Estadística con SPSS.pdf

ESTADÍSTICA CON SPSS
Contiene:
 Nociones básicas de Estadística.
 Manual de usuario de SPSS.
DANIEL HERRERA ARÁUZ

PRESENTACIÓN:
Al igual que las publicaciones anteriores: Matemática Financiera y Probabilidad, Combinatoria y
Distribuciones de Probabilidad, Estadística con SPSS es el resultado del material académico
preparado por el autor para los cursos regulares de Estadística desarrollados en la Facultad de
Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador, a nivel de pregrado y posgrado, como
también en calidad de instructor en eventos de capacitación profesional en varios Centros de
Actualización de Conocimientos como también en Educación Continua.
El programa SPSS (Stadistical Package for the Social Science) es quizá en la actualidad, el paquete de
software más difundido a nivel mundial para el análisis estadístico de datos, La versión actual (V24)
sigue siendo de propiedad de la firma IBM.
El libro de texto Estadística con SPSS está compuesto por tres secciones:
 La primera sección contiene las nociones básicas de Estadística; en esta parte el autor presenta
un resumen de los conceptos, definiciones y procesos de cálculo para la obtención de los
estadísticos que describen a un grupo de datos, su representación gráfica, como también los
diferentes métodos de muestreo, y herramientas de estadística inferencial para una población
como también para dos poblaciones.
 La segunda sección contiene una detallada descripción, a manera de manual de usuario, de las
distintas opciones y herramientas que dispone el programa SPSS para la organización de datos,
el cálculo de los diferentes estadísticos que describen a un muestra, diversas opciones de
elaboración de gráficos estadísticos, técnicas de muestreo, estadística inferencial en una
población, dos poblaciones y varias poblaciones a través del ANOVA y el modelo de regresión y
correlación bivariable y multivariable.
 La tercera sección (en edición separada) contiene 13 prácticas de laboratorio de estadística con
SPSS; el desarrollo académico de estas actividades permitirá al estudiante aplicar los conceptos,
definiciones y procesos de la Estadística Descriptiva e Inferencial, como también adquirir
destrezas y habilidades en el manejo del paquete estadístico.
El material desarrollado en las tres secciones es acorde con la malla curricular y el syllabus académico
de la asignatura de Estadística en los niveles I y II de las carreras de Contabilidad y Auditoría,
Administración de Empresas, Administración Pública, Economía, Marketing, Sicología y otras. Al igual
que constituye un importante material en los estudios de posgrado para las maestrías en Empresas,
Finanzas, Educación, etc.
A criterio del autor, en la actualidad, la enseñanza de la Estadística no puede desarrollarse sin la
utilización de algún software que resuelva las operaciones aritméticas en forma rápida y precisa; de
manera que el tiempo que se ahorra al evitar realizar los cálculos en forma manual se podría
dedicarlo al análisis de resultados y a la creación de escenarios virtuales con la variación de las
condiciones iniciales del problema.
El autor anticipa su agradecimiento a docentes y estudiantes que hagan uso de este material,
solicitando además remitir sus comentarios y sugerencias para futuras ediciones a
danielherrera_1960@hotmail.com
Daniel Herrera Aráuz

BREVE HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA1
.-
La historia de la Estadística es la historia de la humanidad, desde comienzos de la civilización, el
hombre buscó la manera de llevar registros mediante representaciones gráficas y otros símbolos en
pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas, para determinar número de personas, animales o
ciertas cosas.
Hacia el año 3000 A.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos
sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque.
Los egipcios fueron los primeros en analizar los datos de la población y renta del país, mucho antes
de construir las pirámides en el siglo XXXI A.C.
Los libros de “Números” y “Crónicas” incluyen, en algunas partes, cierta información que puede
considerarse como Estadística:
 El primero contiene dos Censos de la población de Israel.
 El segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías.
En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000, anterior a la Era
cristiana.
Los griegos clásicos realizaban censos, cuya información se utilizaba hacia el año 594 A.C. para cobrar
impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población,
superficie y renta de todos los territorios bajo su control, para esto basta recordar lo que dicen las
Escrituras sobre el censo a realizarse previo al nacimiento de Jesús.
Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes
carolingios, Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de
la Iglesia en los años 758 y 762, respectivamente.
John Graunt.-
Hijo de un tapicero, nació en Londres de 1620, fue desde muy joven aprendiz de un comerciante de
mercancía y, en esta actividad se mantuvo toda su vida. De formación autodidacta, y en base a
esfuerzos propios, adquirió algunos conocimientos sobre todo de latín y francés. No tuvo una
formación académica ni tampoco autodidacta en lo que a matemática se refiere, situación que de
haberse dado habría sido de gran ayuda en la publicación de su obra sobre los registros de
mortalidad; sin embargo el análisis de Estadísticas nació en Londres, en el año de 1662. John Graunt
publicó “Observaciones Naturales y políticas sobre los registros de Mortalidad”.
Para ese entonces, Inglaterra contaba ya con una población de cien mil habitantes. Esta ciudad tenía
ya problemas propios de una superpoblación, dificultades en los servicios de salud, educación etc.,
que fueron la causa que originó el registro de nacimientos y muertes, registros que después de la
epidemia de 1603, fueron realizados semanalmente. Llegaron a formar con el tiempo, material de
gran utilidad para la previsión de eventos futuros.
1
Con la colaboración académica de Nelson Herrera Aráuz

El Análisis de Graunt se basó en comparaciones porcentuales año tras año, en lo referente a
nacimientos, muertes por accidentes, muertes por enfermedades, suicidios etc. observando que
eventos mortales mantenían valores constantes y que se presentaban con sorprendente regularidad.
También llegó a concluir, que el número de nacimiento de los varones era superior al de mujeres, sin
embargo, en ese entonces las labores destinadas a los hombres, entre estas la guerra, tendrían un
mayor riesgo, por lo que, a la edad de casarse, el número de varones y mujeres se igualaba por lo que
la monogamia debía ser la forma de vida que la misma naturaleza señalaba.
William Petty.-
La publicación de John Graunt fue avalada académicamente por Sir William Petty (1623-1687),
profesor de la Universidad de Oxford, y, más tarde médico del Ejercito inglés, calificó a la Estadística,
como la “Aritmética Política” y la definió como:
El arte de razonar por medio de cifras y gráficas, acerca de aspectos relacionados con el gobierno.
De ahí que la palabra Estadística se relacione con la palabra Estado.
Sin embargo, el verdadero aporte de Petty al desarrollo de la Estadística, fue tratar de cuantificar las
variables que conforman las ciencias sociales y, evitar así el uso de valores cualitativos y palabras
comparativas en la descripción de estas variables.
Edmund Halley.-
Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en
1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley, como base para la primera tabla de
mortalidad.
Halley, como astrónomo, dedujo que un cometa visto algunas décadas anteriormente, obedecía a un
fenómeno cíclico y predictible. Dedicó toda su vida a estudiarlo y, con la ayuda del gran matemático
inglés Isaac Newton, pudo calcular el año que retornaría. Desgraciadamente, murió algunos años
antes de que el cometa reaparezca, exactamente en el lugar del cielo y la fecha previstos.
Halley era un hombre muy versátil y no solo se preocupó de la astronomía, fue el creador de las tablas
de esperanzas matemáticas, empleadas para el cálculo de las pólizas del seguro de Vida, incluso
investigó el lugar exacto del desembarco de Julio César en Gran Bretaña.
Jean Baptiste Colbert.-
En Francia, el rey Luis XIV, por esos mismos años, consiguió que la patria de los galos marque un siglo
de hegemonía. El gran asesor del Rey Sol Jean Baptiste Colbert que fue aprendiz de pañero, se
preocupó de que la economía de Francia se controle mediante los números; incluso, formó una
escuela económica llamada Colbertismo, que significa la protección del Estado a la producción
industrial.
Colbert, como asesor de Luis XIV se dio cuenta de la importancia de los registros numéricos
almacenados para manejar las importaciones y exportaciones del reino, es más, con los matemáticos
Huygens, holandés, y Leibniz, alemán sostuvo importantes diálogos científicos y fue convencido por
estos, en la necesidad de crear para la gloria de Francia el Observatorio Real y la Academia de
Ciencias de París.
No se puede separar el desarrollo de la Estadística de la historia del Cálculo de la Probabilidad. En
este punto es necesario renombrar los aportes de brillantes matemáticos tales como: Bernoulli,

Gauss, Poisson, etc. Aportes que permitieron desarrollar modelos probabilísticos que al ser adaptados
al análisis estadístico, lograron hacer de esta ciencia la herramienta de la planificación por
excelencia.
En el siglo XX, es donde la Estadística toma el carácter formal de una ciencia de la matemática
aplicada, gracias a los aportes de:
L. T. Grosset.-
Fue el creador de la Distribución t, siendo empleado de una cervecería irlandesa a principios de 1900.
Desaprobaba el hecho de que las personas publicaran sus trabajos usando sus nombres verdaderos,
por lo que escribió acerca de las propiedades matemáticas de las distribuciones para pequeñas
muestras, y publicó bajo el seudónimo de student.
Ronald Fisher.-
Sir Ronald Fisher nació en Londres en el año de 1890 y murió en la misma ciudad en el año de 1962,
fue un científico eminente en dos campos: La Genética y la Estadística. Alrededor de los años veinte
de ese siglo, se dedicó al diseño de experimentos en agricultura. De estos trabajos nació una de las
herramientas más importantes en la toma de decisiones, el Análisis de Varianza, mediante la
comparación de varianzas entre muestras y en el interior de las mismas con valores críticos de una
distribución probabilística creada por el mismo.
Abraham Wald.-
Matemático alemán nacido en 1902, comenzó sus trabajos de investigación estadística motivado por
las acuciantes necesidades de estudios matemáticos que trajo consigo la Segunda Guerra Mundial,
murió en un accidente aéreo en el año de 1950, entre sus estudios y aportes importantes para la
Estadística, se tiene el Análisis Secuencial y la teoría de toma de decisiones.
La Estadística y el Desarrollo Industrial.-
A principios del siglo XX el escritor e historiador inglés HG Wells, comentó cierto día que el
aprendizaje y conocimiento de la estadística será tan necesario, como la aptitud y el gusto por la
lectura. Tómese en cuenta que en la época de este comentario aún no había florecido el desarrollo
industrial en el mundo entero; sin embargo se intuía ya la necesidad de establecer mecanismos de
control y herramientas para tomar decisiones dentro del mundo industrial.
Uno de los aportes más importantes en la Estadística, son las contribuciones realizadas por W.
Eduard Deming, a mediados del siglo anterior (1950). Este brillante estadístico, desarrolló modelos
para el Control de Calidad de los procesos productivos, basándose en la teoría de las desviaciones
alrededor de una medida de centralización.
En resumen:
En el desarrollo de la humanidad, la Estadística se ha constituido en uno de los soportes más
importantes para este progreso, la investigación científica, la toma de decisiones, la planificación
industrial y muchos otros campos del quehacer profesional, recurren a los métodos estadísticos en
forma cada vez más confiable y concurrente, razones suficientes para que el estudiante universitario y
el profesional, se interesen en el conocimiento de los diferentes métodos que esta herramienta
dispone.

NOCIONES
BÁSICAS DE
ESTADÍSTICA
PRIMERA SECCIÓN
ESTADÍSTICA CON SPSS

ESTADÍSTICA CON SPSS.- NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA
pág. 1
NOCIONES BÁSICAS DE ESTADÍSTICA
1. DEFINCICIONES BÁSICAS ....................................................................................................... 4
1.1. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA................................................................................................... 4
1.2. CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA......................................................................................... 4
1.3. POBLACIÓN.............................................................................................................................. 4
1.4. MUESTRA................................................................................................................................. 4
1.5. MUESTRA VS POBLACIÓN........................................................................................................ 5
1.6. VARIABLES O DATOS ESTADÍSTICOS........................................................................................ 5
1.7. ESTADÍSTICOS Y PARÁMETROS ............................................................................................... 6
2. ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE LOS DATOS .................................................................. 7
2.1. ORDENAMIENTO DE LOS DATOS............................................................................................. 7
2.2. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLE.- VARIABLE CUALITATIVA....................................... 7
2.3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLE.- VARIABLE CUANTITATIVA.................................... 9
2.4. HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS.............................................................................................. 9
2.5. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA POR INTERVALOS O CLASE.............................................. 10
3. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA .................................................................................................. 14
3.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL....................................................................................... 14
3.1.1. DATOS NO AGRUPADOS................................................................................................ 14
3.1.2. EN DATOS AGRUPADOS EN FRECUENCIA SIMPLE......................................................... 15
3.1.3. EN DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECUENCIA ........................................... 15
3.2. MEDIDAS DE POSICIÓN EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA ........................................ 17
3.2.1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL............................................................................................ 18
3.2.2. CUANTILES EN DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS EN FRECUENCIA SIMPLE ....... 18
3.2.3. CUANTILES EN DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECUENCIA. ....................... 19
3.3. MEDIDAS DE DISPERSIÓN...................................................................................................... 19
3.3.1. RANGO........................................................................................................................... 19
3.3.2. DESVIACIÓN ESTÁNDAR ................................................................................................ 19
3.3.3. VARIANZA...................................................................................................................... 20
3.3.4. COEFICIENTE DE VARIACIÓN ......................................................................................... 20
3.3.5. RANGO INTERCUARTIL .................................................................................................. 20
3.3.6. DIAGRAMA DE CAJA ...................................................................................................... 20
3.4. MEDIDAS DE ASIMETRÍA ....................................................................................................... 21
3.4.1. SIMETRÍA DE UNA MUESTRA......................................................................................... 21
3.4.2. SESGO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRRECUENCIAS ....................................................... 22

pág. 2
4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.................................................................................... 23
4.1. EXPERIMENTO ALEATORIO.................................................................................................... 23
4.2. EVENTO ALEATORIO.............................................................................................................. 23
4.3. ESPACIO MUESTRAL .............................................................................................................. 23
4.4. PROBABILIDAD DE UN EVENTO............................................................................................. 23
4.5. ALGEBRA DE PROBABILIDAD ................................................................................................. 24
4.6. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD......................................................................................... 24
4.7. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL...................................................................................................... 25
4.8. DISTRIBUCIÓN NORMAL........................................................................................................ 26
5. MÉTODOS DE MUESTREO.................................................................................................... 28
5.1. MUESTRA............................................................................................................................... 28
5.2. POBLACIÓN FINITA O INFINITA ............................................................................................. 28
5.3. EL MUESTREO ALEATORIO .................................................................................................... 28
5.4. MÉTODOS DE MUESTREO ALEATORIO.................................................................................. 28
6. DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO ............................................................................................. 29
6.1. CLASIFICACIÓN DE LAS MUESTRAS POR SU TAMAÑO .......................................................... 29
6.2. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL............................................................................................ 29
6.3. ERROR DE MUESTREO ........................................................................................................... 29
7. TEORÍA DE ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA.................................................................................. 31
7.1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 31
7.2. ESTIMADOR POR INTERVALOS .............................................................................................. 31
7.3. CONSIDERACIONES ADICIONALES PARA LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA............................... 31
7.4. INTERVALO PARA ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL............................................... 31
7.5. ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL................................................................. 32
8. TAMAÑO DE LA MUESTRA................................................................................................... 33
8.1. FACTORES QUE INFLUYEN EN EL TAMAÑO DE LA MUESTRA................................................ 33
8.2. TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR LA MEDIA POBLACIONAL ................................. 33
8.3. TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN POBLACIONAL ....................... 34
9. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Y PROPORCIÓN POBLACIONAL............................... 36
9.1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 36
9.2. PROCESO ............................................................................................................................... 36
10. INFERENCIAS EN DOS POBLACIONES.................................................................................... 38
10.1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 38
10.2. ESTIMACIONES DE DIFERENCIAS DE PARÁMETROS POBLACIONALES.................................. 38
10.3. ESTIMACIÓN DE DIFERENCIA DE LA MEDIA POBLACIONAL EN MUESTRAS GRANDES: ........ 38
10.4. ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE LA MEDIA POBLACIONAL EN MUESTRAS PEQUEÑAS .. 39
10.5. ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL .................................. 40
10.6. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA COMPARACIÓN ENTRE DOS POBLACIONES.......................... 40

pág. 3
11. ANÁLISIS DE VARIANZA....................................................................................................... 42
11.1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 42
11.2. FUNDAMENTOS DEL ANOVA................................................................................................. 42
11.3. PROCESO DE CÁLCULO PARA UNA SOLA VÍA ........................................................................ 43
11.4. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS .......................................................................................... 45
11.5. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA IGUALDAD DE MEDIAS EN VARIAS POBLACIONES.................. 45
11.6. PRUEBA DE TUKEY Y PRUEBA DMS ....................................................................................... 45
12. PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS.............................................................................................. 48
12.1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 48
12.2. PRUEBA CHI CUADRADO PARA LA INDPENDENCIA DE VARIABLES....................................... 48
13. MODELO DE REGRESIÓN Y COEFICIENTE DE CORRRELACIÓN LINEAL ..................................... 50
13.1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 50
13.2. EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN................................................................................................... 50
13.3. MODELO LINEAL BIVARIABLE ............................................................................................... 51
13.4. MODELO LINEAL MULTIVARIABLE......................................................................................... 51
13.5. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ............................................................................................ 52
13.6. EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN................................................................................... 52
13.7. VERIFICACIÓN DE LAS VARIABLES EN EL MODELO................................................................ 53
14. MODELO NO LINEAL Y EXPONENCIAL................................................................................... 54
14.1. MODELO NO LINEAL.............................................................................................................. 54
14.2. MODELO EXPONENCIAL O DE POISSON................................................................................ 54
14.3. FORMULACIÓN DEL MODELO ............................................................................................... 55
14.4. COEFICIENTES DEL MODELO ................................................................................................. 55
14.5. MODELO DE REGRESIÓN LOGÍSTICA ..................................................................................... 55
14.5.1. ECUACIÓN DEL MODELO LOGÍSTICO............................................................................. 55
14.5.2. OBTENCIÓN DE LOS COEFICIENTES ............................................................................... 56
14.5.3. EVALUACIÓN DEL MODELO........................................................................................... 56
14.5.4. ESTIMACIÓN DE PROBABILIDAD.................................................................................... 56

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1. DEFINCICIONES BÁSICAS
1.1. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA
Es la ciencia que trata de los métodos de recolección, organización y resumen de la información
registrada sobre la variación de eventos; como también los métodos que permiten tomar decisiones
sobre determinadas características de dichos eventos.
1.2. CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA
Para su estudio, es conveniente clasificar a la estadística de la siguiente manera:
Estadística Descriptiva: Estudia los métodos de recolección, organización y resumen de la
información.
Estadística Inferencial: Estudia los métodos y herramientas utilizadas para definir características y
propiedades de una población, basándose en el análisis de una muestra tomada de dicha población.
De la definición de Estadística Inferencial, es conveniente tomar en cuenta las palabras: Población y
Muestra.
1.3. POBLACIÓN
Comúnmente, se conoce como población, a un grupo humano que ha nacido o se ha asentado en
algún lugar del mundo, ejemplo: la población del Ecuador es un grupo de seres humanos que han
nacido o que viven en nuestro país; dentro de la Estadística la población es un grupo formado por
todos las personas u objetos que guardan alguna característica en común; a continuación se
exponen algunos ejemplos de poblaciones estadísticas son los siguientes:
1. Electores inscritos en el padrón electoral del Cantón Quito.
2. Datos mensuales relacionados con el número de niños nacidos vivos en la maternidad de la
ciudad, durante el año 2016.
3. Reporte de las utilidades mensuales de una empresa de transporte pesado.
En resumen, la población estadística es un conjunto universal, puesto que contiene a todos los
elementos de su especie.
1.4. MUESTRA
Dentro de la Estadística, la muestra es un subconjunto de la población; es decir, un conjunto formado
por algunos elementos tomados de un conjunto mayor que es la población; como ejemplos de
muestra podemos mencionar a los siguientes:
1. Un grupo de 100 electores, 5 de cada uno de los 20 recintos electorales del cantón; escogidos
aleatoriamente.
2. Número de barriles de petróleo exportados por el Ecuador que fueron explotados en la
Península de Santa Elena.

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3. Un grupo de niños nacidos en la maternidad de la ciudad, que vinieron al mundo el mes de
diciembre.
En conclusión, la muestra, es un subconjunto representativo tomado de una población.
1.5. MUESTRA VS POBLACIÓN
Como se indicó en la definición de Estadística Inferencial, los métodos estadísticos inferenciales
analizan las muestras para hacer deducciones o inferencias sobre la población; es decir: los que
hacen estadísticas trabajan con datos de las muestras para llegar a determinar características de una
población; las razones, entre otras, se deben a:
Resulta imposible analizar todos elementos (población) debido al tiempo de análisis, costos, etc.
Veamos un ejemplo:
Si se trata de establecer las causas por las que los niños de un cantón de la Sierra
Ecuatoriana presentan signos de desnutrición; sería imposible reunir a todos los niños de
este lugar, medir su estatura, su peso, averiguar la forma de alimentación, los ingresos
familiares de todos ellos, etc. Es mucho más sencillo, tomar una muestra de esta población y
sobre esa muestra realizar el análisis estadístico correspondiente que permitirá a su vez
deducir las causas de desnutrición de dicha población.
En algunas ocasiones, el análisis de los elementos de una muestra, requiere de la destrucción o
inutilización de estos elementos, ejemplo:
Se trata de determinar la resistencia de una bombilla eléctrica: para esto, se debe someter a
este elemento a una serie de sobrecargas eléctricas. Esta sobrecarga, obviamente va a
destruir o inutilizar dicho elemento; por esta razón, no será conveniente ensayar a todos los
elementos (población), sino solamente a algunos de ellos, es decir a una muestra.
La muestra estadística debe ser tomada con un criterio apropiado, de manera que las inferencias
que sobre la población de dicha muestra se hagan, sean confiables e idóneas.
1.6. VARIABLES O DATOS ESTADÍSTICOS
Los datos estadísticos se presentan de dos maneras:
 Datos cualitativos.- Tal como: el género, la religión, el estado civil, el lugar de nacimiento, etc.
Es decir: la variación de estas variables se expresa con palabras y no con números.
Para el trabajo estadístico es necesario expresar la variación de estas variables mediante conteo,
razón proporcional o porcentaje. Veamos algunos ejemplos:
1. El número de mujeres que participaron en la encuesta realizada en el cantón Atacames es de
500, mientras el número de varones encuestados en el mismo cantón llega a 425.
2. Dentro de esta población se estima que el 75% es de religión católica; mientras que el 25%
restante pertenece a otras religiones.
3. Datos proporcionados por el registro civil del cantón indican que el 35% de la población es
soltera, 45% de la población está casada y el 20% restante, corresponde a viudos, divorciados
y en unión libre.

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 Datos cuantitativos.- Son aquellos, cuya variación puede presentarse mediante números;
ejemplo: la estatura de un grupo de niños, el saldo promedio de cuentas corrientes de un banco,
la duración o vida útil de un repuesto eléctrico, etc.
Los datos cuantitativos se presentan de dos maneras:
Variable Discreta
Son aquellos cuya variación numérica se representa por números enteros; ejemplo: el número
de autos vendidos el año anterior, el número de personas que migraron hacia otros países, el
número de matrículas que emitió la Universidad Tecnológica Equinoccial el semestre pasado,
etc.
Variable Continua
Los datos de variable continua pueden asumir cualquier valor: entero o decimal, dentro de un
rango o intervalo específico; ejemplo de estas variables tenemos: la estatura y el peso de un
grupo de estudiantes de la costa ecuatoriana, el diámetro de un grupo de tornillos fabricados en
determinado tiempo, el peso de 20 enlatados de atún, etc.
Esta clasificación de datos de variable cuantitativa en discreta y continua, permitirá más
adelante clasificar a las distribuciones probabilísticas en Distribuciones de variable discreta y
Distribuciones de variable continua.
1.7. ESTADÍSTICOS Y PARÁMETROS
Los estadísticos son valores numéricos obtenidos mediante técnicas y métodos apropiados que
indican las características de la muestra; ejemplo: la media aritmética, la mediana, la desviación
estándar, etc.
Mediante los estadísticos de muestra y con los métodos de la estadística inferencial se deducen los
parámetros de la población; es decir hablar de estadísticos y parámetros es referirse a valores
propios y característicos que representan a la muestra y población, respectivamente.
Los estadísticos y los parámetros, se representan con letras latinas y griegas respectivamente; el
cuadro que se indica a continuación describe la simbología utilizada para los estadísticos y
parámetros más utilizados en nuestro estudio:
Medida estadística Estadístico Parámetro
Media aritmética
Desviación estándar s
Varianza
Tamaño n N
Proporción p
x 

2
s 2


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2. ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE LOS DATOS
Una vez que los datos de una muestra estadística han sido recolectados es conveniente organizarlos
de alguna manera; existen diversos métodos para la organización de los datos, entre ellos se
encuentran los siguientes:
2.1. ORDENAMIENTO DE LOS DATOS
Cuando la muestra no es muy numerosa, es posible ordenar los datos en orden creciente o
decreciente; ese ordenamiento permitirá visualizar los valores extremos y determinar en forma
inmediata el rango, es decir la diferencia entre el mayor y el menor de los valores de la muestra.
2.2. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLE.- VARIABLE CUALITATIVA
Cuando la variable se presenta en forma cualitativa, por ejemplo el sexo de una persona, los datos
podrán organizarse en una tabla en la que se indique los casos registrados para cada uno de los
valores de la variable cualitativa; se podrá también establecer el porcentaje de frecuencia en cada
una de estas variables, como también el porcentaje acumulado. El programa SPSS entrega como
resultado una tabla como la que se indica a continuación:
Sexo del empleado
Frecuencia Porcentaje
Porcentaje
válido
Porcentaje
acumulado
Válidos Femenino 25 41,7 41,7 41,7
Masculino 35 58,3 58,3 100,0
Total 60 100,0 100,0
Es conveniente que estas tablas presenten además, a manera de resumen, un gráfico estadístico
representativo; para variable cualitativa existen dos tipos de gráficos muy comunes:
a. Gráfico de barras verticales u horizontales,
b. Gráfico de sector circular.
El gráfico de barras verticales es una representación cartesiana de la variable de estudio, en el eje
horizontal se ubicará la variable cualitativa y en cada una de ellas se dibujará un rectángulo cuya
altura representa la frecuencia de la variable.
El gráfico circular, en cambio toma un círculo y distribuye su área (360º) en forma proporcional a la
frecuencia de la variable cualitativa; resulta muy conveniente cuando la variable es binomial, es decir
presenta dos resultados (Sexo: masculino, femenino); (Existencia: Vivo, muerto), etc.
A continuación se presenta el gráfico estadístico de barras verticales y de sector circular para los
datos de la tabla:

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Tablas cruzadas
Una tabla cruzada, tabla de contingencia o tabla bivariable es una estructura tabular que permite
registrar los casos que ocurren en dos variables; a continuación se expone algunos ejemplos de
tablas cruzadas:
Tabla de contingencia Sexo del empleado * Nivel Académico
Recuento
Nivel Académico
Total
Posgrado Secundaria Superior
Sexo del empleado Femenino 7 10 8 25
Masculino 10 7 18 35
Total 17 17 26 60

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Esta estructura tabular, comparable con la de una matriz, registra las variables en sentido horizontal
y vertical; no existe restricción en cuanto a la ubicación de las variables, inclusive, el programa SPSS
podrá pivotar la tabla, es decir presentarla en sentido contrario al original, tal como sucedería con la
transpuesta de una matriz.
2.3. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLE.- VARIABLE CUANTITATIVA
Cuando la variable estadística se presenta de manera cuantitativa, sea esta discreta o continua,
se puede organizar la información mediante tablas de frecuencia, tablas cruzadas y tablas de
frecuencia por intervalos.
Veamos un ejemplo de cómo organizar los datos que se indican la antigüedad (en años) de
los empleados y funcionarios de la Agencia Nacional de Investigaciones:
ANTIGÜEDAD FRECUENCIA PORCENTAJE
1 14 9.33%
2 13 8.67%
3 16 10.67%
4 13 8.67%
5 19 12.67%
6 15 10.00%
7 20 13.33%
8 18 12.00%
9 13 8.67%
10 9 6.00%
Total general 150 100,00%
2.4. HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es el resumen gráfico de la Distribución de frecuencias; en el
histograma de frecuencias, se utiliza a la marca de clase como variable independiente (eje horizontal)
y a los valores de: frecuencias, relativa o absoluta, como variable dependiente (eje vertical).

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Junto con el histograma se puede graficar el polígono de frecuencias, para lo cual es necesario
agregar en los extremos de la distribución dos intervalos de frecuencia cero, llamados intervalos
ficticios; el polígono de frecuencias se obtiene mediante un trazo continuo desde el intervalo ficticio
inferior y por los puntos medios superiores de cada una de las barras que conforman el histograma,
finalizando en el intervalo ficticio superior de la distribución de frecuencia.
Los valores que registra la variable cuantitativa continua presentan muchos casos, lo que conlleva a
elaborar tablas de frecuencia que no resultan ser muy prácticas en su manejo; en estos casos es
conveniente agrupar a los valores en intervalos. De esta manera, se obtendrán tablas de frecuencia
agrupadas en una escala de valores.
A manera de ejemplo en la siguiente tabla se presenta la organización de datos de la variable Edad
en 5 intervalos de clase: menos de 30 años; entre 30 y 40 años; entre 40 y 50 años, entre 50 y 60
años y más de 60 años.
INTERVALO EDAD Total
< 30 22
30 - 40 36
40 - 50 28
50 - 60 40
> 60 24
Total general 150
Por otro lado, se podrá también elaborar tablas cruzadas tomando en cuenta a variables
cuantitativas continuas entre sí; o una variable cuantitativa continua y una variable discreta o una
variable cualitativa.
INTERVALO EDAD
INTERVALO INGRESOS
TOTAL GENERAL
< 1000 1000 - 2000 2000 - 3000
< 30 5 7 10 22
30 - 40 4 19 13 36
40 - 50 6 16 6 28
50 - 60 9 18 13 40
> 60 2 13 9 24
TOTAL
GENERAL
26 73 51 150
2.5. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA POR INTERVALOS O CLASE
Cuando los datos son numerosos es conveniente organizarlos en una tabla de distribución de
frecuencias; esta tabla agrupa los datos en diversas clases, intervalos o categorías y permite obtener
la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y la frecuencia acumulada; la tabla adjunta es el modelo
estándar de esta organización de datos.
INTERVALOS Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
Acumulada
Marca de
clase
L. Inferior L Superior
∑=

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Para la construcción de una distribución de frecuencias es conveniente tomar en cuenta las
siguientes definiciones:
Rango
El rango de una muestra es la diferencia que existe entre el valor máximo y el valor mínimo del grupo
de datos a organizar.
Intervalos o Clases
Los datos recogidos se agrupan en intervalos o categorías, a estos grupos se los llama comúnmente
intervalos o clases; se recomienda que la muestra se la divida entre cinco (mínimo) y quince
intervalos (máximo).
Ancho de Clase
El ancho de clase ( ) es un valor que se obtiene al dividir el rango de la muestra para el número de
intervalos escogidos para la formar la distribución de frecuencias.
Límites del Intervalo
Como su nombre lo indica, son valores que limitan el intervalo, habrá entonces un límite inferior y
un límite superior, los límites de cada uno de los intervalos que forman la distribución de frecuencia
se calculan de la siguiente manera:
1. Se toma el valor mínimo, este valor será el límite inferior del primer intervalo, a este valor, se
suma el ancho de clase previamente calculado y se obtendrá el límite superior del primer
intervalo.
2. Para el cálculo de los límites de los demás intervalos, se asume como intervalo inferior el valor
del intervalo superior del intervalo anterior; a este valor, se suma el ancho de clase para obtener
el límite superior de este intervalo. El límite superior del último intervalo, será el valor máximo
de la muestra.
Frecuencia
La frecuencia ( ) de cada uno de los intervalos, es el número de observaciones de la muestra cuyos
valores son iguales o mayores que el límite inferior y menores que el límite superior. La suma de las
frecuencias de todos los intervalos, debe ser igual al tamaño de la muestra o población en análisis.
Frecuencia Relativa
La frecuencia relativa ( ) de cada uno de los intervalos, es el cociente que se obtiene al dividir la
frecuencia de cada intervalo para el total de la muestra. La suma de las frecuencias relativas de todos
los intervalos, es igual a la unidad. Si a cada uno de los valores de la frecuencia relativa se multiplica
por 100 se tendrá el porcentaje de observaciones que se encuentran contenidas en cada uno de los
intervalos, obviamente la suma de estas frecuencias porcentuales, será igual a 1 o 100.

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Frecuencia Acumulada
La frecuencia acumulada ( ) de cada uno de los intervalos de la distribución de frecuencias, recoge
todas las observaciones de los intervalos anteriores y de su propio intervalo; la forma de calcular es
la siguiente:
La frecuencia acumulada del primer intervalo será igual a la frecuencia del intervalo, la frecuencia
acumulada de los demás intervalos, será igual a la frecuencia acumulada del intervalo anterior más la
frecuencia del intervalo; la frecuencia acumulada del último intervalo, será igual al tamaño de la
muestra.
Marca de Clase
La marca de clase ( ), es el valor representativo de cada uno de los intervalos, este valor es igual al
promedio de los límites de cada uno de los intervalos.
Para mejor entendimiento de esta parte, se incluye a continuación el histograma de frecuencia
absoluta correspondiente a la siguiente distribución de frecuencias:
12 10 9 11 15 16 9 10 10 11
12 13 14 15 11 11 12 16 17 17
16 16 15 14 12 11 11 12 12 11
12 15 13 14 16 15 18 19 18 10
11 12 12 11 13 13 15 13 11 12
Valor máximo de la muestra 19,00
Valor mínimo de la muestra 9,00
Rango de la muestra 10,00
Número de intervalos 7,00
Cálculo del ancho de clase 1,43
Clase
Límites del Intervalo
Li <x <Ls
Marca de
Clase (x)
Frecuencia
Frecuencia
Relativa
Frecuencia
Acumulada
Li Ls (x) f fr FA
0 7,57 9,00 8,29 0 0,00 0,00
1 9,00 10,43 9,71 6 0,12 6,00
2 10,43 11,86 11,14 10 0,20 16,00
3 11,86 13,29 12,57 15 0,30 31,00
4 13,29 14,71 14,00 3 0,06 34,00
5 14,71 16,14 15,43 11 0,22 45,00
6 16,14 17,57 16,86 2 0,04 47,00
7 17,57 19,00 18,29 3 0,06 50,00
8 19,00 20,43 19,71 0 0,00 50,00
Observe que se han agregado dos intervalos ficticios, al inicio y al final de la tabla; estos intervalos
ficticios de frecuencia cero permitirán construir el polígono de frecuencia.

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3. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
3.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Una vez que los datos han sido organizados en una tabla de distribución de frecuencia y
representados gráficamente, corresponde ahora buscar ciertos valores que representen a la
muestra. A estos valores representativos se conoce como Medidas de Centralización, ya que estos
valores se ubican alrededor de la parte central de la misma.
Se estudiarán las siguientes Medidas de Centralización: Media Aritmética, Mediana, Moda, para
datos no agrupados y para datos agrupados en distribuciones de frecuencia simple y por intervalos;
por otro lado se llaman Cuantiles a las medidas de posición o ubicación de los datos de la muestra
previamente ordenada.
3.1.1. DATOS NO AGRUPADOS
MEDIA ARITMÉTICA
Sean:
Los valores de una muestra de tamaño , la media aritmética (̅) de esta muestra es:
̅
MEDIANA
La mediana (̃), es el valor central de una muestra de datos previamente ordenados, es decir:
Si la muestra siguiente:
Está ordenada, la mediana será ; dado que dicha muestra es impar.
Si la muestra:
Está ordenada, la mediana será la media aritmética entre y , dado que la muestra es par.
MODA
La moda (̂) es el valor que se presenta con mayor frecuencia; en una distribución de frecuencia
puede haber más de una moda o simplemente no tiene moda; si la distribución tiene una sola moda
se denomina unimodal, bimodal, etc.
Las definiciones descritas hasta aquí permiten la determinación de los estadísticos de tendencia
central cuando el número de datos es pequeño; cuando los datos se encuentran organizados en
distribuciones de frecuencia simple o en distribuciones de frecuencia por intervalos, se deben aplicar
otras expresiones de cálculo.

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3.1.2. EN DATOS AGRUPADOS EN FRECUENCIA SIMPLE
Al organizar los datos en una distribución de frecuencias simple, se debe tomar en cuenta:
Valor ( ) Frecuencia ( ) Frecuencia Acumulada
… … … …
Una vez organizada la tabla de distribución de frecuencia simple, se determina los estadísticos de
tendencia central de la siguiente manera:
MEDIA ARITMÉTICA
̅
∑
∑
MEDIANA
La mediana es el valor ubicado en el centro de la distribución de frecuencias; entonces, el intervalo
donde está la mediana es aquel cuya Frecuencia acumulada contiene por lo menos a:
( )
MODA
La moda es el valor que corresponde al intervalo que presenta la mayor frecuencia; pude darse el
caso de que existan dos o más intervalos que contengan la máxima frecuencia entonces la
distribución de frecuencias será multimodal.
3.1.3. EN DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECUENCIA
Al organizar los datos en una distribución de frecuencia por intervalos s debe tomar en cuenta:
INTERVALO
MARCA DE
CLASE ( )
Frecuencia ( )
Frecuencia
Acumulada
… … … … …

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Una vez organizada la tabla de distribución de frecuencia simple, se determina los estadísticos de
tendencia central de la siguiente manera:
 MEDIA ARITMÉTICA
̅
∑
∑
 MEDIANA
̂
( ∑ )
: Límite inferior del intervalo que contiene a la mediana.
: Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo que contiene a la mediana.
: Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la mediana.
: Ancho de clase del intervalo que contiene a la mediana
El intervalo que contiene a la mediana es aquel que acumula por lo menos a la mitad de los
datos.
 MODA
̂ ( )
: Límite inferior del intervalo que contiene a la moda.
: Diferencia entre la frecuencia del intervalo que contiene a la moda con la frecuencia
del intervalo anterior.
: Diferencia entre la frecuencia del intervalo que contiene a la moda con la frecuencia
del intervalo posterior.
: Ancho de clase del intervalo que contiene a la mediana
El intervalo que contiene a la moda es aquel que presenta la mayor frecuencia absoluta.

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3.2. MEDIDAS DE POSICIÓN EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
Las medidas de posición son observaciones de la muestra que ocupan posiciones específicas una vez
que esta se ha ordenado; estas medidas se conocen en general como Cuantiles.
Sea la siguiente muestra, previamente ordenada, representada por puntos,
Muestra ordenada dividida en dos partes, al valor central se denomina Mediana
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
̃
Muestra ordenada dividida en 4 partes, cada una de esta partes se denomina Cuartil
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Muestra ordenada dividida en 5 partes, cada una de esta partes se denomina Quintil
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entonces:
 La Mediana es la medida de posición que divide a la muestra en dos partes, cada una de las
partes representa el 50%; de manera que la mediana está ubicada sobre el 50% más bajo de la
muestra.
 Los Cuartiles son medidas de posición que dividen a la muestra en cuatro partes, cada una de las
partes representa el 25%; de manera que:
 El primer cuartil ( ) está ubicado sobre el 25% más bajo de la muestra.
 El segundo cuartil ( ) está ubicado sobre el 50% más bajo de la muestra.
 El tercer cuartil ( ) está ubicado sobre el 75% más bajo de la muestra.
 Los Quintiles son medidas de posición que dividen a la muestra en cinco partes, cada una de las
 El primer quintil ( ) está ubicado sobre el 20% más bajo de la muestra.
 El segundo quintil ( ) está ubicado sobre el 40% más bajo de la muestra.
 El tercer quintil ( ) está ubicado sobre el 60% más bajo de la muestra.
 El cuarto quintil ( ) está ubicado sobre el 80% más bajo de la muestra.

pág. 18
 Los Deciles son medidas de posición que dividen a la muestra en diez partes, cada una de las
 El primer decil ( ) está ubicado sobre el 10% más bajo de la muestra.
 El segundo decil ( ) está ubicado sobre el 20% más bajo de la muestra.
….
 El quinto decil ( ) está ubicado sobre el 50% más bajo de la muestra.
 Los Percentiles o simplemente Centiles son medidas de posición que dividen a la muestra en cien
partes, cada una de las partes representa el 1%; de manera que:
 El percentil 23 ( ) está ubicado sobre el 23% más bajo de la muestra.
….
…..
3.2.1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL
“Todo cuantil equivale al percentil correspondiente”, ejemplo:
 El primer cuartil ( ), que se ubica sobre el 25% más bajo de la muestra, equivale entonces al
percentil 25 ( ).
 El segundo quintil ( ), que se ubica sobre el 40% más bajo de la muestra, equivale entonces al
percentil 40 ( ).
 El sexto decil ( ), que se ubica sobre el 60% más bajo de la muestra, equivale entonces al
percentil 60 ( ).
Entonces, de lo anterior se concluye:
̌
3.2.2. EN DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS EN FRECUENCIA SIMPLE
Una vez que se han ordenado los datos, los Cuantiles se los encuentra en la ubicación específica,
tomando en cuenta que un cuantil se ubica en la posición que resulta de aplicar la siguiente
expresión:
( ) ( )
Dónde:
Cuantil a ser ubicado
,
Tamaño de la muestra (número de datos o casos)

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 Si ( ) es entero, entonces el cuantil buscado será el dato correspondiente a esa ubicación;
 Si ( ) no es entero entonces el cuantil buscado es el resultado de la interpolación de la parte
decimal con la diferencia entre los Cuantiles que lo contienen.
3.2.3. CUANTILES EN DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECUENCIA.
Cuando los datos se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias por intervalos, los
Cuantiles se determinan aplicando la siguiente expresión:
( ∑ )
Donde y conforman la fracción generatriz del cuantil; a manera de ejemplo se describen a
continuación las fórmulas de cálculo de los cuartiles:
Primer cuartil Segundo cuartil Tercer cuartil
( ∑ ) ( ∑ ) ( ∑ )
3.3. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
En clases anteriores se definieron algunas medidas de centralización, entre ellas, la más utilizada: la
media aritmética; sin embargo, el análisis estadístico requiere de una medida que exprese la
variabilidad de los datos con respecto a alguna medida de centralización; usualmente la media; en
otras palabras: es necesario determinar un valor estadístico que represente la variación de los datos,
tomando como punto de referencia de la variación la media aritmética.
Entre las medidas de dispersión más usuales se tiene:
3.3.1. RANGO
A pesar de que no involucra a la media aritmética, la primera medida de la dispersión de un grupo de
datos, agrupados o no, es el rango, definiéndose al rango como la diferencia entre el valor máximo y
valor mínimo de los datos, es decir:
Como se recordará, el Rango permite, junto con el número de intervalos, determinar el ancho de
clase.
3.3.2. DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Sea:
Un grupo de datos de tamaño , se define a la desviación estándar, también conocida como
desviación típica, a la raíz cuadrada del cociente entre la sumatoria de los cuadrados de

pág. 20
las diferencias, de cada uno de los valores y la media aritmética, dividida para el número de términos
de la serie de datos, es decir:
√
∑( ̅)
Si los datos constituyen una muestra, es decir es un subconjunto de la población, la desviación
estándar está dado por:
√
∑( ̅)
Si los datos se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias, entonces la desviación
estándar será:
√
∑ ( ̅)
∑
Las medidas de dispersión son proporcionales con su magnitud; un valor pequeño indica una
pequeña desviación, mientras que un valor grande indica que existe una gran variabilidad o
dispersión.
3.3.3. VARIANZA
Se define a la varianza como el cuadrado de la desviación típica; es decir:
La varianza mide la variabilidad de los datos, esta medida estadística es de gran utilidad para el
análisis comparativo entre dos o más poblaciones.
3.3.4. COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Una medida de la dispersión o variación de un grupo de datos es el coeficiente de variación de
Pearson, el mismo que relaciona por cociente a la desviación estándar con la media aritmética, es
decir:
̅
3.3.5. RANGO INTERCUARTIL
Se define al rango intercuartil como la diferencia numérica entre el tercer cuartil y el primer cuartil,
es decir:
3.3.6. DIAGRAMA DE CAJA
El diagrama de caja es una herramienta de representación gráfica que resume la variabilidad de un
grupo de datos; en este gráfico se puede apreciar el rango y el rango intercuartilítico.

pág. 21
Para elaborar el diagrama de caja es necesario: el valor máximo, el valor mínimo, la mediana el
primer cuartil y el tercer cuartil; estos valores se colocan en una recta horizontal, tal como se indica
en la siguiente figura:
3.4. MEDIDAS DE ASIMETRÍA
Una vez que se dispone de las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión que
describen a un grupo de datos, sobre todo, la media aritmética y la desviación estándar, es
conveniente determinar además, una medida que exprese la simetría o asimetría de los datos.
3.4.1. SIMETRÍA DE UNA MUESTRA
En Estadística se conoce como distribución simétrica a aquella distribución de frecuencia en los
cuales los datos se reparten en tal forma que el vértice del polígono de frecuencia se encuentra en la
mitad del mismo; tal como se indica en el siguiente histograma:
En toda distribución de frecuencias simétrica se cumple que: ̅ ̃ ̂
Es decir: la media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se ubican en la parte central del
histograma de frecuencias.
A las muestras simétricas se las conoce también como muestras asesgadas; es decir, que no tienen
sesgo.
Si la distribución de frecuencias no es simétrica, entonces se trata de una distribución asimétrica o
sesgada.

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3.4.2. SESGO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRRECUENCIAS
El sesgo es una forma cuantitativa de expresar la asimetría de una curva, este estadístico se
determina con las siguientes expresiones:
̅ ̂ ( ̅ ̃)
Que se conocen como Primer y segundo coeficiente de Pearson; se puede observar que el primer
coeficiente toma en cuenta la moda y el segundo coeficiente toma en cuenta a la mediana de la
distribución de frecuencias.
Sesgo a la derecha.-
Los datos se concentran en la parte derecha de la distribución, se cumple además que: ̂ ̃ ̅
Cuando la distribución de frecuencias presenta sesgo a la derecha los coeficientes de asimetría de
Pearson son positivos.
Sesgo a la izquierda.-
Los datos se concentran en la parte izquierda de la distribución, se cumple además que: ̅ ̃ ̂
Cuando la distribución de frecuencias presenta sesgo a la izquierda los coeficientes de asimetría de
Pearson son negativos.

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4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
4.1. EXPERIMENTO ALEATORIO
Se dice que un experimento es aleatorio, cuando no se conoce con certeza el resultado de dicho
experimento; sin embargo se conocen todos los resultados posibles de dicho experimento.
Como ejemplos de experimentos aleatorios podemos citar los siguientes:
1. Lanzar al aire una moneda.
2. Extraer una carta de un mazo de naipes.
3. Lanzar un dado.
A pesar que estos ejemplos giran en torno a los juegos de azar, esto sirvió como material de trabajo
para la elaboración de un marco teórico matemático muy importante como es el cálculo de
probabilidades; dentro de la administración podemos citar los siguientes ejemplos como
experimentos aleatorios:
1. El volumen de ventas de un almacén para el año próximo.
2. La aceptación del consumidor de un nuevo producto.
3. La tasa de interés para el siguiente semestre.
4.2. EVENTO ALEATORIO
Dentro del estudio de la probabilidad, se denomina Evento al resultado de un experimento
aleatorio.
4.3. ESPACIO MUESTRAL
Se llama Espacio Muestral al conjunto finito formado por todos los resultados posibles (eventos) de
un experimento aleatorio.
4.4. PROBABILIDAD DE UN EVENTO
La probabilidad de un evento aleatorio es la cuantificación de la ocurrencia de dicho evento, es
decir, si podemos expresar mediante un número la ocurrencia de un suceso de carácter aleatorio,
entonces hemos encontrado la probabilidad de ocurrencia de dicho evento.
Sea un evento aleatorio, entonces ( ) representa la probabilidad de ocurrencia del evento ,
este valor se puede encontrar mediante la expresión:
( )
Ahora, la probabilidad de no-ocurrencia del suceso aleatorio será:
( )
La probabilidad de un evento A es un número positivo entre cero y uno, es decir:
( )

pág. 24
Si la probabilidad del evento es: ( ) entonces el evento se denomina éxito; Ahora, si la
probabilidad del evento A es ( ) , entonces al evento a se lo denomina fracaso.
La probabilidad de ocurrencia de un evento junto con la probabilidad de no ocurrencia del mismo
reúne todo el todo el espacio Muestral, por lo que:
( ) ( )
Con lo que se puede expresar que:
( ) ( )
Cuando el número de casos favorables de la ocurrencia de un evento o el total de casos resulta difícil
de determinar, es conveniente recurrir a las técnicas de conteo establecidas en el Análisis
Combinatorio.
4.5. ALGEBRA DE PROBABILIDAD
Sean A y B dos eventos, la probabilidad de ocurrencia de los dos eventos está dada por:
( ) ( ) ( ) ( )
Si A y B son independientes:
( ) ( ) ( )
Evento condicional:
( )
( )
( )
4.6. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Recordemos que el Espacio muestral es el conjunto de todos y cada uno de los valores que puede tomar
una variable aleatoria; dicho en otras palabras, el Espacio muestral reúne a todos los resultados posibles
de un experimento aleatorio.
Si a cada uno de los valores del Espacio muestral, le hacemos corresponder su respectiva probabilidad de
ocurrencia, a esta correspondencia le llamaremos Distribución de probabilidad o Función de Probabilidad
o simplemente o Distribución Probabilística, es decir:

pág. 25
Una Distribución de Probabilidad, se puede representar de dos maneras: mediante una tabla de datos o
mediante un gráfico denominado histograma.
( )
1 0.10
2 0.15
3 0.30
4 0.18
5 0.12
6 0.15
La Distribución de Probabilidad permite calcular probabilidades; siempre y cuando, se cumplan los
requisitos que cada una de ellas exigen.
De acuerdo con la clasificación de la variable aleatoria se ha tomado en cuenta la siguiente clasificación
de distribución de probabilidades:
 Distribución Binomial (Bernoulli), para variable aleatoria discreta.
 Distribución Normal (Gauss), para variable aleatoria continua.
4.7. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Un evento está bajo Distribución Binomial, si cumple con las siguientes condiciones:
 Existen n observaciones o ensayos idénticos.
 Cada ensayo tiene dos posibles resultados, uno llamado “éxito” y el otro denominado “fracaso”.
 Las probabilidades de éxito y de fracaso se mantienen constantes para todos los
ensayos.
 Los resultados de los ensayos son independientes entre sí.
La distribución Binomial se expresa con la siguiente función:
( ) ( )
Dónde:
( ) Número de combinaciones o grupos de elementos que se pueden hacer con elementos.
: El valor de la variable cuya probabilidad queremos calcular.
: Total de la muestra.
: Probabilidad de la ocurrencia de un evento.
: Probabilidad de la no ocurrencia del evento.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
1 2 3 4 5 6

pág. 26
En el cálculo de probabilidades, bajo la distribución Binomial se presentan los siguientes casos:
 Probabilidad de un elemento puntual.
 Probabilidad de un evento mayor que.
 Probabilidad de un evento menor que.
4.8. DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución de probabilidad de Gauss o distribución Normal, está dada por la siguiente ecuación:
√
( )
Para mejor manejo de la ecuación de Gauss, se procede a tipificar la variable, haciendo el siguiente
cambio de variable:
La ecuación de Gauss se transforma en:
√
Que presenta ahora el siguiente gráfico:
Características de la Curva Normal
 La gráfica de una distribución normal, se asemeja a una campana, por eso se la conoce como la
campana de Gauss.
 La curva es suave, unimodal y simétrica, entonces: la media, la mediana y, la moda coinciden en el eje
de simetría.
 En sentido horizontal, la curva se extiende hacia el infinito, en los dos sentidos; sin embargo, con la
tipificación de la variable z, la distribución normal tiene dominio entre ]-4,4[

pág. 27
 La curva de distribución normal queda totalmente identificada, mediante dos parámetros: la media
aritmética y la desviación estándar.
 El área total de la curva normal, representa el 100% de probabilidad de dicha variable; dada la
simetría, el eje divide a la curva en dos áreas, representa cada una por el 50% del área total.
( )
Con estas características se tiene que:
La probabilidad de que una variable aleatoria que está distribuida normalmente asuma un valor entre
dos puntos cualesquiera, es igual al área bajo la curva normal entre estos dos puntos.
Mediante la distribución normal, se pueden calcular probabilidades para eventos de variable continua,
para este cálculo se deberá contar con:
 Media aritmética:
 Desviación estándar:
Con estos valores procedemos a calcular el valor (variable tipificada):
Proceso para el cálculo de una probabilidad con distribución normal
1. Cálculo del valor para la probabilidad ,
2. Gráfico de la campana y ubicación del valor ,
3. Ubicación de las áreas en el gráfico,
4. Definir el área (sombrear) que corresponde a la probabilidad a calcular,
5. Cálculo del área sombreada (es el valor de la probabilidad).

pág. 28
5. MÉTODOS DE MUESTREO
5.1. MUESTRA
Dentro de la Estadística, la muestra es un subconjunto de la población; es decir, un conjunto formado
por algunos elementos tomados de un conjunto mayor que es la población. En conclusión: la muestra
es un subconjunto representativo tomado de una población.
5.2. POBLACIÓN FINITA O INFINITA
En términos estadísticos una población es finita si se conoce el tamaño de la misma, si no se conoce
el tamaño se dice entonces que se trata de una población infinita.
Cuando la población es finita, el cálculo numérico se ve afectado del denominado factor de
corrección de población finita, este factor se determina con la siguiente expresión:
√
Este factor de corrección siempre será menor que la unidad ( ) y depende del tamaño de la
población y del tamaño de a muestra.
5.3. EL MUESTREO ALEATORIO
La muestra estadística debe ser tomada con un criterio apropiado de manera que las inferencias que
sobre la población de dicha muestra se hagan sean confiables e idóneas.
Este criterio se resume en que todos los elementos de la población deben tener la misma
probabilidad de ser incluidos en la muestra; este criterio se cumple cuando los elementos de la
población que van a ser parte de la muestra son tomados al azar, el muestreo al azar se conoce
también como muestreo aleatorio.
5.4. MÉTODOS DE MUESTREO ALEATORIO
Dentro del muestreo aleatorio existen varios métodos de muestreo, en forma resumida se tiene:
Muestreo Aleatorio simple.- Es el método de muestreo más común, consiste en seleccionar al azar,
uno a uno, los elementos de la población que van a formar parte de la muestra; el criterio del azar se
establece el momento en que todos los miembros de la población tienen la misma probabilidad de
ser elegidos como parte de la muestra. Una forma de realizar un muestreo aleatorio simple es
numerar previamente a los elementos de la población y luego, con la ayuda de una tabla de números
aleatorios escoger al azar los elementos de la muestra.
Muestreo aleatorio estratificado.- Se toma aleatoriamente y en tamaño proporcional al del estrato,
los diferentes elementos que formarán la muestra; de esta manera se obtendrá una representativa
de cada uno de los estratos o categoría que conforman la población.
Muestreo aleatorio sistemático.- Se divide a la población en tantos grupos como el tamaño de la
muestra; luego del primer grupo se elige aleatoriamente el elemento de partida y finalmente se va
tomando los elementos que coincidan con el módulo del elemento de partida.

pág. 29
6. DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO
Con la media aritmética y la proporción de muestras de diferente tamaño se pueden formar las
denominadas distribuciones muestrales, entonces podrán existir:
 Distribución muestral de medias.
 Distribución muestral de proporciones.
6.1. CLASIFICACIÓN DE LAS MUESTRAS POR SU TAMAÑO
De acuerdo con su tamaño, las muestras estadísticas se clasifican en:
 Muestras grandes.
 Muestras pequeñas.
Esta clasificación se debe a la experiencia estadística que señala que se considera como muestra
grande cuando esta contiene al menos 30 elementos, si el tamaño de la muestra es menor a 30, se
considera como muestra pequeña.
6.2. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
Este es uno de los temas más importantes en la estadística inferencial, este teorema se enuncia de la
siguiente manera:
“A medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución de medias muestrales se
aproxima a la distribución Normal”.
El teorema permite entonces asumir a una muestra grande ( ) como aproximada a la
distribución normal.
6.3. ERROR DE MUESTREO
Se define al error de muestreo como la diferencia entre los valores de los parámetros poblacionales y
los estadísticos de una muestra; este error es inversamente proporcional al tamaño de la muestra, es
decir mientras mayor sea el tamaño de la muestra menor será el error que se presenta en el
muestreo.
A continuación se presentan algunas fórmulas que permiten determinar el error de muestreo para
las siguientes distribuciones muestrales.
Para la distribución muestral de medias:
√
Donde:
: Error de la distribución muestral de medias.
: Desviación estándar de la población.
: Tamaño de la muestra.
Para la distribución de las proporciones:

pág. 30
√
( )
Donde:
: Error de la distribución muestral de proporciones.
: Proporción o probabilidad de cumplimiento del evento
: Tamaño de la muestra.
El caso de pequeñas muestras deberá tomarse en cuenta que los datos ya no tienen el
comportamiento de una distribución normal; deberá entonces utilizar la distribución , de Student,
tal como se estudiará más adelante.

pág. 31
7. TEORÍA DE ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
7.1. INTRODUCCIÓN
La Estimación es una herramienta estadística que permite: partiendo del análisis de los estadísticos
de una muestra deducir los parámetros de una población; siendo las estimaciones más usuales: la
media poblacional y la proporción poblacional.
7.2. ESTIMADOR POR INTERVALOS
Una estimación por intervalos especifica un rango dentro del cual está el parámetro desconocido;
este intervalo con frecuencia va acompañado de una afirmación sobre el nivel de confianza que se
da sobre su probabilidad de ocurrencia, por esta razón a este intervalo se lo conoce también como
intervalo de confianza (IC)
En la práctica, es común tomar como nivel de confianza valores tales como el 99%, el 95% y el 90%;
en realidad no hay nada de especial en estos valores, por lo que el nivel de confianza puede ser
cualquier valor.
7.3. CONSIDERACIONES ADICIONALES PARA LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
Antes de proceder a determinar el intervalo de estimación estadística, es muy importante tomar en
cuenta las siguientes consideraciones:
1. Se requiere conocer si la población se encuentra bajo una Distribución Normal; sin embargo,
esta información no siempre está disponible.
2. En términos estadísticos, se considera que una muestra es grande cuando su tamaño es mayor o
por lo menos igual a 30, entonces de acuerdo con el Teorema del Límite Central que dice: “Si
una muestra es grande, entonces está bajo la Distribución Normal”.
3. El intervalo de estimación está en función de la desviación estándar de la población, sin
embargo, en la mayoría de las veces este parámetro es desconocido; en esta situación se
requerirá remplazar este parámetro por la desviación estándar de la muestra .
7.4. INTERVALO PARA ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL
Muestras grandes.-
Cuando la muestra proviene de una Distribución Normal, o si el tamaño de la muestra es grande
( ), de acuerdo al Teorema del límite central, se la puede considerar como proveniente de
una Distribución Normal, entonces la media poblacional se estima como:
̅ ̅
Donde:
: Media poblacional, a estimar.
̅ : Media aritmética de la muestra.
: Valor de la distribución normal en función del nivel de confiabilidad.
̅: Error de la distribución de medias.

pág. 32
̅
√
(Cuando se conoce la desviación estándar de la población).
̅
√
(Cuando no se conoce la desviación estándar de la población).
Cuando el tamaño de la población es conocida se debe multiplicar al error estándar de la media por
el factor de corrección de población finita, este factor es igual a:
√
Muestras pequeñas.-
Cuando los datos provienen de una Distribución Normal, la desviación estándar de la población es
desconocida y si el tamaño de la muestra es pequeño ( ), entonces se debe trabajar con la
distribución t, conocida también como la Distribución de Student; en estos casos, la media
poblacional se estima como:
̅ ̅
Donde:
: Media poblacional, a estimar.
̅: Media aritmética de la muestra.
: Valor de la distribución t, en función del nivel de confiabilidad y de los grados de libertad;
los grados de libertad .
7.5. ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL
Para determinar el intervalo de estimación de la proporción poblacional, se asume que la
distribución de la que provienen los datos es normal, entonces el intervalo de estimación está dado
por:
Donde:
: Proporción poblacional a estimar
: Proporción de la muestra.
: Valor de la distribución normal en función del nivel de confiabilidad.
: Error de la distribución de la proporción.
Donde:
√
( )

pág. 33
8. TAMAÑO DE LA MUESTRA
El tamaño de la muestra es una de las inquietudes de mayor frecuencia y preocupación que se
presenta en una investigación; si bien el cálculo del tamaño de la muestra es una operación sencilla
puesto, que se han establecido las fórmulas de cálculo correspondientes, es necesario que el
investigador tome en cuenta los diversos factores que influyen en su determinación.
8.1. FACTORES QUE INFLUYEN EN EL TAMAÑO DE LA MUESTRA
Los factores generales que influyen en el tamaño de la muestra son:
a. Conocimiento del tamaño de la población.
b. Nivel de confiabilidad o probabilidad de ocurrencia del evento a investigar.
c. Tamaño del error de estimación, siendo este la diferencia entre el parámetro poblacional y el
estadístico de la muestra.
Por otro lado, el tamaño de la muestra depende además de la estimación del parámetro que se va a
realizar, entonces se tiene como factores particulares:
d. Cuando se trata de estimar la media poblacional, el tamaño de la muestra depende de la
desviación estándar de la población, en ausencia de esta, se recomienda tomar la desviación
estándar de una muestra piloto de por lo menos 30 unidades ( ).
e. Cuando se trata de estimar la proporción poblacional, el tamaño de la muestra depende de la
probabilidad de ocurrencia del evento en estudio en ausencia de esta, se recomienda tomar la
como probabilidad de ocurrencia el 50%, es decir el criterio de equiprobabilidad - puede o no
puede ocurrir- ( ).
8.2. TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR LA MEDIA POBLACIONAL
a. Si el tamaño de la población no está definida, la media poblacional se estima con:
̅ ̅
Dónde:
̅ Es el error típico de muestreo para la media poblacional y está dado por:
̅
√
Por otro lado, el error de estimación de la media poblacional , es la diferencia entre la media
poblacional y la media de la muestra entonces:
̅
√
√
Despejando se tiene:
( )

pág. 34
b. Si el tamaño de la población está definido, el error de muestreo para la media poblacional se ve
afectado por el Factor de corrección de la población finita, entonces:
̅ ̅
Dónde:
Es el Factor de corrección de población finita y está dado por:
√
̅ ̅
√
√
( )
8.3. TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN POBLACIONAL
a. Si el tamaño de la población no está definido, la proporción poblacional se estima con:
Dónde:
Es el error típico de muestreo para la proporción poblacional y está dado por:
√
( )
Por otro lado, el error de estimación de la proporción poblacional , es la diferencia entre la
proporción poblacional y la proporción de la muestra entonces:
√
( )
√
( )

pág. 35
( )
b. Si el tamaño de la población está definido, el error de muestreo para la proporción poblacional
se ve afectado por el Factor de corrección de la población finita, entonces:
Dónde:
Es el Factor de corrección de población finita y está dado por:
√
√
( )
√
√
( )
√
( )
[ ( ) ( )]

pág. 36
9. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Y PROPORCIÓN POBLACIONAL
9.1. INTRODUCCIÓN
El segundo método de inferencia sobre una característica de la población, basándose en el análisis de
la muestra, se denomina Prueba de Hipótesis. Una hipótesis es un enunciado o afirmación que se
hace sobre alguna característica estadística de la población, y mediante el análisis estadístico de la
muestra, se llega a aceptar o rechazar dicha enunciado o hipótesis.
Al igual que en la estimación de los parámetros poblacionales, en este tema se realizarán las
siguientes pruebas de hipótesis:
 Pruebas de hipótesis sobre la media poblacional para muestras grandes.
 Pruebas de hipótesis sobre la media poblacional para muestras pequeñas.
 Pruebas de hipótesis sobre la proporción o fracción poblacional.
9.2. PROCESO
Básicamente el método de pruebas de hipótesis es el mismo para este tipo de pruebas, la diferencia
entre una y otra prueba está en la determinación del estadístico de prueba y la distribución
estadística (Normal o t) que respalden dicha prueba.
En general, el proceso es el siguiente:
1. Planteamiento de la hipótesis
Se deben plantear dos hipótesis: la Hipótesis Nula (Ho) que es un enunciado o afirmación que se hace
sobre alguna característica de la población, y la Hipótesis Alternativa (H1) que se plantea como la
negación de la hipótesis nula.
En ocasiones las hipótesis nula y alternativa vienen como parte del enunciado del problema.
2. Nivel de significancia y tipo de prueba
El nivel de significancia es el porcentaje de error que estamos resignados a cometer, es el
complemento de nivel de confiabilidad, si el nivel de confiabilidad es el 95%, entonces el nivel de
significancia será el 5%.
Los tipos de prueba para este modelo estadístico son:
 Prueba de dos extremos.
 Prueba de extremo derecho.
 Prueba de extremo izquierdo.
La selección del tipo de prueba depende del sentido de la desigualdad expresada en la hipótesis
alternativa.
3. Selección del estadístico de prueba
Para pruebas de hipótesis de medias, con poblaciones bajo la Distribución Normal, o de tamaño
grande o con desviación poblacional conocida, el estadístico de prueba es:

pág. 37
̅
̅
Para pruebas de hipótesis de medias, con poblaciones bajo Distribución Normal, de tamaño pequeño
y con la desviación estándar de la población desconocida, el estadístico de prueba es:
̅
̅
Para pruebas de hipótesis sobre la proporción o fracción poblacional, se asume que bajo la
Distribución Normal, entonces el estadístico de prueba es:
4. Valores críticos de la prueba
Dependiendo del nivel de significancia escogido, como también del tipo de prueba se determina el
valor crítico de la prueba ( );
 ( )
 ( )
5. Toma de decisión
 En prueba de dos extremos: –
 En prueba de extremo izquierdo: –
 En prueba de extremo derecho:
Alternativa para la Toma de decisiones:
Se define como p value al mínimo valor del nivel de significancia con el que se rechaza la
hipótesis nula; entonces la regla de decisión es:
 En prueba de dos extremos:
 En prueba de un extremo:
El programa SPSS representa al p value como sig. bilateral (nivel observado significancia de
dos extremos).
6. Conclusión de la prueba
Finalmente se debe expresar el resultado de la prueba traduciendo el resultado obtenido a las
características del problema.

pág. 38
10. INFERENCIAS EN DOS POBLACIONES
10.1. INTRODUCCIÓN
En los temas anteriores se realizaron deducciones de una población en base del análisis de una
muestra tomada de dicha población; en este tema se tratará de establecer herramientas estadísticas
que permitan establecer estimaciones de la diferencia que existe entre los parámetros de la
población, y comprobar hipótesis acerca de las semejanzas o diferencias que presentan las dos
poblaciones.
Por otro lado, es muy importante conocer la forma como se han tomado las muestras de las dos
poblaciones que intervienen en el análisis estadístico; estas muestras pueden ser:
Independientes: Es decir la muestra de cada población se obtiene en forma independiente.
Por pares: Las observaciones o elementos de la muestra de la primera población se toman en forma
correspondiente con los elementos de la segunda población; un ejemplo característico del muestreo
por pares se denomina “antes y después”.
10.2. ESTIMACIONES DE DIFERENCIAS DE PARÁMETROS POBLACIONALES
Vamos a revisar la diferencia que existe entre los parámetros de dos poblaciones, así podremos
estimar:
 La diferencia de la durabilidad promedio de las llantas de dos marcas diferentes.
 La diferencia entre los salarios promedio de hombres y mujeres cuando realizan el mismo
trabajo.
 La diferencia entre la proporción de piezas defectuosas producidas en dos procesos industriales
diferentes.
10.3. ESTIMACIÓN DE DIFERENCIA DE LA MEDIA POBLACIONAL EN MUESTRAS GRANDES:
Cuando el tamaño de cada una de las muestras tomadas de las dos poblaciones es grande, es decir:
La diferencia entre la media poblacional de dos poblaciones está dado por:
(̅ ̅ ) ̅ ̅
Donde:
: Diferencia de la media poblacional de dos poblaciones
̅ : Media aritmética de la muestra (primera población).
: Media aritmética de la muestra (segunda población).
: Valor de z de la Distribución normal para el nivel de confiabilidad asumido.
̅ ̅ : Error de estimación para la diferencia de medias.
El error de estimación para la diferencia de medias poblacionales está dado por:

pág. 39
̅ ̅ √
Si las varianzas de las poblaciones no se conoce se deberá utilizar las varianzas de la muestra, por lo
que la expresión anterior se transforma en:
̅ ̅ √
Recuerde que el interés de este capítulo es estimar la diferencia que existe entre las medias
poblacionales de dos poblaciones, no es el de determinar el valor de las diferencias entre las medias
poblacionales.
10.4. ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE LA MEDIA POBLACIONAL EN MUESTRAS PEQUEÑAS
Cuando las muestras tomadas de cada una de las poblaciones son pequeñas, es decir si:
Y la varianza de las poblaciones y son desconocidas se debe utilizar la distribución t tomando
en cuenta si existen evidencias o no de la igualdad de las varianzas aunque estas no sean
conocidas.
Suposición de igualdad de las varianzas:
Si existen evidencias de que las varianzas poblacionales son iguales, a pesar de no conocerlas se debe
determinar la varianza común ponderada; en función de las varianzas muestrales y tomando como
peso el tamaño de la muestra, es decir:
( ) ( )
Una vez establecido el valor de la varianza común ponderada, se puede entonces definir el intervalo
de estimación de la diferencia de la media poblacional de la siguiente manera:
( ̅ ̅ ) ̅ ̅
Donde:
: Es el valor de la distribución t para el nivel de confiabilidad asumido con grados
de libertad.
El error de estimación para la diferencia de medias poblacionales está dado por:
̅ ̅ √
Si no existen evidencias de igualdad de las varianzas el proceso de cálculo requiere la determinación
de los grados de libertad, para esto se aplica la siguiente expresión:

pág. 40
* +
( ) ( )
Una vez determinado este grado de libertad se procede a leer en la tabla el valor de para
finalmente poder establecer el intervalo de valores de estimación de la diferencia de la media
poblacional.
10.5. ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL
El intervalo de estimación para la diferencia de la proporción poblacional está dado por la expresión:
( )
Donde:
: Diferencia de la proporción poblacional.
: Proporción muestral tomada de la población 1.
: Proporción muestral tomada población 2.
: Valor de z para el nivel de confiabilidad asumido.
: Error de estimación
El error de estimación para la diferencia de la proporción poblacional está dado por:
√
( ) ( )
10.6. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA COMPARACIÓN ENTRE DOS POBLACIONES
Al igual que en la estimación de la diferencia entre los parámetros de dos poblaciones se podrán
realizar las siguientes pruebas de hipótesis.
 Pruebas de hipótesis para igualdad de medias con muestras grandes.
 Pruebas de hipótesis para igualdad de medias con muestras pequeñas.
 Pruebas de hipótesis sobre la igualdad de la proporción poblacional de dos poblaciones.
PROCESO
1. Planteamiento de la hipótesis:
Se deben plantear dos hipótesis: la Hipótesis Nula (Ho) que es un enunciado o afirmación que se hace
sobre la relación de igualdad entre las medias de las poblaciones y la Hipótesis Alternativa (H1) que se
plantea como la negación de la hipótesis nula.
2. Nivel de significancia y tipo de prueba:
El nivel de significancia es el porcentaje de error que estamos resignados a cometer, es el
complemento de nivel de confiabilidad, si el nivel de confiabilidad es el 95%, entonces el nivel de
significancia será el 5%.

pág. 41
3. Estadístico de prueba.
Para pruebas de hipótesis de diferencias entre las medias poblacionales, con poblaciones bajo la
distribución normal, o de tamaño grande o con desviación poblacional conocida, el estadístico de
prueba es:
( ̅ ̅ ) ( )
̅ ̅
Para pruebas de hipótesis de diferencias entre medias poblacionales, con poblaciones bajo
distribución normal, de tamaño pequeño y con la desviación estándar de la población desconocida, el
estadístico de prueba es:
( ̅ ̅ ) ( )
̅ ̅
Deberá tomarse en cuenta las consideraciones realizadas sobre el conocimiento o presencia de
indicios de igualdad o desigualdad de las varianzas poblacionales, tal como se lo hizo en el acápite
correspondiente a la estimación por intervalos para la diferencia de las medias poblaciones en
muestras pequeñas.
Para pruebas de hipótesis sobre la diferencia proporción o fracción poblacional, se asume que la
distribución es normal, entonces el estadístico de prueba es:
( ) ( )
4. Valores críticos de la prueba
Prueba z: ( )
Prueba t: ( )
5. Toma de decisión:
 En prueba de dos extremos: – Si no se rechaza.
 En caso de p-value se tiene: ( ) Si no se rechaza.
Si se ha definido con anterioridad el intervalo de confianza:
Se puede establecer otra regla de decisión en función del intervalo de confiabilidad: Si el valor del
parámetro poblacional está dentro del intervalo de confiabilidad, entonces se acepta la hipótesis
nula, caso contrario se rechaza.
6. Conclusión de la prueba: Expresar el resultado de la prueba en términos de las características del
problema.

pág. 42
11. ANÁLISIS DE VARIANZA
11.1. INTRODUCCIÓN
El Análisis de Varianza, conocido como ANOVA (ANALYSIS OF VARIANCE) es una herramienta
estadística diseñada para la comparación de medias muestrales de más de dos poblaciones; además
esta herramienta permite realizar inferencias acerca de la varianza de una población.
La herramienta ANOVA está diseñada específicamente para probar si dos o más poblaciones tienen la
misma media; aunque el propósito de la ANOVA es comparar las medias, el proceso se fundamenta
en el análisis de la variabilidad de cada una de las muestras; siendo esta la razón de su nombre, en
otras palabras:
Mediante el estudio de la variabilidad que presentan las muestras (ANOVA) se pueden realizar
inferencias sobre la igualdad de la medias de las poblaciones de donde se tomaron dichas
muestras.
Algunos ejemplos donde se puede aplicar el Análisis de Varianza.
 Se trata de medir los efectos relativos en la producción de los empleados de una fábrica a los
cuales se los ha capacitado mediante tres programas: tradicional, audiovisual y con ayuda de
medios informáticos.
 Comparar los efectos causados por cuatro promociones mensuales en las ventas de un almacén:
muestra gratis; obsequios, descuentos, envío a domicilio.
 Una cadena de restaurantes está preocupada por las excesivas quejas sobre la demora en la
atención de las órdenes solicitadas en sus cuatro locales: Centro, Norte Sur y Periferia y desea
saber si la demora en que incurren los empleados es la misma en los cuatro locales o en cuál de
ellos la demora es diferente.
11.2. FUNDAMENTOS DEL ANOVA
El análisis de varianza está basado en una comparación de dos estimaciones diferentes de la varianza
de la población total; estas estimaciones de la varianza están claramente establecidas:
La primera estimación de la varianza, conocida como variación intergrupal o inter muestral está
dado por la variabilidad de las medias de las muestras, en términos estadísticos se conoce como
varianza entre columnas.
La segunda estimación de la varianza, se la denomina varianza dentro de las columnas y está dado
por la variabilidad de los datos de cada una de las muestras o grupos, es decir será una varianza intra
muestral o intra grupal.
Por otro lado se debe suponer:
 Todas las poblaciones involucradas son normales.
 Todas las poblaciones tiene la misma varianza.
 Las muestras se seleccionan independientemente.

pág. 43
11.3. PROCESO DE CÁLCULO PARA UNA SOLA VÍA
Se presenta el siguiente modelo de organización de los datos:
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 … Grupo k
…
…
…
… … … … …
…
Se trata de un conjunto de datos agrupados en k muestras; y cada una de las muestras dispone de un
número n de datos; el número de datos u observaciones de cada una de las muestras no
necesariamente tienen que ser iguales.
El proceso de cálculo consta de los siguientes pasos:
1. Determinación de la media aritmética de cada una de las muestras, obteniéndose entonces:
̅ ̅ ̅ ̅
2. Determinación de la gran media.
La gran media o media de las medias muestrales se obtiene ponderando cada una de las medias
muestrales, tomando como peso el tamaño de cada una de las muestras, es decir:
̿
̅ ̅ ̅ ̅
3. Primera estimación de la varianza:
( ̅ ̿) ( ̅ ̿) ( ̅ ̿) ( ̅ ̿)
∑ ( ̅ ̿)
En esta expresión se tiene:
: Primera estimación de la varianza poblacional
: Tamaño de cada una de las muestras, con
̅ : Media aritmética de cada una de las muestras, con
̿: Gran media
: Número de muestras o grupos.
Al numerador de la primera estimación de la varianza se le conoce como la Suma de Cuadrados
intergrupal o Suma de cuadrados entre grupos.

pág. 44
4. Determinación de la varianza para cada una de las muestras.
A continuación se deberá calcular las varianzas de cada una de las muestras, aplicando la
siguiente expresión:
∑ ( ̅ )
La varianza de cada una de las muestras permitirá la obtención de la segunda estimación de la
varianza de la población.
5. Segunda estimación de la varianza poblacional
La segunda estimación de la varianza poblacional se obtiene mediante la ponderación de la
varianza de cada una de las muestras, en este caso la ponderación está en función del tamaño de
la muestra, el tamaño de todas las muestras y el número de muestras, es decir:
( ) ( ) ( ) ( )
∑ ( )
∑ ( )
Al numerador de la segunda estimación de la varianza se le conoce como la Suma de Cuadrados
intragrupal, Suma de cuadrados dentro de los grupos o Suma de cuadrados del error.
6. Prueba F
El estadístico de prueba para el Análisis de Varianza se conoce con el nombre de estadístico F, el
mismo que compara por cociente el valor de las estimaciones de la varianza poblacional, es decir:
7. Estadístico F
El estadístico de prueba F está en función del nivel de significancia de la prueba, el grado de
libertad de la primera estimación de la varianza y el grado de libertad de la segunda estimación
de la varianza, entonces:
( )
Donde:
: Nivel de significación de la prueba estadística asumido.
Grados de libertad del numerador (Primera estimación de la varianza)
Grados de libertad del denominador (Segunda estimación de la varianza)
Los valores de F se los puede tomar directamente de una tabla de distribución F o también
utilizar software estadístico en la categoría de funciones.

pág. 45
11.4. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
Es muy común, presentar los resultados del ANOVA en una tabla que contiene la información
obtenida, esta tabla tiene la siguiente estructura:
Origen de las variaciones Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Promedio de los
cuadrados
F
Entre grupos
Dentro de los grupos
Total
11.5. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA IGUALDAD DE MEDIAS EN VARIAS POBLACIONES
Básicamente el procedimiento para la prueba de hipótesis acerca de la igualdad de la media
poblacional de varias muestras, es el mismo que para una o dos muestras, es decir:
1. Planteamiento de hipótesis:
Hipótesis nula:
Hipótesis alternativa:
2. Cálculo del estadístico .
3. Determinación del Valor crítico para la prueba :
Se tomará el valor de la tabla de distribución F en función del nivel de significación y los grados
de libertad del numerador y denominador.
4. Toma de decisión.
 Si , entonces se acepta la hipótesis nula,
 Si , entonces se rechaza la hipótesis nula,
 Si ( ), entonces se acepta la hipótesis nula.
5. Conclusión de la prueba:
Finalmente se debe expresar el resultado de la prueba traduciendo el resultado obtenido a las
características del problema.
11.6. PRUEBA DE TUKEY Y PRUEBA DMS
Se conoce como diseño balanceado al evento en que todas las muestras que intervienen en el
ANOVA son del mismo tamaño; si esta situación no se cumple entonces diremos que el diseño no
está balanceado.

pág. 46
Por otro lado, si la prueba de hipótesis que determina igualdad de la media poblacional de varias
poblaciones es rechazada; entonces será necesario establecer cuáles son las poblaciones que
presentan diferente media poblacional; para esto se han diseñado las siguientes pruebas:
 Prueba de Tukey.
 Prueba de la Diferencia Mínima Significativa (DMS).
 Prueba de DMS alternativo para diseños no balanceado.
A continuación se hará una descripción de estas pruebas:
Criterio de Tukey para diseños balanceados:
a. Se determina el criterio de Tukey con la siguiente expresión:
√
Donde:
Valor de la tabla de rangos estudentizada ( )
Segunda estimación de la varianza para el ANOVA.
Tamaño de las muestras (el mismo en todos los grupos).
b. Se establecen las diferencias absolutas entre las medias poblaciones para cada dos muestras y
este valor se lo compara con el valor obtenido de Tukey si la diferencia es mayor entonces se
concluye que esos grupos presentan la media poblacional diferente, es decir:
| ̅ ̅ |
Entonces la media poblacional del grupo no es igual a la media poblacional del grupo
Criterio de la Diferencia Mínima Significativa (DMS).
a. Se determina el criterio de la Diferencia Mínima Significativa (DMS)con la siguiente expresión:
√
Donde:
Valor de la Distribución F ( )
Tamaño de las muestras (el mismo en todos los grupos).
este valor se lo compara con el valor DMS, si la diferencia es mayor entonces se concluye que
esos grupos presentan la media poblacional diferente, es decir:
| ̅ ̅ |

pág. 47
Criterio de la Diferencia Mínima Significativa (DMS), para diseños no balanceados.
a. Para cada par de muestras se determina el criterio de la Diferencia Mínima Significativa
(DMS)con la siguiente expresión:
√* +
Donde:
Valor de la Distribución F ( )
este valor se lo compara con el valor DMS, si la diferencia es mayor entonces se concluye que
esos grupos presentan la media poblacional diferente, es decir:
| ̅ ̅ |

pág. 48
12. PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
12.1. INTRODUCCIÓN
Las pruebas no paramétricas agrupan una serie de pruebas estadísticas que tienen como propiedad
común la ausencia de supuestos o presunciones acerca de la ley de probabilidad que sigue la
población de la que ha sido extraída la muestra. Por esta razón es común referirse a ellas como
pruebas de distribución libre.1
Las pruebas no paramétricas reúnen las siguientes características:
 son más fáciles de aplicar;
 son aplicables a los datos jerarquizados;
 se pueden usar cuando dos series de observaciones provienen de distintas poblaciones;
 son la única alternativa cuando el tamaño de muestra es pequeño y
 son útiles a un nivel de significancia previamente especificado.
12.2. PRUEBA CHI CUADRADO PARA LA INDPENDENCIA DE VARIABLES
Permite determinar que si dos variables, en formato de tabla de contingencia, son independientes o
si estas variables están relacionadas entre sí.
1. Planteamiento de hipótesis:
Hipótesis nula:
Hipótesis alternativa:
2. Cálculo del estadístico (chi cuadrado)
∑
( )
Donde:
Frecuencia de eventos observados en los datos de la muestra.
Frecuencia de eventos esperados en los datos de la muestra.
Número de categorías, clases o muestras.
3. Determinación del Valor crítico para la prueba :
( )
El número de grados de libertad, para esta prueba: ( ) ( )
1
Clasificación de pruebas no paramétricas. Cómo aplicarlas en SPSS. Vanesa Berlanga Silvente y María José Rubio Hurtado
Universitat de Barcelona. Institut de Ciències de l’Educació

pág. 49
4. Toma de decisión.
 Si , entonces se acepta la hipótesis nula,
 Si , entonces se rechaza la hipótesis nula,
 Si ( ), entonces se acepta la hipótesis nula.
5. Conclusión de la prueba:
Finalmente se debe expresar el resultado de la prueba traduciendo el resultado obtenido a
las características del problema.

pág. 50
13. MODELO DE REGRESIÓN Y COEFICIENTE DE CORRRELACIÓN LINEAL
13.1. INTRODUCCIÓN
Dentro de la Inferencia Estadística, en muchas ocasiones, es necesario estimar la relación existente
entre dos o más variables dentro de una población, como también cuantificar la cohesión que
presenta la relación entre estas variables.
Se citan varios ejemplos de estos problemas:
 Determinar en forma cuantitativa la relación que existe entre el peso y la estatura de una
persona.
 La relación entre los gastos de publicidad y el incremento de ventas de algún producto.
 El nivel socio económico de un individuo y su preparación académica.
 El grado de relación que existe entre el precio de ciertos productos y la cantidad disponible
para su venta.
El análisis de regresión es la determinación de una ecuación matemática que expresa la
relación existente entre dos o más variables dentro de una población, a partir del análisis de
muestras extraídas de dicha población.
Por otra parte, la necesidad de disponer de una calificación del grado de relación entre las variables
involucradas en un problema de regresión conduce a determinar el coeficiente de correlación; es
decir:
El coeficiente de correlación es una medida del grado de cohesión existente entre las
variables involucradas en un problema de regresión como también una indicación del
sentido (directo o inverso) de la relación existente.
Entonces, si se dispone de la información necesaria, siempre se podrá encontrar una expresión
matemática que indique la relación existente entre dichas variables.
13.2. EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN
La regresión, en términos de la Estadística, consiste en determinar una expresión matemática que
indique la relación existente entre dos o más variables, considerando que una de ellas es
dependiente de todas las demás; en otras palabras: la relación existente entre dos o más variables
donde todas ellas, excepto una, son independientes.
Si la relación se presenta entre dos variables solamente diremos que se trata de una relación
bivariable; cuando la relación se presenta entre tres o más variables, diremos que se trata de una
relación multivariable.
Independientemente del número de variables, el análisis de regresión se clasifica en:
 Regresión lineal.
 Regresión no lineal.
Esta clasificación se debe a la tendencia de comportamiento matemático que presentan las variables
cuando estas se asocian. Una forma de estimar esta tendencia consiste en observar la nube de

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