden de compra por un estanque
cilíndrico cuyo radio basal mida 1,4 m y cuya altura mida 2,8 m. El ma-
terial que debe ser utilizado es acero inoxidable.
a) ¿Cuántos metros cuadrados de acero inoxidable se ocuparán en la
construcción del estanque?
b) Una vez terminado, ¿cuál será su capacidad máxima?
Problema 3
Marcelo necesita comprar pelotas de tenis. En una tienda de deportes
encuentra que las venden en un tarro cilíndrico que contiene tres pelo-
tas. El tarro tiene una altura de 21,5 cm y su diámetro mide 7,5 cm. El
radio de cada pelota mide 6,8 cm.
a) ¿Cuál es la capacidad del tarro?
b) ¿Cuál es el área de la etiqueta que cubre toda su cara curva?
c) ¿Cuánto espacio libre queda en el tarro cuando contiene dos pelotas
en su interior?
Problema 4
Un cilindro metálico de 12 m de altura y cuyo diámetro basal mide 2,5 m
está lleno de un reactivo líquido hasta las 2 de su capacidad. Dentro
5
del reactivo se contabilizaron 180 200 burbujas de aire cuyos diámetros
miden 2,8 cm.
a) ¿Cuál es el volumen ocupado por las burbujas?
b) ¿Cuál es el porcentaje que ocupan las burbujas respecto al contenido
del cilindro?
c) ¿Cuál es el porcentaje que ocupan las burbujas respecto a la capa-
cidad total del cilindro?
Cuerpos redondos 133

52. Tecnología activa
Construcciones en el Cabri 3D
El Cabri 3D es una herramienta informática que permite construir y manipular cuerpos
geométricos, así como determinar sus dimensiones y elementos.
1. Obteniendo un sólido de revolución.
f Abre el Cabri 3D, crea un nuevo documento y llámalo “Sólido de revolución”.
f Selecciona el icono y elige Circunferencia. Pincha con el mouse en el plano (para
determinar que la circunferencia estará sobre él), luego pincha en el punto de origen de
coordenadas para determinar que ese será su centro y, por último, moviendo el mouse,
elige el diámetro que tendrá, pincha nuevamente y tu circunferencia quedará fija.
f Selecciona y elige Perpendicular.
Pincha con el mouse en el plano para
determinar que la recta será perpendi‑
cular a él y luego pincha en el origen de
coordenadas.
f Selecciona y esta vez elige Segmento.
Pincha con el mouse en un punto de la
recta y luego en un punto de la circun‑
ferencia. Vuelve a pinchar en el punto
que elegiste sobre la circunferencia y,
finalmente, pincha en el origen de co‑
ordenadas para que obtengas un triángulo rectángulo como el que se muestra.
f Para finalizar elige y selecciona Trayectoria. Pincha con el mouse sobre el segmento
que representa la hipotenusa del triángulo.
Luego, busca en el menú Ventana, elige
Animación y se abrirá una ventana de
animación. Selecciona y pincha sobre
el punto en que intersecan la hipotenusa
del triángulo con la circunferencia. Una
vez hecho esto, se activará la ventana
de animación. Selecciona una rapidez
de unos 0,50 cm/s y da inicio a la ani‑
mación.
134 Unidad 5

53. Unidad
2. Construyendo un cilindro y determinando su área y su volumen.
f Abre el Cabri 3D, crea un nuevo documento y llámalo “Cilindro”.
f Selecciona y elige Perpendicu‑
lar. Pincha con el mouse en el plano
para determinar que la recta será
perpendicular a él y luego pincha en
el sitio donde quieras ubicar el eje de
tu cilindro.
f Selecciona y elige Segmento. Traza
un segmento desde el punto en que la
recta se interseca con el plano a otro
punto sobre la recta, de la longitud
que quieras que tenga la altura de tu
cilindro.
f Elige y selecciona Cilindro. Pin‑
cha sobre el segmento que trazaste
para definir que ese será el eje del
76,1 cm2
cilindro, luego, moviendo el mouse,
determina el diámetro de la base y
77,5 cm3
vuelve a pinchar para fijarlo.
f Teniendo ya tu cilindro, determinare‑
mos su área y su volumen. Selecciona
, elige Área, pincha con el mouse
sobre el cilindro y conocerás su área.
Para determinar el volumen, selec‑
ciona nuevamente , y esta vez elige Volumen. Vuelve a pinchar sobre el cilindro y
conocerás su volumen.
3. Aplicando lo aprendido.
a) Construye en Cabri 3D un cilindro mediante la revolución de un rectángulo en torno al
eje perpendicular al plano en el origen. A continuación, calcula su área y su volumen.
b) Construye en Cabri 3D un cilindro mediante la revolución de un rectángulo en torno a
un eje sobre el plano. A continuación, calcula su área y su volumen.
c) Construye en Cabri 3D un cono mediante la revolución de un triángulo rectángulo en
torno a un eje perpendicular al plano en el origen. A continuación, calcula su área y su
volumen.
d) Construye en Cabri 3D una esfera mediante la revolución de un semicírculo en torno a un
eje perpendicular al plano en el origen. A continuación, calcula su área y su volumen.
Cuerpos redondos 135

54. Síntesis de la unidad
Ficha 1
Los cuerpos redondos son todos aquellos Ficha 2
cuerpos o sólidos geométricos formados
por regiones curvas o regiones planas y El cilindro es un cuerpo redondo que
curvas. consta de tres caras: dos caras basales
circulares y una cara curva rectangular.
Sus elementos característicos son su base
y su altura.
Ficha 3 El cono es un cuerpo redondo que consta
de dos caras –una basal circular y una
La red de un cuerpo geométrico es una lateral– y una cúspide. Sus elementos
representación en el plano de sus caras característicos son su base, su generatriz
que unidas y dispuestas convenientemente y su altura.
permiten construir el cuerpo. El esfera es un cuerpo redondo que posee
La red de un cilindro corresponde a dos una cara. Los elementos característicos
círculos congruentes y un rectángulo. de una esfera son su centro y su radio.
La red de un cono corresponde a un círculo
y un sector circular.
La red de una esfera corresponde a una
figura curvada infinitamente.
Ficha 4
El área de los cuerpos redondos corresponde a la suma de las
áreas de sus caras:
Área cilindro = 2πr · (r + H) (r: radio basal; H: altura)
Área cono = πr · (r + g) (r: radio basal; g: generatriz)
Área esfera = 4πr 2 (r: radio)
Ficha 5
El volumen de los cuerpos redondos indica el espacio
que ocupa, es decir, es una medida de su extensión
tridimensional:
Volumen cilindro = πr2 · H (r: radio basal; H: altura)
πr2 · H
Volumen cono = (r: radio basal; H: altura)
3
4πr3
Volumen esfera = (r: radio)
3
HIPERTEXTO
136 Unidad 5 Síntesis

55. Unidad
I Ejercicios de desarrollo
Evaluación
a. Calcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos redondos:
a) 1,2 cm d)
4 cm 7,5 mm
A= V= A= V=
b) e) 8,3 m
m
3,4 m
20
12 m
A= V= A= V=
c) 12 cm f)
m 4 cm 5 cm
5c
12 cm
cm
5
4 cm
A= V= A= V=
2. Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F):
a) _____ El área de una esfera de radio r es mayor que el área de un cilindro de radio basal r y
altura r.
b) _____ El volumen de una esfera de radio r es menor que el volumen de un cilindro de radio
basal r y altura r.
c) _____ Si se duplica la altura de un cono, se cuadruplica su volumen.
d) _____ El volumen de un cilindro de radio basal r y altura H equivale al triple del volumen de
un cono con iguales radio basal y altura.
e) _____ En un cono, la fórmula que relaciona el radio basal r, la altura H y la generatriz es
r 2 + H2 = g 2.
f) _____ La figura plana que al rotarla sobre su diámetro genera una esfera, es un semicírculo.
Cuerpos redondos 137

56. 3. Enlaza cada situación que se describe en la columna izquierda con la que le corresponde
en la columna derecha:
Una de las piezas de un monumento tiene forma cónica,
su altura es de 9 cm y el área de su base es de 10 cm2. 523,6 cm3
Su volumen es...
Una torre con forma cilíndrica tiene una altura de 35 m y
523,6 cm3
un diámetro de 15 m. Su área, aproximadamente es...
El depósito de una pistola para pintar es una esfera de
2 002,8 m2
10 cm de diámetro. Su volumen, aproximadamente es...
4. Un restaurador debe pintar la fachada de un techo de forma cónica. Él demora 15 minutos en
pintar 1 m2. El techo tiene un diámetro basal de 16 m y su altura es de 6 m.
a) ¿Cuál es el área que debe pintar? A=
b) ¿Cuánto tiempo demorará en pintar el techo? t=
5. Un jugador de bolos transporta su bola en una caja cúbica de 22 cm de arista.
a) ¿Cuál es el volumen de la bola más grande que puede contener? V=
b) ¿Cuánto espacio libre queda en la caja cuando la bola mas grande que puede
contener está dentro de ella? E. L. =
6. Dadas las siguiente figuras planas, determina en cada uno de los casos el sólido de revolución
que se forma según el eje que se señala y escribe sus dimensiones:
a) Eje c) 3 cm
3 cm 5 cm
Eje
3 cm
b) Eje d)
Eje
5 cm
3 cm
3 cm 3 cm
138 Unidad 5

57. Unidad
II Ejercicios con alternativas
Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la
tabla que allí aparece.
a La forma de una olla de cocina la podemos 6 Si se duplica el radio de una esfera, entonces
asociar a un: su área:
a) Poliedro regular. a) Permanece igual.
b) Poliedro irregular. b) Se duplica.
c) Cuerpo redondo: el cono. c) Se triplica.
d) Cuerpo redondo: el cilindro. d) Se cuadruplica.
2 Si el diámetro basal de un cono mide 8 cm 7 El diámetro de la base circular de un es-
y su generatriz 7 cm, ¿cuál es el ángulo del tanque cilíndrico mide 6 m y su altura mide
sector circular que sirve de cara lateral? 5 m. ¿Cuál es la capacidad del estanque?
a) α ≈ 205,7° a) 141,4 m3
b) α ≈ 207,5° b) 143,3 m3
c) 145,9 m3
c) α ≈ 210,4°
d) 147,2 m3
d) α ≈ 360°
3 Juan Pablo debe crear una etiqueta que 8 Se desea pintar el manto de dos conos de
cubra la cara lateral de una lata de frutillas tránsito iguales. Sus radios basales miden
en conserva, cuyo diámetro basal mide 8 cm 12 cm y sus generatrices miden 45 cm.
y su altura mide 15 cm. Aproximadamente, ¿Cuál es la superficie total aproximada que
¿cuál será el área de la etiqueta? se desea pintar?
a) 60 cm2 a) 1 696,5 cm2
b) 120 cm2 b) 904,8 cm2
c) 377 cm2 c) 3 392,9 cm2
d) 450,4 cm2 d) 4 297,7 cm2
4 Al hacer girar un rectángulo sobre uno de 9 Si el diámetro de una pelota de ping pong
sus lados, el sólido de revolución que se es de 4,1 cm, ¿cuál es su volumen?
genera es : a) 31,4 cm3
a) Un cilindro. b) 36,1 cm3
b) Una esfera. c) 38,3 cm3
c) Un cono. d) 40,5 cm3
d) Una semicircunferencia.
5 Un volcán tiene forma aproximadamente j Para generar un cono por revolución, la figura
cónica. Si su altura es 1 234 m y el radio de que debe rotarse es:
su base mide 399 m, ¿cuál es el volumen a) Un rectángulo sobre uno de sus lados.
que ocupa aproximadamente?
b) Un triángulo rectángulo sobre su hipo-
a) 189 432 162,6 m3 tenusa.
b) 199 700 005,1 m3 c) Un triángulo rectángulo sobre uno de
c) 203 540 432,7 m3 sus catetos.
d) 205 726 183,3 m3 d) Un triángulo isósceles sobre su base.
HIPERTEXTO
Evaluación Datos agrupados y probabilidades 139
Cuerpos redondos