Artículo que describe a los naturales, enteros y racionales como subconjuntos de los números reales.

1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 1
Los N´ meros Naturales y Racionales
u
como subconjuntos de R
Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Los N´meros Naturales y Racionales como subconjuntos de R by Ana Mar´ Teresa
u ıa
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En el presente art´
ıculo consideraremos a los conjuntos de los n´meros
u
naturales y de los n´meros racionales como subconjuntos del conjunto de los
u
n´meros reales. A continuaci´n demostraremos el Axioma de Arqu´
u o ımedes,
del que derivaremos el hecho de la existencia de infinitos n´meros racionales
u
entre dos n´meros reales cualesquiera.
u
Proposici´n 1 Todo cuerpo ordenado contiene (conjuntos isomorfos) a los
o
n´meros naturales, los enteros y los n´meros racionales.
u u
Dem: Definamos por inducci´n la siguiente funci´n ϕ : N → R
o o
ϕ(1) = 1; ϕ(n + 1) = ϕ(n) + 1
Veamos que ϕ es una funci´n uno a uno; esto es, que
o
si p, q ∈ N con p = q, entonces ϕ(p) = ϕ(q).
Sean p, q ∈ N con p < q. Entonces ∃ n ∈ N : q = p + n.
•
n = 1 → ϕ(q) = ϕ(p + 1) = ϕ(p) + 1
→ ϕ(q) > ϕ(p)
→ ϕ(q) = ϕ(p).

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ıa
• Supongamos ahora que el resultado es v´lido para n y veamos
a
que se verifica para n + 1.
q = p + (n + 1) → ϕ(q) = ϕ(p + (n + 1))
= ϕ((p + n) + 1)
= ϕ(p + n) + 1
> ϕ(p) + 1 (por hip´tesis inductiva)
o
> ϕ(p)
→ ϕ(q) > ϕ(p)
→ ϕ(q) = ϕ(p).
Luego, ϕ(q) = ϕ(p), ∀n ∈ N.
As´ ϕ es uno a uno.
ı,
Luego ϕ es una correspondencia uno a uno entre los n´meros
u
naturales y un subconjunto de los n´meros reales.
u
Adem´s puede verse que ϕ preserva sumas y productos; esto
a
es,
ϕ(p + q) = ϕ(p) + ϕ(q)
ϕ(pq) = ϕ(p)ϕ(q)
y preserva la relaci´n <.
o
Tenemos as´ a N como subconjunto de R. Tomando diferen-
ı
cias de naturales obtenemos al conjunto de los n´meros enteros
u
como subconjunto de R, y tomando cocientes de enteros obten-
emos los racionales tambi´n como subconjunto de R.
e
Dado que en esta demostraci´n no hemos usado el Axioma de
o
Completitud el resultado vale para cualquier cuerpo ordenado y
as´ queda probada la proposici´n.♦
ı o
Uno de los teoremas m´s importantes en este campo es el que por razones
a
hist´ricas ha sido llamado:
o
Axioma de Arqu´ ımedes 2 Dado un n´mero real cualquiera x, existe un
u
entero n tal que x < n.
Dem: Sea x ∈ R. Consideremos el conjunto
S = {k ∈ Z : k ≤ x}.
Es claro que S = ∅, pues de lo contrario x < k, ∀ k ∈ Z, y
as´ Z est´ acotado inferiormente lo cual es un absurdo. Adem´s
ı a a
x es una cota superior de S, de modo que, por el Axioma de
Completitud, S posee supremo.

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ıa 3
Sea y = sup S. Entonces y − 1 no es cota superior de S,
2
pero por definici´n de supremo, ∃ k ∈ S : y − 1 < k, por lo cual
o 2
y + 1 < k + 1, y as´ y < y + 1 < k + 1. Por lo tanto, k + 1 ∈ S,
2 ı 2 /
pero k + 1 ∈ Z. Tomando n = k + 1, n ∈ Z y n > x (pues n ∈ S).
/
As´ ∃ n ∈ Z : n > x. ♦
ı,
Corolario 3 Entre dos n´meros reales cualesquiera existe un n´mero racional;
u u
esto es, si x < y entonces ∃ r ∈ Q : x < r < y.
Dem: Sean x, y ∈ R con x < y.
1
• Si x ≥ 0, entonces y − x > 0 y as´ existe y−x ∈ R, con
ı
1 1
ımedes, ∃ q ∈ N : 0 < y−x < q
y−x > 0. Por Axioma de Arqu´
y as´ y − x > 1 > 0.
ı, q
Consideremos el conjunto
n
E = {n ∈ Z : y ≤ } = {n ∈ Z : yq ≤ n}.
q
Por el Axioma de Arqu´ımedes E = ∅, y es un subconjunto
de N, entonces E posee primer elemento. Sea p el primer
elemento de E. As´ y ≤ p , pero p−1 < y (pues p − 1 ∈ E),
ı q q /
p−1
de modo que q < y ≤ p.
q
p p−1
Luego, x = y − (y − x) < y − 1 ≤
q q −1 =
q q < y, esto es,
p−1 p−1
x< q < y. Basta entonces tomar r = q ∈ Q.
• Si x < 0, entonces −x > 0, con −x ∈ R. Por el Axioma de
Arqu´ımedes ∃ n ∈ Z : 0 < −x < n, entonces 0 < n + x,
por lo cual 0 < n + x < n + y. Pero entonces, por el caso
anterior, ∃ r ∈ Q : n + x < r < n + y, y as´ x < r − n < y.
ı
Basta entonces tomar r = r − n ∈ Q. ♦
Bibliograf´
ıa:
• Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan
Company, New York.