Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con subgrupos. Introduce la noción de subgrupo y discute cómo determinar si un subconjunto es un subgrupo. Luego, explora subgrupos cíclicos y el Teorema de Lagrange sobre el orden de un subgrupo. Finalmente, analiza la estructura de los subgrupos de un grupo cíclico finito.

1. Apuntes sobre Subgrupos y el Teorema de
Lagrange
J. Armando Velazco
24 de junio de 2012

2. Captulo 1
Subgrupos
1.1. Subgrupos
De

3. nicion Sea (G; ) un grupo. Sea ;6= H G. Se dice que H es un subgrupo
si H es un grupo con respecto a la operacion en G. Se denotara por H G si
H es subgrupo de G. Ademas, si H G se dira entonces que H es un subgrupo
propio de G y se denotara por H G
Observacion Todo grupo G posee dos grupos llamados triviales feg y desde
luego, G mismo. En algunos textos son llamados tambien grupos impropios de
G.
De

4. nicion Un subgrupo H6= feg es un subgrupo minimal de G si no existe
un subgrupo no trivial J contenido en H. Un subgrupo H6= G es un subgrupo
maximal si H no esta contenido en otro subgrupo propio K de G.
Para ver si un conjunto H G es un subgrupo tenemos a nuestra disposicion
el siguiente
Teorema 1.1.1 Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y
solo si:
i) H es cerrado bajo la operacion binaria en G.
ii) El elemento identidad e 2 G pertenece tambien a H.
iii) Para todo x 2 H se tiene que x1 2 H
Demostracion )) Es inmediato de la de

5. nicion de subgrupo.
() Como H debe ser un grupo en si mismo, vemos que al cumplirse las
condiciones i), ii) y iii) nos resta solo probar la asociatividad de la operacion:
como H G en particular se tiene que para todo x; y; z 2 H se cumple que
x (y z) = x (y z)
1

6. A menudo, podemos probar que un determinado conjunto H G es un
subgrupo mediante el siguiente
Teorema 1.1.2 Un subconjunto H es un subgrupo de un grupo G si H6= ; y
para todos x; y 2 H se tiene que x y1 2 H.
Demostracion Sea x 2 H, tal elemento existe pues H6= ; por hipotesis,
ademas, tenemos entonces que e = x x1 2 H. As, para todo y 2 H tenemos
que y = e y lo que implica que y1 2 H Por ultimo, resta probar la cerradura
de la operacion : Para ello considere que y = (y1)1 y por lo tanto para
x; y1 2 H tenemos que x (y1)1 = x y 2 H.
Corolario 1.1.3 Sea H6= ; un subconjunto de un grupo G

7. nito, entonces
H G si para todo x; y 2 H se tiene que x y 2 H.
Demostracion Por hipotesis H6= ; y H es cerrado bajo la operacion , enton-
ces tenemos que para algun x 2 H se cumple e = xk 2 H para algun k 2 N, pues
el grupo G es

8. nito. Mas aun, por la

9. nitud de G se tiene esto para cualquier
x 2 H. As, sin perdida de generalidad, tomando un x 2 H arbitrario tenemos
que xk1 = x1 2 H. Por lo tanto H es un subgrupo.
Como formar un subgrupo a partir de 2 subgrupos dados? de manera
natural se tiene el siguiente
Lema 1.1.4 Sean H G y K G entonces (H K) G.
Demostracion Por hipotesis H K6= ;, de la de

10. nicion de interseccion de
conjuntos es claro que 8x; y 2 H K se tiene que xy 2 H K y x1 2 H K.
A partir del lema anterior podemos a

11. rmar entonces que
Teorema 1.1.5 Sea Hi; i 2 N una familia de subgrupos de un grupo G. En-
tonces i2NHi es tambien un subgrupo. Mas aun esto es valido para cualquier
conjunto de ndices I.
Demostracion Inmediato, solo hay que veri