El documento presenta información sobre el teorema de Lagrange en teoría de grupos. Explica que Lagrange estudió un caso particular del teorema cuando G es el grupo de permutaciones. Luego define relaciones de equivalencia y clases de equivalencia. Finalmente, enuncia y demuestra el teorema de Lagrange, el cual establece que el orden de un subgrupo H de un grupo finito G divide al orden de G.

1. Estructuras
Algebraicas
Teorema de Lagrange

2. Un Poco de Historia
• JOSEPH-LOUIS
LAGRANGE: Nació el 25
de Enero de 1736 en
Turín, Sardinia-Piedmont
(Ahora Italia) y
falleció el 10 de Abril de
1813 en París, Francia.

3. Un poco de Historia
• El teorema de Lagrange recibe este nombre
debido a un resultado que J.-L. Lagrange publicó
en un artículo de 1770/71 sobre el cálculo de
raíces de polinomios.
• En aquella época no se había introducido aún el
concepto de grupo (todavía no habían nacido ni
Abel ni Galois y la definición moderna de grupo
como la conocemos es de Cayley en 1854).
• Lagrange estudió un caso particular del teorema,
cuando G es el grupo de las permutaciones.

4. DEFINICIÓN 1
• Una relación ~ en un conjunto S se
llama relación de equivalencia si
satisface:
• a) a ~ a (reflexividad).
• b) a ~ b implica que b ~ a (simetría).
• c) a ~ b, b ~ c implica que a ~ c
(transitividad).
∀ a, b, c ∊ S.

5. Profundizando…
EJEMPLO:
Sea S el conjunto de los enteros y n > 1 un entero fijo. Se define a ~ b
para a, b ∊ S si n | (a— b). Se verifica que esta es una relación de
equivalencia. Puesto que n|0 = a – a, se tiene que a ~ a. Debido a que
n|(a—b) implica que n| (b—a)= - (a—b) se tiene que a ~ b implica
que b ~ a . Finalmente, si a ~ b, b ~ c , entonces n| (a –b) y n| (b –c) ; por
consiguiente n| ((a—b) + (b—c)), esto es n|(a—c).
Por lo tanto a ~ c. Esta relación se llama congruencia modulo n.

6. Definición 1
• Ejemplo:
• Sea S el conjunto de todos los artículos de una
tienda de abarrotes; se declara a ~ b, para a, b, Є
S, si el precio de a es igual al de b. Evidentemente
las reglas que definen una relación de
equivalencia son válidas para ésta ~.
• Nótese que al ponderar esta “igualdad
generalizada” en S se ignoran todas las
propiedades de los elementos de S que no sean
su precio.
• Así que a~b son iguales en lo que al atributo de
precio se refiere.

7. Definición 2
• Si ~ es una relación de equivalencia en S,
entonces se define [a], la clase de a mediante
[a] = { b ∊ S| b ~ a).
• EJEMPLO:
• En el ejemplo 4 se definió a ~ b si b= x-1 ax
para algún x∊G. Así [a] = {x-1 ax |x∊G}. En este
caso [a] se denotara como cl(a) y se llama
clase de conjugados de a en G. Si G es
abeliano, entonces cl(a) consiste solamente
de a. En realidad, si a ∊ Z(G), el centro de G,
entonces cl(a) consta simplemente de a.

8. Teorema 2.4.1
• Si ~ es una relación de equivalencia en
S, entonces S= ⋃[a], donde esta unión
pasa sobre un elemento de cada clase
y donde [a] ≠ [b] .

9. Demostración
• Puesto que a∊[a], se tiene que ⋃a∊S [a] =S. la
demostración de la segunda afirmación es muy fácil .
Se demuestra que si *a+≠*b+ , entonces [a]∩[b]= {}
o, de manera equivalente, si [a] ∩ [b] ≠ {} entonces
[a]=[b].
• Supóngase, pues, que [a] ∩[b] ≠ {} ; sea c ∊[a] ∩[b].
Por la definición de clase c~a ya que c ∊ [a] y c ~ b ya
que c ∊ [b]. Por lo tanto, a ~c por la propiedad 2 de ~,
y entonces puesto que a~c y c~b, se tiene que a~b.
de esta manera a∊ [b]; si x ~a y a~b dan lugar a que
x~b por consiguiente x ∊ [b].
• Así que [a]⊂[b]. El argumento es obviamente
simétrico en a y b, de modo que [b]⊂[a], de donde
[a]=[b] y se prueba la afirmación hecha
anteriormente.

10. Teorema 2.4.2
(Teorema de Lagrange)
• Si G es un grupo finito
y H es un subgrupo de
G, entonces el orden
de H divide al orden de
G.

11. Demostración
• Volvamos al ejemplo 3, donde se estableció que la relación a~b
si ab-1 ∊ H es una relación de equivalencia y que [a] = Ha=
{ha|h∊H}.
• Sea k el numero de clases distintas y llámese Ha1 , … , Hak . Por
el teorema 2.4.1, G= Ha1 ⋃ Ha2 ⋃...⋃ Hak y se sabe que Haj ∩
Hai = {} si i≠ j. Se afirma que cualquier Hai tiene un numero de
elementos igual a |H| = orden de H.
• Aplíquese H —> Hai . Se asegura que esta aplicación es
inyectiva, ya que hai = h´ai , entonces por la cancelación en G se
tendría h=h´; por consiguiente la aplicación es inyectiva. Por la
misma definición de Hai , la aplicación es definitivamente
suprayectiva.
• Por lo tanto Hai , tiene el mismo numero de elementos de |H|.
• Puesto que G= Ha1 ⋃ Ha2 ⋃...⋃ Hak y los Hai tiene |H|
elementos, se tiene que |G|= k|H|. Por consiguiente |H|
divide a |G|.

12. Otras definiciones
• Si G es finito, el numero de clases laterales
izquierdas de H en G, a saber |G|/ |H|, se llama
índice de H en G y se escribe como iG (H).
• Clases Laterales
• Sean G un grupo, H ≤ G y ≡ la relación de
equivalencia. Sea a un elemento cualquiera de G.
Entonces, [a] = Ha :=
{xa | x ∊H}. En particular, [1] = H.
• Demostración. Sea z ∊[a], entonces a ≡ z. Por ser
≡ una relación simétrica tenemos que z ≡ a, y por
eso, za−1 = x, con x ∊H, luego z = xa ∊Ha.
Hemos probado que [a] ∊Ha. Sea z = xa un
elemento de Ha, con x ∊H, entonces za−1 = x H, o
sea z ≡ a, de donde a ≡ z, es decir, z ∊ [a].

13. Otras definiciones
• Definición : Sean G un grupo, H ≤ G y a ∊
G. El conjunto Ha se llama la clase lateral
derecha del elemento a módulo H .
• La proposición anterior muestra que la
clase del elemento identidad 1 del grupo
G coincide con el subgrupo H. Luego [1] y
H tienen la misma cantidad de
elementos.
•

14. Ejemplo:

15. Teorema 2.4.3
• SI G es un grupo de orden primo p, entonces G es
cíclico.
• Demostración:
• Sea a ∊ G, a ≠ e. Entonces H =< a > el subgrupo
cíclico generado por a tiene orden un divisor de
p. Luego hay dos
• posibilidades:
• i) ○(H) = p, lo cual implica H = G y G es cíclico
generado por a.
• ii) ○(H) = 1, y por lo tanto se tendría a = e, lo cual
es imposible.
• Luego G es un grupo cíclico. LQQD.

16. Grupos Cíclicos
• Un grupo cíclico es un grupo que
puede ser generado por un solo
elemento; es decir, hay un elemento a
del grupo G (llamado "generador" de
G), tal que todo elemento de G puede
ser expresado como una potencia de
a.

17. Definición 3
• Si G es un grupo finito y a ∊ G, entonces
el orden de a, escrito ○(a), es el menor
entero positivo m tal que am = e
• Demostración
• Como a ∊ G supongamos que tiene
orden m. Considérese el conjunto A={ e,
a, a2 , … , a m-1 }; se afirma que A es un
subgrupo de G ( puesto que am =e} y que
los m elementos listados en A son
distintos. Así que |A|=m = ○(a).

18. Teorema 2.4.4
• Si G es un grupo finito y a ∊ G, entonces ○(a)
es un divisor de ○(G).
• Demostración
•Sea a ∊ G y consideremos el subgrupo cíclico
generado por a, H =< a > el cual consiste en los
elementos a0 = e, a, a2, … , a n- 1 donde an = e.
•Es claro entonces que n = ○(H) y además n =
○(a).
De acuerdo al teorema de Lagrange, tendremos
que ○(H)|○(G), luego ○(a)| ○(G).

19. Teorema 2.4.5
• Si G es un grupo finito y a ∊ G, entonces
a○(G) = e.
• Demostración
• Sabemos que a○(a) = e, y por el teorema 2.4.4
• ○(G) = k ○(a) para algún k.
• Luego
• a○(G) = a○(a)*k
• =(a○(a) )k
• =(e)k
• =e

20. Teorema 2.4.6
• Zn forma un grupo cíclico
respecto a la adición :
• [a] + [b]= [a+b].

21. Definición: La Función
ϕ de Euler
Dado n ∊ N, se define ϕ (n) como la cantidad de
números naturales menores o iguales que n que
son primos relativos con el propio n.
La función ϕ de Euler cumple las siguientes
propiedades:
1. Si (m, n) = 1, entonces
ϕ(mn)= ϕ(m)ϕ(n).
2. ϕ(pk) = (p - 1)pk – 1

22. Demostración
•Consideremos los numeros1,2,3,…, mn , y formemos la
tabla
•Si (k, mn) = 1, entonces se debe tener (k, m) = (k, n) =
1. En cada fila hay ϕ(n) números primos con n.
Observando que los números de una misma columna
son congruentes entre si modulo n, deducimos que, si
(k, n) = 1, entonces todos los números de la k-ésima
columna son primos con n.
•Consideremos una de estas columnas con (k, n) = 1: n,
n + k, 2n + k, . . . (m 1)n + k
0, 1, 2,… k… (n-1)
n n+1, n+2,… n+k… 2n-1
(m-1)n (m-1)1, (m-1)2,… (m-1)k… mn-1

23. •Estos números pueden considerarse como los valores de
la función lineal nx + k : (n; m) = 1, donde x recorre un
sistema completo de restos modulo: m,x = 0, 1, 2,. . ., m 1
•Entonces, cada columna de la forma anterior forma un
sistema completo de restos modulo m, y, por tanto,
contiene ϕ (m) números que son primos con m.
•Es claro que ϕ(p) = p - 1 con p primo. Sea ahora n = pk, >
1. El sistema completo de restos módulo pk consta de pk-1
sistemas completos de restos modulo p, y en cada uno de
ellos hay ϕ(p) números primos con p.
¡Recordar!
Dos números enteros a, b
son primos relativos si mcd
(a, b)=1.Por ejemplo, 3 y
16 son primos relativos,
pero 7 y 28 no.

24. Teorema 2.4.7
• Un forma un grupo abeliano, respecto
al producto [a] [b]= [ab], de orden
φ(n), donde φ(n) es la función φ de
Euler.
• Recordar: Grupo es abeliano con
respecto a la operación ○ si:
1. (A, ○) tiene una estructura algebraica
de Grupo.
2. (A, ○) tiene la Propiedad conmutativa

25. Teorema 2.4.8
(de Euler)
• Si a es un entero primo en relación con n,
entonces aφ(n) ≡ 1mod n.
• Demostración
• Un forma un grupo de orden φ(n), así que
por el Teorema 2.4.5, g φ(n) = e ∀ g∊ Un .
• Esto se traduce en [aφ(n) ] = [a]φ(n) = [1],
que a su vez se traduce en n| (aφ(n) - 1).
• Esto dice precisamente que aφ(n) ≡ 1mod
n

26. Corolario de Fermat
• Si p es primo y p ∤ a entonces a p-1 ≡ 1 mod p
∀ entero a, a p ≡ a mod p .
• Demostración
• Sea a un número coprimo con n, entonces: aφ(n) ≡ 1mod n
• donde φ(n) es la función φ de Euler. Dado que para cada
primo p, φ(p) = p - 1, entonces obtenemos que:
• ap-1 ≡ 1mod p
Para obtener la forma original, utilizamos una sencilla propiedad
en aritmética modular que dice que si A, B son dos números
enteros cualesquiera tales que A ≡ B (mod n), entonces para
cualquier número natural C tenemos que AC ≡ BC (mod n).
Multiplicando a en ambos lados de la relación de equivalencia
obtenemos la forma original:
ap ≡ amod p

27. Problemas 2.4
• 8. Toda clase lateral izquierda de H en G es una
clase lateral derecha en G.
Demostración:
Notemos que si a ∊G entonces, Ha es una clase
lateral derecha de H en G, entonces Ha = bH para b
∊G de esto a ∊Ha y a ∊ bH. Como esto es una
relación de equivalencia bH=Ha. De esto:
Há = aH
Ha·a-1 = a H a-1 Cancelativa
H · e = a H a-1 Propiedad de Inverso
H = a H a-1 Elemento neutro

28. 9. En Z16, escríbanse cada una de las clases laterales
del subgrupo H = {[0], [4], [8], [12],}. (Puesto que la
operación en Zn es + , exprésense las clases laterales
como [a] + H)( No es necesario distinguir entre clases
laterales derechas e izquierdas, ya que Zn es
abeliano respecto a +.)
• Demostración:
Sea H = { [0], [4], [8], [12],}
Z16 +H
[0] + H = [0] , [4] , [8] , [12]
[1] + H = [1] , [5] , [9] , [13]
[2] + H = [2] , [6] , [10] , [14]
[3] + H = [3] , [7] , [11] , [15]
G = H ⋃ ([1] + H) ⋃ ([2] + H) ⋃ ([3] + H)

29. 13. Hallar los órdenes de todos los elementos de U18
¿Es cíclico U18?
• Demostración :
Los elementos de U18 son todos los primos relativos entonces
U18 = {[1], [5], [7], [11], [13], [17]}
El orden de estos son:
• [1]1 = [1] entonces ○ ([1]) = 1
• [5]1 = [5]; [5]2 = [25] = [7]; [5]3 = [125] = [17]; [5]4 = [625] = [13]; [5]5
= [3125] = [11]; [5]6 = [15625] = [1] entonces ○([5]) = 6
• [7]1 = [7]; [7]2 = [49] = [13]; [7]3 = [343] = [1] entonces ○([7]) = 3
• [11]1 = [11]; [11]2 = [121] = [13]; [11]3 = [1331] = [17]; [11]4 =
[14641] = [7]; [11]5 = [161,051] = [5]; [11]6 = [1,771,561] = [1]
entonces ○([11]) = 6
• [13]1 = [13]; [13]2 = [169] = [7]; [13]3 = [2,197] = [1] entonces 0([13])
= 3
[17]1 = [17]; [17]2 = [289] = [1]; entonces ○([17]) = 2
• ¨ Este grupo es cíclico ya que 0([5]) = 6 y 0([11]) = 6 entonces las
potencias de [5] y [11] generan todos los elementos U18

30. 15. Si p es primo, demuéstrese que las únicas
soluciones de x² ≡ 1(p) son x ≡ 1(p) o bien x ≡ -1(p)
• Demostración
• Sea x² ≡ 1 mod p Hipótesis
• P | x² - 1 por Definición de congruencia
• P | (x+1)(x-1) por Diferencia de cuadrados
• P | (x+1) o P | (x-1) por Propiedad de divide
• x ≡ -1 mod p ó x ≡ 1 mod p esto por Definición
de congruencia.

31. 22. Verifique el teorema de Euler para n=14 y a=3 ,
a= 5
• Demostración:
• 3ϕ(14) ≡ 1 mod 14 Por el teorema de Euler
• [1], [3], [5], [9], [11], [13] Primos relativos con n=14
• ϕ (14) = 6 Paso 2, y definición de ϕ
• 36 ≡ 1 mod 14 Teorema de Euler
• 14| 36 -1 Definición de
congruencia
• 14| 728 Potencias
• 56 ≡ 1 mod 14 Teorema de Euler
• 14| 56 -1 Definición de
congruencia
• 14| 15624 Potencias

32. 30. Si en G a5 = e y aba-1 = b², hallar 0(b) si b≠ e
Demostración:
1. aba-1 = b² hipótesis
2. aba-1 * aba-1 = b² * cancelativa
3. ab *b a -1 = b4 inverso
4. ab2 a-1 = b4 potencia
5. a *aba-1 *a-1 = b4 hipótesis
6. a²b( a-1)² = b4 potencia
7. a²b( a-1)² *a² b ( a-1)² = b4* b4 cancelativa
8. a² b² ( a-1)² = b8 inversos y potencias
9. a² * aba-1 * ( a-1)² = b8 hipótesis
10. a³ b( a-1)3 = b8 potencia
11. a³ b( a-1)3 *a³ b( a-1)3 = b8 *b8 cancelativa
12. a³ b²( a-1)3 = b16 inverso y potencia
13. a³ *aba-1 *( a-1)3 = b16 hipótesis

33. Continuación…
14. a4b ( a-1)4 = b16 potencia
15. a4b ( a-1)4 * a4 b ( a-1)4 = b16 * b16 cancelativa
16. a4b²( a-1)4 = b32 inverso y potencia
17. a4 *aba-1 *( a-1)4 = b32 hipótesis
18. a5 b(a-1)5 = b32 potencia
19. eb(a5) -1 = b32 hipótesis
20. eb(e) -1 = b32 hipótesis
21. b = b32 neutro
22. b · b-1 = b32 · b-1 Cancelativa
23. e = b31 inverso
·o(b) = 31 definición de orden.

34. Con números se puede demostrar cualquier cosa.
Thomas Carlyle (1795-1881) Historiador,
pensador y ensayista inglés.
¡GRACIAS POR SU
ATENCIÓN!