El documento describe el origen y evolución de los sistemas de numeración. Explica que los primeros sistemas surgieron de la necesidad de contar posesiones y realizar actividades económicas. A medida que las civilizaciones se desarrollaron, crearon sus propios sistemas más sencillos y completos. El sistema decimal es uno de los más importantes, surgiendo de la capacidad humana de contar con los dedos. El documento también cubre los números naturales, enteros y racionales.

1. ORIGEN DEL SISTEMA DE NUMERACION
Desde tiempos muy remotos el hombre sintió la necesidad de contar sus rebaños, hacer
trueques, realizar intercambios comerciales, llevar un calendario que les permitiera saber
cuál era la mejor época para la siembra y cuándo debían recogerla. Había que contar los
días y para ello utilizaban números naturales. Ha sentido el deseo de contar antes,
incluso, que el de escribir, pero la utilización de los sistemas actuales de cálculo,
incluyendo el cero, es relativamente reciente. Entre sus defectos, uno que ha jugado un
papel fundamental en la historia de los números, es que no posee percepción directa e
inmediata de grupo de objetos mayores de 4 unidades. Es decir, sin aprendizaje previo,
sólo puede reconocer de un golpe cuando un grupo está formado por 1, 2, 3 o 4
individuos. A partir de ahí, se ve obligado a contar.
A medida que los pueblos se fueron civilizando fue cada vez más necesario buscar una
manera sencilla de representar los números que tanto había que usar y que tanta
importancia tenían para el desarrollo de la vida, así vemos, como a través de la historia,
que apenas alcanzaban cierto grado de civilización, obligados por la necesidad del
número, cada pueblo buscaba la manera de representarlos con sencillez y fueron creando
su propio sistema de numeración, tanto más sencillo, más cómodo y más completo,
cuanto mayor era el grado de civilización alcanzado. En este trabajo se fundamenta que el
surgimiento de los sistemas de numeración de las diferentes culturas han estado sujetos a
resolver sus necesidades más vitales, tales como: realizar sus actividades económicas,
contar los días entre dos fechas para sembrar sus cultivos y recoger sus cosechas,
calendarizar los días del año, realizar intercambios comerciales, etc., y que cada
civilización atendiendo al desarrollo alcanzado utilizó un sistema más avanzado, dando
origen al concepto de número.
Los sistemas de numeración han jugado un importante papel en el desarrollo de la
sociedad, destacándose dentro de estos, el sistema decimal, que comúnmente se conoce
como “números Indo-arábicos”, y que tuvo su surgimiento debido a la coincidencia
fisiológica de contar con diez dedos en las manos y los pies con los cuales el hombre
aprendió a contar. La representación numérica de la nada, o sea, el surgimiento del cero,
es uno de los avances más importantes de la civilización humana y se produjo hace más
de 1300 años, siendo los hindúes sus responsables, con el que se podría representar
cualquier cantidad grande o pequeña sin riesgo de error.
En las actividades que realizan los seres humanos a diario con los números interviene
nuestro cerebro que, según Neurólogos y Psicólogos, está equipado desde el nacimiento
con un exclusivo sentido matemático y permite que podamos comprenderlos y cobren
sentido en nuestra mente y nos evoquen tantas cosas, razón por la cual el hombre no ha
podido escapar a la tentación de reflejar en guarismos su existencia y la conformación de
su cuerpo estudiando las áreas del cerebro que son activadas en la ejecución de
determinadas acciones donde intervienen los números. El momento en que el hombre
aprendió a contar no se conoce de forma exacta. Pero lo que sí es evidente que, para
ello, debieron auxiliarse de ciertas herramientas. Las primeras formas de notación
numérica eran simplemente grupos de líneas rectas, verticales u horizontales, cada una
de ellas representando al número, lo cual era engorroso para manejar grandes números.

2. En las operaciones que realizaban figuraban lo que tendrían que pagar, y todo aquello
que obtenían, pero no contaban con ningún recurso que, mediante signos, simplificara sus
trabajos. Surgen así muchos sistemas de numeración en dependencia del grado de
desarrollo y civilización alcanzado por los pueblos. Aún hoy, algunos grupos étnicos de
Oceanía, América, Asia y África emplean un lenguaje matemático que solo incluye las
palabras uno, dos y muchos. Algunos utilizaban sistemas de muescas en madera, otros
apilaban piedrecillas y otros recurrían a partes de su cuerpo como los dedos, los ojos o
las orejas para realizar sus cuentas. A partir de la elección de determinados símbolos
para representar las cantidades, la historia de los números es un fascinante proceso de
perfeccionamiento. En la mayoría de los sistemas de numeración de la civilización
mesopotámica y egipcia se seguía un criterio de agrupamiento de los símbolos para
construir estructuras fácilmente identificables a primera vista. Pero cuando los números
son realmente grandes, este procedimiento no es eficaz.
SISTEMAS DE NUMERACION NO POSICIONALES
Este tipo de sistemas de numeración son los más antiguos como el que usaban en el
antiguo Egipto o el sistema romano. Los números egipcios eran representados con
diversos ideogramas. El sistema de numeración egipcio representaba números que
abarcaban desde el uno hasta millones, apareciendo en los inicios de la escritura
jeroglífica. Tres milenios antes de la era de Cristo, los egipcios ya contaban con el primer
sistema desarrollado de numeración con base 10. Este permitía el uso de grandes
números, describiendo también pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias,
llamadas las fracciones del Ojo de Horus. Pero a pesar de este gran desarrollo dentro de
la escritura numérica, la misma apenas fue empleada en la vida diaria de los egipcios.
Esto se debe a que la mayor parte de los textos administrativos se encontraban escritos
en papiro en lugar de tallarse en piedra, y la gran mayoría de los textos que empleaban el
sistema numeral egipcio utilizaban la notación hierática. Para la notación hierática era
utilizado un sistema numérico diferente, en el cual se utilizaban signos para los números
del 1 al 9, repitiéndose según las decenas, centenas y millares. La orientación para su
escritura era indistinta: se podían escribir de izquierda a derecha, al revés o de arriba
abajo, modificando la orientación de las figuras según el caso. Muchas veces esta
disposición numérica variaba para lograr una mayor armonía estética, y solían ir
acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto cuyo número
indicaban.

3. NUMEROS NATURALES
Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y
ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.
Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad
de elementos que tiene un conjunto. Los números naturales se representan con la letra N
como los números naturales sirven para contar no toman en consideración al número
cero, pro como se trata de un conjunto que no termina nunca, decimos que N es un
conjunto infinito.
En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:
Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN
Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.
Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN
En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:
Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN
Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN
Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN.
Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9...
Distributividad: a·(b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.
NUMEROS ENTEROS
Es el conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. Un número entero es
cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales, sus opuestos
(versiones negativas de los naturales) y el cero. Estos son: Los naturales (o enteros
positivos): +1, +2, +3, +4, +5...
El cero, que no es ni positivo ni negativo. Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5...
Si a, b y c son números enteros tales que a = bc, a es un múltiplo de b o de c, y b y c son
divisores de a. Si c es distinto de ±1, entonces b se denomina divisor propio de a. Los
enteros pares son los múltiplos de 2, incluyendo el 0, como -4, 0, 2 y 10;
Un entero impar es aquél que no es par, por ejemplo, -5, 1, 3, 9.

4. Un número perfecto es aquel entero positivo que es igual a la suma de todos sus divisores
propios positivos (partes alícuotas); por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3) y 28 (que es
igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos.
Un entero positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede ser deficiente o
superante según que la suma de sus divisores propios positivos sea menor o mayor que
él. Así, 9, cuyos divisores son 1 y 3, es deficiente, y 12, cuyos divisores son 1, 2, 3, 4 y 6,
es superante. Todos los números enteros mayores de cero se consideran positivos, y sus
opuestos, se consideran negativos. El cero no es positivo, ni negativo, luego el opuesto
del cero es el propio cero. El conjunto formado por el cero y todos los números enteros
positivos, se denomina conjunto de los números enteros no negativos. El conjunto
formado por el cero y todos los números enteros negativos, se denomina conjunto de los
números enteros no positivos. Los números opuestos están situados en la recta numérica
simétricamente respecto al cero. Los números enteros que solo se diferencian en el signo,
se llaman opuestos, por ejemplo, 20 y -20 son números opuestos. El módulo o valor
absoluto de cualquier número entero nunca es negativo.
NUMEROS RACIONALES
Son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de
fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los
números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le
sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a
su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada
número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la
eternidad. Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para
representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta
manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de
decimales que se podrían obtener.
Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad
mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8,
debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los
números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:
Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número
determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125. Los números racionales
periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se
diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un
patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas
y no-periódicas.

5. NUMEROS IRRACIONALES
Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas
cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como
fracciones. Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud
de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado de la raíz cuadrada
de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su
vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado
irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o
fracciones. Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en
cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o
racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a
diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de
cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible. Podemos intentar encontrar la
respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengamos
programada, obtendremos algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con
siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta
manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico,
es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación
en números racionales.
NUMEROS REALES
Incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que
no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como
denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).
Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los
números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen
reglas complejas para hacerlo. Los números reales se representan con la letra R. El
conjunto de los números reales se conformó a partir de otros subconjuntos de números
que surgían de necesidades en las matemáticas, como los números negativos y los
números fraccionarios y decimales. En Europa, cuna de la ciencia en la modernidad, los
números negativos no fueron utilizados hasta ya avanzado el siglo XVII, sin embargo, ya
habían sido pensados muchos siglos atrás por culturas como la china y la hindú. Incluso
se llegaba a descartar las soluciones de cálculos que tenían resultado negativo, por ser
considerados números irreales.
Los números fraccionarios por su parte, fueron utilizados por los egipcios para la
resolución de diferentes problemas. Pero es en la cultura griega de donde se extrae el
actual uso de los racionales, de raciones de números, ya que los utilizaban para definir el
espacio entre las notas musicales con relaciones de armonía que correspondían a
divisiones en las melodías del sonido. Así se empezó a ver fracciones en otras cosas y

6. sustancias. A partir de allí, la complejidad de los cálculos empieza a profundizarse y es
hasta el teorema de Pitágoras que surgen los números irracionales de los que se hablaba,
donde los decimales de la fracción son infinitos y por lo tanto no son expresables en
números únicos. De aquí nace el, quizás, primer número irracional que se conoce.
Entonces, el concepto de números reales es que son los números que pueden ser
expresados con decimales, incluyendo a aquellos que tienen decimales en infinita
expansión. Esto se debe a que en la lógica de los números reales, no hay números
exactos.
NUMEROS IMAGINARIOS
Son números complejos cuya parte real es igual a cero. Un número imaginario puede
describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde la letra i
denota la raíz cuadrada de -1. Al número imaginario i se le denomina también constante
imaginaria.
Un número imaginario se denota por bi, donde: b es un número real e i es la unidad
imaginaria: √¯-1 = a i. Cada número imaginario puede ser escrito también como i·r donde
r es un número real e i es la unidad imaginaria. Los valores de las potencias de la unidad
imaginaria se repiten de cuatro en cuatro. Los números imaginarios permiten calcular
raíces con índice par y radicando negativo. Partiendo de que la raíz cuadrada de cualquier
número real negativo, da por resultado un número imaginario. Un número imaginario es
un número cuyo cuadrado es negativo. Estos números extienden el conjunto de los
números reales al conjunto de los números complejos. Los números imaginarios, al igual
que los números reales, no pueden ser ordenados de acuerdo a su valor. Para los
números imaginarios no se cumple: 1 > 0 y -1 < 0. Los números imaginarios formalmente
no pertenecen al conjunto de los números reales ni al conjunto de los números racionales.
El número imaginario es tan real como cualquier otro natural, entero o fraccionario, ya que
se ocupa igualmente para describir la realidad, y es tan racional y entendible como
cualquier número irracional. Estos tienen una infinita cantidad de decimales.
NUMEROS FRACTALES
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala,
su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de
autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es
decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un
aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000
comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo

7. resulta igual luego las partes se parecen al todo. Un conjunto u objeto es considerado
fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del
instrumento de medida disminuye.
Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son
considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas,
las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no
así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.
Dimensión no entera:
Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número
entero sino un número generalmente irracional.
Compleja estructura a cualquier escala:
Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la
cual lo observemos.
Infinitud:
Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de
medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.
Autosimilitud en algunos casos:
Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por
pequeños fragmentos parecidos al todo.