Este documento describe diferentes medidas de posición y distribución de frecuencias. Explica la media aritmética, geométrica y armónica, así como la mediana. La media aritmética es la suma de todos los valores dividida por el número total de observaciones. La mediana es el valor central de la distribución que deja la misma cantidad de datos a cada lado. También cubre conceptos como intervalos y frecuencias acumuladas para calcular medidas cuando los datos están agrupados.
El documento describe métodos de análisis de regresión y correlación lineal simple, incluyendo el coeficiente de correlación de Pearson, el coeficiente de correlación de Spearman, y el análisis de regresión lineal simple usando el método de mínimos cuadrados ordinarios. También discute pruebas de hipótesis, evaluación de supuestos, y abusos comunes de la regresión lineal simple.
Este documento describe conceptos clave relacionados con las reacciones redox. Define oxidación como la pérdida de electrones y reducción como la ganancia de electrones. Explica los estados de oxidación de los átomos y las reglas para determinarlos. Describe las reacciones redox como aquellas que involucran un agente oxidante y reductor, y cómo se oxidan y reducen. Además, cubre conceptos como celdas electroquímicas, ánodos, cátodos, potenciales de electrodo y la ecuación de Nernst.
Este documento introduce los conceptos de enlaces químicos y la clasificación de los diferentes tipos de enlaces. Explica que los enlaces químicos mantienen unidos a los átomos a través de la transferencia o compartición de electrones. Los principales tipos de enlaces son los enlaces iónicos, covalentes y metálicos. También describe los símbolos de Lewis, la regla del octeto, y las propiedades de los compuestos iónicos y covalentes.
Un ácido de Bronsted es una sustancia que puede donar un protón, mientras que una base de Bronsted puede aceptar un protón. El agua puede actuar como ácido o base dependiendo de la sustancia con la que reaccione. El pH es una medida de la acidez o basicidad de una solución acuosa y se define como el logaritmo negativo de la concentración de iones hidrógeno.
Este documento describe los diferentes tipos de isómeros, incluyendo constitucionales, estereoisómeros y conformacionales. También explica las reacciones de adición, eliminación y sustitución en compuestos cíclicos, señalando cómo la estereoquímica afecta la regioespecificidad y estereoespecificidad de las reacciones.
El documento explica conceptos fundamentales de química como el número de oxidación, iones, moléculas, óxidos, peróxidos, compuestos binarios, hidrogenación, hidruros, hidrocarburos y silanos. Define cada uno de estos términos y describe sus características principales.
La desviación estándar mide cuánto se desvían las puntuaciones de un grupo respecto a su media, y cuanto mayor es la desviación estándar más dispersas están las puntuaciones. Se utiliza para determinar la confiabilidad de datos y normalizar puntuaciones en una escala estandarizada. Cuando la desviación estándar es pequeña, la media es más representativa del grupo completo.
El documento describe métodos de análisis de regresión y correlación lineal simple, incluyendo el coeficiente de correlación de Pearson, el coeficiente de correlación de Spearman, y el análisis de regresión lineal simple usando el método de mínimos cuadrados ordinarios. También discute pruebas de hipótesis, evaluación de supuestos, y abusos comunes de la regresión lineal simple.
Este documento describe conceptos clave relacionados con las reacciones redox. Define oxidación como la pérdida de electrones y reducción como la ganancia de electrones. Explica los estados de oxidación de los átomos y las reglas para determinarlos. Describe las reacciones redox como aquellas que involucran un agente oxidante y reductor, y cómo se oxidan y reducen. Además, cubre conceptos como celdas electroquímicas, ánodos, cátodos, potenciales de electrodo y la ecuación de Nernst.
Este documento introduce los conceptos de enlaces químicos y la clasificación de los diferentes tipos de enlaces. Explica que los enlaces químicos mantienen unidos a los átomos a través de la transferencia o compartición de electrones. Los principales tipos de enlaces son los enlaces iónicos, covalentes y metálicos. También describe los símbolos de Lewis, la regla del octeto, y las propiedades de los compuestos iónicos y covalentes.
Un ácido de Bronsted es una sustancia que puede donar un protón, mientras que una base de Bronsted puede aceptar un protón. El agua puede actuar como ácido o base dependiendo de la sustancia con la que reaccione. El pH es una medida de la acidez o basicidad de una solución acuosa y se define como el logaritmo negativo de la concentración de iones hidrógeno.
Este documento describe los diferentes tipos de isómeros, incluyendo constitucionales, estereoisómeros y conformacionales. También explica las reacciones de adición, eliminación y sustitución en compuestos cíclicos, señalando cómo la estereoquímica afecta la regioespecificidad y estereoespecificidad de las reacciones.
El documento explica conceptos fundamentales de química como el número de oxidación, iones, moléculas, óxidos, peróxidos, compuestos binarios, hidrogenación, hidruros, hidrocarburos y silanos. Define cada uno de estos términos y describe sus características principales.
La desviación estándar mide cuánto se desvían las puntuaciones de un grupo respecto a su media, y cuanto mayor es la desviación estándar más dispersas están las puntuaciones. Se utiliza para determinar la confiabilidad de datos y normalizar puntuaciones en una escala estandarizada. Cuando la desviación estándar es pequeña, la media es más representativa del grupo completo.
Este documento presenta un resumen de la historia de la estadística. Comienza describiendo los primeros registros estadísticos en el antiguo Egipto y continúa explicando cómo los romanos, griegos y otros pueblos antiguos realizaron censos y recopilaron datos. Luego describe el desarrollo de la estadística matemática en los siglos XVII y XVIII y cómo se aplicó a problemas sociales y económicos. Finalmente, resume las tres etapas principales en la historia de la estadística:
El documento es un manual de estadística que contiene 7 capítulos. El índice muestra que los capítulos cubren la historia de la estadística, distribuciones de frecuencias, distribuciones bidimensionales, números índices, series temporales, variables aleatorias y probabilidad. El manual fue editado por David Ruiz Muñoz de la Universidad Pablo de Olavide.
Cómo calcular la amplitud de intervalo de un conjunto de datos numéricosJoooseee
Esta presentación muestra de forma resumida la manera de calcular la amplitud intervalar de un conjunto de datos numéricos, con el fin de tabularlos de mejor manera en una tabla de frecuencias.
La gráfica ojiva muestra la distribución de frecuencias de datos, indicando cuántas observaciones se encuentran por encima o debajo de ciertos valores. En Excel, se puede crear una gráfica ojiva usando la función FRECUENCIA. Se agrega un eje X con los límites inferiores y ceros en Y. Luego se seleccionan los datos para generar automáticamente la gráfica ojiva.
El documento describe los conceptos estadísticos de moda, mediana y media. La moda es el valor que se repite con más frecuencia. La mediana es el valor central cuando los datos están ordenados. La media se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el total. También explica cómo calcular estos valores para datos agrupados en intervalos de frecuencias.
El documento explica conceptos estadísticos básicos como parámetros, estadísticos, medidas de tendencia central (media, mediana, moda), medidas de posición (cuartiles, deciles, percentiles), medidas de dispersión (rango, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación) y medidas de forma (asimetría, curtosis). Define cada concepto y ofrece ejemplos para ilustrar cómo calcularlos en diferentes tipos de datos.
El documento describe la moda y la mediana. La mediana es el valor central de un conjunto de datos ordenados. Si la cantidad de datos es impar, la mediana es el valor central. Si es par, es el promedio de los dos valores centrales. La moda es el valor que más se repite en los datos.
Este documento define y explica los conceptos de moda y mediana. La moda es el valor que se repite con mayor frecuencia en un conjunto de datos, ya sea cualitativo o cuantitativo. La mediana es el valor central de los datos cuando están ordenados de menor a mayor, y solo se puede calcular para datos cuantitativos. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cómo calcular la moda y la mediana.
la moda en estadistica por marianela pachacamajdtmarianela
Este documento define la moda como el valor que más se repite en una distribución de datos. Explica que la moda es una medida de tendencia central y que representa la frecuencia más alta en una tabla de frecuencias. También describe cómo calcular la moda para datos agrupados en intervalos usando la fórmula que involucra la frecuencia absoluta anterior, la frecuencia absoluta posterior y el ancho del intervalo.
Este documento presenta conceptos básicos de estadística descriptiva. Explica que la estadística es una herramienta útil para el análisis de datos y la toma de decisiones. Se dividen los temas en presentación y organización de datos, medidas de tendencia central, gráficos estadísticos y ejemplos ilustrativos.
Este documento explica la prueba de Chi-cuadrado, una prueba estadística no paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución observada en una muestra y una distribución teórica esperada. Describe la naturaleza y cálculo de la prueba de Chi-cuadrado, incluyendo la formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa. También proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar la prueba y determinar si se acepta o rechaza la hipótesis n
Este documento presenta una introducción a la estadística. Explica brevemente la historia y el desarrollo de la estadística desde sus orígenes en la recolección de datos por gobernantes antiguos hasta su uso actual como herramienta en todas las ciencias. También describe cómo la tecnología ha permitido el análisis de grandes volúmenes de datos. Finalmente, señala que debido a su amplio uso, existen diferentes definiciones de estadística dependiendo de cómo cada autor la utiliza.
El documento presenta los objetivos y contenidos de un curso de Estadística para estudiantes de Psicología. Los objetivos incluyen que los estudiantes conozcan los fundamentos teóricos y prácticos de la Estadística, desarrollen una visión de investigación basada en la objetividad y rigurosidad, y adquieran recursos para la toma de decisiones ante situaciones de incertidumbre. Los contenidos cubren conceptos estadísticos básicos, distribución de frecuencias, escalas de medición, aná
El profesor llevó un bote de cristal con boliches a clase y pidió a los estudiantes estimar la cantidad sin sacarlos. Los estudiantes dieron sus estimaciones y usaron medidas estadísticas como la media, moda y mediana de la muestra para determinar que había 24 boliches. La media, moda y mediana dieron el mismo resultado. El profesor confirmó que la cantidad correcta era 24 y señaló la importancia de discutir cuál medida central es la más consistente dependiendo de la distribución de los datos.
La entrevista se divide en 7 etapas: 1) Apertura, 2) Rapport, 3) Inicio formal, 4) Desarrollo, 5) Cima, 6) Cierre y 7) Reporte. En la apertura se saluda al entrevistado y se intenta crear un primer entendimiento. En el rapport se busca establecer una relación de confianza. En el inicio formal se presenta formalmente la entrevista. En el desarrollo y cima se profundiza en la información obtenida. En el cierre se finaliza formalmente y se da segu
Tamaño de muestra para datos cualitativos y cuantitativosAna Lucía Caballero
Este documento trata sobre el tamaño de la muestra para datos cuantitativos y cualitativos. Explica conceptos como variable, población, muestra, métodos de muestreo probabilísticos y no probabilísticos. Incluye fórmulas para calcular el tamaño de la muestra para proporciones y para medias. También presenta casos prácticos de cálculo del tamaño de muestra.
Como calcular los limites superiores e inferioreskaoko7
El documento explica cómo calcular los límites superior e inferior de una sucesión o función. Primero se define el límite superior como el mayor límite convergente de una subsucesión y el límite inferior como el menor. Luego, para calcular los límites de intervalos, se calcula el rango de los datos, se divide entre el número de intervalos para obtener la amplitud, y con esto se construyen los intervalos usando el valor mínimo y sumando la amplitud.
Este documento describe el cálculo de integrales definidas usando sumas de Riemann. Explica cómo dividir el intervalo en subintervalos para aproximar el área bajo la curva usando rectángulos inscritos y circunscritos. Al aumentar el número de subintervalos, las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos convergen al área real bajo la curva. Proporciona ejemplos para calcular el área bajo funciones como f(x)=x^2 y f(x)=100-3x^2 entre límit
El documento explica el concepto de integral definida según Riemann. Define una integral definida como el límite de la suma de Riemann cuando la partición tiende a cero. Presenta ejemplos de cálculo de áreas bajo curvas y propiedades de las integrales definidas.
Este documento presenta un resumen de la historia de la estadística. Comienza describiendo los primeros registros estadísticos en el antiguo Egipto y continúa explicando cómo los romanos, griegos y otros pueblos antiguos realizaron censos y recopilaron datos. Luego describe el desarrollo de la estadística matemática en los siglos XVII y XVIII y cómo se aplicó a problemas sociales y económicos. Finalmente, resume las tres etapas principales en la historia de la estadística:
El documento es un manual de estadística que contiene 7 capítulos. El índice muestra que los capítulos cubren la historia de la estadística, distribuciones de frecuencias, distribuciones bidimensionales, números índices, series temporales, variables aleatorias y probabilidad. El manual fue editado por David Ruiz Muñoz de la Universidad Pablo de Olavide.
Cómo calcular la amplitud de intervalo de un conjunto de datos numéricosJoooseee
Esta presentación muestra de forma resumida la manera de calcular la amplitud intervalar de un conjunto de datos numéricos, con el fin de tabularlos de mejor manera en una tabla de frecuencias.
La gráfica ojiva muestra la distribución de frecuencias de datos, indicando cuántas observaciones se encuentran por encima o debajo de ciertos valores. En Excel, se puede crear una gráfica ojiva usando la función FRECUENCIA. Se agrega un eje X con los límites inferiores y ceros en Y. Luego se seleccionan los datos para generar automáticamente la gráfica ojiva.
El documento describe los conceptos estadísticos de moda, mediana y media. La moda es el valor que se repite con más frecuencia. La mediana es el valor central cuando los datos están ordenados. La media se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el total. También explica cómo calcular estos valores para datos agrupados en intervalos de frecuencias.
El documento explica conceptos estadísticos básicos como parámetros, estadísticos, medidas de tendencia central (media, mediana, moda), medidas de posición (cuartiles, deciles, percentiles), medidas de dispersión (rango, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación) y medidas de forma (asimetría, curtosis). Define cada concepto y ofrece ejemplos para ilustrar cómo calcularlos en diferentes tipos de datos.
El documento describe la moda y la mediana. La mediana es el valor central de un conjunto de datos ordenados. Si la cantidad de datos es impar, la mediana es el valor central. Si es par, es el promedio de los dos valores centrales. La moda es el valor que más se repite en los datos.
Este documento define y explica los conceptos de moda y mediana. La moda es el valor que se repite con mayor frecuencia en un conjunto de datos, ya sea cualitativo o cuantitativo. La mediana es el valor central de los datos cuando están ordenados de menor a mayor, y solo se puede calcular para datos cuantitativos. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cómo calcular la moda y la mediana.
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Este documento presenta conceptos básicos de estadística descriptiva. Explica que la estadística es una herramienta útil para el análisis de datos y la toma de decisiones. Se dividen los temas en presentación y organización de datos, medidas de tendencia central, gráficos estadísticos y ejemplos ilustrativos.
Este documento explica la prueba de Chi-cuadrado, una prueba estadística no paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución observada en una muestra y una distribución teórica esperada. Describe la naturaleza y cálculo de la prueba de Chi-cuadrado, incluyendo la formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa. También proporciona un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar la prueba y determinar si se acepta o rechaza la hipótesis n
Este documento presenta una introducción a la estadística. Explica brevemente la historia y el desarrollo de la estadística desde sus orígenes en la recolección de datos por gobernantes antiguos hasta su uso actual como herramienta en todas las ciencias. También describe cómo la tecnología ha permitido el análisis de grandes volúmenes de datos. Finalmente, señala que debido a su amplio uso, existen diferentes definiciones de estadística dependiendo de cómo cada autor la utiliza.
El documento presenta los objetivos y contenidos de un curso de Estadística para estudiantes de Psicología. Los objetivos incluyen que los estudiantes conozcan los fundamentos teóricos y prácticos de la Estadística, desarrollen una visión de investigación basada en la objetividad y rigurosidad, y adquieran recursos para la toma de decisiones ante situaciones de incertidumbre. Los contenidos cubren conceptos estadísticos básicos, distribución de frecuencias, escalas de medición, aná
El profesor llevó un bote de cristal con boliches a clase y pidió a los estudiantes estimar la cantidad sin sacarlos. Los estudiantes dieron sus estimaciones y usaron medidas estadísticas como la media, moda y mediana de la muestra para determinar que había 24 boliches. La media, moda y mediana dieron el mismo resultado. El profesor confirmó que la cantidad correcta era 24 y señaló la importancia de discutir cuál medida central es la más consistente dependiendo de la distribución de los datos.
La entrevista se divide en 7 etapas: 1) Apertura, 2) Rapport, 3) Inicio formal, 4) Desarrollo, 5) Cima, 6) Cierre y 7) Reporte. En la apertura se saluda al entrevistado y se intenta crear un primer entendimiento. En el rapport se busca establecer una relación de confianza. En el inicio formal se presenta formalmente la entrevista. En el desarrollo y cima se profundiza en la información obtenida. En el cierre se finaliza formalmente y se da segu
Tamaño de muestra para datos cualitativos y cuantitativosAna Lucía Caballero
Este documento trata sobre el tamaño de la muestra para datos cuantitativos y cualitativos. Explica conceptos como variable, población, muestra, métodos de muestreo probabilísticos y no probabilísticos. Incluye fórmulas para calcular el tamaño de la muestra para proporciones y para medias. También presenta casos prácticos de cálculo del tamaño de muestra.
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El documento explica cómo calcular los límites superior e inferior de una sucesión o función. Primero se define el límite superior como el mayor límite convergente de una subsucesión y el límite inferior como el menor. Luego, para calcular los límites de intervalos, se calcula el rango de los datos, se divide entre el número de intervalos para obtener la amplitud, y con esto se construyen los intervalos usando el valor mínimo y sumando la amplitud.
Este documento describe el cálculo de integrales definidas usando sumas de Riemann. Explica cómo dividir el intervalo en subintervalos para aproximar el área bajo la curva usando rectángulos inscritos y circunscritos. Al aumentar el número de subintervalos, las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos convergen al área real bajo la curva. Proporciona ejemplos para calcular el área bajo funciones como f(x)=x^2 y f(x)=100-3x^2 entre límit
El documento explica el concepto de integral definida según Riemann. Define una integral definida como el límite de la suma de Riemann cuando la partición tiende a cero. Presenta ejemplos de cálculo de áreas bajo curvas y propiedades de las integrales definidas.
Este documento describe medidas de dispersión como la varianza y desviación estándar. Explica las fórmulas para calcular la varianza y desviación estándar tanto para datos no agrupados como agrupados, incluyendo la suma de cuadrados como parte del cálculo de la varianza.
La econometría es la ciencia que prueba teorías económicas mediante el análisis de datos reales, predice valores de variables económicas y vincula modelos económicos con información del mundo real. Utiliza métodos estadísticos como la regresión lineal para estimar parámetros que miden las relaciones funcionales entre variables económicas, como la producción y el empleo. Estas estimaciones ayudan a responder preguntas sobre el impacto de políticas públicas.
Este documento describe cómo calcular la varianza y desviación estándar para datos agrupados y no agrupados. Presenta fórmulas para la varianza poblacional y muestral, así como para la desviación estándar poblacional y muestral. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos.
Este documento presenta información biográfica y profesional sobre Angel Francisco Arvelo Luján, un profesor universitario venezolano especializado en probabilidad y estadística con más de 40 años de experiencia. Detalla sus estudios, cargos ocupados y áreas de enseñanza en varias universidades de Venezuela. También incluye sus datos personales de contacto y una invitación a visitar su página web para más información.
El documento presenta un análisis de regresión lineal simple. Explica el modelo de regresión lineal, donde la variable dependiente Y se modela como una función lineal de la variable independiente X, más un error. Describe cómo estimar los parámetros del modelo usando el método de mínimos cuadrados ordinarios y cómo evaluar la adecuación del modelo mediante el análisis de varianza. Finalmente, presenta fórmulas para calcular intervalos de confianza para los parámetros del modelo.
Este documento presenta el modelo de regresión lineal simple. Explica cómo estimar los parámetros del modelo utilizando el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), incluyendo la derivación de las fórmulas para los estimadores de los parámetros. También cubre conceptos como la recta de regresión, los valores ajustados, los residuales y las propiedades de los estimadores de MCO. Finalmente, incluye un ejemplo numérico para ilustrar los cálculos.
Este documento presenta el Teorema Fundamental del Cálculo. Primero introduce algunas fórmulas generales para calcular áreas e integrales y establece que la integral puede considerarse como una función del límite superior. Luego, enuncia el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivada de la integral de una función es igual a la función. Finalmente, muestra un ejemplo de cómo calcular una integral definida usando este teorema.
El documento describe algoritmos para discretizar líneas en 2D para su representación digital. Explica el algoritmo incremental básico que calcula puntos discretos a lo largo de una línea ideal usando la pendiente. Luego, describe el algoritmo de punto medio de Bresenham, el cual usa solo aritmética entera para elegir entre dos píxeles cercanos a la línea en cada paso, sumando valores incrementalmente. Finalmente, detalla cómo este algoritmo calcula el punto medio y la variable de decisión para la selección del próximo píxel.
El documento presenta un resumen sobre la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de diferencias finitas. Se describe la ecuación de Poisson y cómo este método permite aproximar las derivadas mediante diferencias centrales, generando un sistema de ecuaciones que puede resolverse numéricamente. También se mencionan conceptos como condiciones de frontera de Dirichlet y el error de truncamiento del método.
Este documento describe métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y diagonalizar matrices. Explica que el método de Gauss transforma una matriz en una forma triangular resolviendo el sistema, mientras que la descomposición LU representa una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y superior para resolver sistemas de forma eficiente. También cubre técnicas como el pivoteo para mejorar la estabilidad numérica.
Este documento describe diferentes medidas estadísticas para resumir datos, incluyendo medidas de tendencia central como la media aritmética, geométrica y armónica. Explica cómo calcular cada medida y sus propiedades, ventajas e inconvenientes. También cubre conceptos como momentos, cuantiles y curvas de distribución de frecuencias.
1) El documento introduce el modelo de regresión lineal simple, que estudia la dependencia entre una variable dependiente (Y) y una variable independiente (X) cuando dicha dependencia es lineal.
2) Explica que los parámetros del modelo (ordenada al origen β0 y pendiente β1) se estiman mediante el método de mínimos cuadrados para encontrar la línea de regresión que mejor se ajusta a los datos observados.
3) Detalla las hipótesis del modelo de regresión lineal simple y cómo se estiman los parámetros β0 y β1
Este documento presenta 6 ejercicios de ecuaciones diferenciales para un curso de Matemática IV. Los ejercicios incluyen encontrar ecuaciones diferenciales de circunferencias tangentes a una recta, analizar soluciones de valor inicial, graficar curvas integrales usando isoclinas, y resolver ecuaciones diferenciales mediante factores integrantes y cambios de variables para llevar ecuaciones a formas estándar como ecuaciones de Bernoulli.
Este documento describe tres medidas de tendencia central comúnmente usadas para resumir conjuntos de datos: la moda, la mediana y la media. Define cada medida y proporciona ejemplos de cómo calcularlas para diferentes conjuntos de datos, incluyendo datos agrupados.
Este documento presenta una introducción a las funciones de distribución de probabilidad y simulación en el lenguaje R. Explica cómo calcular probabilidades, evaluar funciones de densidad y generar valores aleatorios siguiendo diferentes distribuciones tanto discretas como continuas en R. También describe cómo graficar distribuciones y realizar muestreo aleatorio, así como una aplicación de la integración de Monte Carlo.
Este documento presenta 6 ejercicios de ecuaciones diferenciales para ser resueltos. Los ejercicios incluyen encontrar la ecuación diferencial de circunferencias tangentes a una recta, resolver ecuaciones diferenciales ordinarias usando métodos como factores integrantes e isoclinas, y transformar una ecuación diferencial mediante cambios de variable a una forma de Bernoulli.
Este documento presenta conceptos generales sobre estadística descriptiva, incluyendo definiciones de medición, escalas de medida, variables y reglas de sumatorios. Explica las escalas nominal, ordinal y de intervalo/razón, y clasifica variables como cuantitativas discretas o continuas. También incluye ejemplos de cálculos estadísticos básicos usando sumatorios.
Este documento presenta fórmulas útiles para el análisis estadístico descriptivo y la correlación, incluyendo fórmulas para calcular la mediana, rango, amplitud, frecuencia relativa, media, moda, cuartiles, percentil, varianza, coeficiente de variación, coeficiente de correlación de Pearson, rango intercuartílico, límites superior e inferior, coeficiente de correlación de Spearman, parámetros de un modelo de regresión lineal simple, estimaciones, suma de cuadrados del error y coeficiente de determinación.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
DESARROLLO DE LAS RELACIONES CON LOS STAKEHOLDERS.pdf
Estadistica
1. Capítulo CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
II FRECUENCIAS
2.1. Introducción
La fase previa de cualquier estudio estadístico se basa en la recogida y
ordenación de datos; esto se realiza con la ayuda de los resúmenes
numéricos y gráficos visto en los temas anteriores.
2.2. Medidas de posición
Son aquellas medidas que nos ayudan a saber donde están los datos pero
sin indicar como se distribuyen.
2.2.1. Medidas de posición central
a) Media aritmética ( X )
La media aritmética o simplemente media, que denotaremos por X , es el
número obtenido al dividir la suma de todos los valores de la variable entre
el numero total de observaciones, y se define por la siguiente expresión:
n
∑ x i ni
i =1
x =
N
Ejemplo:
Si tenemos la siguiente distribución, se pide hallar la media aritmética, de
los siguientes datos expresados en kg.
xi ni xi ni
54 2 108
59 3 177
63 4 252
64 1 64
N=10 601
n
∑x n i i
601
X= i =1
= = 60,1 kg
N 10
Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media
aritmética, es la misma, pero utilizando la marca de clase (Xi).
Ejemplo:
Manual de Estadística de David Ruiz Muñoz
2. (Li-1,Li] xi ni xi
ni
[30 , 40] 35 3 105
(40 , 50] 45 2 90
(50 , 60] 55 5 275
10 470
n
∑x n i i
470
X= i =1
= = 47
N 10
Propiedades:
1ª) Si sometemos a una variable estadística X, a un cambio de origen y
escala Y = a + b X, la media aritmética de dicha variable X, varía en la
misma proporción.
Y = a + bX Y = a + bX
2ª) La suma de las desviaciones de los valores o datos de una variable X,
respecto a su media aritmética es cero.
n
∑ (x
i =1
i − x ) ni = 0
Ventajas e inconvenientes:
- La media aritmética viene expresada en las mismas unidades que la
variable.
- En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.
- Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos
los valores observados.
- Es única.
- Su principal inconveniente es que se ve afectada por los valores
extremadamente grandes o pequeños de la distribución.
• Media aritmética ponderada
Es una media aritmética que se emplea en distribuciones de tipo unitario,
en las que se introducen unos coeficientes de ponderación, denominados
ω i , que son valores positivos, que representan el número de veces que un
valor de la variable es más importante que otro.
Manual de Estadística de David Ruiz Muñoz
3. n
∑x w
i =1
i i
W= n
∑
i =1
wi
b) Media geométrica
Sea una distribución de frecuencias (x i , n i ). La media geométrica, que
denotaremos por G. se define como la raíz N-ésima del producto de los N
valores de la distribución.
G= N
x1n1 x 2 2 ·····x k
n nk
Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media
geométrica, es la misma, pero utilizando la marca de clase (Xi).
El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar
variables tales como porcentajes, tasas, números índices. etc., es decir, en
los casos en los que se supone que la variable presenta variaciones
acumulativas.
Ventajas e inconvenientes:
- En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.
- Los valores extremos tienen menor influencia que en la media
aritmética.
- Es única.
- Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética.
Además, cuando la variable toma al menos un x i = 0 entonces G se anula,
y si la variable toma valores negativos se pueden presentar una gama de
casos particulares en los que tampoco queda determinada debido al
problema de las raíces de índice par de números negativos.
c) Media armónica
La media armónica, que representaremos por H, se define como sigue:
N
H =
r 1
∑ ni
i =1 x
i
Manual de Estadística de David Ruiz Muñoz
4. Obsérvese que la inversa de la media armónica es la media aritmética de
los inversos de los valores de la variable. No es aconsejable en
distribuciones de variables con valores pequeños. Se suele utilizar para
promediar variables tales como productividades, velocidades, tiempos,
rendimientos, cambios, etc.
Ventajas e inconvenientes:
- En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.
- Su cálculo no tiene sentido cuando algún valor de la variable toma valor
cero.
- Es única.
• Relación entre las medias:
H ≤G≤ X
d) Mediana ( Me )
Dada una distribución de frecuencias con los valores ordenados de menor a
mayor, llamamos mediana y la representamos por Me, al valor de la
variable, que deja a su izquierda el mismo número de frecuencias que a su
derecha.
• Calculo de la mediana:
Variara según el tipo de dato:
a) Variables discretas no agrupadas:
N
1º) Se calcula y se construye la columna de las Ni ( frecuencias
2
acumuladas )
N
2º) Se observa cual es la primera Ni que supera o iguala a ,
2
distinguiéndose dos casos:
N
- Si existe un valor de Xi tal que N i −1 p p Ni , entonces se toma
2
como Me = xi
Manual de Estadística de David Ruiz Muñoz
5. N xi + xi +1
- Si existe un valor i tal que Ni = , entonces la Me =
2 2
Ejemplo: Sea la distribución
xi ni Ni
1 3 3
2 4 7
5 9 16
7 10 26
10 7 33
13 2 35
n = 35
N 35
lugar que ocupa = = 17,5
2 2
N
como se produce que N i −1 < < N i ⇒ 16 < 17,7 < 26 ⇒ Me = xi ,por lo
2
tanto Me = 7
El otro caso lo podemos ver en la siguiente distribución:
xi ni Ni
1 3 3
2 4 7
5 9 16
7 10 26
10 6 32
n= 32
x 1 + x i +1 5 + 7
Me = = =6
Lugar que ocupa = 32/2 = 16 ==> 2 2
Notar que en este caso se podría haber producido que hubiera una
frecuencia absoluta acumulada superior a 16. En este caso se calcularía
como en el ejemplo anterior.
b) Variables agrupadas por intervalos
En este caso hay que detectar en que intervalo está el valor mediano. Dicho
intervalo se denomina “ intervalo mediano ”.
Cada intervalo Ii vendrá expresado según la notación Ii = ( Li-1 , Li ];
observando la columna de las frecuencias acumuladas, buscaremos el
N
primer intervalo cuya Ni sea mayor o igual que , que será el intervalo
2
modal; una vez identificado dicho intervalo, procederemos al cálculo del
valor mediano, debiendo diferenciar dos casos:
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6. N
1º) Si existe Ii tal que N i −1 p p Ni , entonces el intervalo mediano es
2
el ( Li-1 , Li ] y la mediana es:
N
− N i −1
2
M e = Li −1 + ci
ni
N
2º) Análogamente si existe un Ii tal que Ni = , la mediana es
2
Me = Li
Ejemplo:
( Li-1, Li] ni Ni
[20 , 25] 100 100
(25 , 30] 150 250
(30 , 35] 200 450
(35 , 40] 180 630
(40 , 45] 41 671
N = 671
671/2 = 335.5 ; Me estará en el intervalo (30 - 35 ]. Por tanto realizamos
el cálculo:
N
− N i −1
33,5 − 250
Me = Li −1 + 2 ai = 30 + * 5 = 32,138
ni 200
Ventajas e inconvenientes :
- Es la medida más representativa en el caso de variables que solo
admitan la escala ordinal.
- Es fácil de calcular.
- En la mediana solo influyen los valores centrales y es insensible a los
valores extremos u “outliers ”.
- En su determinación no intervienen todos los valores de la variable.
e) Moda
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7. La moda es el valor de la variable que más veces se repite, y en
consecuencia, en una distribución de frecuencias, es el valor de la variable
que viene afectada por la máxima frecuencia de la distribución. En
distribuciones no agrupadas en intervalos se observa la columna de las
frecuencias absolutas, y el valor de la distribuci6n al que corresponde la
mayor frecuencia será la moda. A veces aparecen distribuciones de
variables con más de una moda (bimodales, trimodales, etc), e incluso una
distribución de frecuencias que presente una moda absoluta y una relativa.
En el caso de estar la variable agrupada en intervalos de distinta amplitud,
se define el intervalo modal, y se denota por ( Li-1 , Li ], como aquel que
posee mayor densidad de frecuencia ( hi ); la densidad de frecuencia se
ni
define como : hi =
ai
Una vez identificado el intervalo modal procederemos al cálculo de la moda,
a través de la fórmula:
hi +1
Mo = Li −1 + ci
hi −1 + hi +1
En el caso de tener todos los intervalos la misma amplitud, el intervalo
modal será el que posea una mayor frecuencia absoluta ( ni ) y una vez
identificado este, empleando la fórmula:
n i +1
Mo = Li −1 + c
n i −1 + n i +1 i
Ventajas e inconvenientes:
- Su cálculo es sencillo.
- Es de fácil interpretación.
- Es la única medida de posición central que puede obtenerse en las
variables de tipo cualitativo.
- En su determinación no intervienen todos lo valores de la distribución.
2.2.2. Medidas de posición no central ( Cuantiles )
Los cuantiles son aquellos valores de la variable, que ordenados de menor a
mayor, dividen a la distribución en partes, de tal manera que cada una de
ellas contiene el mismo número de frecuencias.
Los cuantiles más conocidos son:
a) Cuartiles ( Qi )
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8. Son valores de la variable que dividen a la distribución en 4 partes, cada
una de las cuales engloba el 25 % de las mismas. Se denotan de la
siguiente forma: Q1 es el primer cuartil que deja a su izquierda el 25 % de
los datos; Q2 es el segundo cuartil que deja a su izquierda el 50% de los
datos, y Q3 es el tercer cuartil que deja a su izquierda el 75% de los datos.
(Q2 = Me)
b) Deciles ( Di)
Son los valores de la variable que dividen a la distribución en las partes
iguales, cada una de las cuales engloba el 10 % de los datos. En total habrá
9 deciles. (Q2 = D5 = Me )
c) Centiles o Percentiles ( Pi )
Son los valores que dividen a la distribución en 100 partes iguales, cada una
de las cuales engloba el 1 % de las observaciones. En total habrá 99
percentiles. (Q2 = D5 = Me = P50)
• Cálculo de los cuantiles en distribuciones no agrupadas en
intervalos
rN
- Se calculan a través de la siguiente expresión: , siendo :
q
r = el orden del cuantil correspondiente
q = el número de intervalos con iguales frecuencias u observaciones ( q
= 4, 10, ó 100 ).
N = número total de observaciones
- La anterior expresión nos indica que valor de la variable estudiada es el cuantil que nos piden, que se
rN
corresponderá con el primer valor cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a
q
Ejemplo: DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS: En la siguiente distribución
xi ni Ni
5 3 3
10 7 10
15 5 15
20 3 18
25 2 20
N = 20
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9. Calcular la mediana (Me); el primer y tercer cuartil (C1,C3); el 4º decil
(D4) y el 90 percentil (P90)
Mediana (Me)
Lugar que ocupa la mediana lugar 20/2 = 10
Como es igual a un valor de la frecuencia absoluta acumulada,
x i + x i +1 10 + 15
Me = = = 12,5
realizaremos es cálculo: 2 2
Primer cuartil (C1)
Lugar que ocupa en la distribución ( ¼). 20 = 20/4 = 5 Como Ni-1 <
rN
< Ni , es decir 3 < 5 < 10 esto implicara que C1 = xi = 10
q
Tercer cuartil (C3)
Lugar que ocupa en la distribución (3/4).20 = 60/4 = 15, que coincide
con un valor de la frecuencia absoluta acumulada, por tanto realizaremos el
xi + xi +1 15 + 20
cálculo: C 3 = = = 17,5
2 2
Cuarto decil (D4)
Lugar que ocupa en la distribución (4/10) . 20 = 80/10 = 8. Como
rN
Ni-1 < < Ni ya que 3 < 8 < 10 por tanto D4 =10.
q
Nonagésimo percentil (P90)
Lugar que ocupa en la distribución (90/100). 20 = 1800/100 = 18. que
coincide con un valor de la frecuencia absoluta acumulada, por tanto
xi + xi +1 20 + 25
realizaremos el cálculo: P90 = = = 22,5
2 2
• Cálculo de los cuantiles en distribuciones agrupadas en
intervalos
- Este cálculo se resuelve de manera idéntica al de la mediana.
- El intervalo donde se encuentra el cuantil i-esimo, es el primero que una
vez ordenados los datos de menor a mayor, tenga como frecuencia
rN
acumulada ( Ni ) un valor superior o igual a q ; una vez
identificado el intervalo Ii ( Li-1 , Li ], calcularemos el cuantil
correspondiente, a través de la fórmula:
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10. rN
− N i −1
q
Cr = L i −1 + ci
q ni
r=1,2,...,q-1.
Cuartil:
q=4; Decil: q=10; Percentil: q=100
Ejemplo:
DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: Hallar el primer cuartil, el cuarto decil y el
90 percentil de la siguiente distribución:
[Li-1 , Li) ni Ni
[0 , 100] 90 90
(100 , 200] 140 230
(200 , 300] 150 380
(300 , 800] 120 500
N = 500
- Primer cuartil (Q1)
- Lugar ocupa el intervalo del primer cuartil: (1/4). 500 = 500/4 = 125.
Por tanto Q1 estará situado en el intervalo (100 – 200].Aplicando la
125 − 90
Q1 = 100 + 100 = 125
expresión directamente, tendremos: 140
- Cuarto decil (D4)
- Lugar que ocupa: (4/10) . 500 = 200 . Por tanto D4 estará situado en
el intervalo (100 – 200]. Aplicando la expresión tendremos:
200 − 90
D 4 = 100 + 100 = 178,57
140
-
- Nonagésimo percentil (P 90)
- Lugar que ocupa: (90/100) . 500 = 450, por tanto P90 estará situado
en el intervalo (300 – 800]. Aplicando la expresión tendremos:
450 − 380 70
P90 = 300 + 500 = 300 + 500 = 591,67
120 120
2.3. Momentos potenciales
Los momentos son medidas obtenidas a partir de todos los datos de una
variable estadística y sus frecuencias absolutas. Estas medidas caracterizan
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11. a las distribuciones de frecuencias de tal forma que si los momentos
coinciden en dos distribuciones, diremos que son iguales.
2.3.1. Momentos respecto al origen
Se define el momento de orden h respecto al origen de una variable
estadística a la expresión:
n
∑x
h
i ni
ah = i =1
N
Particularidades:
Si h = 1, a1 es igual a la media aritmética.
Si h = 0, a0 es igual a uno ( a0 = 1 )
2.3.2. Momentos centrales o momentos con respecto a la media
aritmética
n
∑ (x
h
i − x ) ni
mh = i =1
N
Particularidades:
- Si h = 1, entonces m1 = 0
- Si h = 2, entonces m2 = S2
2.4. Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión tratan de medir el grado de dispersión que tiene
una variable estadística en torno a una medida de posición o tendencia
central, indicándonos lo representativa que es la medida de posición. A
mayor dispersión menor representatividad de la medida de posición y
viceversa.
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12. 2.4.1 Medidas de dispersión absoluta
a) Recorrido ( Re )
Se define como la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de la
variable:
R = máx x − min x
i i
Ej: Sea X, las indemnizaciones recibidas por cuatro trabajadores de dos
empresas A y B
A 100 120 350 370
B 225 230 240 245
Re ( A) = 370 – 100= 270
Re ( B) = 245 – 225= 20 --- Distribución menos dispersa
- Otros recorridos:
• intervalo intercuartílico I =Q −Q
3 1
• intervalo interdecílico I= (D −D )
9 1
• intervalo intercentílico I= (P − P )
99 1
b) Desviación absoluta media con respecto a la media ( de )
Nos indica las desviaciones con respecto a la media con respecto a la media
aritmética en valor absoluto.
r
∑ x − x ni
i =1 i
d =
e N
c) Varianza
La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable
respecto a la media aritmética. Cuanto mayor sea la varianza mayor
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13. dispersión existirá y por tanto menor representatividad tendrá la media
aritmética.
La varianza se expresa en las mismas unidades que la variable analizada,
pero elevadas al cuadrado.
r
2
r
i =1
2
∑ ( xi − x ) ni ∑x i
2
ni
S = S =
2 i =1
− x2
N N
Propiedades:
1ª) La varianza siempre es mayor o igual que cero y menor que infinito
(S 2
x ≥0 )
2ª) Si a una variable X la sometemos a un cambio de origen “ a ” y un
cambio de escala “ b ”, la varianza de la nueva variable Y= a + bX, será:
(S y
2
= b 2S x
2
)
d) Desviación típica o estándar
Se define como la raíz cuadrada con signo positivo de la varianza.
2
Sx =+ S x
2.4.2. Medidas de dispersión relativa
Nos permiten comparar la dispersión de distintas distribuciones.
a) Coeficiente de variación de Pearson ( CVx )
Indica la relación existente entre la desviación típica de una muestra y su
media.
S
CV =
x
Al dividir la desviación típica por la media se convierte en un valor excento
de unidad de medida. Si comparamos la dispersión en varios conjuntos de
observaciones tendrá menor dispersión aquella que tenga menor coeficiente
de variación.
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14. El principal inconveniente, es que al ser un coeficiente inversamente
proporcional a la media aritmética, cuando está tome valores cercanos a
cero, el coeficiente tenderá a infinito.
Ejemplo: Calcula la varianza, desviación típica y la dispersión relativa de
esta distribución.
Sea x el número de habitaciones que tienen los 8 pisos que forman un
bloque de vecinos
X ni
2 2
3 2
5 1
6 3
N= 8
n
∑ x i ni
i =1 2 * 2 + 3 * 2 + 5 *1 + 6 * 3
x = = = 4.125
N 8
habitaciones
r
∑x i
2
ni
2 2 * 2 + 32 * 2 + 5 2 *1 + 6 2 * 3
− (4.125) = 2.86
2
S = 2 i =1
−x =
2
N 8 (habitaciones )2
2
Sx =+ Sx =+ 2.86=1.69
habitaciones
S 1.69
CV = = = 0.41
x 4.125
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15. 2.5. Medidas de forma
• Asimetría
• Curtosis o apuntamiento.
Hasta ahora, hemos estado analizando y estudiando la dispersión de
una distribución, pero parece evidente que necesitamos conocer más sobre
el comportamiento de una distribución. En esta parte, analizaremos las
medidas de forma, en el sentido de histograma o representación de datos,
es decir, que información nos aporta según la forma que tengan la
disposición de datos.
Las medidas de forma de una distribución se pueden clasificar en dos
grandes grupos o bloques: medidas de asimetría y medidas de curtosis.
2.5.1. Medidas de asimetría o sesgo : Coeficiente de asimetría de
Fisher.
Cuando al trazar una vertical, en el diagrama de barras o histograma,
de una variable, según sea esta discreta o continua, por el valor de la
media, esta vertical, se transforma en eje de simetría, decimos que la
distribución es simétrica. En caso contrario, dicha distribución será
asimétrica o diremos que presenta asimetría.
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16. El coeficiente de asimetría más preciso es el de Fisher, que se define por:
∑ (x )
r
3
i −x ni
i =1
g1 = N
S3
Según sea el valor de g1, diremos que la distribución es asimétrica a
derechas o positiva, a izquierdas o negativa, o simétrica, o sea:
Si g1 > 0 la distribución será asimétrica positiva o a derechas
(desplazada hacia la derecha).
Si g1 < 0 la distribución será asimétrica negativa o a izquierdas
(desplazada hacia la izquierda).
Si g1 = 0 la distribución puede ser simétrica; si la distribución es
simétrica, entonces si podremos afirmar que g1 = 0.
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17. g1<0
g1=0
- Si existe simetría, entonces g1 = 0, y X = Me ; si además la distribución es
unimodal, también podemos afirmar que: X = Me = Mo
- Si g1 > 0, entonces : X > Me > Mo
- Si g1 < 0, entonces : X < Me < Mo
2.5.2. Medidas de apuntamiento o curtosis: coeficiente de curtosis
de Fisher
Con estas medidas nos estamos refiriendo al grado de apuntamiento que
tiene una distribución; para determinarlo, emplearemos el coeficiente de
curtosis de Fisher. (g2)
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18. ∑ (x )
r
4
i −x ni
i =1
g2 = N
S4
Si g2 > 3 la distribución será leptocúrtica o apuntada
Si g2 = 3 la distribución será mesocúrtica o normal
Si g2 < 3 la distribución será platicúrtica o menos apuntada que lo normal.
2.6. Medidas de concentración
Las medidas de concentración tratan de poner de relieve el mayor o menor
grado de igualdad en el reparto del total de los valores de la variable, son
por tanto indicadores del grado de distribución de la variable.
Para este fin, están concebidos los estudios sobre concentración.
Denominamos concentración a la mayor o menor equidad en el
reparto de la suma total de los valores de la variable considerada (renta,
salarios, etc.).
Las infinitas posibilidades que pueden adoptar los valores, se
encuentran entre los dos extremos:
1.- Concentración máxima, cuando uno solo percibe el total y los demás
nada, en este caso, nos encontraremos ante un reparto no equitativo:
x1 = x2 = x3 = ………… = xn-1 = 0 y xn.
2.- Concentración mínima, cuando el conjunto total de valores de la
variable esta repartido por igual, en este caso diremos que estamos ante un
reparto equitativo
x1 = x2 = x3 = ………… = xn-1 = xn
De las diferentes medidas de concentración que existen nos vamos a
centrar en dos:
Indice de Gini, Coeficiente, por tanto será un valor numérico.
Curva de Lorenz, gráfico, por tanto será una representación en ejes
coordenados.
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19. Sea una distribución de rentas (xi, ni) de la que formaremos una tabla con
las siguientes columnas:
1.- Los productos xi ni, que nos indicarán la renta total percibida por los
ni rentistas de renta individual xi .
2.- Las frecuencias absolutas acumuladas Ni .
3.- Los totales acumulados ui que se calculan de la siguiente forma:
u1= x1 n1
u2 = x1 n1 + x2 n2
u3 = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3
u4 = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + x4 n4
un = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + x4 n4 + …………. + xn nn
n
un = ∑ x i ni
Por tanto podemos decir que i =1
4.- La columna total de frecuencias acumuladas relativas, que
expresaremos en tanto por ciento y que representaremos como pi y que
vendrá dada por la siguiente notación
Ni
pi = 100
n
5.- La renta total de todos los rentistas que será un y que dada en tanto
por ciento, la cual representaremos como qi y que responderá a la siguiente
notación:
ui
qi = 100
un
Por tanto ya podemos confeccionar la tabla que será la siguiente:
Ni
qi =
ui pi - qi
pi = 100 100
xi ni xi ni Ni ui n un
x1 n1 x1 n1 N1 u1 p1 q1 p1 - q1
x2 n2 x2 n2 N2 u2 p2 q2 p2 - q2
... ... ... ... ... ... ... ...
xn nn xn nn Nn un pn qn pn - qn
Como podemos ver la última columna es la diferencia entre las dos
penúltimas, esta diferencia seria 0 para la concentración mínima ya que pi
= qi y por tanto su diferencia seria cero.
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20. Si esto lo representamos gráficamente obtendremos la curva de
concentración o curva de Lorenz .La manera de representarlo será, en el eje
de las X, los valores pi en % y en el de las Y los valores de qi en %. Al ser
un %, el gráfico siempre será un cuadrado, y la gráfica será una curva que
se unirá al cuadrado, por los valores (0,0), y (100,100), y quedará siempre
por debajo de la diagonal.
La manera de interpretarla será: cuanto más cerca se sitúe esta curva de la
diagonal, menor concentración habrá, o más homogeneidad en la
distribución. Cuanto más se acerque a los ejes, por la parte inferior del
cuadrado, mayor concentración.
Los extremos son
qi
% qi
1.
pi %
pi %
Distribución de
concentración mínima
Distribución de concentración
i
Analíticamente calcularemos el índice de Gini el cual responde a la siguiente
ecuación
k −1
∑ (p i − q i )
i =1
IG = k −1
∑ pi
i =1
Este índice tomara los valores de IG = 0 cuando pi = qi
concentración mínima y de IG = 1 cuando qi = 0
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22. Se pide Indice de concentración y Curva de Lorenz correspondiente
Indice de concentración de GINI
k −1
∑ (p i − q i ) 125,48
i =1
IG = k −1
= = 0,193
651,15
∑ pi
i =1 , Observamos que hay poca concentración por
encontrarse cerca del 0.
Curva de Lorenz
La curva la obtenemos cerca de la diagonal, que indica que hay poca
concentración:
Curva de Lorentz
Curva de
Lorentz
% de los
ingresos
Desigualdad
% de la
población Curva de
36
Estadística.Trabajo Social
Lorentz 3
Tema
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