Este documento presenta información sobre exponentes, radicales y sus leyes. Explica qué son las potencias y cómo se representan usando la base y el exponente. Luego enumera siete leyes de los exponentes y seis leyes de los radicales. Finalmente, resuelve un problema aplicando el cálculo de volúmenes para determinar cuántos planetas Plutón cabrían dentro del planeta Júpiter.

1. (Versión preliminar)
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa
M. en C. René Benítez López
Exponentes y radicales

2. Mediante el trazo de 4 líneas, una los 9 puntos que siguen.
No se permite levantar el lápiz del papel, ni recorrer dos
veces la misma línea, ni tocar dos veces el mismo punto.
• • •
• • •
• • •
Un poco de gimnasia mental

3. Solución:
• • •
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• • •

4. Un año luz es igual a 9 461 000 000 000 000 km. Esta cantidad también se expresa
así:
9461 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10× × × × × × × × × × × ×
El producto 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10,× × × × × × × × × × × se abrevia como 12
10
lo cual se lee 10 a la 12, en ello el número 10 se llama base y el número 12 se
llama exponente, y ambas cosas forman lo que se llama una potencia. El
exponente indica el número de veces que la base actúa como factor en el
producto que se abrevia.
x
a
Los términos que forman una potencia son estos:
x
a
a es la
base
x es el exponente

5. Leyes de los exponentes:
( )
1.
2.
3. ( )
4. , 0
m n m n
n
m mn
n n n
n n
n
a a a
a a
ab a b
a a
b
b b
+
=
=
=
 
= ≠ 
 
0
5. , 0
1
6. , 0
7. 1, 0
m
m n
n
n
n
a
a a
a
a a
a
a a
−
−
= ≠
= ≠
= ≠

6. ( )
( )
−
−
− −
= = = =
1 22 1 2
1 2 2 14
7 7 5 25
5 7 75
( ) ( ) ( )
= = = = −
−− −
3 3 6 632 2
1 1 1 1
1 x xx x
 
 ÷  
= = = = = ÷  ÷
    ÷
 ÷   
2
2 2
2 2
1 1 4 4 16
3 3 3 93
44
− −
+ − + − −
− −
    
= = ÷ ÷ ÷ ÷
    
1 1 13 1/3 1/ 2
3 6 4
3 3 2
1/3 6 4
9
3
3
a b c
a b c
a b c
−= 10 3 17 3 9 23a b c
Ejemplo 1
−
 
 ÷
 
1 22
4
7
5
Ejemplo 2 ( )
−
−
3
2
x
Ejemplo 3
−
 
 ÷
 
2
3
4
Ejemplo 4
− −
− −
3 1/ 3 1 2
1 3 6 4
9
3
a b c
a b c

7. Leyes de los radicales
• Los radicales se rigen por las leyes de los
exponentes, porque:
m m nn
a a=

8. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )− − −
= − = − = −
1 3 1 31 31 3 1 3 1 33 1 1 1z z z
( ) −
= − = −1 9
1 9
1
1 z
z
( )
+ +
= × = × = × = × = × × ×
1 1
2 11 2
5 3 5 3 5 2 3 2 2 1 2 1 1 22 2
2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3
( )= × × × =
1 22
2 3 2 3 12 6
( ) ( )
×
= = = = = =
= = = =
2
32 32 33 2 3 23
3 3 3 3 13
8 8 2 2 2 4
64 4 4 4 4
Ejemplo 5 3
64
Ejemplo 6 864
Ejemplo 7 −
−3 1 3
z

9. ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
− − − − × × × ×
 ÷= =
 ÷× × 
1 32 2
3 3 6 4 3 3 6 4
3
2 2
3 4 3 4
2 10 2 10 2 10 2 10
2 10 2 10
( )
−
− − ×
= = × = × = ÷
× 
1 312 10
1 3
6 18 2 6
6 8
2 10
2 10 2 10 0.000004
2 10
( ) ( )= = = × = × =
1 32 3 3 33 33
24 24 2 3 2 3 2 3
( )
( )
 
= = = = ÷
 
1 31 3 66 1 3 2 2
1 33 1 33
88 8 2
27 27 327
aa a a
b b bb
xx x x
y y yy
Ejemplo 8
6
3
3
8
27
a
b
x
y
Ejemplo 9
( ) ( )
( )
2
3
2
0.008 0.0064
80000
Ejemplo 10 3
576

10. Ejemplo 11 Si =1 ,2a =2 ,2 2a =3 ,2 2 2a =4 ,2 2 2 2a
exprese como potencia fraccionaria de 2 cada uno de
los términos de la sucesión anterior, y obtenga en la
misma forma el término an de la sucesión, en donde n
es un número entero positivo.
Solución Nótese que:
−
= =
2 1
1 2 2
1 2 2 ,a
( )( )
−
= = = =
2
2 2
2 1
1 21 2 3 2 2
2 2 2 2 2 2 2a
( )( )
−
 
= = = = ÷
 
3
3 3
2 11 21 21 2 7 2 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2a
( )( )
−
  
= = = = ÷ ÷ ÷  
4
4 4
1 2 15 2 11 21 21 2
2 2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a
Entonces:
−
=
2 1
2
2
n
n
na

11. Problema de aplicación:
Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar, y tiene
un diámetro aproximado de 142 880 000 m, y el más
pequeño es Plutón con un diámetro aproximado de
3 500 000 m. ¿Cuántos plutones caben en Júpiter?

12. Solución Sea el volumen de Júpiter y sea el volumen de Plutón,
entonces:
JV PV
3 33 33 8 8
3 6 6
4 3 1.4288 10 1.4288 10
4 3 3.5 10 3.5 10
J
P
V R R
V r r
π
π
   ×   
= = = = ÷  ÷ ÷  ÷
×      
38 24
6 4
6 18
10 10
0.0680315 0.0680315 0.0680315 10 6.80315 10
10 10
 
≈ × = × = × = × ÷
 
Así que, caben aproximadamente 68,031 plutones en Júpiter.

13. Fin