Este documento presenta un teorema sobre la divisibilidad de polinomios con coeficientes enteros. Demuestra que si el contenido de dos polinomios g y f satisface que c(g) divide a c(f), y g(n) divide a f(n) para infinitos enteros n, entonces g divide a f. Como aplicación, se prueba que los únicos polinomios irreducibles, monómicos y con coeficientes enteros que satisfacen una cierta propiedad de divisibilidad son los polinomios ciclotómicos.

1. Divulgaciones Matem¶aticas Vol. 11 No. 2(2003), pp. 149{152
Sobre la Divisibilidad de Polinomios
con Coe¯cientes Enteros
On the Divisibility of Polynomials
with Integer Coe±cients
Jos¶e H. Nieto (jhnieto@luz.ve)
Departamento de Matem¶atica, Facultad de Ciencias
Universidad del Zulia, Maracaibo, Venezuela
Resumen
Sean f; g 2 Z[x]. En este trabajo se prueba que g j f si y s¶olo si
c(g) j c(f) (donde c(f) denota el contenido de f, es decir el m¶aximo
com¶un divisor de sus coe¯cientes) y g(n) j f(n) para in¯nitos n 2 Z.
Como aplicaci¶on se prueba que los polinomios m¶onicos irreducibles y
no constantes f 2 Z[x] tales que f(n) divide a f(nk) para todo entero
n (siendo k ¸ 2 un entero ¯jo) son los polinomios ciclot¶omicos ©j de
orden j coprimo con k.
Palabras y frases clave: polinomios, divisibilidad, ciclot¶omico.
Abstract
Let f; g 2 Z[x]. In this paper it is proved that g j f if and only
if c(g) j c(f) (where c(f) denotes the content of f, i.e. the greatest
common divisor of its coe±cients) and g(n) j f(n) for in¯nitely many
n 2 Z. As an application it is proved that the monic irreducible non
constant polynomials f 2 Z[x] such that f(n) divides P(nk) for all
integers n (k ¸ 2 being a ¯xed integer) are the cyclotomic polynomials
©j with order j coprime with k.
Key words and phrases: polynomials, divisibility, cyclotomic.
1 Introducci¶on
Denotemos con Z[x] al anillo de los polinomios con coe¯cientes enteros en
una indeterminada x, y con Q[x] al anillo de los polinomios con coe¯cientes
Recibido 2002/12/17. Aceptado 2003/11/27.
MSC (2000): Primary 13F20; Secondary 11C08.

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racionales. Si f; g 2 Z[x] se dice que g divide a f en Z[x] (y se denota g j f) si
existe h 2 Z[x] tal que f = gh. Si g j f entonces es claro que g(n) j f(n) para
todo entero n. El prop¶osito de esta nota es establecer alg¶un tipo de rec¶³proco
para esta propiedad, en otras palabras deducir la relaci¶on de divisibilidad entre
dos polinomios a partir de la divisibilidad entre los valores adoptados por ellos.
El teorema de identidad de polinomios establece que si dos polinomios toman
valores iguales al ser evaluados en un n¶umero de valores superior al grado de
ambos, entonces son id¶enticos. Estamos interesados en un resultado similar
pero sustituyendo la relaci¶on de igualdad por la de divisibilidad. Los siguientes
ejemplos muestran las di¯cultades inherentes a este problema.
Ejemplo 1. Sea N un entero positivo y consideremos los polinomios f(x) =
x + N! y g(x) = x. Entonces g(n) j f(n) para n = 1; 2; : : : ;N pero g - f.
Este ejemplo muestra que ning¶un n¶umero ¯nito de valores es su¯ciente
para deducir la divisibilidad de polinomios a partir de los valores adoptados
por ellos.
Ejemplo 2. Sean f(x) = x2 + x y g(x) = 2. Entonces g(n) j f(n) para todo
n 2 Z pero g - f en Z[x].
<Este ejemplo muestra que ni siquiera la totalidad de los valores es su¯-
ciente! Pero es claro que esta situaci¶on es consecuencia de que los coe¯cientes
de g admiten un divisor com¶un (en este caso el 2) que no divide a todos los
coe¯cientes de f.
De¯namos el contenido c(f) de un polinomio f 2 Z[x] como el m¶aximo
com¶un divisor de todos sus coe¯cientes. Si c(f) = 1 entonces se dice que el
polinomio f es primitivo. Es claro que para cualquier polinomio f 2 Z[x]
existe f1 2 Z[x] tal que f1 es primitivo y f = c(f)f1.
A continuaci¶on se enuncian un resultado cl¶asico de Gauss y dos corolarios
inmediatos:
Lema 1 (Gauss). Si f; g 2 Z[x] son ambos primitivos entonces su producto
fg tambi¶en es primitivo.
La demostraci¶on puede verse en [3] o [1].
Corolario 1. Si f; g 2 Z[x] entonces c(fg) = c(f)c(g).
Corolario 2. Si f; g 2 Z[x] y g j f entonces c(g) j c(f).
2 El resultado principal
Teorema 1. Si f; g 2 Z[X], c(g) j c(f) y g(n) j f(n) para in¯nitos enteros
n, entonces g j f en Z[X].
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3. Sobre la Divisibilidad de Polinomios con Coe¯cientes Enteros 151
Demostraci¶on. Dividamos f entre g en Q[x] para obtener f(x) = g(x)q(x) +
r(x), con q; r 2 Q[x] y el grado de r es menor que el de g. Sea m el m¶³nimo
com¶un m¶ultiplo de los denominadores de todos los coe¯cientes de q y r, de
modo tal que mq; mr 2 Z[x]. Sea n1; n2; : : : una sucesi¶on de enteros diferentes
tales que g(ni) j f(ni) y g(ni)6= 0 para todo i = 1; 2; : : :
Entonces mf(ni)=g(ni)¡mq(ni) = mr(ni)=g(ni) para i = 1; 2; : : : y como
el miembro izquierdo es entero el miembro derecho tambi¶en debe serlo. Pero
como l¶³mi!1 jnij = 1 y el grado de r es menor que el de g se tiene que
l¶³mi!1 mr(ni)=g(ni) = 0. Por lo tanto r(ni) = 0 a partir de un cierto i0 en
adelante. Esto implica que r es id¶enticamente nulo y por lo tanto f = gq y
mf = g(mq). Aplicando ahora el Corolario 2 resulta que mc(f) = c(mf) =
c(g)c(mq), y como por hip¶otesis c(g) j c(f) se sigue que m(c(f)=c(g)) = c(mq).
Por lo tanto todos los coe¯cientes de mq son m¶ultiplos de m y q 2 Z[x], con
lo cual g j f en Z[X].
3 Una aplicaci¶on
En [2] se plantea el problema siguiente: Hallar todos los polinomios P con
coe¯cientes enteros, irreducibles, m¶onicos y de grado 2000, tales que P(n)
divide a P(n2) para todo entero n". Es f¶acil hallar los polinomios de grado
1 que satisfacen las dem¶as condiciones del problema, a saber x y x ¡ 1. De
grado 2 hay s¶olo uno, a saber x2 + x + 1. Pero tratar de hallar los de grado
2000 por m¶etodos directos no parece factible. Una generalizaci¶on natural de
este problema consiste en buscar polinomios de grado arbitrario, irreducibles
y m¶onicos, tales que P(n) divida a P(nk) para todo entero n (siendo k ¸ 2
un entero ¯jo).
Denotemos mediante ©n al polinomio ciclot¶omico de orden n, es decir
©n(x) =
nY¡1
d=1
(d;n)=1
(x ¡ e
2¼id
n ):
Es bien conocido (ver [3]) que ©n es un polinomio con coe¯cientes enteros,
m¶onico e irreducible. Sus ra¶³ces son las ra¶³ces primitivas de la unidad de orden
n, y su grado es por lo tanto igual a Á(n) (siendo Á la funci¶on de Euler).
Se tiene entonces el siguiente resultado:
Teorema 2. Sea k ¸ 2 un entero. Los polinomios con coe¯cientes enteros,
m¶onicos e irreducibles tales que P(n)jP(nk) para in¯nitos enteros n son 1, x
y los polinomios ciclot¶omicos ©j para j coprimo con k.
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Demostraci¶on. Obviamente el polinomio constante 1 y el polinomio x satis-
facen las condiciones del problema, y los consideraremos como soluciones tri-
viales. Si P es otro polinomio soluci¶on entonces por el Teorema 1 se tiene
que P(xk) = P(x)Q(x), para alg¶un Q 2 Z[x]. Si ³ es una ra¶³z (compleja)
de P entonces P(³k) = P(³)Q(³) = 0, es decir que ³k tambi¶en es ra¶³z de
P. Aplicando reiteradamente este razonamiento resulta que tambi¶en ³k2 , ³k3 ,
³k4 ,. . . son ra¶³ces de P. Pero como P s¶olo puede tener un n¶umero ¯nito de
ra¶³ces, deben existir enteros r > s > 0 tales que ³kr = ³ks , es decir que
³ks (³kr¡ks ¡1) = 0. Pero ³6= 0 (pues P no es una de las soluciones triviales),
por lo tanto ³ es una ra¶³z de la unidad. Si ³ es primitiva de orden j, entonces
las dem¶as ra¶³ces primitivas de la unidad de orden j deben ser ra¶³ces de P, es
decir que P debe ser m¶ultiplo de ©j , y como P es irreducible en realidad se
tiene que P = ©j . Ahora bien, para que ³k sea tambi¶en primitiva de orden j,
k y j deben ser coprimos.
Referencias
[1] Herstein, I. N. Topics in Algebra, Blaisdell,Waltham, 1964. Hay traducci¶on
al castellano: ¶ Algebra Moderna, Trillas, M¶exico, 1970.
[2] Caragea, D., Ene, V. Problem 10802, The American Mathematical
Monthly, 107(5) (2000), p. 462.
[3] Lang, S. Algebra, Addison-Wesley, Reading, 1965.
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