Este documento presenta varios problemas de física cuántica y mecánica molecular que involucran moléculas como CO, HCl y sólidos iónicos. Se calculan cantidades como el momento de inercia de CO, la velocidad rotacional de HCl y la energía cohesiva iónica de un sólido iónico. También se muestran expresiones para los niveles de energía de un electrón en un cubo y la densidad de estados en un metal.

1. S4P) La molécula de CO hace una transición del estado rotacional J ≡ 1 a J ≡
2 cuando absorbe un fotón de 2,30 x 1011
Hz. Encuentre el momento de inercia
de esta molécula.
SOLUCION:
2
h
E∆ ≡
2 4 2
2
Iπ
× h≡ ν
34
2
6,63 10
2
h
I
π ν
−
×
→ ≡ ≡ 2 11
2 2,3 10π × ×
45
10−
46
1,46 10I −
≡ ×
¿Que importancia tiene este compuesto en el calentamiento global?...
¿Que importancia tiene este compuesto en el efecto invernadero?...

2. S4P) La molécula de HCl se excita hasta su primer nivel de energía rotacional,
correspondiente a J = 1. Si la distancia entre sus núcleos es de 0,1275 nm
¿Cuál es la velocidad de la molécula alrededor de su centro de masa?
SOLUCION:
HCl
( )
2
1 ; 0,1,2
2
rotE J J J
I
≡ + ≡
h
K
( )2 2 1 2
1 2
1
, , , :distancia interatómica H-Cl
2
m m
Iw I r r
m m
µ µ≡ ≡ ≡
+
( )1 Rad/sw J J
I
≡ +→
h
1
2
2
h
wSi J
Iπ
→ ≡≡
( ) ( )
{ }
( )
27
227 9
1,6261 10
1,0078 34,9689
1,66 10 0,1275 10
1,0078 34,9689
kg
I
µ −
− −
≡ ×
→ ≡ × × × ×
+
144444424444443
48 2
26 10I kg m−
≡ ×
34
12
48
6,63 10 2
5,7 10
2 26 10
w
π
−
−
×
→ ≡ ≡ ×
× ×
12
5,7 10 rad/sw ≡ ×
¿Que importancia tiene este compuesto en la lluvia acida?...

3. S4P) Si la constante de fuerza efectiva de una molécula de HCl vibrante es k =
480 N/m estime la diferencia de energía entre el estado base y el primer nivel
vibratorio.
SOLUCION:
HCl . k ≡ 480
1
; 0,1,2
2
vib hvE vν
 
≡ + ≡ ÷
 
K
1
2
k
ν
π µ
≡ ,
1 1 1
1,0078 , 34,9689H Cl
H Cl
m u m u
m mµ
≡ + ¬ ≡ ≡
34
21
1 0 27
6,63 10 480
57,33 10
2 2 1,6261 10
vib vib vib
h k
E E E J
π µ π
−
−
−
×
→ ∆ ≡ − ≡ ≡ ≡ ×
×
0,358vibE eV∆ ≡
¿Que importancia tiene este compuesto con respecto a la generación de
lluvia acida por relámpagos?...

4. S4P) Determine la expresión para la energía cohesiva iónica del sólido iónico,
dada por,
2
0
0
1
1 .e
e
U k
r m
α
 
≡ − − ÷
 
SOLUCION:
De la expresión de la energía potencial total para el sólido iónico,
2
e
total m
k e B
U
r r
α
≡ − +
Derivándola en r,
2
2 1
0total
e m
dU e mB
k
dr r r
α +
≡ − ≡
2
2
1
0
2
e m
e mB
k
r r
α
 
 
− ≡ 
 
 
1442443
2
02e m
e mB
k r r
r r
α − → ≡
22
0 2
0 0 0
1
, e
e m m
k ee B B
U k
r r r m r
α
α
 
≡ − + ≡  
 
22
0
0 0
1 e
e
k ee
U k
r m r
α
α
 
≡ − +  
 
2 2
0
0 0
1 1
1 1e ek e k e
U
r m r m
α α   
≡ − ≡ − −   
   
2
0
0
1
1
α  
≡ − − 
 
ek e
U
r m

5. S4P) Muestre que las Energiass de los estados electrónicos de un e-
en un
cubo de lado L están dadas por,
( ) { }
2 2
2 2 2
2
, ,
2
x y z x y zE n n n n n n
mL
π 
≡ + + ÷
 
h
SOLUCION:
De la ecuación de Schroedinger tridimensional,
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
mE
mE
x y z
ψ ψ
ψ ψ ψ
ψ
∇ ≡ −
 ∂ ∂ ∂
+ + ≡ − 
∂ ∂ ∂ 
h
h
La solución para el caso tridimensional nos conduce a la siguiente ecuación,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , x y zr x y z Asen k x sen k y sen k zψ ψ≡ ≡
r
la cual al ser reemplazada en la ecuación anterior produce,
{ }2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 22
2
2
2
x y z
x y z
x y z
mE
k k k
mE
k k kk
E n n n
m L L L
n
L
ψ ψ
π π
π
π
− + + ≡ −
→ + + ≡ ¬
       
→ ≡ + +  ÷  ÷  ÷
       
≡
h
h
h
función del caso unidimensional
( ) { }
2 2
2 2 2
2
, ,
2
x y z x y zE n n n n n n
mL
π 
≡ + + ÷
 
h

6. S4P) Muestre que la función g(E), función densidad de estados, esta dada por,
( ) 1/ 2
g E CE≡ ,
3/ 2
3
8 2 m
C
h
π  
≡  
  
.
SOLUCION: Asumiendo un espacio de ns para asociar el numero de estados
con las energias,
: número de estados accesiblesn
3 2 2 2 21 4
2 ,
8 3
n n x y zn r r n n nπ
 
≡ × × ≡ + + 
 
31
3
nn rπ α≡ K
( ) { }
2 2
2 2 2 2
2 2
, ,
8 8
x y z x y z nE n n n n n n r
mL mL
β≡ ≡ + + ≡
h
K
h
De :α β∧
nz
Vn ≡ 1
ny
nx

7. 3/22 3/ 2 3
3/2 3/2
2 3
1 8 1
16 2
3 3
mL m L
n E Eπ γπ
 
≡ × ≡ × × 
 h h
K
De
1
:
3
dnγ ≡ 16π ×
3/ 2 3
3
3
2
m L
×
h 2
1/ 2
E dE×
3/ 2 3 1/ 2
3
8 2 m L E
dE
π
≡
h
( )
3/ 2
2
s
1/
3
nº de estados accesibles
por unidad de volumen,
con E entre
1
E E+
2
!
8
dE
dn m
g E E
V dE
π

≡ ≡
∧
≡




h

8. S4P) Muestre que la energía promedio de un e-
de conducción en un metal a 0
K es
3
5
FE .
SOLUCION: Calculamos la energía total de los n electrones de conducción del
metal,
{
3
1/2 3/2 5/2 2
0 0
3
2 1
2
5
3
3
5
5
1
5
F FE
T
F
E
T F F F
n
T F
E ECE dE C E dE C E E CE
E E n
E
E E
n
  
≡ ≡ ≡ × × ≡ × × 
  
×
≡ ≡
≡ ×
∫ ∫