El documento presenta el teorema de extensión de Hahn-Banach, explicando conceptos como funcionales sublineales, seminormas, órdenes parciales e inductivos. Incluye demostraciones del teorema para funcionales reales y complejas en espacios vectoriales normados, construyendo una extensión linear de una funcional dada que preserve ciertas propiedades de desigualdad.

1. Universidad Pedag´gica Nacional Francisco Moraz´n
o a
Maestr´ en Matem´tica Educativa
ıa a
Exposici´n No. 1 - Estructuras Matem´ticas II, 9G
o a
23—24 de setiembre de 2011
El Teorema de Hahn–Banach
1. Explique a trav´s de un ejemplo el teorema de extensi´n.
e o
2. Explique a trav´s de un ejemplo lo que es una funcional sublineal.
e
3. Explique, a trav´s de un ejemplo lo que es una seminorma.
e
4. Sea X un espacio vectorial real y sea p : X → R una funcional. Si p es
una seminorma, entonces p es sim´trica y convexa.
e
5. Sea X un espacio vectorial real y sea p : X → R una funcional. Si p es
sim´trica y convexa, entonces p es una seminorma.
e
6. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X,
x0 ∈ X − M . Sea f ∈ M , p : X → R una funcional sublineal tal
que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M . Entonces a ≤ b, en donde
a = sup{−p(−y−x0 )−f (y) : y ∈ M }, b = ´
ınf{p(y+x0 )−f (y) : y ∈ M }
7. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X,
x0 ∈ X − M . Sea f ∈ M , p : X → R una funcional sublineal tal
que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M . Sea a = sup{−p(−y − x0 ) − f (y) : y ∈ M },
b =´ınf{p(y + x0 ) − f (y) : y ∈ M } y c tal que a ≤ c ≤ b. Entonces
−p(−y − x0 ) − f (y) ≤ c ≤ p(y + x0 ) − f (y), ∀y ∈ M
8. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X,
x0 ∈ X − M . Explique, a trav´s de un ejemplo, como son los elementos
e
del subespacio de X generado por M ∪ {x0 }.
9. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X,
x0 ∈ X − M . Sea f ∈ M , p : X → R una funcional sublineal tal
que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M . Sea a = sup{−p(−y − x0 ) − f (y) : y ∈ M },
b =´ınf{p(y + x0 ) − f (y) : y ∈ M } y c tal que a ≤ c ≤ b. Sea N el
subespacio de X generado por M ∪ {x0 }. Entonces
F : N −→ R
y + αx0 → f (y) + αc
y ∈ M, α ∈ R, es una funcional lineal.
1

2. 10. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X,
x0 ∈ X − M . Sea f ∈ M , p : X → R una funcional sublineal tal
que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M . Sea a = sup{−p(−y − x0 ) − f (y) : y ∈ M },
b =´ınf{p(y + x0 ) − f (y) : y ∈ M } y c tal que a ≤ c ≤ b. Sea N el
subespacio de X generado por M ∪ {x0 }. Entonces
F : N −→ R
y + αx0 → f (y) + αc
y ∈ M, α ∈ R, satisface F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M
11. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X,
x0 ∈ X − M . Sea f ∈ M , p : X → R una funcional sublineal tal
que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M . Sea a = sup{−p(−y − x0 ) − f (y) : y ∈ M },
b =´ınf{p(y + x0 ) − f (y) : y ∈ M } y c tal que a ≤ c ≤ b. Sea N el
subespacio de X generado por M ∪ {x0 }. Entonces
F : N −→ R
y + αx0 → f (y) + αc
y ∈ M, α ∈ R, satisface F (y + αx0 ) ≤ p(y + αx0 ), ∀α > 0.
12. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X,
x0 ∈ X − M . Sea f ∈ M , p : X → R una funcional sublineal tal
que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M . Sea a = sup{−p(−y − x0 ) − f (y) : y ∈ M },
b =´ınf{p(y + x0 ) − f (y) : y ∈ M } y c tal que a ≤ c ≤ b. Sea N el
subespacio de X generado por M ∪ {x0 }. Entonces
F : N −→ R
y + αx0 → f (y) + αc
y ∈ M, α ∈ R, satisface F (y + αx0 ) ≤ p(y + αx0 ), ∀α < 0.
13. Explicar y dar ejemplo de un orden parcial y de un orden total o lineal
en un conjunto. (Royden, An´lisis Real, p23)
a
14. Explicar y dar un ejemplo de un orden reflexivo y de un orden estricto
en un conjunto.
2

3. 15. Sea X un conjunto parcialmente ordenado por la relaci´n de orden
o .
Definir y dar ejemplos de los coceptos siguientes:
primer elemento
ultimo elemento
´
elemento minimal
elemento maximal
cota superior
cota inferior
16. Enuncie el Principio de Maximalidad de Hausdorff. D´ equivalencias
e
de este Principio
17. Explicar, a trav´s de un ejemplo, que significa que un conjunto es in-
e
ductivo.
18. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X, f ∈ M ,
p : X → R una funcional sublineal tal que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M . Sea
S = {g : g ∈ N , N ⊂ X, g|M = f, g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ N }. Demostrar
que la relaci´n, ≤, definida en S por: g1 ≤ g2 ⇐⇒ g2 es una extensi´n
o o
de g1 es un orden parcial.
19. Explicar el lema de Zorn.
20. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio de X, f ∈ M ,
p : X → R una funcional sublineal tal que f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M . Sea
S = {g : g ∈ N , N ⊂ X, g|M = f, g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ N }. Demostrar
que S es inductivo con la relaci´n, ≤, definida en S por: g1 ≤ g2 ⇐⇒ g2
o
es una extensi´n de g1 .
o
21. Continuaci´n del problema 16.
o
22. Continuaci´n del problema 16.
o
23. Continuaci´n del problema 16.
o
24. Enunciar y explicar el teorema de Hahn–Banach complejo.
25. Demostrar el teorema de Hahn–Banach complejo (primera parte)
26. Demostrar el teorema de Hahn–Banach complejo (segunda parte)
27. Demostrar el teorema de Hahn–Banach complejo (tercera parte)
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4. 28. Demostrar el teorema de Hahn–Banach complejo (cuarta parte)
29. Sea X un espacio vectorial normado y sea M un subespacio de X. Si
f ∈ M ∗ entonces existe F ∈ X ∗ tal que ||F ||X = ||f ||M
30. Sea X un espacio vectorial normado y sea a ∈ X. Entonces existe
F ∈ X ∗ tal que F (a) = ||F || ||a||.
31. Definamos la funci´n
o
f : l1 −→ R
∞
{ξn }n → n=1 (1 − n )ξn
1
Demostrar que f ∈ (l1 )∗ .
32. Definamos la funci´n
o
f : l1 −→ R
∞
{ξn }n → n=1 (1 − n )ξn
1
Demostrar que f (x) < ||x|, ∀x ∈ l1 − {0}
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