El documento presenta 6 problemas de matemáticas relacionados con cálculo diferencial e integral, funciones de producción, costos y demanda. Los problemas involucran derivar ecuaciones, interpretar variaciones en la utilidad de una empresa, modelar ingresos como función de ventas nacionales y extranjeras, calcular costos marginales, determinar niveles de producción para máxima utilidad de un monopolio y calcular producciones actuales y marginales usando una función de producción.

1. EXAMEN PARCIAL
COLLEGE ALGEBRA II
2016 - 2

2. 1 [CM] Relacione las ecuaciones (columna 1) con el método de derivación
(columna 2) que Ud. considere correcto, con el objetivo de obtener la derivada
𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Justifique.
Columna 1: Ecuaciones
a) x𝑒 𝑦 − 𝑦𝑒 𝑥 = 𝑥𝑦
b) 𝑦 =
𝑥
𝑥 + 1
c) 𝑥 = 2 ln 𝑡 − 5
𝑦 = 𝑡2 + 𝑡 + 1
Columna 2: Método de derivación
i) Derivación paramétrica
ii) Regla de Leibnitz del producto
iii) Derivación implícita
iv) Derivación logarítmica
v) Regla de la cadena

3. 2 [CM] En clase de matemática II se plantea la siguiente pregunta
Marcos: “Si el número de
trabajadores calificados se
mantiene en 20 y el número de
trabajadores no calificados sube de
50 a 51, las utilidades aumentan
en 10 000 soles”.
Ana: “Si el número de trabajadores
calificados se aumenta de 20 a 21 y
el número de trabajadores no
calificados se mantiene en 50, las
utilidades aumentan en 10 000
soles”.
Rosa: “Si el número de
trabajadores calificados es de 20 y
el número de trabajadores no
calificados es de 50, las utilidades
son de 10 000 soles”.
La utilidad U (en miles de soles) de una empresa es función del número de trabajadores
calificados x y el número de trabajadores no calificados y. Si Ux (20,50) = 10, entonces
¿Cómo se interpreta económicamente este valor?
¿Quién interpreto correctamente el resultado? Justifique
Ux  variación de la utilidad U respecto
a los trabajadores calificados x
Al no haber Uy quiere decir que lo
relacionado a los trabajadores no
calificados se mantiene constante.

4. 3 [MR] Un fabricante de automóviles está planeando vender su nuevo modelo en
el mercado nacional y en el extranjero. Se estima que si el fabricante vende x
automóviles en el mercado nacional e y en el mercado extranjero, los
automóviles se venderán en 𝟖𝟎 −
𝒙
𝟑
+
𝒚
𝟏𝟎
miles de soles por una unidad en el país
y 𝟐𝟎 −
𝒚
𝟓
+
𝒙
𝟏𝟎
miles de dólares por unidad en el extranjero. Si el dólar se cotiza a
S/. 3.50, modele una expresión que permita calcular el ingreso, en miles de soles,
del fabricante como función x e y
𝑷 𝒙 = 𝟖𝟎 −
𝒙
𝟑
+
𝒚
𝟏𝟎
𝑷 𝒚 = 𝟐𝟎 −
𝒚
𝟓
+
𝒙
𝟏𝟎
∗ 𝟑, 𝟓
𝐼 𝑥; 𝑦 = 80 −
𝑥
3
+
𝑦
10
∗ 𝑥 + 20 −
𝑦
5
+
𝑥
10
∗ 3,5y
𝐼 𝑥; 𝑦 = 2400𝑥 − 10𝑥2
+ 3𝑥𝑦 + 700𝑦 − 7𝑦2
+ 3,5𝑥𝑦
𝐼 𝑥; 𝑦 = −10𝑥2 − 7𝑦2 + 2400𝑥 + 700𝑦 + 6,5𝑥𝑦

5. 4 [MR] Un fabricante de dos bienes relacionados A y B tiene una función de
costos totales 𝑪 𝒒𝑨; 𝒒𝑩 = 𝟐𝒒 𝑨
𝟐 + 𝟑𝒒 𝑩 + 𝟒𝒒 𝑩
𝟐 + 𝟒𝒒 𝑨 + 𝟐𝟎 . La función C
representa el costo total de producir 𝑞 𝐴 y 𝑞 𝐵 cantidades A y B, respectivamente.
Además suponga que las funciones de demanda para los bienes son 𝒒 𝑨 = 𝟐𝟎𝟎 −
𝟑𝒑 𝑨 + 𝟐𝒑 𝑩 y 𝒒 𝑩 = 𝟏𝟓𝟎 + 𝟑𝒑 𝑨 − 𝟐𝒑 𝑩. La variable 𝑝 𝐴y 𝑝 𝐵 son los precios por
unidad de A y B, respectivamente. Modele una fórmula que permita calcular el
costo marginal con respecto al precio del artículo A.
𝒒 𝑩 = 𝟏𝟓𝟎 + 𝟑𝒑 𝑨 − 𝟐𝒑 𝑩𝒒 𝑨 = 𝟐𝟎𝟎 − 𝟑𝒑 𝑨 + 𝟐𝒑 𝑩
𝐶 𝑝 𝐴; 𝑝 𝐵
= 2 200 − 3𝑝 𝐴 + 2𝑝 𝐵
2 + 3 150 + 3𝑝 𝐴 − 2𝑝 𝐵 + 4 150 + 3𝑝 𝐴 − 2𝑝 𝐵
3
+ 4 200 − 3𝑝 𝐴 + 2𝑝 𝐵 + 20
𝐶 𝑝 𝐴; 𝑝 𝐵
= 400 − 6𝑝 𝐴 + 4𝑝 𝐵
2 + 450 + 3𝑝 𝐴 − 2𝑝 𝐵 + 600 + 12𝑝 𝐴 − 8𝑝 𝐵
3 + 800 − 12𝑝 𝐴 + 8𝑝 𝐵
+ 20
𝐶′
𝑝 𝐴 = 2 400 − 6𝑝 𝐴 + 4𝑝 𝐵 −6 + 3 + 600 + 12𝑝 𝐴 − 8𝑝 𝐵
2 12 + (−12)
𝐶′ 𝑝 𝐴 = 504𝑝 𝐴 − 336𝑝 𝐵 + 16 791

6. 5 [EC] Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista
es 𝒑 + 𝟐𝒒 = 𝟒𝟎𝟎 y que sus costos totales vienen dados por 𝑪 𝒒 = 𝟎, 𝟐𝒒 𝟐 +
𝟒𝒒 + 𝟒𝟎𝟎. La variable q representa el número de unidades producidas, la
variable p representa el precio en soles por unidad y C representa el costo total
de la producción en soles
a) Calcule el nivel de producción que
determina la máxima utilidad del
monopolista. Justifique
b) Calcule el precio al que debe venderse
el producto para obtener la utilidad
máxima.
𝑰 𝒒 = 𝟒𝟎𝟎𝒒 − 𝟐𝒒 𝟐
𝑪 𝒒 = 𝟎, 𝟐𝒒 𝟐 + 𝟒𝒒 + 𝟒𝟎𝟎
U 𝑞 = 400 − 2𝑞2 − 0,2𝑞2 − 4𝑞 − 400
U 𝑞 = −2,2𝑞2
+ 396𝑞 − 400
U′ 𝑞 = −4,4𝑞 + 396
4,4𝑞 = 396
𝑞 = 90
𝒑 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝟐𝒒
𝑝 = 400 − 2(90)
𝑝 = 220

7. 6 [EC] Una compañía fabricante de implementos deportivos tiene la siguiente
función de producción para uno de sus productos: 𝑷 𝑲; 𝑳 = 𝟔𝟎𝑲 𝟐/𝟑
𝑳 𝟏/𝟑
. La
variable P representa el número de unidades producidas por semana, empleando
L horas-hombre semanales de mano de obra y K soles semanales de capital
invertido. En la actualidad, la mano de obra es de 125 h-h por semana y el capital
invertido es de S/. 1000 por semana.
a) Calcule la producción
actual
b) Calcule las dos
producciones marginales
actuales
c) Debido a una
capacitación de sus
trabajadores, L disminuirá
en 10 h-h la próxima
semana. Si la empresa
quiere que la producción
semanal permanezca en su
nivel actual. ¿Qué cambio
debería realizarse en K?
𝑃 1000; 125
= 60(1000)2/3
(125)1/3
𝑃 1000; 125
= 300 000
L = 125
K = 1000
𝑃𝑘 =
400
3
1000
∗ 𝐿1/3
𝑃𝐿 =
200
3
(125)2
∗ 𝐾2/3 ∆𝑃 = 𝑃 𝐾 ∗ ∆𝐾 + 𝑃𝐿 ∗ ∆𝐿
0 = 200 ∗ ∆𝐾 + 800 ∗ 10
∆𝐾 = −40