Este documento presenta varios teoremas y proposiciones sobre la clasificación de grupos finitos. Primero, clasifica los grupos de orden pq donde p y q son primos con p > q, mostrando que son isomorfos a Zpq o tienen una estructura no abeliana específica. Luego, analiza los grupos de orden 2p y 6, y establece que los grupos no abelianos de orden 8 son D4 y Q8. Finalmente, introduce conceptos sobre la descomposición de p-grupos abelianos finitos en suma directa de sus sub
Como convertir los Enunciados Abiertos en Proposiciones, utilizando los Cuantificadores. Es un tema interesante que se utiliza en el Lenguaje Cotidiano y en el lenguaje Matemático.
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Estudiaremos el problema de computar la envoltura convexa de un conjunto finito P
de n puntos en el plano. La EC es el único polígono convexo cuyos vértices son puntos de P y que contiene todos los puntos de P.
De Politie Utrecht heeft Stichting Nederland Kennisland1 benaderd te
onderzoeken hoe sociale internettoepassingen die bekend staan onder de
noemer Web 2.0. kunnen worden ingezet voor opsporing en andere politie
activiteiten. Het doel van deze opdracht is het ontwerpen van een raamwerk
voor deze activiteiten.
Kennisland richt zich binnen het advies op drie onderdelen voor een raamwerk:
1. Het ontwikkelen van methodieken en modellen om Web 2.0 activiteiten
van de politieorganisatie te duiden;
2. Het inventariseren en analyseren van bestaande en potentiële
experimenten op uitvoerend/operationeel niveau;
3. Het inrichten van een Politie 2.0 denktank programma dat in navolging
op dit advies aanvullend advies en werkzaamheden verricht op
richtinggevend/strategisch niveau.
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The government stressed that this is a key reform for economic reactivation and job creation.
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Cuarto número de la revista "Hysteroscopy newsletter" Primera revista internacional publicada en español e inglés sobre todo lo relacionado con el mundo de la histeroscopia
Presentación de Mariana Rodríguez Zani, Convergencia, en la Clínica Mobile 2010 en la Universidad de Palermo.
Asesor académico, Pablo Capurro, @pablocapurro
Somos una empresa en la cual usted podrá sentirse un actor más dentro de Costa Rica, conocer su gente, sus playas, bosques y montañas, los lugares más escondidos y recónditos de Costa Rica que poco han sido descubiertos por ustedes.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Las capacidades sociomotrices son las que hacen posible que el individuo se pueda desenvolver socialmente de acuerdo a la actuación motriz propias de cada edad evolutiva del individuo; Martha Castañer las clasifica en: Interacción y comunicación, introyección, emoción y expresión, creatividad e imaginación.
ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA, crea y desarrolla ACERTIJO: «CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS». Esta actividad de aprendizaje lúdico que implica de cálculo aritmético y motricidad fina, promueve los pensamientos lógico y creativo; ya que contempla procesos mentales de: PERCEPCIÓN, ATENCIÓN, MEMORIA, IMAGINACIÓN, PERSPICACIA, LÓGICA LINGUISTICA, VISO-ESPACIAL, INFERENCIA, ETCÉTERA. Didácticamente, es una actividad de aprendizaje transversal que integra áreas de: Matemáticas, Neurociencias, Arte, Lenguaje y comunicación, etcétera.
ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
19 clasificacion-grupos
1. CLASIFICACI´ON DE GRUPOS FINITOS
Proposici´on
Sea G un grupo de orden pq con p y q primos, p > q. Entonces
(i) G ∼= Zpq ´o
(ii) G es no-abeliano y se tiene que
G = Gpq := a, b | ap = 1, bq = 1, b a b−1 = ak con k ≡
1 (mod p) y kq ≡ 1(mod p), p ≡ 1 (mod q) .
Demostraci´on G contiene al menos un subgrupo de Sylow H = a
de orden p y un subgrupo de Sylow K = b de orden q,
ap = 1 bq = 1
np = # subgr. Sylow de orden p. ⇒ np = kp + 1, y np | pq
nq = # subgr. Sylow de orden q ⇒ np = 1 ´o np = p + 1
NO
Como p > q, entonces np = 1. ⇒ H G.
nq = kq+1 ⇒ nq = 1 ´o nq = p porque nq | pq.
2. Caso 1 nq = 1. Solo hay un q-subgrupo de Sylow.
Entonces K G y
a b a−1
∈K
b−1
∈K
∈ H ∩ K = 1,
luego ab = ba ⇒ G ∼= Zpq.
Caso 2 nq = p. En G hay p subgrupos de Sylow de orden q. Esto
implica que p ≡ 1 (mod q). Veamos que se tiene (ii)
G no es abeliano; pues en caso contrario nq = 1, como H G
existe 1 < k < p tal que
b a b−1
∈H⇒ es una potencia de a
= ak
b H b−1
= H.
y k ≡ 1(mod p), pues si k ≡ 1 (mod p) entonces p | (k − 1)
⇒ ak−1 = 1
⇒ ak = a ⇒ ab = ba ⇒ G ∼= Zpq y G ser´ıa abeliano (→←).
3. Note que escogiendo k entre 1 y p tal k es ´unico.
Observe que b2a b−2 = ak2
. En efecto:
(ak
)k
= ak2
= (b a b−1
)k
= b ak
b−1
= b(b a b−1
) = b2
a b−2
.
Esta relaci´on puede generalizarse × inducci´on:
(∗) bn
a b−n
= akn
, n ≥ 0
en particular para n = q
a = bq
a b−q
= akq
⇒ p | (kq − 1) porque a es de orden p.
⇒ kq ≡ 1 (mod p).
4. Falta ver que G = a, b
Sea W = a, b ≤ G y sea x ∈ W .
Entonces x = ar1 bl1 · · · arm blm , 0 ≤ ri ≤ p − 1, 0 ≤ li ≤ q − 1
i = 1, · · · , m.
Consideremos el producto bl ar con 0 ≤ r ≤ p − 1, 0 ≤ l ≤ q − 1
de (∗)
bn
ar
b−n
= arkn
bn
ar
= arkn
bn
entonces cada elemento x ∈ G toma la forma x = ar bl ¿Cu´antos
hay?
5. Tenemos m´aximo pq de tales x. Veamos que son exactamente pq.
Sean 0 ≤ r, s ≤ p − 1 tal que ar
bl
= as
bm
0 ≤ l, m ≤ q − 1 ⇒ bm−l
= ar−s
∈ a ∩ b
⇒|bm−l
| | p,
|bm−l
| | q ⇒ bm−l
= 1 ⇒ m = l
an´alogamente r = s.
⇒ |W | = pq, ∴ G = W .
Hemos probado que G cumple todas las condiciones de (ii).
6. Proposici´on
Sea p primo impar y G un grupo de orden 2p. Entonces G ∼= Z2p
´o G ∼= Dp.
Demostraci´on Si G no es abeliano ⇒ G ∼= Z2p.
Si G no es abeliano, existen a, b ∈ G tales que
|a| = p, |b| = 2, b a b−1 = ak con k ≡ 1 (mod p), k2 ≡ 1
(mod p), p ≡ 1 (mod 2) ← por la proposici´on anterior
2 ≤ k ≤ p − 1.
Suponga k ≤ p − 2. Como p | k2 − 1 ⇒ p | k − 1 ´o p | k + 1
pero 2 ≤ k ≤ p − 2 (→←)
⇒ k = p − 1
⇒ b a b = ap−1 = a−1.
⇒ G ∼= Dp.
7. Corolario
Los grupos de orden 6 son Z6 y D3
∼= S3.
Proposici´on
Los grupos no abelianos de orden 8 son D4 y Q8. Ejercicio!
8. p-grupos abelianos finitos
Todo grupo finito G de orden n = pr1
1 · · · prk
k es suma directa de
sus subgrupos de Sylow ⇔ ´estos son normales.
Teorema
Sea G un grupo finito de orden n, |G| = n = pr1
1 · · · prk
k , p primos
diferentes, r1, · · · , rk ≥ 1. Entonces G es suma directa de sus
subgrupos de Sylow, sii estos son normales en G.
G = P1 ⊕ · · · ⊕ Pk
donde Pi el pi -subgrupo de Sylow de G, 1 ≤ i ≤ k. En particular,
si G es abeliano, entonces G es suma directa interna de sus
subgrupos de Sylow.
9. Demostraci´on (⇒) Si G es suma directa de sus subgrupos Sylow,
entonces por definici´on cada sumando es necesariamente normal.
(⇐) Sea Pi un pi -subgrupo de Sylow de G tal que Pi es un
subgrupo normal en G. Entonces Pi es ´unico. Veamos que cada
elemento x ∈ G tiene una representaci´on ´unica en la forma
x = x1 · · · xk con xi ∈ Pi , 1 ≤ i ≤ k.
xi xj
?
= xj xi (xi xj )(xj xi )−1 = xi xj x−1
i · x−1
j ∈ Pi ∩ Pj
(a) Pi ∩ Pj = 1 porque los eltos de Pi tienen orden pi y los de Pj
orden pj .
(b) Para i = j los eltos de Pi conmutan con los Pj .
(c) El neutro tiene representaci´on ´unica: sean xi ∈ Pi , i ≤ i ≤ k
tal que 1 = x1 · · · xk. Sea si = |xi |, entonces
si = pαi
i , 0 ≤ αi ≤ ri . Sea s = s1 · · · si−1si+1 · · · sk, entonces
1s = (x1 · · · xi · · · xk)s = xs
i , luego si | s y
pαi
i | pα1
i · · · p
αi−1
i−1 p
αi+1
i+1 · · · pαk
k esto implica que αi = 0, luego
si = 1, i.e. xi = 1 para cada 1 ≤ i ≤ k.
10. (d) Cada elto x de G se puede representar de manera ´unica como
x = xi · · · xk.
Sea x ∈ G de orden r tq r | n y r = ps1
1 · · · psk
k , donde
0 ≤ si ≤ ri con 1 ≤ i ≤ k.
Sea ui = r
p
si
i
, entonces m.c.d {u1, . . . , uk} = 1, entonces
existen enteros t1, . . . , tk t.q. 1 = t1 u1 + · · · + tkuk, sea
xi = xti ui , 1 ≤ i ≤ k.
Note que x
p
si
i
i = (xti ui )p
si
i = xti ui p
si
i = xti r = 1, luego xi ∈ pi y
adem´as
x1 · · · xk = xt1u1
· · · xtk uk
= xt1u1+···+tk uk
= x1
= x
a partir de (b) y (c) se obtiene que esta representaci´on es
´unica.
11. Corolario
Sea n = pr1
1 · · · prk
k , entonces Zn
∼= Zp
r1
1
× · · · × Zp
rk
k
El objetivo central en la descipci´on de los grupos abelianos finitos
consiste en expresar G como suma directa de subgrupos de
estructura simple y conocida, como por ejemplo a trav´es de
subgrupos c´ıclicos.
Proposici´on
Si G es un grupo c´ıclico de orden pn, entonces G NO se puede
descomponer en suma directa de subgrupos c´ıclicos de orden
menor, i.e. G es irreducible.
Sabemos que G ∼= Zpn ∼= Cpn = {z ∈ C : zpn=1}.
Primero sabemos que los ´unicos subgrupos de Cpn son los grupos
de la cadena
{1} = Cp0 ⊂ Cp1 ⊂ Cp2 ⊂ · · · ⊂ Cpn−1 ⊂ Cpn
Sea K ≤ Cpn ⇒ |K| | pn ⇒ |K| = pα, 0 ≤ α ≤ n.
Sea x ∈ K ⇒ xpα
= 1 ⇒ K ≤ Cpα ⇒ K = Cpα .
12. Ahora si existiera H, K en Cpn tal que Cpn = H ⊕ K entonces
H = Cpα , K = Cpβ , H ∩ K = {1}.
Si α ≤ β entonces H ≤ K y H ∩ K = H = {1} ⇒ α = 0,
β = n.
Si β ≤ α al rev´es.
Entonces la ´unica descomposici´on de Cpn es la trivial
Cpn = {1} ⊕ Cpn .
Ejemplo
Z4 y Z2 ⊕ Z2 no son isomorfos.
Z9 y Z3 ⊕ Z3 no son isomorfos.
13. Teorema
Cada p-grupo abeliano finito G es suma directa de subgrupos
c´ıclicos.
En la prueba se muestra que si |G| = pn, entonces
G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gr ,
donde |Gi | = pmi , 1 ≤ mi ≤ n, 1 ≤ i ≤ r, m1 + · · · + mr = n
¿es ´esta descomposici´on ´unica? Si
Supongamos G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr = H1 ⊕ · · · ⊕ Hs
entonces r = s y los ´ordenes |Gi | coinciden con los ´ordenes |Hj |
despu´es de una reordenaci´on.
14. Dado G, |G| = pn p-grupo abeliano finito, G determina un vector
´unico (pm1 , · · · , pmr ) conformada por los ´ordenes de los subgrupos
c´ıclicos de su descomposici´on. Se puede ordenar de manera que
m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ m1 ≥ 1
Definici´on
Sea G un p-grupo abeliano finito, |G| = pn. Se dice que G es del
tipo (pm1 , · · · , pmi ) si G es suma directa de subgrupo c´ıclicos de
´ordenes pmi , 1 ≤ i ≤ r. m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr , 1 ≤ r ≤ n con
m1 + · · · + mr = n, los componentes pm1 , . . . , pmr de la r-pla se
denominan divisores elementales del grupo G.
15. Sean A y B dos p-grupos abelianos finitos con el mismo sistema de
divisores elementales (pm1 , . . . , pmr ).
Entonces A = A1 × · · · × Ar , B = B1 × · · · × Br con
Ai
∼= Zpmi
∼= Bi . El sistema de isomorfismos ϕi induce el
isomorfismo ϕ : A −→ B
ϕ(a1, · · · , ar ) := (ϕ1(a1), · · · , ϕr (ar )).
Hemos probado:
Proposici´on
Con sus divisores elementales cada p-grupo abeliano finito se
determina un´ıvocamente salvo isomorfismo.
16. Ejemplo
p primo, n = 4. Determine todos los posibles grupos abelianos de
orden p4.
Divisores elementales:
(p4), (p3, p), (p2, p2), (p2, p, p), (p, p, p, p)
Grupos abelianos de orden p4:
Zp4 ,
Zp3 ⊕ Zp,
Zp2 ⊕ Zp2 ,
Zp2 ⊕ Zp ⊕ Zp,
Zp ⊕ Zp ⊕ Zp ⊕ Zp
Este ejemplo permite la siguiente generalizaci´on.
17. Definici´on
Sea n un entero positivo. Una sucesi´on de enteros positivos
(m1, · · · , mr ) con m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr y m1 + · · · + mr = n se
denomina una partici´on de n. Denotamos por p(n) al n´umero de
particiones de n.
Ejemplo
n = 4,
(4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1),
p(4) = 5
18. Proposici´on
Sea F la clase de todos los grupos abelianos no isomorfos de orden
pn, n ≥ 1 y sea P el conjunto de todas las particiones de n. Existe
una correspondencia bi-un´ıvoca entre F y P, es decir, el n´umero de
grupos abelianos no isomorfos de orden pn es finito e igual a p(n).
Demostraci´on
Sea G de tipo (pmi , . . . , pmi )
F −→ P
G −→ (m1, . . . , mi ).
Definici´on
Un grupo abeliano de orden pn con sistema de divisores
elementales (p, . . . , p) (i.e. isomorfo a Zp ⊕ · · · ⊕ Zp) se denomina
grupo abeliano elemental.