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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO
                          FACULTAD DE MECÁNICA
                 ESCUELA DE INGENIERÍA DE MANTENIMIENTO

TEMA:

                  CINEMATICA DE LAS PARTICULAS

REALIZADO POR:   JUAN CARLOS GRANIZO RODRIGUEZ
                 JORGE LUIS SALAO BRAVO




                        RIOBAMBA – ECUADOR
OBJETIVO GENERAL

    Presentar definiciones y relaciones matemáticas que determinen la posición , velocidad y aceleración
    de una partícula tanto en el movimiento rectilíneo y curvilíneo.




OBJETIVOS ESPECIFICOS

    • Establecer la relaciones de la aceleración en función de otra variable.
    • Conocer el movimiento relativo y dependiente de partículas y establecer sus relaciones
INTRODUCCIÓN
                  “La física es la naturaleza misma no hay nada que esconder”


La cinemática de una partícula, no es más que el movimiento de la misma en diferentes
trayectorias y producidas por fuerzas internas o externas, cuyo cuerpo a medida que se esta
moviendo va cambiando de posición, lo mismo que es decir que se esta desplazando. El producto
de esta fuerza por el desplazamiento, que se lo denomina trabajo, al mismo tiempo que este
trabajo produce una transferencia de energía al mismo cuerpo pudiendo ser cinética y potencial,
con lo cual para desarrollar esa energía en movimiento se necesita cierta potencia la cual genera
un rendimiento a favor o en contra.


En este compendio se trata de ver y analizar las aplicaciones de la cinética de una partícula
analizando los métodos energéticos, cuyas aplicaciones las observamos diariamente como en la
naturaleza, nuestra vida diaria, la industrias, etc. Conociendo los medios de desarrollo del trabajo
potencia y energía, descubriendo cual son los beneficios que pueden generar para ha favor del
hombre.
EL SOLIDO RIGIDO
Definición.- Un sólido rígido se considera a un conjunto de partículas materiales: m1,...mi ....mn cuyas distancias
mutuas permanecen invariables, en las condiciones habituales de trabajo del cuerpo. Así por ejemplo, la distancia
entre dos partículas cualesquiera como mi y mj ; que designamos por dij ; se mantiene siempre constante, fig.1.




                  Fig.1. Para estudiar el sólido rígido podemos considerarlo constituido por muchos
                                    partículas materiales, que pueden numerarse



En otras ocasiones se toma al sólido como un continuo, pero sin interesarnos por su estructura interna. Entonces, se
considera formado por elementos de masa dm, sin necesidad de asignarles numeración.
MOVIMIENTOS DEL SOLIDO RIGIDO

El movimiento general de un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masas
y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas.




                                                          TRASLACION RECTILINEA
       MOVIMIENTO DE TRASLACION
                                                          TRASLACION CURVILINEA



       MOVIMIENTO DE ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE QUE PASA POR EL CENTRO DE MASA
MOVIMIENTO DE TRASLACION
Un sólido rígido efectúa una traslación, cuando un triedro unido al cuerpo no cambia su orientación en el transcurso
del movimiento, con relación a unos ejes fijos con origen en un punto O, fig.2 y fig.3.



 TRASLACION RECTILINEA
 Si las trayectorias seguidas por los partículas del Solido Rígido en su movimiento, son líneas rectas. Así sucede con
 las trayectorias de los puntos A y B de la fig.2, que se representan en el dibujo mediante líneas discontinuas.




                                             Fig.2. Traslación Rectilínea
TRASLACION CURVILINEA
Cuando las trayectorias de las partículas del Solido Rígido son líneas curvas. Observa en la fig.4, las trayectorias de
A y B, y entiende que es una traslación, porque el triedro sigue paralelo así mismo, y a la posición inicial. Un ejemplo
muy conocido se muestra en la fig.3.




   Fig.3. Los ejes ligados a las cestas de la noria, tienen un movimiento de
   traslación respecto de los ejes fijos en O, situados en el suelo. Todos
                                                                               Fig.4. Traslación curvilínea
   los puntos de las cestas al moverse, sufren una traslación curvilínea.
   Observa la trayectoria de un punto de la cesta, señalada con línea
   discontinua.

 Cuando un sólido rígido efectúa una traslación sea rectilínea o curvilínea, en cada instante los vectores velocidad y
 aceleración, son los mismos para todas las partículas del sólido.
MOVIMIENTO DE ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
 Consideremos un sólido rígido y unos ejes fijos en él (X´, Y´, Z´). El sólido efectúa una rotación cuando este sistema de
 ejes, gira con velocidad angular ω, alrededor de otros ejes fijos (X, Y, Z),. El eje alrededor del cual gira el sólido se llama
 eje de rotación, siendo Z = Z´. Cualquier partícula como la mi fig.5, describe una circunferencia con centro en el punto Oi
 del eje, pues por definición de sólido rígido la distancia a Oi es constante.




                                                 Fig.5. Cuando el sólido gira a derechas, observa como los ejes ligados al
                                                 sólido (x´, Y´, Z´) giran alrededor de los ejes fijos (X, Y, Z). Entonces el vector
                                                 velocidad angular ω se determina mediante el avance de un sacacorchos que
                                                 gire en el mismo sentido del sólido, encontrándose además sobre el eje de
                                                 rotación Z = Z´.

La velocidad vi que lleva cada partícula mi a lo largo de la circunferencia de radio ri que describe, se llama velocidad
lineal y es distinta para cada partícula del sólido. El módulo de la velocidad lineal de una partícula, es igual a la
velocidad angular por el radio de la circunferencia que describe vi =ω·ri. En la fig.6, se representan las velocidades
lineales de dos partículas C y D, observa que es mayor cuanto más alejada está del eje. Si la velocidad angular cambia
con el tiempo, sobre el sólido actúa una aceleración angular α, que es un vector en la dirección del eje de rotación,
fig.6. Se obtiene derivando la velocidad angular respecto del tiempo.
Fig.6. Los vectores velocidad angular ω y aceleración angular α
                                         tienen la dirección del eje de rotación y valen igual para todas las
                                         partículas del sólido rígido. En cambio la velocidad lineal varía según
                                         la distinta de las partículas al eje de rotación.


La aceleración angular es en cada instante, la misma para todos los puntos del sólido rígido. La aceleración angular
está relacionada con la aceleración tangencial resultando que su módulo, es igual a la aceleración angular α por el
radio ri de la circunferencia que describe la partícula; at ,i = α · ri
MOMENTO ANGULAR DE UN SOLIDO RIGIDO
Analicemos un disco plano que gira alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro, fig.7, en cuya dirección
se encuentra el vector velocidad angular ω . El momento angular de una partícula de masa mi respecto del punto O del
eje, es:




                                                   Fig.7. Están representadas solamente algunas de las n-partículas del sólido
                                                   rígido. Observe como el momento angular LO,i ; es paralelo al vector velocidad
                                                   angular ω.


Considerando que es un producto vectorial, resulta un vector perpendicular al plano del disco y que tiene por lo tanto la
dirección del eje de rotación, siendo su módulo LO,i = ri mi vi sen 90º =mi ri vi . Igualmente sucede con todas las demás
partículas del disco.
Para calcular el módulo del momento angular total del disco respecto de O, sumaremos todos los módulos de lo momentos
angulares de todas sus n partículas, y teniendo en cuenta que vi = ω · ri . Resulta El sumatorio contiene la suma de la masa
de cada partícula por el cuadrado de su distancia al eje, se llama momento de inercia I del sólido.




Sustituyendo en la ecuación de LO resulta: LO = I · ω . Cuando el vector momento angular LO sea paralelo al vector ω,
entonces el eje se llama, “eje principal de inercia” y en los sólidos de geometría regular, como discos, cilindros, esferas,
coincide con sus ejes de simetría. Para rotaciones alrededor de ejes principales resulta la ecuación vectorial.




Siendo I el momento de inercia respecto del eje, que se puede determinar experimentalmente, o mediante el cálculo para
cuerpos de geometría regular. Aunque el desarrollo se ha efectuado por sencillez para un disco, el resultado es general
para cualquier figura geométrica que gire alrededor de un eje principal de inercia, (únicos casos que aquí vamos a tratar).
CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN SOLIDO RIGIDO
Para la determinación matemática del Momento de Inercia se considera al sólido como un medio continuo formado por
elementos de masa dm, para lo que tomaremos una distribución geométrica formada por puntos que se encuentran a
la misma distancia del eje de rotación.

Para una distribución continua la expresión del Momento de Inercia asignada con (1) debe ser reemplazada por otra
ecuación. En ésta el sumatorio se sustituye por una integral, el vector de posición de cada partícula por la variable r y
la masa de cada partícula por dm. Resultando:




RADIO DE GIRO
En las aplicaciones en las se emplea el momento de inercia de un cuerpo, muchas veces resulta conveniente considerar
toda la masa concentrada idealmente en un punto. A la distancia desde ese punto al eje se le llama radio de giro y resulta
especialmente útil para cuerpos irregulares ya que no se dispone de fórmulas sencillas para calcular el Momento de
Inercia.
Consideremos un sólido cuyo Momento de Inercia respecto de un eje es I, suponiendo que toda la masa estuviera
concentrada en un punto, tal que el momento de inercia respecto del mismo eje sigue siendo I, a la distancia del punto al
eje se llama radio de giro k. Sustituyendo en la ec.(1) teniendo en cuenta que ahora ri es el mismo para todas las
partículas resulta:
Observando la ec.(4), el sólido rígido cuyo radio de giro k es conocido, puede ser asimilado a un anillo que tiene igual
masa y de radio, r = k.
TRABAJO Y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO GENERAL
                        DE UN SOLIDO RIGIDO
                     ENERGIA CINETICA DEL SOLIDO RIGIDO
  Entendemos por energía cinética del sólido rígido la suma de las energía cinéticas del todas las partículas que lo
  constituyen. Como ya sabemos, la energía cinética es una magnitud física escalar relativa al observador en el
  referencial fijo XYZ.

  El movimiento más general del sólido rígido puede reducirse a una rotación de velocidad angular ω con respecto a un
  eje que pasa por un punto arbitrario o, más una traslación cuya velocidad vo es la correspondiente a dicho punto. Así,
  la velocidad, en el referencial fijo, de un punto genérico Pi del sólido viene dada por




donde ri = oPi es el vector de posición del punto genérico Pi respecto del punto arbitrario o perteneciente al sólido. Si
consideramos una partícula genérica de las que constituyen el cuerpo, digamos la partícula i-ésima como en la figura, su
energía cinética en el referencial fijo XYZ es
TRABAJO EN LA ROTACION
                            ENERGIA CINETICA DE ROTACION
El trabajo es el resultado de una fuerza que aplicada al sólido desplaza su punto de aplicación. Supongamos una
fuerza F que actúa tangencialmente a la trayectoria que describe una partícula del sólido, fig.16.




                                                  Fig.16. El trabajo de rotación efectuado por el momento de la fuerza
                                                  aplicada, se invierte en hacer girar el cuerpo, incrementando su velocidad
                                                  angular y su energía cinética de rotación.




Y que por su acción el cuerpo gira un ángulo dθ. El trabajo elemental es dW= F · dr ; siendo dr un desplazamiento, cuyo
módulo es dr = r.dθ. El trabajo efectuado por el momento entre dos posiciones angulares θ0 y θ, es la suma de los
trabajos elementales que se determina mediante una integral:
Si el momento es constante sale de la integral y resulta W = M ·(θ0 - θ).
El trabajo realizado por el momento aplicado, es una energía, que pasa al cuerpo en forma de energía cinética
llamada de rotación, modificando la velocidad angular del sólido desde ω0 a ω. Operando en la integral:




 Cada uno de los sumandos, es la energía cinética de rotación del sólido rígido.
TRABAJO Y ENERGIA DE ROTACION
  Tal como en el movimiento de traslación de una partícula, cuando tenemos rotando un rígido con eje fijo las
  fuerzas externas a él efectúan trabajo mecánico. Consideremos el cuerpo rígido de la figura, que puede rotar
  alrededor del eje fijo Z del sistema de coordenadas que usaremos como sistema de referencia.




                                                               Cuerpo Rígido con eje fijo

Si ejercemos una fuerza en el plano xy sobre una partícula cualquiera, realizará un trabajo mecánico puesto que
habrá un desplazamiento angular. Esto se observa mejor cuando se ve desde arriba.
Sobre el cuerpo se ha aplicado una fuerza constante en magnitud y dirección respecto de la tangente a la curva. La
fuerza Fr se puede suponer como la suma de dos vectores cuyas direcciones son radiales y tangenciales
respectivamente.
La componente radial no trabaja pues no existe desplazamiento en esa dirección. La componente tangencial trabaja,
pues existe desplazamiento angular ∆θ que se puede relacionar con el desplazamiento angular s.
El trabajo que la fuerza tangencial realiza será: dW=FTds. Si se toma un desplazamiento
infinitesimal ds, se tiene que: ds=Rdθ.

Por lo tanto: dW=FT Rdθ
y como la magnitud del torque que la fuerza tangencial realiza sobre la partícula es τ =F T R, se tiene que:
dW=τdθ
Integrando a ambos lados, y considerando que W0=0 para θ0, se tiene:




 De donde finalmente:




  Que permite calcular el trabajo que una fuerza constante realiza sobre el cuerpo, puesto que es una partícula de
  un rígido.
TRABAJO DEBIDO A LA FUERZA DE GRAVEDAD

El trabajo asociado con el peso de un objeto (es decir, la fuerza debido a la gravedad) puede obtenerse previamente por la
definición básica de trabajo definida a través del producto punto (dU = F ¥dr). Subsecuentemente el proceso involucra el
producto punto, un resultado escalar. Considere, por ejemplo, el problema de mover un peso de posición 1 a la posición 2
como indicado debajo. Cuando el peso se mueve, uno debe considerar dos cosas: las componentes del peso y las
componentes del camino. Para el problema propuesto los componentes del vector de fuerza son:

                                                  Fx = Fz = 0 y Fy = -W.

Las componentes del vector posición son:

                                              sx = x2-x1 , sx = x2-x1, y sz = 0
El trabajo va de la posición 1 a 2 se da, en la forma integral, como:

                U 1-2 =       (Fxdsx       Fydsy       Fzdsz)

                                           = 0 (x2-x1) + -W(y2-y1) +0 (0)
                                           = -W(y2-y1) = -W∆y

  El trabajo hecho por el peso de un cuerpo que mueve de una posición a otra es el producto del peso (W =
  mg) y el desplazamiento vertical del centro de gravedad del cuerpo (∆y). El trabajo es negativo para ∆y > 0
  (cuando el cuerpo sube), y es positivo para ∆y < 0 (cuando el cuerpo se mueve hacia abajo).




        TRABAJO DEBIDO A UNA FUERZA POR UN RESORTE
   La fuerza ejercida por un resorte en un objeto puede expresarse en términos de la constante del resorte y la
   cantidad de desplazamiento que experimenta el resorte (longitud deformada). Para un resorte lineal, la
   relación entre la fuerza y desplazamiento es F = kx. Donde F es la fuerza, k es la constante del resorte, y x
   es el desplazamiento. Para los propósitos de desarrollo, tomamos un bloque, es atado a un cable de un
   puente como se muestra.
Como la caja se mueve, el cordón se alarga y desarrolla una fuerza. Un diagrama de cuerpo libre muestra que la
fuerza del cordón del puente está opuesta la dirección de movimiento. Por consiguiente, el trabajo se expresará
como:
                                                  dU1-2 = -F dx

Integrando entre el límite bajo de x (x = 0) y el límite superior resulta en el trabajo siendo dado como:
                                                        U1-2 = - k(x1)2

Si el bloque fuera soltado ahora, la dirección de la fuerza estaría igual que la dirección de movimiento, y el trabajo
sería positivo.
                                                    U2-1 = + k(x1)2

Una expresión general para el trabajo debido a resortes (asumiendo los resortes lineales dónde F = kx) es define
fácilmente integrando la fuerza como una función del desplazamiento del resorte. Si el resorte es inicialmente
deformado, esta integración produce la expresión general:
                                                    Uresorte = kx2

El signo del término de trabajo dependería en la dirección de movimiento del objeto a que él se ató (el trabajo es
positivo si el resorte fuera comprimido, y negativo si el resorte fuera alargado). Una expresión general para el trabajo
debido a un resorte puede definirse, con tal de que algunas deformaciones de resortes se identifican
(x0 , x1 , y x2) junto con la constante del resorte k.
x0 = Longitud del resorte deformado. Cuando el resorte es deformado, no ejerce una fuerza en el objeto siendo
movido, y por consiguiente no contribuye al trabajo.
x1 = Longitud del resorte en su posición inicial (la posición en la que empieza el primer movimiento). La posición
inicial del objeto no tiende a deformar la longitud del resorte.
x2 = Longitud del resorte en su posición final (la posición a que el movimiento se detiene, o una posición intermedia
usada para el análisis).

Una expresión más general para el trabajo hecho por la fuerza en un resorte mientras que mueve una partícula de
la posición 1 a 2 esto da por:

                                                 U1-2 =    k(x22-x12)

No hay fuerza subsecuentemente por resorte cuando está en su posición redeformación, todos las fuerzas que
contribuyen al resultado del trabajo de estirar (o comprimiendo) el resorte con respecto a su longitud deformada. Es
a menudo conveniente pensar en la longitud del resorte como la diferencia entre la longitud del resorte en sus
posiciones iniciales y finales, y su longitud original. Estos pueden definirse como ∆x1 y ∆x2 , dónde:
                                           ∆x1 = (x1 -x0)          ∆x2 = (x2 -x0)


 Por consiguiente, el trabajo hecho por la fuerza por un resorte cuando una partícula se mueve de la posición 1 a 2
 puede expresarse como:

                                    U1-2 = k(∆x22 - ∆x12) = k [(x2 -x0)2 - (x1 -x0)2 ]

 El signo del trabajo (cualquiera + o -) depende en la dirección de la fuerza en el resorte y el movimiento del objeto a
 que se ata. El trabajo es positivo si la dirección de la fuerza del resorte y movimiento coincide, y es negativo si las
 direcciones de la fuerza del resorte y movimiento están opuestos.
EL PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA
Considérese una partícula de masa m, sobre la que actúa una fuerza F, Y que se mueve a lo largo de una
trayectoria que puede ser rectilínea o curva




 Expresando la segunda ley de Newton en función de las componentes tangenciales de la fuerza y de la
 aceleración, se escribe,




  donde v es la rapidez de la partícula. Recordando v = ds/dt, se obtiene

                                                                  Ft ds = mv dv


   Integrando desde Al (donde s = s1 y v = v1) a A2 (donde s = s2 y v = v2), escribimos
El miembro izquierdo de la ecuación anterior representa el trabajo Ul2 de la fuerza F ejercida sobre la partícula
durante el desplazamiento de Al a A2, el trabajo es una cantidad escalar. La expre-sión también es una cantidad
escalar; se define como la energía cinética de la partícula, y se representa por T. Escribimos



Sustituyendo en la Ec 1°, tenemos




La cual expresa que, cuando una partícula se mueve de A1 a A2 bajo la acción de una fuerza F, el trabajo de la
fuerza F es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. Esto se conoce como principio del trabajo y la
energía. Reacomodando los términos, escribimos
APLICACION DEL PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA
Una de la aplicación del principio de trabajo y energía son la utilización de pistones




   Pistones
   El elevador hidráulico se basa en el principio de que el trabajo necesario para mover un objeto es el producto de
   la fuerza por la distancia que recorre el objeto. El elevador hidráulico utiliza un líquido incompresible para
   transmitir la fuerza, y permite que una pequeña fuerza aplicada a lo largo de una gran distancia tenga el mismo
   efecto que una gran fuerza aplicada a lo largo de una distancia pequeña. Esto hace que pueda emplearse una
   pequeña bomba de mano para levantar un automóvil.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
Cuando se consideran únicamente transformaciones de tipo mecánico, es decir, cambios de posición y cambios
de velocidad, las relaciones entre trabajo y energía se convierten de hecho en ecuaciones de conservación, de
modo que si un cuerpo no cede ni toma energía mecánica mediante la realización de trabajo, la suma de la
energía cinética y de la energía potencial habrá de mantenerse constante.
En efecto, si




  Pero decir que la suma Ep + Ec no varía entre los estados inicial y final equivale a afirmar que su energía
  mecánica total se mantiene constante a lo largo del movimiento:
El sistema podrá variar su energía cinética y su energía potencial y cambiar por tanto de velocidad y de posición,
con la única restricción de que la suma de aquéllas se mantenga constante. Así, un aumento en el término de
energía cinética debe llevar asociado la disminución correspondiente de la energía potencial para que en conjunto
nada cambie.
Este sería el caso de un péndulo ideal sin rozamientos; si se le eleva a una altura dada y se le suelta a
continuación, el péndulo oscilará indefinidamente, ganando velocidad a medida que pierde altura y posteriormente
ganando altura a medida que pierde velocidad. Esta transformación continua e indefinida de energía potencial en
energía cinética y viceversa es una consecuencia de la ecuación de conservación:




La conservación de la energía mecánica explica el principio empírico formulado por Galileo y defendido
posteriormente por Leibniz según el cual un cuerpo que cae desde una altura dada adquiere una velocidad lo
suficientemente grande como para, tras rebotar en el suelo, elevarse de nuevo hasta la altura inicial. Suponiendo
despreciables las pérdidas de energía mecánica, por el choque contra el suelo y por rozamiento con el aire, la
energía mecánica total inicial se ha de conservar.

Al principio sólo es potencial; al llegar al suelo se ha transformado completamente en energía cinética, la cual, tras
el choque, va convirtiéndose progresivamente en potencial conforme el cuerpo gana altura, hasta recuperar la
posición inicial.
APLICACIÓNES DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Represa Eléctrica
En un a represa, la energía potencial del agua, que se encuentra en un embalse a gran altura, se transforma en
energía cinética al caer en el fondo de la represa. Allí gran parte de su energía cinética se transforma en energía
cinéticas de las turbinas que mueve. Esta energía cinética se transforma a su vez en energía eléctrica en los
generadores conectados a las turbinas.




 La energía eléctrica se distribuye, mediante alambres conductores, a las ciudades vecinas. Durante este proceso de
 distribución calorífica que se manifiesta en el calentamiento de los alambres. Ya en la ciudad el resto de la energía
 eléctrica continúa transformándose en más energía calorífica, en planchas, cocinas eléctricas, en energía cinética de
 los motores y así podríamos seguir indefinidamente la historia y evolución de cada una de estas formas de energía
 a través del espacio y del tiempo.
EJERCICIOS
    DE
APLICACIÓN
1. Una sección de la pista de una “montaña rusa” consiste de dos arcos circulares AB y CD, unidos por
una porción de recta BC. El radio de AB es 90 ft, y el radio de CD es 240 ft. El vehículo y sus ocupantes, de
peso combinado de 560 lb, alcanza el punto A prácticamente con velocidad cero, y después cae libremente
alo largo de la pista. Determine la fuerza normal ejercida por la pista sobre el vehículo cuando este
alcance el punto B. Ignore la resistencia del aire y la resistencia al rodamiento

                                                              D.C.L.




Datos:
rAB = 90 ft
rCD = 240 ft
W = 560 lb
VA = 0
NB = ?
Energía Cinética                    Trabajo:




Principio de Trabajo y Energía


                                 DLC

                                                                 2
                                                         wm2
                                       N   w cos 40
                                                           2g
                                       N   428 . 98   262 . 08
                                       N   167 lb
2. Una banda transportadora traslada cajas, con una velocidad , a una rampa fija en A, donde se deslizan y
finalmente, cae en B. Sabiendo que , determinar la velocidad de la banda transportadora si las cajas dejan
la rampa en B con una velocidad de




   Datos:                                                Calcular:


            ft
  VB    8
                 s

    Solución:
Ecu (A)

                Ecu (B)

             Ecu A= Ecu B


                            Ecu (C)


               (1)                    (2)


(1) en (2)                        Remplazo en Ecu (C)
3. Una piedra de 5lb se suelta desde una altura h, y golpea en el piso con una velocidad de 80ft/s.
   a) Hallar la energía cinética de la piedra al golpear el piso y la altura h desde la que fue soltada.
   b) resuelva la parte a asumiendo que se suelta la misma piedra en la Luna (La aceleración de la gravedad
   en la luna es de 5.31ft/s2)
                                                                                      2
                                                                         mV
                                                                    T
                                                                                 2
                                                                                                   2
                                                                                              mV
                                                                     m   g           h
                                                                                               2
                                                                                          2
                                                                                     V
                                                                     g   h
                                                                                         2
                                                                                 2
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                                                                     h
                                                                         2           g
                                                                                                   2
                                                                                 ( 80 ft / s )
                                                                     h                                 2
                                                                         2           32 . 17 ft / s
                                                                     h   99 . 47 ft


      b)
4. El vagón minero de 400kg,es subido por un plano inclinado utilizando el cable y el motor M. Durante un
breve tiempo, la fuerza en el cable es F=(3200 t )N, donde se expresa en segundos .Si el vagón tiene una
velocidad inicial v =2 cuando s=0 y t=0 ,determine la distancia que se mueve en el plano cuando t=2s
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Deber dinamica solido rigido cinetica en el plano

  • 1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE MECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍA DE MANTENIMIENTO TEMA: CINEMATICA DE LAS PARTICULAS REALIZADO POR: JUAN CARLOS GRANIZO RODRIGUEZ JORGE LUIS SALAO BRAVO RIOBAMBA – ECUADOR
  • 2. OBJETIVO GENERAL Presentar definiciones y relaciones matemáticas que determinen la posición , velocidad y aceleración de una partícula tanto en el movimiento rectilíneo y curvilíneo. OBJETIVOS ESPECIFICOS • Establecer la relaciones de la aceleración en función de otra variable. • Conocer el movimiento relativo y dependiente de partículas y establecer sus relaciones
  • 3. INTRODUCCIÓN “La física es la naturaleza misma no hay nada que esconder” La cinemática de una partícula, no es más que el movimiento de la misma en diferentes trayectorias y producidas por fuerzas internas o externas, cuyo cuerpo a medida que se esta moviendo va cambiando de posición, lo mismo que es decir que se esta desplazando. El producto de esta fuerza por el desplazamiento, que se lo denomina trabajo, al mismo tiempo que este trabajo produce una transferencia de energía al mismo cuerpo pudiendo ser cinética y potencial, con lo cual para desarrollar esa energía en movimiento se necesita cierta potencia la cual genera un rendimiento a favor o en contra. En este compendio se trata de ver y analizar las aplicaciones de la cinética de una partícula analizando los métodos energéticos, cuyas aplicaciones las observamos diariamente como en la naturaleza, nuestra vida diaria, la industrias, etc. Conociendo los medios de desarrollo del trabajo potencia y energía, descubriendo cual son los beneficios que pueden generar para ha favor del hombre.
  • 4. EL SOLIDO RIGIDO Definición.- Un sólido rígido se considera a un conjunto de partículas materiales: m1,...mi ....mn cuyas distancias mutuas permanecen invariables, en las condiciones habituales de trabajo del cuerpo. Así por ejemplo, la distancia entre dos partículas cualesquiera como mi y mj ; que designamos por dij ; se mantiene siempre constante, fig.1. Fig.1. Para estudiar el sólido rígido podemos considerarlo constituido por muchos partículas materiales, que pueden numerarse En otras ocasiones se toma al sólido como un continuo, pero sin interesarnos por su estructura interna. Entonces, se considera formado por elementos de masa dm, sin necesidad de asignarles numeración.
  • 5. MOVIMIENTOS DEL SOLIDO RIGIDO El movimiento general de un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas. TRASLACION RECTILINEA  MOVIMIENTO DE TRASLACION TRASLACION CURVILINEA  MOVIMIENTO DE ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE QUE PASA POR EL CENTRO DE MASA
  • 6. MOVIMIENTO DE TRASLACION Un sólido rígido efectúa una traslación, cuando un triedro unido al cuerpo no cambia su orientación en el transcurso del movimiento, con relación a unos ejes fijos con origen en un punto O, fig.2 y fig.3. TRASLACION RECTILINEA Si las trayectorias seguidas por los partículas del Solido Rígido en su movimiento, son líneas rectas. Así sucede con las trayectorias de los puntos A y B de la fig.2, que se representan en el dibujo mediante líneas discontinuas. Fig.2. Traslación Rectilínea
  • 7. TRASLACION CURVILINEA Cuando las trayectorias de las partículas del Solido Rígido son líneas curvas. Observa en la fig.4, las trayectorias de A y B, y entiende que es una traslación, porque el triedro sigue paralelo así mismo, y a la posición inicial. Un ejemplo muy conocido se muestra en la fig.3. Fig.3. Los ejes ligados a las cestas de la noria, tienen un movimiento de traslación respecto de los ejes fijos en O, situados en el suelo. Todos Fig.4. Traslación curvilínea los puntos de las cestas al moverse, sufren una traslación curvilínea. Observa la trayectoria de un punto de la cesta, señalada con línea discontinua. Cuando un sólido rígido efectúa una traslación sea rectilínea o curvilínea, en cada instante los vectores velocidad y aceleración, son los mismos para todas las partículas del sólido.
  • 8. MOVIMIENTO DE ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE FIJO Consideremos un sólido rígido y unos ejes fijos en él (X´, Y´, Z´). El sólido efectúa una rotación cuando este sistema de ejes, gira con velocidad angular ω, alrededor de otros ejes fijos (X, Y, Z),. El eje alrededor del cual gira el sólido se llama eje de rotación, siendo Z = Z´. Cualquier partícula como la mi fig.5, describe una circunferencia con centro en el punto Oi del eje, pues por definición de sólido rígido la distancia a Oi es constante. Fig.5. Cuando el sólido gira a derechas, observa como los ejes ligados al sólido (x´, Y´, Z´) giran alrededor de los ejes fijos (X, Y, Z). Entonces el vector velocidad angular ω se determina mediante el avance de un sacacorchos que gire en el mismo sentido del sólido, encontrándose además sobre el eje de rotación Z = Z´. La velocidad vi que lleva cada partícula mi a lo largo de la circunferencia de radio ri que describe, se llama velocidad lineal y es distinta para cada partícula del sólido. El módulo de la velocidad lineal de una partícula, es igual a la velocidad angular por el radio de la circunferencia que describe vi =ω·ri. En la fig.6, se representan las velocidades lineales de dos partículas C y D, observa que es mayor cuanto más alejada está del eje. Si la velocidad angular cambia con el tiempo, sobre el sólido actúa una aceleración angular α, que es un vector en la dirección del eje de rotación, fig.6. Se obtiene derivando la velocidad angular respecto del tiempo.
  • 9. Fig.6. Los vectores velocidad angular ω y aceleración angular α tienen la dirección del eje de rotación y valen igual para todas las partículas del sólido rígido. En cambio la velocidad lineal varía según la distinta de las partículas al eje de rotación. La aceleración angular es en cada instante, la misma para todos los puntos del sólido rígido. La aceleración angular está relacionada con la aceleración tangencial resultando que su módulo, es igual a la aceleración angular α por el radio ri de la circunferencia que describe la partícula; at ,i = α · ri
  • 10. MOMENTO ANGULAR DE UN SOLIDO RIGIDO Analicemos un disco plano que gira alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro, fig.7, en cuya dirección se encuentra el vector velocidad angular ω . El momento angular de una partícula de masa mi respecto del punto O del eje, es: Fig.7. Están representadas solamente algunas de las n-partículas del sólido rígido. Observe como el momento angular LO,i ; es paralelo al vector velocidad angular ω. Considerando que es un producto vectorial, resulta un vector perpendicular al plano del disco y que tiene por lo tanto la dirección del eje de rotación, siendo su módulo LO,i = ri mi vi sen 90º =mi ri vi . Igualmente sucede con todas las demás partículas del disco.
  • 11. Para calcular el módulo del momento angular total del disco respecto de O, sumaremos todos los módulos de lo momentos angulares de todas sus n partículas, y teniendo en cuenta que vi = ω · ri . Resulta El sumatorio contiene la suma de la masa de cada partícula por el cuadrado de su distancia al eje, se llama momento de inercia I del sólido. Sustituyendo en la ecuación de LO resulta: LO = I · ω . Cuando el vector momento angular LO sea paralelo al vector ω, entonces el eje se llama, “eje principal de inercia” y en los sólidos de geometría regular, como discos, cilindros, esferas, coincide con sus ejes de simetría. Para rotaciones alrededor de ejes principales resulta la ecuación vectorial. Siendo I el momento de inercia respecto del eje, que se puede determinar experimentalmente, o mediante el cálculo para cuerpos de geometría regular. Aunque el desarrollo se ha efectuado por sencillez para un disco, el resultado es general para cualquier figura geométrica que gire alrededor de un eje principal de inercia, (únicos casos que aquí vamos a tratar).
  • 12. CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN SOLIDO RIGIDO Para la determinación matemática del Momento de Inercia se considera al sólido como un medio continuo formado por elementos de masa dm, para lo que tomaremos una distribución geométrica formada por puntos que se encuentran a la misma distancia del eje de rotación. Para una distribución continua la expresión del Momento de Inercia asignada con (1) debe ser reemplazada por otra ecuación. En ésta el sumatorio se sustituye por una integral, el vector de posición de cada partícula por la variable r y la masa de cada partícula por dm. Resultando: RADIO DE GIRO En las aplicaciones en las se emplea el momento de inercia de un cuerpo, muchas veces resulta conveniente considerar toda la masa concentrada idealmente en un punto. A la distancia desde ese punto al eje se le llama radio de giro y resulta especialmente útil para cuerpos irregulares ya que no se dispone de fórmulas sencillas para calcular el Momento de Inercia. Consideremos un sólido cuyo Momento de Inercia respecto de un eje es I, suponiendo que toda la masa estuviera concentrada en un punto, tal que el momento de inercia respecto del mismo eje sigue siendo I, a la distancia del punto al eje se llama radio de giro k. Sustituyendo en la ec.(1) teniendo en cuenta que ahora ri es el mismo para todas las partículas resulta:
  • 13. Observando la ec.(4), el sólido rígido cuyo radio de giro k es conocido, puede ser asimilado a un anillo que tiene igual masa y de radio, r = k.
  • 14. TRABAJO Y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SOLIDO RIGIDO ENERGIA CINETICA DEL SOLIDO RIGIDO Entendemos por energía cinética del sólido rígido la suma de las energía cinéticas del todas las partículas que lo constituyen. Como ya sabemos, la energía cinética es una magnitud física escalar relativa al observador en el referencial fijo XYZ. El movimiento más general del sólido rígido puede reducirse a una rotación de velocidad angular ω con respecto a un eje que pasa por un punto arbitrario o, más una traslación cuya velocidad vo es la correspondiente a dicho punto. Así, la velocidad, en el referencial fijo, de un punto genérico Pi del sólido viene dada por donde ri = oPi es el vector de posición del punto genérico Pi respecto del punto arbitrario o perteneciente al sólido. Si consideramos una partícula genérica de las que constituyen el cuerpo, digamos la partícula i-ésima como en la figura, su energía cinética en el referencial fijo XYZ es
  • 15.
  • 16. TRABAJO EN LA ROTACION ENERGIA CINETICA DE ROTACION El trabajo es el resultado de una fuerza que aplicada al sólido desplaza su punto de aplicación. Supongamos una fuerza F que actúa tangencialmente a la trayectoria que describe una partícula del sólido, fig.16. Fig.16. El trabajo de rotación efectuado por el momento de la fuerza aplicada, se invierte en hacer girar el cuerpo, incrementando su velocidad angular y su energía cinética de rotación. Y que por su acción el cuerpo gira un ángulo dθ. El trabajo elemental es dW= F · dr ; siendo dr un desplazamiento, cuyo módulo es dr = r.dθ. El trabajo efectuado por el momento entre dos posiciones angulares θ0 y θ, es la suma de los trabajos elementales que se determina mediante una integral:
  • 17. Si el momento es constante sale de la integral y resulta W = M ·(θ0 - θ). El trabajo realizado por el momento aplicado, es una energía, que pasa al cuerpo en forma de energía cinética llamada de rotación, modificando la velocidad angular del sólido desde ω0 a ω. Operando en la integral: Cada uno de los sumandos, es la energía cinética de rotación del sólido rígido.
  • 18. TRABAJO Y ENERGIA DE ROTACION Tal como en el movimiento de traslación de una partícula, cuando tenemos rotando un rígido con eje fijo las fuerzas externas a él efectúan trabajo mecánico. Consideremos el cuerpo rígido de la figura, que puede rotar alrededor del eje fijo Z del sistema de coordenadas que usaremos como sistema de referencia. Cuerpo Rígido con eje fijo Si ejercemos una fuerza en el plano xy sobre una partícula cualquiera, realizará un trabajo mecánico puesto que habrá un desplazamiento angular. Esto se observa mejor cuando se ve desde arriba. Sobre el cuerpo se ha aplicado una fuerza constante en magnitud y dirección respecto de la tangente a la curva. La fuerza Fr se puede suponer como la suma de dos vectores cuyas direcciones son radiales y tangenciales respectivamente. La componente radial no trabaja pues no existe desplazamiento en esa dirección. La componente tangencial trabaja, pues existe desplazamiento angular ∆θ que se puede relacionar con el desplazamiento angular s. El trabajo que la fuerza tangencial realiza será: dW=FTds. Si se toma un desplazamiento infinitesimal ds, se tiene que: ds=Rdθ. Por lo tanto: dW=FT Rdθ
  • 19. y como la magnitud del torque que la fuerza tangencial realiza sobre la partícula es τ =F T R, se tiene que: dW=τdθ Integrando a ambos lados, y considerando que W0=0 para θ0, se tiene: De donde finalmente: Que permite calcular el trabajo que una fuerza constante realiza sobre el cuerpo, puesto que es una partícula de un rígido.
  • 20. TRABAJO DEBIDO A LA FUERZA DE GRAVEDAD El trabajo asociado con el peso de un objeto (es decir, la fuerza debido a la gravedad) puede obtenerse previamente por la definición básica de trabajo definida a través del producto punto (dU = F ¥dr). Subsecuentemente el proceso involucra el producto punto, un resultado escalar. Considere, por ejemplo, el problema de mover un peso de posición 1 a la posición 2 como indicado debajo. Cuando el peso se mueve, uno debe considerar dos cosas: las componentes del peso y las componentes del camino. Para el problema propuesto los componentes del vector de fuerza son: Fx = Fz = 0 y Fy = -W. Las componentes del vector posición son: sx = x2-x1 , sx = x2-x1, y sz = 0
  • 21. El trabajo va de la posición 1 a 2 se da, en la forma integral, como: U 1-2 = (Fxdsx Fydsy Fzdsz) = 0 (x2-x1) + -W(y2-y1) +0 (0) = -W(y2-y1) = -W∆y El trabajo hecho por el peso de un cuerpo que mueve de una posición a otra es el producto del peso (W = mg) y el desplazamiento vertical del centro de gravedad del cuerpo (∆y). El trabajo es negativo para ∆y > 0 (cuando el cuerpo sube), y es positivo para ∆y < 0 (cuando el cuerpo se mueve hacia abajo). TRABAJO DEBIDO A UNA FUERZA POR UN RESORTE La fuerza ejercida por un resorte en un objeto puede expresarse en términos de la constante del resorte y la cantidad de desplazamiento que experimenta el resorte (longitud deformada). Para un resorte lineal, la relación entre la fuerza y desplazamiento es F = kx. Donde F es la fuerza, k es la constante del resorte, y x es el desplazamiento. Para los propósitos de desarrollo, tomamos un bloque, es atado a un cable de un puente como se muestra.
  • 22. Como la caja se mueve, el cordón se alarga y desarrolla una fuerza. Un diagrama de cuerpo libre muestra que la fuerza del cordón del puente está opuesta la dirección de movimiento. Por consiguiente, el trabajo se expresará como: dU1-2 = -F dx Integrando entre el límite bajo de x (x = 0) y el límite superior resulta en el trabajo siendo dado como: U1-2 = - k(x1)2 Si el bloque fuera soltado ahora, la dirección de la fuerza estaría igual que la dirección de movimiento, y el trabajo sería positivo. U2-1 = + k(x1)2 Una expresión general para el trabajo debido a resortes (asumiendo los resortes lineales dónde F = kx) es define fácilmente integrando la fuerza como una función del desplazamiento del resorte. Si el resorte es inicialmente deformado, esta integración produce la expresión general: Uresorte = kx2 El signo del término de trabajo dependería en la dirección de movimiento del objeto a que él se ató (el trabajo es positivo si el resorte fuera comprimido, y negativo si el resorte fuera alargado). Una expresión general para el trabajo debido a un resorte puede definirse, con tal de que algunas deformaciones de resortes se identifican (x0 , x1 , y x2) junto con la constante del resorte k.
  • 23. x0 = Longitud del resorte deformado. Cuando el resorte es deformado, no ejerce una fuerza en el objeto siendo movido, y por consiguiente no contribuye al trabajo. x1 = Longitud del resorte en su posición inicial (la posición en la que empieza el primer movimiento). La posición inicial del objeto no tiende a deformar la longitud del resorte. x2 = Longitud del resorte en su posición final (la posición a que el movimiento se detiene, o una posición intermedia usada para el análisis). Una expresión más general para el trabajo hecho por la fuerza en un resorte mientras que mueve una partícula de la posición 1 a 2 esto da por: U1-2 = k(x22-x12) No hay fuerza subsecuentemente por resorte cuando está en su posición redeformación, todos las fuerzas que contribuyen al resultado del trabajo de estirar (o comprimiendo) el resorte con respecto a su longitud deformada. Es a menudo conveniente pensar en la longitud del resorte como la diferencia entre la longitud del resorte en sus posiciones iniciales y finales, y su longitud original. Estos pueden definirse como ∆x1 y ∆x2 , dónde: ∆x1 = (x1 -x0) ∆x2 = (x2 -x0) Por consiguiente, el trabajo hecho por la fuerza por un resorte cuando una partícula se mueve de la posición 1 a 2 puede expresarse como: U1-2 = k(∆x22 - ∆x12) = k [(x2 -x0)2 - (x1 -x0)2 ] El signo del trabajo (cualquiera + o -) depende en la dirección de la fuerza en el resorte y el movimiento del objeto a que se ata. El trabajo es positivo si la dirección de la fuerza del resorte y movimiento coincide, y es negativo si las direcciones de la fuerza del resorte y movimiento están opuestos.
  • 24. EL PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA Considérese una partícula de masa m, sobre la que actúa una fuerza F, Y que se mueve a lo largo de una trayectoria que puede ser rectilínea o curva Expresando la segunda ley de Newton en función de las componentes tangenciales de la fuerza y de la aceleración, se escribe, donde v es la rapidez de la partícula. Recordando v = ds/dt, se obtiene Ft ds = mv dv Integrando desde Al (donde s = s1 y v = v1) a A2 (donde s = s2 y v = v2), escribimos
  • 25. El miembro izquierdo de la ecuación anterior representa el trabajo Ul2 de la fuerza F ejercida sobre la partícula durante el desplazamiento de Al a A2, el trabajo es una cantidad escalar. La expre-sión también es una cantidad escalar; se define como la energía cinética de la partícula, y se representa por T. Escribimos Sustituyendo en la Ec 1°, tenemos La cual expresa que, cuando una partícula se mueve de A1 a A2 bajo la acción de una fuerza F, el trabajo de la fuerza F es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. Esto se conoce como principio del trabajo y la energía. Reacomodando los términos, escribimos
  • 26. APLICACION DEL PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGÍA Una de la aplicación del principio de trabajo y energía son la utilización de pistones Pistones El elevador hidráulico se basa en el principio de que el trabajo necesario para mover un objeto es el producto de la fuerza por la distancia que recorre el objeto. El elevador hidráulico utiliza un líquido incompresible para transmitir la fuerza, y permite que una pequeña fuerza aplicada a lo largo de una gran distancia tenga el mismo efecto que una gran fuerza aplicada a lo largo de una distancia pequeña. Esto hace que pueda emplearse una pequeña bomba de mano para levantar un automóvil.
  • 27. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Cuando se consideran únicamente transformaciones de tipo mecánico, es decir, cambios de posición y cambios de velocidad, las relaciones entre trabajo y energía se convierten de hecho en ecuaciones de conservación, de modo que si un cuerpo no cede ni toma energía mecánica mediante la realización de trabajo, la suma de la energía cinética y de la energía potencial habrá de mantenerse constante. En efecto, si Pero decir que la suma Ep + Ec no varía entre los estados inicial y final equivale a afirmar que su energía mecánica total se mantiene constante a lo largo del movimiento:
  • 28. El sistema podrá variar su energía cinética y su energía potencial y cambiar por tanto de velocidad y de posición, con la única restricción de que la suma de aquéllas se mantenga constante. Así, un aumento en el término de energía cinética debe llevar asociado la disminución correspondiente de la energía potencial para que en conjunto nada cambie. Este sería el caso de un péndulo ideal sin rozamientos; si se le eleva a una altura dada y se le suelta a continuación, el péndulo oscilará indefinidamente, ganando velocidad a medida que pierde altura y posteriormente ganando altura a medida que pierde velocidad. Esta transformación continua e indefinida de energía potencial en energía cinética y viceversa es una consecuencia de la ecuación de conservación: La conservación de la energía mecánica explica el principio empírico formulado por Galileo y defendido posteriormente por Leibniz según el cual un cuerpo que cae desde una altura dada adquiere una velocidad lo suficientemente grande como para, tras rebotar en el suelo, elevarse de nuevo hasta la altura inicial. Suponiendo despreciables las pérdidas de energía mecánica, por el choque contra el suelo y por rozamiento con el aire, la energía mecánica total inicial se ha de conservar. Al principio sólo es potencial; al llegar al suelo se ha transformado completamente en energía cinética, la cual, tras el choque, va convirtiéndose progresivamente en potencial conforme el cuerpo gana altura, hasta recuperar la posición inicial.
  • 29. APLICACIÓNES DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Represa Eléctrica En un a represa, la energía potencial del agua, que se encuentra en un embalse a gran altura, se transforma en energía cinética al caer en el fondo de la represa. Allí gran parte de su energía cinética se transforma en energía cinéticas de las turbinas que mueve. Esta energía cinética se transforma a su vez en energía eléctrica en los generadores conectados a las turbinas. La energía eléctrica se distribuye, mediante alambres conductores, a las ciudades vecinas. Durante este proceso de distribución calorífica que se manifiesta en el calentamiento de los alambres. Ya en la ciudad el resto de la energía eléctrica continúa transformándose en más energía calorífica, en planchas, cocinas eléctricas, en energía cinética de los motores y así podríamos seguir indefinidamente la historia y evolución de cada una de estas formas de energía a través del espacio y del tiempo.
  • 30. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
  • 31. 1. Una sección de la pista de una “montaña rusa” consiste de dos arcos circulares AB y CD, unidos por una porción de recta BC. El radio de AB es 90 ft, y el radio de CD es 240 ft. El vehículo y sus ocupantes, de peso combinado de 560 lb, alcanza el punto A prácticamente con velocidad cero, y después cae libremente alo largo de la pista. Determine la fuerza normal ejercida por la pista sobre el vehículo cuando este alcance el punto B. Ignore la resistencia del aire y la resistencia al rodamiento D.C.L. Datos: rAB = 90 ft rCD = 240 ft W = 560 lb VA = 0 NB = ?
  • 32. Energía Cinética Trabajo: Principio de Trabajo y Energía DLC 2 wm2 N w cos 40 2g N 428 . 98 262 . 08 N 167 lb
  • 33. 2. Una banda transportadora traslada cajas, con una velocidad , a una rampa fija en A, donde se deslizan y finalmente, cae en B. Sabiendo que , determinar la velocidad de la banda transportadora si las cajas dejan la rampa en B con una velocidad de Datos: Calcular: ft VB 8 s Solución:
  • 34. Ecu (A) Ecu (B) Ecu A= Ecu B Ecu (C) (1) (2) (1) en (2) Remplazo en Ecu (C)
  • 35. 3. Una piedra de 5lb se suelta desde una altura h, y golpea en el piso con una velocidad de 80ft/s. a) Hallar la energía cinética de la piedra al golpear el piso y la altura h desde la que fue soltada. b) resuelva la parte a asumiendo que se suelta la misma piedra en la Luna (La aceleración de la gravedad en la luna es de 5.31ft/s2) 2 mV T 2 2 mV m g h 2 2 V g h 2 2 V h 2 g 2 ( 80 ft / s ) h 2 2 32 . 17 ft / s h 99 . 47 ft b)
  • 36. 4. El vagón minero de 400kg,es subido por un plano inclinado utilizando el cable y el motor M. Durante un breve tiempo, la fuerza en el cable es F=(3200 t )N, donde se expresa en segundos .Si el vagón tiene una velocidad inicial v =2 cuando s=0 y t=0 ,determine la distancia que se mueve en el plano cuando t=2s