El documento describe la historia y evolución de los sistemas de numeración, incluyendo los sistemas egipcio, romano, hindú-arábigo y griego. Explica que los primeros seres humanos contaban con los dedos y marcas, y los egipcios y romanos desarrollaron después sistemas más complejos basados en símbolos. El sistema hindú-arábigo moderno, con el concepto de cero, surgió aproximadamente hace 1200 años y fue adoptado globalmente debido a su mayor utilidad para cálculos matemáticos.

1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE
TORREON
Actividad 1.2.Numeros Complejos
Profesor: Edgar Mata
Alumna: Amalia Cortinas Mata
Grupo: 1 A

2. Conocer acerca del origen de los números es algo que no podemos saber con
exactitud ya se cree que comenzaron a utilizarse por primera vez hace mas de
400,000 mil años y que en los tiempos primitivos los primeros pobladores
contaban con ayuda de los dedos de sus manos o con marcas en algunas
superficies en donde podían marcar con más facilidad, con el paso del tiempo
tuvieron que ir utilizando números más grandes y para ello lo primero que se
implemento fue la escritura de los romanos una figura para simular un numero
después de la seguida de otra para similar otra cantidad de numero, acomodarlos
uno después de otro como los romanos que tenían un total de 7 símbolos, para el
hombre primitivo fue de mucha ayuda para el conteo de su vida diaria que para
ellos eran indispensables luego de esto, la numeración de los romanos todavía es
utilizada en algunos libros para los siglos cosas muy mínimas que no necesitan de
cálculos matemáticos y esto pueden representar los números, es sistema de
numeración que manejamos hoy en día es gracias a los hindúes y parte a los
árabes, esto paso aproximadamente hace 1200 años los árabes al hacer viajes
comerciales por la india un día uno ellos encontró un libro escrito a mano por un
hindú sobre la aritmética ellos mismos quisieron adoptar el sistema para usarlo
para ellos mismo el libro fue llevado a Europa por ellos y fue cuando este sistema
se dio a conocer a todo el mundo ya que los españoles lo tomaron y lo tradujeron
al latín este sistema al ser más complicado al romano que era el que se usaba
tarde en ser aceptado el mismo fue sometido a considerables cambios con las
copias manuscritas que se iban haciendo esto termino para el año de 1415 que
fue cuando inicio la primera imprenta haciendo menos fácil el cambio de símbolos
es por esto que a este sistema se le llama hindo-arabiga. Originalmente el sistema
hindú contaba con 9 números el concepto de cero apareció mucho después
actualmente este sistema lleva 10 dígitos que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ya que
con estos números de unidades se puede realizar cualquier numero solo se
posicionan en un lugar especifico y esto produce una cantidad por la posición de
cada número se sabe si son unidades, decenas, centenas, etc. Las funciones que
se le dieron a los números una de las mas importantes fue algo tan simple como
contar algún numero de cosas ya que esto facilitaría muchas cosa ya que con esto
también es mas fácil ordenas las cosas y unas de las más importantes que sería
expresar medidas y realizar cálculos matemáticos ya que muchas cosas de la
actualidad no se podría realizar sin sabes la medidas exactas y sin hacer cálculos
para saber si es correcto. Los romanos no tiene cero por lo que lo hace muy difícil
hacer cálculos matemáticos y es por eso que solo se utiliza para fines decorativos
pero no podemos negar que todos los sistemas de numeración pasados fueron
muy útiles en su tiempo ya que el hecho de no tenerlos podía ser muy malo para
el desarrollo de la humanidad y es por ello que el sistema hindo-arabigo fue muy
importe pues ya que sin este tipo de numeración no se podrían hacer operaciones
matemáticas muy complejas que hoy en día son esenciales para áreas tan
importantes como son el área de medicina, informática, arquitectura entro otras, se
puede decir que gracias a los numero el desarrollo humano fue mejorando con el
paso del tiempo.

3. Sistema de numeración egipcio
Un sistema decimal y aditivo, 3 milenios antes de la era de Cristo, los egipcios ya
contaban con el primer sistema desarrollado de numeración con base 10
contaban de diez en diez, por lo que cada símbolo lo podían repetir hasta nueve
veces para poder utilizar el siguiente
Los números egipcios eran representados con diversas figuras.
Utilizaba el principio aditivo: había que sumar los valores de los numerales
utilizados para escribir un número.
El orden en el que acomodaban los símbolos no era importante, ya que cada
símbolo tenía un único valor; es decir que su sistema de numeración no era
posicional, por ello no necesitaron el cero, de esta manera, independientemente
del orden en que éstos se presentaban, el valor no cambiaba.
La orientación para su escritura era indistinta: se podían escribir de izquierda a
derecha, al revés o de arriba abajo, modificando la orientación de las figuras
según el caso. Muchas veces esta disposición numérica variaba para lograr una
mayor armonía estética, y solían ir acompañados de los jeroglíficos
correspondientes al tipo de objeto cuyo número indicaban.
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los
números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para
representar los distintos órdenes de unidades.
Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos,
y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de
objeto animales, prisioneros, vasijas etc. Se usaban tantos de cada uno
cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a
derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las
figuras según el caso.

4. Sistema de numeración griego
Los griegos utilizaban para representar sus números las letras de su alfabeto, para
lo cual asignaban una letra a cada una de las unidades, una letra a cada una de
las decenas y una letra a cada una de las centenas. El sistema se basaba en un
principio de sumar, es decir, la suma de todas las letras da como resultado la cifra
indicada y utilizaban un signo agudo (‘) para dar a entender que se trataba de
cifras. Para representar los números comprendidos entre 1.000 y 999.999 se
utilizaban estas mismas letras con una coma delante.
Algunos ejemplos:
24: κδʹ
538: φληʹ
1425: ͵αυκε
2007: ,βζ
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C.
Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura
siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas
como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas,
para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos
verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de
la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se
llama a este sistema acrofónico. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se
obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un
principio multiplicativo, progresivamente este sistema ático fue
reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto
griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente, De
esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por
letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, solo se tiene
sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen.

5. Los números naturales son los que sirven para designar la cantidad de elementos que
tiene un cierto conjunto y se le denomina cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales están estructuralmente ordenados y presentan un vínculo
en el valor de cada cifra, el número más pequeño (primo) y otro con más valor se
representa de la siguiente manera: pequeño < mayor. Si se presentara otro
número natural podríamos decir Número Pequeño + otro número = mayor, si lo
traspalamos nos reflejaría lo siguiente:
Número pequeño: F
Número mayor: E
Otro número: H
F<E
F+H=E
Los números naturales son infinitos. El conjunto de ellos se designa por N:
N=(O, 1, 2, 3,4……..10, 11,12).
Entre los números naturales están definidas las operaciones y multiplicaciones. El
resultado de sumar o multiplicar 2 números naturales, es también un numero natural, por
lo que se les denomina como operaciones internas, sin embargo, no es una operación
interna en N, Pues la diferencia de 2 números naturales puede no ser un numero natural
(no lo es cuando el número que se está sustraendo es mayor que el minuendo).Para eso
se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un numero de
otro, cuales quiera que sean estos.

6. Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad
humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y
multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de
un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números
negativos) resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los
naturales.
Concepto de número natural
El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan
el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural
4 representa a un conjunto formado por cuatro elementos. El conjunto de los números
naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, ...}. En sentido estricto, este conjunto no contiene
al cero; si se quiere incluir este elemento en el conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4,
...}. Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este
conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él
pueden definirse operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como
relaciones de orden (mayor que, menor que).
Números enteros
De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado
por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por
Z, e incluye como subconjunto al de los números naturales; es decir: N Ì Z.
En sentido estricto, un número entero se define como una clase de equivalencia del
conjunto de pares de la correspondencia N x N, de manera que a cada par de elementos
(n1, n2) le hace corresponder un número entero z definido como z = n1 - n2. Por ejemplo,
los pares (1,3), (2,4), (14,16), (20,22), etc., son equivalentes y corresponden a una misma
clase de equivalencia representada por el número entero -2.
El termómetro común permite efectuar lecturas en el conjunto de los números enteros, ya
que expresa valores de temperatura positivos o negativos, sin considerar posibles cifras
decimales.
Representación de los números enteros
El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de
valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta,
sino que entre ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z. En esta
distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es mayor o igual que m (n ³
m) si n - m es un número entero positivo o cero. En virtud de ello, el de los números
enteros es un conjunto ordenado.
Representación gráfica del conjunto Z.

7. Números racionales son aquellos que pueden representarse como cociente de dos
números enteros. Es decir, los podemos representar mediante una fracción a/b,
donde a y b son números enteros y además b es distinto de cero.
El término “racional” proviene de razón, como parte de un todo (por
ejemplo: “Tocamos a razón de tres por persona”).
Cada número racional se puede representar con infinitas fracciones equivalentes.
Por ejemplo, el número racional 2.5 se puede representar con las siguientes
fracciones:
Y con todas las fracciones equivalentes a éstas.
El conjunto de todos los números racionales se representa con el siguiente
símbolo:
Fíjate en que cualquier número entero es también un número racional pues puede
representarse como cociente de dos números enteros.
Por ejemplo, el número 5 puede representarse con las siguientes fracciones:
Esto quiere decir que el conjunto de los números enteros está contenido en el
conjunto de los números racionales, que matemáticamente se escribe:
Para completar los números de la recta numérica, o números
reales, existen números que no pueden representarse mediante el cociente de dos
números enteros.
Estos números se denominan números irracionales, y los más conocidos son estos:

8. Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción, el decimal sigue
para siempre sin repetirse.
Dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, son:
Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver
alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o
anidados.
Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a
través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de
operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría,
logaritmos, exponenciales, etc.
Este último, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación
algebraica.
Números irracionales famosos
Existen números irracionales que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones
específicas, algunos de ellos son:
Pi, o como se conoce mejor con su símbolo π, es el más conocido de los números
irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el
cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro.La
aproximación de su número es 3.141592653589…
e utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler. Sus primeros
decimales son 2,718281828459…
El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi, en especial se lo
conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación
es 1,618033988749…

9. Son números complejos cuya parte real es igual a cero. Un número imaginario puede
describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde la letra i
denota la raíz cuadrada de -1. Al número imaginario i se le denomina también constante
imaginaria.
Propiedades:
Partiendo de que la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un
número imaginario (por ejemplo: √¯-36 = √¯(-36) (-1) = √¯36 √¯-1 = 6 i ).
1.-Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo ( i² = -1 ) .
2.-Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números
complejos.
3.-Los números imaginarios, al igual que los números reales, no pueden ser ordenados de
acuerdo a su valor.
4.-Para los números imaginarios no se cumple: 1 > 0 y -1 < 0.
5.-Los números imaginarios formalmente no pertenecen al conjunto de los números
reales ni al conjunto de los números racionales.
6.-El número imaginario es tan real como cualquier otro natural, entero o fraccionario, ya
que se ocupa igualmente para describir la realidad, y es tan racional y entendible como
cualquier número irracional.
7.-Estos tienen una infinita cantidad de decimales.
Al multiplicar un número complejo por la unidad imaginaria rota un ángulo e 90º, pero
mantiene su valor absoluto.
Uno de los valores de ii es un número real.
Notación de un número imaginario
Un número imaginario se denota por bi, donde: b es un número real e i es la unidad
imaginaria: √¯-1 = a i. Cada número imaginario puede ser escrito también como i·r donde r
es un número real e i es la unidad imaginaria.
Los valores de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro. Los
números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.

10. Numero reales
El conjunto de los números reales, representado por la letra r pertenece en matemáticas a
la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales
Un número real puede ser expresado de diferentes maneras por un lado están los
números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad ya que no poseen reglas
complejas para hacerlo.
Números racionales
Es todo un número que puede representarse como el cociente de los números enteros o
más precisamente, un entero y un natural positivo, es decir una fracción común a/b con
numerador a y denominador b distinto de cero, los números racionales permiten expresar
medidas cuando se compara una cantidad con su unidad. Se obtiene por lo general un
resultado de fracción.
Diferencias entre número racionales y reales
-Los números reales pueden ser racionales o irracional y pueden tomar cualquier valor
expresado en una recta numérica; mientras que los números racionales son los que
pueden expresarse en forma de fracción, pero con un denominador distinto de cero.
-Los números reales incluyen (pero no se limitan): números positivos, negativos, enteros,
racionales, raíces cuadradas, raíces cúbicas…
-Los números racionales incluyen: 3/4 como una forma de fracción. Raíz cuadrada de 16,
que sería 4 y podría expresarse como 4/1.

11. Introducción
La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La
expresión y el concepto se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, y aparecen
como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot,
1977 y 1982). Anteriormente, los matemáticos Cantor y Peano, entre otros, definen
objetos catalogables dentro de esta categoría, pero no son reconocidos como tales.
Desarrollo
Empezaremos por conocer el concepto de fractal desde el método matematico:
¿Qué es un fractal?
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de auto similitud a cualquier
escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal.
Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente
mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.
Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son
considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas,
las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no
así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.
Ahora aquí están algunas de las características de estos fractales:
Características
Si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el
mismo aspecto independientemente de cuál sea la escala que utilizamos, y formando
parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen
una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal
con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que
sirva de referencia para ver cuál es el tamaño, resultaría difícil decir cuál es de las
ampliaciones es mayor o si son distintas. Los fractales desde su primera formulación
tuvieron una vocación práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza. Fue el
propio Benoit Mandelbrot quién tuvo el mérito de intuir la potencia de los fractales para
construir modelos que explicasen la realidad, desde un inicio Mandelbrot, se dedicó al
problema de medir la costa de Gran Bretaña usándolos.
¿Cómo se construye un fractal?
Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va iterando
un número arbitrario de veces. Aunque otra forma de lograrlo es mediante la aplicación
de técnicas de recursividad. Con estos dos métodos es como solemos conseguir la auto
similitud de los fractales.
Tan importante es la elección de la formula como la elección del método de coloreado de
los resultados. En relación a esto, existen multitud de técnicas de coloreado como pueden
ser:

12. ● Coloreado mediante el algoritmo de tiempo de escape.
● Coloreado por convergencia a soluciones de una ecuación.
● Cualquier otro que puedas imaginar.
Fractales naturales
Existen multitud de fractales naturales en las cosas más insignificantes, y que pasamos por
alto cada día. Estos fractales no son infinitos (porque fuera del elegante universo de las
matemáticas ese concepto es difícil), pero si son auto similar a muchos niveles.
Claros ejemplos de estos fractales son:
Ejemplos
Hoja Corales Romanesco
¿Qué representa un fractal?
Los fractales son la representación geométrica de una expresión analítica. Toda
representación geométrica tiene una expresión analítica detrás y toda expresión analítica
puede ser representada gráficamente.
Conclusión:
Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y de la geometría fractal, los científicos
han podido comprender cómo sistemas que anteriormente se creían totalmente caóticos,
ahora exhiben patrones predecibles. Una de las contribuciones más significativas de la
geometría fractal ha sido su capacidad para modelar fenómenos naturales. Esta teoría
también ha contribuido a otros campos tan diversos como la lingüística, la psicología, las
técnicas de compresión de imágenes digitales, la superconductividad y otras aplicaciones
electrónicas. En definitiva podemos decir que los fractales son una buena herramienta
que nos ayuda y ayudará en muchas aplicaciones, y explicaciones de fenómenos de la vida
real, y que es un campo de las matemáticas muy joven que aún tiene bastante recorrido
por delante.