1) Los documentos describen la historia y evolución de los sistemas de numeración, incluyendo los sistemas egipcio, romano, hindú-arábigo y griego. 2) Los números naturales representan cantidades y pueden ordenarse, mientras que los enteros incluyen también los números negativos. 3) Los sistemas primitivos como el egipcio no eran posicionales y carecían del cero, mientras que el sistema hindú-arábigo actual es posicional y cuenta con 10 dígitos incluyendo el cero.

1. Actividad 1.2
NUMEROS COMPLEJOS.
(Números naturales, enteros, racionales, reales
y complejos)
Lic. Edgar Mata Ortiz
Alumno: Jesus Daniel Noriega Soto

2. EL ORIGEN DE LO NUMEROS
Saber el origen de los números es algo que no se puede saber con exactitud ya
que el uso de los mismo se cree que fue hace mas de 400,000 mil años ya que se
cree que en los tiempos primitivos contaban con ayuda de los dedos de las manos
o con marcas en algunas superficies que ello podían marcar con mas facilidad,
con el paso del tiempo tuvieron que ir utilizando números mas grandes y para ello
lo primo que se implemento fue algo así como la escritura de los romanos una
figura para simular un numero después de la seguida de otra para similar otra
cantidad de numero, acomodarlos uno después de otro como los romanos que
que tenían un total de 7 símbolos, para el hombre primitivo fue de ayuda para el
conteo de su vida diaria que para ellos eran indispensables luego de esto, la
numeración de los romanos todavía es utilizada en algunos libros para los siglos
cosas muy mínimas que no necesitan de cálculos matemáticos y esto pueden
representar los números, es sistema de numeración que manejamos hoy en día es
gracias a los hindúes y parte a los árabes, esto paso aproximadamente hace 1200
años los árabes al hacer viajes comerciales por la india un día uno ellos encontró
un libro escrito a mano por un hindú sobre la aritmética ellos mismos quisieron
adoptar el sistema para usarlo para ellos mismo el libro fue llevado a Europa por
ellos y fue cuando este sistema se dio a conocer a todo el mundo ya que los
españoles lo tomaron y lo tradujeron al latín este sistema al ser mas complicado al
romano que era el que se usaba tarde en ser aceptado el mismo fue sometido a
considerables cambios con las copias manuscritas que se iban haciendo esto
termino para el año de 1415 que fue cuando inicio la primera imprenta haciendo
menos fácil el cambio de símbolos es por esto que a este sistema se le llama
hindo-arabiga. Originalmente el sistema hindú contaba con 9 numeros el concepto
de cero apareció mucho después actualmente este sistema lleva 10 dígitos que
son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ya que con estos números de unidades se puede
realizar cualquier numero solo se posicionan en un lugar especifico y esto
produce una cantidad por la posición de cada numero se sabe si son unidades,
decenas, centenas, etc. Las funciones que se le dieron a los números una de las
mas importantes fue algo tan simple como contar algún numero de cosas ya que
esto facilitaría muchas cosa ya que con esto también es mas fácil ordenas las
cosas y unas de las mas importantes que seria expresar medidas y realizar
cálculos matemáticos ya que muchas cosas de la actualidad no se podría realizar
sin sabes la medidas exactas y sin hacer cálculos para saber si es correcto. Los
romanos no tiene cero por lo que lo hace muy difícil hacer cálculos matemáticos y
es por eso que solo se utiliza para fines decorativos pero no podemos negar que
todos los sistemas de numeración pasados fueron muy útiles en su tiempo ya que
el hecho de no tenerlos podía ser muy malo para el desarrollo de la humanidad y
es por ello que el sistema hindo-arabigo fue muy importe pues ya que sin este tipo
de numeración no se podrían hacer operaciones matemáticas muy complejas que
hoy en día son esenciales para áreas tan importantes como son el área de
medicina, informática, arquitectura entro otras, se puede decir que gracias a los
numero el desarrollo humano fue mejorando con el paso del tiempo.

3. SISTEMA DE NUMERACION EGIPCIO
Un sistema decimal y aditivo, 3 milenios antes de la era de Cristo, los egipcios ya
contaban con el primer sistema desarrollado de numeración con base 10
contaban de diez en diez, por lo que cada símbolo lo podían repetir hasta nueve
veces para poder utilizar el siguiente
Los números egipcios eran representados con diversas figuras.
Utilizaba el principio aditivo: había que sumar los valores de los numerales
utilizados para escribir un número.
El orden en el que acomodaban los símbolos no era importante, ya que cada
símbolo tenía un único valor; es decir que su sistema de numeración no era
posicional, por ello no necesitaron el cero, de esta manera, independientemente
del orden en que éstos se presentaban, el valor no cambiaba.
La orientación para su escritura era indistinta: se podían escribir de izquierda a
derecha, al revés o de arriba abajo, modificando la orientación de las figuras
según el caso. Muchas veces esta disposición numérica variaba para lograr una
mayor armonía estética, y solían ir acompañados de los jeroglíficos
correspondientes al tipo de objeto cuyo número indicaban.
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema deescribir los
números en base diez utilizando los geroglíficos de la figura para representar
los distintos ordenes de unidades.
Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y
solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto
animales, prisioneros, vasijas etc. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera
necesario y se podian escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés
o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.

4. SISTEMA DE NUMERACION GRIEGO
Los griegos utilizaban para representar sus números las letras de su alfabeto, para
lo cual asignaban una letra a cada una de las unidades, una letra a cada una de
las decenas y una letra a cada una de las centenas. El sistema se basaba en un
principio de sumar, es decir, la suma de todas las letras da como resultado la cifra
indicada y utilizaban un signo agudo (‘) para dar a entender que se trataba de
cifras. Para representar los números comprendidos entre 1.000 y 999.999 se
utilizaban estas mismas letras con una coma delante.
Algunos ejemplos:
24: κδʹ
538: φληʹ
1425: ͵αυκε
2007: ,βζ
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un
sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para
representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario
según el principio de las numeraciones aditivas, para representar la unidad y
los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las
letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y
mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico ,Los símbolos
de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5,
usando un principio multiplicativo, progresivamente este sistema ático fue
reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto
con algunos otros símbolos según la tabla siguiente, De esta forma los
números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las
palabras tienen un valor numérico, solo se tiene sumar las cifras que
corresponden a las letras que las componen.

5. Propiedades de los números
naturales
Los números naturales son los que sirven para designar la cantidad de elementos que
tiene un cierto conjunto y se le denomina cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales están estructuralmente ordenados y presentan un vínculo
en el valor de cada cifra, el número más pequeño (primo) y otro con más valor se
representa de la siguiente manera: pequeño < mayor. Si se presentara otro
número natural podríamos decir Número Pequeño + otro número = mayor, si lo
traspalamos nos reflejaría lo siguiente:
Numero pequeño : F+H=E
Numero mayor
.3: E F<E
Otro numero: H
Los números naturales son infinitos. El conjunto de ellos se designa por N:
N=(O, 1, 2, 3,4……..10, 11,12).
Entre los números naturales están definidas las operaciones y
multiplicaciones. El resultado de sumar o multiplicar 2 números naturales, es
también un numero natural, por lo que se les denomina como operaciones
internas, sin embargo, no es una operación interna en N, Pues la diferencia
de 2 números naturales puede no ser un numero natural (no lo es cuando el
número que seestá sustraendo es mayor que el minuendo).Para eso se crea
el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un numero
de otro, cuales quiera que sean estos.

6. Números Naturales Y Enteros
Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad humana
inmediata,losque se usanenlasoperacionessencillasde suma,restaymultiplicación.Enesencia,
los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los
enteros(que sonlosnaturalesmás el ceroy losnúmerosnegativos) resultanintuitivamente de las
operaciones de sustracción realizadas con los naturales.
Concepto de número natural
El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el
número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4
representa a un conjunto formado por cuatro elementos.
El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4, ...}. En sentido estricto, este
conjuntonocontiene al cero; si se quiere incluireste elementoenel conjunto, se denota por N* =
{0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto
puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse
operacionesde suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que,
menor que).
Números enteros
De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los
elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye
como subconjunto al de los números naturales; es decir: N Ì Z.
En sentidoestricto,unnúmeroenterose define como una clase de equivalencia del conjunto de
pares de la correspondencia N x N, de manera que a cada par de elementos (n1, n2) le hace
corresponder un número entero z definido como z = n1 - n2. Por ejemplo, los pares (1,3), (2,4),
(14,16), (20,22), etc., son equivalentes y corresponden a una misma clase de equivalencia
representada por el número entero -2.
Representación de los números enteros
El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como una serie de valores
discretos marcados sobre una recta. Así, los números enteros no llenan la recta, sino que entre
ellos existen infinitos puntos que no pertenecen al conjunto Z.
En estadistribución,se dice que,dadosdosnúmeros enteros n y m, n es mayor o igual que m (n ³
m) si n - m esun númeroenteropositivoocero.En virtudde ello,el de losnúmeros enteros es un
conjunto ordenado.

7. Propiedades de números racionales
Los números racionales son aquellos que pueden representarse como
cociente de dos números enteros. Es decir, los podemos representar
mediante una fracción a/b, donde a y b son números enteros y además b es
distinto de cero.
El término “racional” proviene de razón, como parte de un todo (por
ejemplo: “Tocamos a razón de tres por persona”.
Cada número racional se puede representar con infinitas fracciones
equivalentes. Por ejemplo, los siguientes números racionales se puede
representar con las siguientes fracciones:
Y con todas las fracciones equivalentes a éstas, el conjunto de todos
los números racionales se representa con el siguiente símbolo:

8. Fíjate en que cualquier número entero es también un número racional pues
puede representarse como cociente de dos números enteros, por ejemplo, el
número 5 puede representarse con las siguientes fracciones:
Esto quiere decir que el conjunto de los números enteros está contenido en
el conjunto de los números racionales, que matemáticamente se escribe:
Para completar los números de la recta numérica, o números reales, existen
números que no pueden representarse mediante el cociente de dos números
enteros.
Estos números se denominan números irracionales, y los más conocidos
son estos:

9. La raíz cuadrada de un número
racional
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción, el decimal sigue
para siempre sin repetirse.
Dentro de los números irracionales hay más tipos para clasificar, son:
Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que surgen de resolver
alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o
anidados.
Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a
través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de
operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría,
logaritmos, exponenciales, etc.
Este último, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación
algebraica.
Números irracionales famosos
Existen números irracionales que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones
específicas, algunos de ellos son:
Pi, o como se conoce mejor con su símbolo π, es el más conocido de los números
irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el
cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro.La
aproximación de su número es 3.141592653589…
e utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler. Sus primeros
decimales son 2,718281828459…
El número áureo o razón de oro, representado con la letra griega ϕ o phi, en especial se lo
conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación
es 1,618033988749…

10. NUMEROS REALES Y RACIONALES
Numero reales
El conjunto de los números reales, representado por la letra r pertenece en matemáticas a
la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales
Un numero real puede ser expresado de diferentes maneras por un lado estan los
números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad ya que no poseen reglas
complejas para hacerlo.
Números racionales
Es todo un numero que puede representarse como el cociente de los números enteros o
mas precisamente, un entero y un natural positvo, es decir una fracción común a/b con
numerador a y denominador b distinto de cero, los números racionales permiten expresar
medidas cuando se compara una cantidad con su unidad. Se obtiene por lo general un
resultado de fracción.
Diferencias entre numero racionales y reales
-Los números reales pueden ser racionales o irracional y pueden tomar cualquier valor
expresado en una recta numérica; mientras que los números racionales son los que
pueden expresarse en forma de fracción, pero con un denominador distinto de cero.
-Los números reales incluyen (pero no se limitan): números positivos, negrativos, enteros,
racionales, raíces cuadradas, raíces cúbicas…
-Los números racionales incluyen: 3/4 como una forma de fracción. Raíz cuadrada de 16,
que sería 4 y podría expresarse como 4/1.

11. Numeros imaginarios
Son númeroscomplejos cuya parte real es igual a cero. Un número imaginario puede describirse
como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde la letra i denota la raíz
cuadrada de -1. Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.
Propiedades:
Partiendode que laraíz cuadrada de cualquiernúmeroreal negativo,dapor resultado un número
imaginario (por ejemplo: √¯-36 = √¯(-36) (-1) = √¯36 √¯-1 = 6 i ).
1.-Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo ( i² = -1 ) .
2.-Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números
complejos.
3.-Los númerosimaginarios,al igual que losnúmerosreales,nopuedenserordenadosde acuerdo
a su valor.
4.-Para los números imaginarios no se cumple: 1 > 0 y -1 < 0.
5.-Los números imaginarios formalmente no pertenecen al conjunto de los números reales ni al
conjunto de los números racionales.
6.-El número imaginario es tan real como cualquier otro natural, entero o fraccionario, ya que se
ocupa igualmenteparadescribirlarealidad,yestanracional y entendible comocualquiernúmero
irracional.
7.-Estos tienen una infinita cantidad de decimales.
Al multiplicarunnúmero complejo por la unidad imaginaria rota un ángulo e 90º, pero mantiene
su valor absoluto.
Uno de los valores de ii es un número real.
Notación de un número imaginario
Un númeroimaginariose denotaporbi,donde:bes unnúmeroreal e i es launidadimaginaria:√¯-
1 = a i.Cada númeroimaginariopuedeserescritotambién como i·r donde r es un número real e i
es la unidad imaginaria.
Los valoresde las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro. Los números
imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.

12. Los Fractales
La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. La
expresión y el concepto se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, y aparecen
como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot,
1977 y 1982). Anteriormente, los matemáticos Cantor y Peano, entre otros, definen
objetos catalogables dentro de esta categoría, pero no son reconocidos como tales.
¿QUE ES UN FRACTAL?
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de auto similitud a cualquier
escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal.
Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace
arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.
Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son
considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las
montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo
no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son
ideales.
CARACTERÍSTICAS
Si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el
mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando
parte, como en un mosaico de los elementos mayores. Es decir estos elementos tienen
una estructura geométrica recursiva. Si observamos dos fotografías de un objeto fractal
con escalas diferentes (una en metros y otra en milímetros, por ejemplo) sin nada que
sirva de referencia para ver cuál es el tamaño, resultaría difícil decir cuál es de las
ampliaciones es mayor o si son distintas. Los fractales desde su primera formulación
tuvieron una vocación práctica de servir como modelos para explicar la naturaleza. Fue el
propio Benoit Mandelbrot quién tuvo el mérito de intuir la potencia de los fractales para
construir modelos que explicasen la realidad, desde un inicio Mandelbrot, se dedicó al
problema de medir la costa de Gran Bretaña usándolos.
¿Cómo se construye un fractal?
Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va
iterando un número arbitrario de veces. Aunque otra forma de lograrlo es mediante la
aplicación de técnicas de recursividad. Con estos dos métodos es como solemos
conseguir la auto similitud de los fractales.
Tan importante es la elección de la formula como la elección del método de coloreado
de los resultados. En relación a esto, existen multitud de técnicas de coloreado como
pueden ser:
 Coloreado mediante el algoritmo de tiempo de escape.
 Coloreado por convergencia a soluciones de una ecuación.
 Cualquier otro que puedas imaginar.

13. Fractales naturales
Existen multitud de fractales naturales en las cosas más insignificantes, y que pasamos
por alto cada día. Estos fractales no son infinitos (porque fuera del elegante universo
de las matemáticas ese concepto es difícil), pero si son auto similar a muchos niveles.
Claros ejemplos de estos fractales son:
¿Qué representa un fractal?
Los fractales son la representación geométrica de una
expresión analítica. Toda representación geométrica tiene
una expresión analítica detrás y toda expresión analítica
puede ser representada gráficamente.
Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y de la geometría fractal, los
científicos han podido comprender cómo sistemas que anteriormente se creían
totalmente caóticos, ahora exhiben patrones predecibles. Una de las contribuciones
más significativas de la geometría fractal ha sido su capacidad para modelar
fenómenos naturales. Esta teoría también ha contribuido a otros campos tan
diversos como la lingüística, la psicología, las técnicas de compresión de imágenes
digitales, la superconductividad y otras aplicaciones electrónicas. En definitiva
podemosdecir que los fractalesson una buenaherramienta que nos ayuda y ayudará enmuchas
aplicaciones,y explicacionesde fenómenosde lavida real,y que es un campo de las
matemáticas muy jovenque aún tiene bastante recorridopor delante.