(1) El documento describe la construcción de la variedad de Kuga-Satake asociada a una superficie K3, la cual provee una estructura de Hodge de peso 1 relacionada a la estructura de Hodge de peso 2 de la superficie K3. (2) Se discute cómo la variedad de Kuga-Satake puede definirse sobre extensiones finitas del campo base y cómo mapea los espacios móduli de superficies K3 a variedades abelianas. (3) Finalmente, se pregunta si es posible describir la

1. La Variedad abeliana de Kuga-
Satake en el caso p-ádico
Jesús Rogelio Pérez Buendía
Seminario de Geometría Algebraica
CIMAT

2. Introducción
→
K3-Surface Abelian Varietie
PH²(X, ℤ) → H¹(A,ℤ) ⊗ H¹(A,ℤ).

3. Superficies K3
Complejas

4. Definición:
Una superficie K3 sorbe un
campo K es una superficie
propia y suave tal que su
gavilla canónica
ωX ≃ ΘX
es trivial y tal que :
H1(X, ΘX)=0.

5. ¿Y qué con las K3?
Variedades de Calabi-Yau de dimensión 2
Variedades de CY de dimensión 1 son Curvas
Eleípticas.
Superficies K3 juegan un papel importante en
la clasificación de superficies:

6. Enriques-Castelnuovo
- Dimensión de Kodaira
- ∞
- Superficies racionales
- Superficies regladas

7. Enriques-Castelnuovo
Dimensión de Kodaira 0
- Superficies abelianas
- Superficies K3
-Superficies bielípticas

8. Enriques-Castelnuovo
Dimensión de Kodaira 1
Superficies elípticas propias

9. Enriques-Castelnuovo
Dimensión de Kodaira 2
Superficies de tipo general.

10. Ejemplos
S es una curva de grado 6 en ℙ2,
Un cubriente doble:
π: X →ℙ2
X es una superficie K3.

11. Ejemplos
Cuárticas en ℙ3.
Intersección completa de una cuádrica y
una cúbica en ℙ4.
Intersección completa de tres cuádricas en
ℙ5.

12. Superficies de Kummer
A una variedad abeliana.
[2]: A →A; σ: A → A, x ⟼ -x la involución
A’
A
A’ / 〈σ’〉 := Kum(A)

13. Cohomología de superficies K3
complejas
Los grupos de cohomología singular son libres
con números de Betti:
1, 0 , 22, 0, 1

14. X es una superficie de Kähler:
H2
(X, C) '
M
p+q=2
Hq
(⌦p
X )

15. Definición:
Sea Λ0 el “retículo K3” definido como
(Λ0, φ0) = U3 ⊕ (-E8)2
con U el retículo hiperbólico
y E8 el “retículo raíz asociado a el diagrama:

16. Proposición:
Si X es una superficie K3 compleja, se tiene un
isomorfismo de retículos (espacios
cuadráticos):
(H2(X, ℤ), ∪) ≃ (Λ0 , φ0).

17. Supongamos ahora que tenemos en X una polarización,
ℒ, ℒ ∪ ℒ = 2d para alguna d > 0 y que no tiene raíces en
el grupo de Picard.
Consideremos el espacio ortogonal PH
2
(X, ℤ) a la clase
de ℒ con respecto al producto cup.
La restricción de la forma a PH
2
(X, ℤ) induce también un
pareo.
Si e1, f1 son una base estándar para la primera copia de
U en el retículo K3, entonces tenemos un sobretítulo
(Λd, φd) = 〈e1-df1〉⊕ U2 ⊕ (-E8) .

18. Proposición:
Se tiene un isomorfismo de espacios
cuadráticos:
(PH2(X, ℤ), ∪) ≃ (Λd, φd)

19. Estructuras de Hodge y el teorema
de Riemann.
A-Estructuras de Hodge de peso n.
A⊂ℝ un subanillo
V un A-mod de tipo finito.
Vℂ
= ⊕ Vp,q con p+q=n, tal que Vp,q es
conjugado de Vq,p.

20. Estructuras de Hodge como
representaciones de 𝒮
Teorema:
A-Estructuras de Hodge de peso n en V es
equivalente a dar una representación
homogénea de peso n del toro de Deligne:
h: 𝒮 →GL(Vℝ
).

21. Definición:
Una polarización de una estructura de Hodge
de peso n es un morfismo de estructuras de
hodge :
ρ: H ⊗ H → ℤ(-n)
tal que en Hℝ
, la forma bilineal (2πi)nρ(x, h(i)y)
es simétrica y positiva definida.

22. Teorema de Riemann
Variedades
Abelianas
polarizadas
Estructuras de
Hodge polarizadas
de peso 1 y tipo
(1,0), (0,1)
Toros complejos
Estructuras de
Hodge enteras
de peso 1
A H1(A, ℤ)

23. La variedad de Kuga-Satake
Se busca asociarle a una
superficie K3 una estructura
de Hodge de peso 1, que
esté relacionada con la
estructura de Hodge de
peso 2 de la superficie K3

24. Algebras de Clifford
Sea V un A-módulo y Q una forma cuadrática
en V
C(V):= T(V) / (x ⊗ x - Q(v))
C(V) = C+(V) ⊕ C-(V)
La parte “par”

25. El grupo de Clifford
CSpin(V)={x ∈C+(V)* | xVx-1⊂ V}.
CSpin(V)→GL(V)

26. La representación spin: C+(V)sp
está dada por multiplicación por la izquierda,
es decir:
CSpin(V) × C+(V) → C+(V); x ▪︎sp v = x ∙v.
La representación adjunta: C+(V)ad
está dada por la conjugación, es decir:
CSpin(V) × C+(V) → C+(V); x ▪︎ad v = x ∙v∙x-1.
Representaciones en C+(V)

27. Teorema
Hay un isomorfismo de ℚ-álgebras y
representaciones:
C+(V)ad = EndC (C+(V)sp)
en donde C = C+(V)op.

28. Teorema
Sea V = H2
(X, ℤ) (o PH2
(X, ℤ)) con su estructura
de Hodge polarizada. Se puede dotar a C+(V)
con dos estructuras de Hodge:
(C+(V), hsp) que es una estructura de Hodge
de peso 0.
C+(V), had) que es una estructura de Hodge de
peso 1.

29. Observaciones:
Kuga-Satake en Familias. La construcción anterior se puede realizar en el caso
relativo usando variaciones de estructuras de Hodge.
Kuga-Satake en para superficies K3 definidas sobre sucampos de ℂ.: Se
demuestra que la variedad de KS asociada a una superficie K3 sobre un
subcampo K del os complejos, puede ser definida sobre una extensión finita de K.
Rizov (2005) demuestra que de hecho existe un mapeo entre los espacios móduli
(que son espacios algebraicos): KS: P ➞ 𝓐 de superficies K3 al de variedades
abelianas (con ciertos requerimientos).
Si X está definida sobre un campo finito, entonces X se puede levantar a una
superficie K3 sobre un campo de característica cero (campo local) a la que se le
puede asociar su variedad de Kuga-Satake con la propiedad de que esta tiene
potencialmente buena reducción lo que nos permite asociarle a X una variedad
abeliana sobre un campo finito. A

30. ¿Para una superficies K3 sobre
un campo p-ádico se podrá dar
una descripción de la variedad
de Kuga-Satake en términos
de la teoría p-ádica de Hodge?