El documento describe la historia y desarrollo de los diferentes tipos de números a través del tiempo, incluyendo números naturales, enteros, racionales e imaginarios. Explica cómo diferentes civilizaciones antiguas como los egipcios, mayas y griegos desarrollaron sus propios sistemas de numeración y contribuyeron al entendimiento moderno de los números. También describe los orígenes y propiedades de cada tipo de número.

1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN
ILSE GUADALUPE MEZA HERNANDEZ
PROCESOS INDUSTRIALES AREA DE MANUFACTURA
1°A
1. El origen de los números
2. Numeración no posicional
3. Números naturales
4. Números enteros
5. Números racionales
6. Raíz cuadrada de un numero racional
7. Números reales
8. Números imaginarios
9. Fractales

2. EL ORIGEN DE LOS NÚMEROS
Diferentes teorías intentan explicar el origen y creaciónde nuestros números actuales,
comúnmente llamados arábigos. Me parece que antes del comienzo del lenguaje
escrito el hombre se mostró con han gran capacidad, pues su manera de buscar la
forma para expresarse era tan grande que comenzó con la utilización de palabras y
sonidos que le ayudaban a comunicarse con sus semejantes, con el paso del tiempo
ya que se presentaban diversas situaciones que necesitaban una manera más
sencilla para conocer lo que tenían y lo que podían intercambiar así como animales,
armas, o terrenos que disponían. Su uso hizo que se fuera perfeccionando hasta
llegar a la palabra hablada. Cuando deseaban recordar algún hecho lo transmitían a
través de la pictografía está consistía en la utilización de objetos, dibujos o por medio
de la pintura. De esta manera sin darse cuenta el hombre ya había creado la escritura
pictográfica su primera forma de comunicación no hablada. Al comenzar a contar los
hombres utilizaban piedras, pero conforme iban siendo números más grandes era
necesario emplear un método más práctico por lo que comenzaron a hacer una marca
diferente cada que se llegaba a un número determinado, esa marca se le llamaba
base. La base 10 era la más utilizada por distintas culturas. Desdehace miles de años
siempre se ha contado con unidades, decenas, centenas etc… lo único que cambiaba
era la forma de representar los números. Los egipciosusaban los números 3.000 A.C.
su interés se debía al Nilo y sus inundaciones, así como los comerciantes para sus
negocios. Usaban jeroglíficos en base no importaba que fuese de izquierda a derecha
o de arriba abajo. Al llegar las inundaciones era necesario la medición de los campos,
la cuerda que utilizaban no era exacta por lo que hallaron la solución al crear un
número que resultaba de la fracción de dos números naturales. Habían descubierto
las fracciones. Así como los egipcios los mayas utilizaban una numeración con bases
20 y 5 los representaban por medio de jeroglíficos. Para ellos era muy importante el
tiempo por esa razón tienen relación con los días meses y años. Sus valores para el
punto era 1, la raya que tenía un valor de cinco y el caracol con un valor de cero. Los
griegos no eran muy unidos por lo que empleaban dos sistemas de numeración
distintos. El primero acrofónico que significa que los símbolos de los números se
representaban con la primera letra del nombre del número. El segundo jónico o
alejandrino empleaban las letras minúsculas del alfabeto, los números parecían letras
y las letras poseían un valor numérico. Los hindúes contaban con los dedos y al igual
que nosotros su sistema era decimal. Cada pueblo apreciaba el valor de los números
por lo que aportaron diversas mejoras que hoy llevamos a cabo. Antiguamente al
resolver operaciones matemáticas y el resultado era negativo decían que era absurdo
y que eran operaciones imposibles. Los chinos usaban dos colores para llevar sus
cuentas en los negocios el color rojo era para representar las deudas y el color negro
para los que no lo eran. Desde la India llegó el número cero que para los hindúes no
significaba nada y hay que recordar que los romanos no utilizaban el cero sin embargo
al momento de sumar no tenían problema pues utilizaban el ábaco y cuando
necesitaba que las unidades, decenas o centenas fueran cero simplemente dejaban
esa línea vacía. El sistema actual que tenemos fue creado por los hindúes de ahí lo
aprendieron los árabes que fueron quienes lo introdujeron a Europa. Este sistema nos

3. permite que tan sólo con diez símbolos podemos representar cualquier cantidad por
más grande que sea y hace mucho más fácil realizar operaciones con estos números.
Numeración no posicional Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los
dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas
manos se tenía. También se sabe que se usaban nudos en cuerdas para representar
la cantidad.
Numeración no posicional
Los sistemas el antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en
Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos. ¡En los sistemas no! Posicionales
los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición
(columna) que ocupan en el número. Entre ellos están los sistemas el antiguo Egipto,
el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas
y otros pueblos. Los sistemas no posicionales son quizás más claros en la
interpretación de las operaciones elementales y permiten expresar cualquier número
como sumas de los valores de los elementos que lo conforman. En los sistemas no-
posicionales el valor del símbolo utilizado no depende de la posición que ocupa en la
expresión del número. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema de los
números romanos. En el número romano XIX (19) los símbolos X (10) del inicio y del
fin del número equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición. El sistema
de numeración romana es un sistema no posicional que se desarrolló en la antigua
roma y se utilizó en todo el imperio romano. El sistema emplea algunas letras
mayúsculas como símbolos, para representar ciertos números la mayor parte de los
números se escribe como combinaciones de letras.
Números naturales
A partir de la necesidad de representar cantidades, el hombre crea lo que hoy
conocemos como números naturales. Éstos son los primeros que surgen en las
distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más
elementales en el tratamiento de las cantidades. Nosotros consideramos que 0 es un
número natural, aunque no todos los autores están de acuerdo. Los números
naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro
número natural. Los números naturales sirven para contar no toman en consideración
al número cero, pero como se trata de un conjunto que no termina nunca, decimos
que N es un conjunto infinito.
Si los representamos en forma de conjunto, los números naturales son:
N= (1,2,3,4,5,6,…)
Y si los representamos en la recta numérica sería de la siguiente forma:
N
Para darle un significado a los números naturales. Como ya se mencionó
anteriormente, estos números son utilizados principalmente para contar y para marcar
una posición. A diferencia de los números enteros los números naturales siempre se

4. han caracterizado por ser positivos. y los enteros porque son la parte negativa de los
naturales.
Números enteros
Cuando hablamos de números enteros es cualquier elemento del conjunto formado
por los números naturales, sus opuestos (versiones negativas de los naturales) y el
cero.)
 Estos son:
 Los naturales (o enteros positivos): +1, +2, +3, +4, +5...
 El cero, que no es ni positivo ni negativo.
 Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5...
El conjunto de los enteros se designa por Z, (nótese que no es una Z). En notación
matemática: Z=(…,-11,-10,…,-2,-1,0,1,2,…,10,11,…)
 En resumen:
 Todos los números enteros mayores de cero se consideran positivos, y sus opuestos,
se consideran negativos.
 El cero no es positivo, ni negativo, luego el opuesto del cero es el propio cero.
 El conjunto formado por el cero y todos los números enteros positivos, se denomina
conjunto de los números enteros no negativos.
 El conjunto formado por el cero y todos los números enteros negativos, se denomina
conjunto de los números enteros no positivos.
 Los números opuestos están situados en la recta numérica simétricamente respecto
al cero.
 Los números enteros que solo se diferencian en el signo, se llaman opuestos, por
ejemplo, 20 y -20 son números opuestos.
 El módulo o valor absoluto de cualquier número entero nunca es negativo.
Representación de los números enteros en una recta.
Números racionales y su raíz cuadrada
Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros
representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real
numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por
ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya
consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números
racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos
números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad. Todos los números
fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a
veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a
decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían
obtener.también los números enteros pueden ser tomados como números racionales

5. con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como
denominador.
Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la
palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para
recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros
cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números
racionales como números ℚ.
Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su
cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo, ½ puede ser expresado
como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo, existe una
clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos
son:
Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número
determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número
ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas
cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales
sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.
Las raíces en números racionales pueden encontrarse con:
 La gráfica del polinomio.
 Los cambios de signo en un intervalo.
 Las cotas de las raíces reales.
 Un método numérico.
Si un polinomio p(X) tiene a una raíz entonces su conjugada también será raíz. Esto
se debe a la diferencia de cuadrados, producto de la multiplicación de binomios
conjugados. Por lo tanto, es absolutamente necesario que los coeficientes del
polinomio sean siempre racionales.
Puesto que las raíces son conjugadas, a partir de una puede encontrarse la otra.
 Método de Newton‐ Raphson La forma más sencilla de encontrar raíces
irracionales es mediante un método numérico. Un método muy eficaz debido a

6. su rápida convergencia es el método de Newton-Raphson, que se basa en el
concepto de derivada para alcanzar la raíz de una ecuación a partir de un punto
cercano dado.
Números reales
El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que
comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir
que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los
números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que
tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero). Los
números reales se representa con la letra R y aparecen por la necesidad de realizar
cálculos más complejos ya que en épocas como entre el siglo XVI y el XVII, se hacían
necesarias nuevas cifras para los avances tecnológicos que ya no podían ser
representados por cifras aproximadas ni por expresiones coloquiales por su
inexactitud. El rigor del avance de la humanidad a partir de sus herramientas, hizo
necesaria la creación de nuevas expresiones matemáticas que den mayor exactitud
a los cálculos.
El sistema de números reales se compone principalmente de dos grandes conjuntos,
el de los números racionales que son aquellos que pueden ser expresados como la
división de dos números enteros como 3/4, 1/5, incluso un número entero puede ser
expresado como una fracción, ya que el número entero puede ser dividido para 1, sin
cambiar su esencia, por ejemplo, el número 8 puede ser expresado en fracción así
8/1; mientras que el otro gran conjunto del sistema de números reales es el de los
números irracionales cuya representación decimal es expansiva, infinita y aperiódica.
Números imaginarios
A pesar de que Descartes originalmente usaba el término “números imaginarios” para
referirse a lo que hoy en día se conoce como números complejos, el uso común en la
actualidad de los números imaginarios significa un número complejo cuya parte real
es igual a cero. Para clarificar y evitar confusiones, tales números muchas veces son

7. mejor llamados números imaginarios puros. Sus intenciones eran dar a ciertos
números complejos un carácter despectivo, pero luego pasó a ser un eje fundamental
(literalmente) en lo que posteriormente sería el plano cartesiano. Pues, en este plano
los ejes cartesianos reales se encuentran en el eje X de forma horizontal y los
imaginarios en el Y del eje vertical complejo. Para dar de los números imaginarios
una definición, podríamos decir que es un número cuya potenciación es negativa. Es
decir que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo, su resultado es
negativo. Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado siempre
será positivo. La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que
si se suman dos números imaginarios, el resultado también será un número
imaginario. Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la
adición. También una propiedad distributiva, donde la suma de dos números
multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando
multiplicado por el tercer número. Durante la sustracción, por cada número
imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado cero. Existe
un número neutro que, al ser sumado a cualquier número, el resultado será el mismo
número. Mientras que para la multiplicación o producto encontramos que: El
producto, al igual que la suma, también es cerrado, lo cual significa que, al multiplicar
números complejos entre sí, el resultado también es un número imaginario puro. En
este caso hay una propiedad conmutativa, que dice que, si se altera el orden de los
números complejos e imaginarios, no se altera el resultado.
Fractales
La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”,
o simplemente “roto” o “quebrado”, es muy utilizado para objetos con dimensión
fraccionaria. El término fue creado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su
libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce,
generalmente, como geometría fractal. Un fractal es un conjunto matemático que
puede llevar a cabo la autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o
si es entera no es un entero normal. El hecho que tenga autosimilitud significa que el
objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si se hacen algunos
tipos de fractales es posible comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es
exactamente igual a la inicial, y si se hace un aumento 1000 comprobaremos la misma
característica, así pues, si se realiza un aumento n, el dibujo resulta igual luego las
partes se parecen al todo. Se dice que cuando un conjunto o un objeto es considerado
fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del
instrumento de medida disminuye. las propiedades más importantes son:
 Dimensión no entera.
Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un
número entero sino un número generalmente irracional.
 Compleja estructura a cualquier escala.
Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la
escala a la cual lo observemos.

8.  Infinitud.
Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del
instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o
perímetro.
 Autosimilitud en algunos casos.
Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está
formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.
Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o una función que se va
repitiendo un número arbitrario de veces. Aunque otra forma de lograrlo es mediante
la aplicación de técnicas de recursividad. Con estos dos métodos es como se
consigue la autosimilitud de los fractales, ya que se aplica la misma función a
diferentes niveles.
Tan importante es la elección de la formula como la elección del método de coloreado
de los resultados, existen multitud de técnicas de coloreado como pueden ser:
 Coloreado mediante el algoritmo de tiempo de escape.
 Coloreado por convergencia a soluciones de una ecuación.
 Cualquier otro que puedas imaginar.
Existen multitud de fractales naturales en las cosas más insignificantes, y muchas de
las veces las dejamos pasar por alto cada día. Estos fractales no son infinitos (porque
fuera del elegante universo de las matemáticas ese concepto es difícil), pero si son
autosimilares a muchos niveles.El fractal de Newton es una curiosa creación basado
en la aplicación del método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones
no lineales. El algoritmo es eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o
raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o
mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. La idea de
este método se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado
punto de arranque), entonces se reemplaza la función que estamos tratando por la
recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una
ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de
la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen hasta que el método
de una solución adecuada. Cabe destacar que es posible que el método diverja en
determinadas circunstancias que pueden depender de la elección del punto inicial.
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales, y el más
estudiado. Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por
inducción:
 z0 = 0 (término inicial)
 zn+1 = zn2 + c (relación de inducción)

9. <Conclusiones
Para finalizar con las investigaciones realizadas me parece que la importancia de los
números nos ha servido como un apoyo desde el principio de la humanidad pues ha
sido de gran ayuda ya que se necesitaba una forma más sencilla para lograr resolver
problemas de la vida diaria ya que antes era necesario, pues se necesitaba para saber
qué cantidad de animales, armas o terrenos con las que contaban. A lo largo de los
años la simbología de los numero ha ido evolucionando ya que desde que el hombre
descubrió el primer sistema de numeración a través de la utilización de piedras, pero
al querer guardar cierto número de estas en bolsas hechas de arcilla se dieron cuenta
que podía ser más fácil hacer pequeñas marcas sobre la arcilla y ya conforme el
tiempo paso cuando era necesario recordar algún suceso importante lo hacían por
medio de la pictografía. Aunque no se sabe con exactitud cuándo es que se crearon
los números me sorprende la capacidad que desde sus inicios la humanidad tenía
para poder resolver problemas y que sin tener en mente crearon sistemas para tener
el orden de las cosas. Sobre los fractales me parece super interesante como es que
la investigación sobre los números y todas sus propiedades han logrado poder
simplificar y hacer más sencillas cada una de las operaciones que hoy en día
conocemos, así como todas las dudas que lograron resolver por medio de la
investigación y la creación de métodos que solamente han introducido mejoras dentro
de nuestra vida y conforme pasa el tiempo las nuevas generaciones logren resolver
muchas dudas más que se presenten en el futuro.